芜湖一中2017年高一自主招生考试数 学 试 卷含答案

芜湖一中2017年高一自主招生考试

数 学 试 卷

(满分：150分)

一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，共36分,每小题只有一个正确选项，请把正确的选项序号填在答题卡的相应位置上）

1．若不等式组0,

122

x a x x +??->-?≥有解，则a 的取值范围是

A ．

B ．

C ．

D ．1a >-1a -≥1a ≤1

a <2．反比例函数，当x ≤3时，y 的取值范围是x

y 2

=

A ．y ≤

B ．y ≥

C ．y ≥

或y <0 D ．0

3

2

3

23

23

23．下图是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后，合放在桌上，小明从最上面连续抽出2张，则抽到点数为“鳖十”（点数之和为10）的概率是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

12131416

4．四条线段的长分别为9，5，x ，1（其中x 为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB 与CD 是其中的两条线段（如右图），则x 可取值的个数为A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．6个5．如图，在锐角△ABC 中，以BC 为直径的半圆O 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，且cos

A ，则S △ADE ∶S 四边形DBCE 的值

为 A

．

B ．

1

2

13

C

D

6．已知实数，且满足，.则的值为b a ≠)1(33)1(2

+-=+a a 2

)1(3)1(3+-=+b b b

a a a

b b +A ．23

B ．

C ．

D ．23-2-13

-二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分，请把正确答案写在答题卡上）

7．若为实数，且满足，则=

.

x 2

2

(1)(3)5x x x x +++-=2x x +8．已知实数、满足，则的取值范围为

.

a b |2||3|10)6()1(22

--+-=-+

-b b a a b a +9．当时，二次函数的图象与x 轴所截得的线段1,2,3,,2017n = 22

()(21)1y n n x n x =+-++长度之和为

.

10．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB=，BC=

CD ＝，则AD 边的长为

.

4-11．正实数a 、b 满足:对实数x ，当时，均有则

的最小值为 .

14x ≤≤03≤-+b ax b a

-1

12．记[x ]表示不超过实数x 的最大整数，的数为“好数”，如0，7)](3[]2[][H R x x x x ∈++=记等都是

“好数”，4不是“好数”，则100以内正整数中共有“好数”

个 .

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数 学 答 题 卷

一、选择题（每小题6分，共36分）

题号1

2

3

4

5

6

答案

二、填空题（每小题8分，共48分）7． 8． 9．

10．

11．

12．

三、.解答题（本大题共5小题，满分66分，写出必要的解答过程。）

13． (本小题满分12分)设是不小于的实数，使得关于的方程m 1-x 2

2

2(2)x m x m

+-+有两个不相等的实数根，

330m -+=21,x x （Ⅰ）．求m 的取值范围；（Ⅱ）．求的最大值.2

2

2

12111x mx x mx -+

-

14．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．

（Ⅰ）．求这条抛物线的表达式；

（Ⅱ）．连结OM，求∠AOM的大小；

（Ⅲ）．如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

15．(本小题满分12分)从1，2，…，9中任取n 个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n 的最小值．（写出详细过程才给分）

16． (本小题满分15分)有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数， abc def abcdef 这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，

（Ⅰ）．若记此两个三位数分别为x,y ,请写出x,y 间的关系式； ,abc def （Ⅱ）．试求这个六位数.

17．(本小题满分15分) 如图，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边AD ，BC 的延长线上，且满足

DE AD

CF BC

=

．若CD ，FE 的延长线相交于点G ，△DEG 的外接圆与△CFG 的外接圆的另一个交点为点P ，连接PA ，PB ，PC ，PD ，PE, PF ．

求证：（Ⅰ）．； （Ⅱ）．△PAB ∽△PDC ．PD PE

PC PF

=

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数 学 答 案

1．A

2．C

3．B

4．D

5．A

6．B 7． 4 8． -2≤a +b ≤8 9．

10．

11． 1

12． 67

2018

2017622 13．(本小题满分12分)设

是不小于

的实数，使得关于

的方程

有两

个不相等的实数根。

（Ⅰ）．求

的取值范围；

（Ⅱ）．求的最大值。

解：（Ⅰ）．因为方程有两个不相等的实数根，所以

，∴

。

根据题设， 有

。...............................................................4分

（Ⅱ）．

.......................................10分

设

上是

递减的，所以当

时，

取最大值10.

故的最大值为10.............................................................12分

14．(本小题满分12分)

如图，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（Ⅰ）．求这条抛物线的表达式；

（Ⅱ）．连结OM ，求∠AOM 的大小；

（Ⅲ）．如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．

解：（Ⅰ）．如图2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ．

在Rt △AOH 中，AO ＝2，∠AOH ＝30°，

所以AH ＝1，OH ．所以A ．(-因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点，

设y ＝ax (x －2)，代入点A ，可得 (-a =

所以抛物线的表达式为．.........................................4分2(2)y x x x x =

-=

（Ⅱ）．由221)y x x =

=-

得抛物线的顶点M 的坐标为．所以．(1,tan BOM ∠=

所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．.....................................................................8分

（Ⅲ）．由A 、B (2,0)、M ，(-(1,

得tan ABO ∠=

AB =OM =

所以∠ABO ＝30°，

OA

OM

=因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°．

△ABC 与△AOM 相似，存在两种情况：

①如图3，当

时，．此时C (4,0)．................10分BA OA

BC OM ==2BC ===

②如图4，当

时，．此时C (8,0)........12分BC OA

BA OM

==6BC ===

图3 图4

15．(本小题满分12分)

从1，2，…，9中任取n 个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n 的最小值．（详细过程才给分）

解：当n =4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．...........................3分当n =5时，设a 1，a 2，…，a 5是1，2，…，9中的5个不同的数．

若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则a 1，a 2，…，a 5中不可能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6．

于是a 1，a 2，…，a 5中必定有一个数是5．

若a 1，a 2，…，a 5中含1，则不含9．于是不含4（4+1+5=10），故含6；于是不含3（3+6+1=10），故含7；

于是不含2（2+1+7=10），故含8．但是5+7+8=20是10的倍数，矛盾．

若a 1，a 2，…，a 5中含9，则不含1．于是不含6（6+9+5=20），故含4；于是不含7（7+4+9=20），故含3；

于是不含8（8+9+3=10），故含2．但是5+3+2=10是10的倍数，矛盾．

综上所述，n 的最小值为5．.......................................................................................12分

注：若本题只有答案，无过程，可给3分；有答案，但过程不严谨者可给4~6分，只有过程严谨齐全才能得满分。16．(本小题满分15分)

有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，求这个六位数.解：设两个三位数分别为，则，①.......................................5分

,x y 10003x y xy +=故是的正整数倍，不妨设（为正整数），代入

31000(31000),y xy x y x ∴=-=-y x y tx =t

①得........................................................................10分10003,t tx +=1000,3t

x t +∴=

是三位数，，解得

x 10001003t

x t

+∴=≥为正整数，的可能取值为验证可知，

1000,299

t ≤t t ∴1,2,3.只有符合，此时

2t =167,334.x y ==故所求的六位数为. .......................................................................................15分 167334注：若本题只有答案，无过程，可给3~5分；17．(本小题满分15分)

如图，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边AD ，BC 的延长线上，且满足

DE AD

CF BC

=

．若CD ，FE 的延长线相交于点G ，△DEG 的外接圆与△CFG 的外接圆的另一个交点为点P ，连接

PA ，PB ，PC ，PD ．求证：

（Ⅰ）．

；PD PE

PC PF

=（Ⅱ）．△PAB ∽△PDC ．

证明：（Ⅰ）．连接PE ，PF ，PG ，因为PDG PEG ∠=∠，所以PDC PEF ∠=∠．又因为PCG PFG ∠=∠，所以

△PDC ∽△PEF ，于是有

………………5分PD PE

PC PF

=（Ⅱ）．又且结合（Ⅰ）知，CPD FPE ∠=∠ △PDE ∽△PCF ，

所以有 PD DE

PC CF =

．又已知DE AD CF BC =，所以，AD PD

BC PC

=

．…………………………………………10分由于PDA PGE PCB ∠=∠=∠，从而知，△PDA ∽△PCB ，

进而有

,PA PD

PB PC

= DPA CPB ∠=∠，所以APB DPC ∠=∠，因此

△PAB ∽△PDC ．…………………………………………………………15分