2019-2020年初中数学竞赛初赛试题(一,含详解).docx

2019-2020 年初中数学竞赛初赛试题（一，含详解）一、选择题（共8 小题，每小题 5 分，共 40 分）

1．要使方程组3x 2 y a

的解是一对异号的数，则 a 的取值范围是（）2x 3 y2

（A）4

a3（ B）a

4

（ C）a 3 （D）a3或a4 333

2．一块含有30AB＝ 8cm,里面空

心DEF 的各边与ABC 的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm,

那么DEF 的周长是（）

(A)5cm(B)6cm(C)( 6 3 )cm(D) (3 3 )cm

3．将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的

截法有( )

(A)5 种 (B) 6种 (C)7种 (D)8种

4．作抛物线 A 关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线 B 向左平移 2 个单位，向上平移 1 个单位，得到的抛物线 C 的函数解析式是y2( x1)21，则抛物线 A 所对应的函数表达

式是 ()

(A)

y 23

)

22 ( x

(C)

y 21

)

22

( x

(B)y 2( x 3) 22

(D)y2( x 3 )2 2

5．书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是( )

(A)2111

(B)

3

(C)(D)

326

6．如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG的顶点处，现顺时针方

向移动这枚棋子10 次，移动规则是：第k次依次移动k 个顶点。如第一次移动 1 个顶点，棋子停在顶点 B 处，第二次移动 2 个顶点，棋子停在顶点D。依这样的规则，在这10 次移动的过程中，棋子不可能分为两停到的顶点是()

(A)C,E,F (B)C,E,G (C)C,E(D)E,F.

7．一元二次方程ax 2bx c0( a0 )中，若a ,b都是偶数，C是奇数，则这个方程() (A)有整数根 (B) 没有整数根 (C) 没有有理数根 (D) 没有实数根

8．如图所示的阴影部分由方格纸上 3 个小方格组成，我们称这样的图案为L 形，那么在由

4 5 个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案个数是( )

(A)16 (B) 32(C) 48 (D) 64

二、填空题：( 共有 6 个小题，每小题 5 分，满分30 分)

9．已知直角三角形的两直角边长分别为3cm,4cm，那么以两直角边为直径的两圆公共弦的

长为cm.

10．将一组数据按由小到大 ( 或由大到小 ) 的顺序排列，处于最中间位置的数 ( 当数据的个数是奇数时 ) ，或最中间两个数据的平均数 ( 当数据的个数是偶数时 ) 叫做这组数据的中位数，现有一组数据共 100 个数，其中有 15 个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数

和平均数都不在这100 个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100 个数据的百分比是

11 ．ABC 中， a , b, c 分别是A, B, C 的对边，已知

a10 ,b3 2 ,C3 2 ，则bsinB c sinC 的值是

等于。

12．设直线y kx k 1 和直线y ( k1) x k (k是正整数)

及 x 轴围成的三角形面积为s k，则 s1s2s3 ... s2006的值是。

13．如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是 2 和 3，且

点 B、 C、 G 在同一直线上， M是线段 AE 的中点，连结MF，则 MF

的长为。

14．边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为 1 : 2 的

两部分，那么所有这些等腰三角形中，面积最小的三角形的面积

是。

三、解答题（共 4 题，分值依次为12 分、 12 分、 12 分和 14 分）

15． (12 分 ) 已知a ,b,c都是整数，且a2b 4 ,ab c2 1 0 ,求a b c的值。

16.做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺，每个店铺在同一段时间内都能售出A，B 两

种款式的服装合30 件，并且每售出一件 A 款式和 B 款式服装，甲店毛利分

30 元和 40 元，乙店毛利分27 元和 36 元。某日王老板 A 款式服装

35 件， B 款式服装25 件。怎分配每个店各30 件服装，使得在保乙店毛利

不小于950 元的前提下，王老板取的毛利最大？最大的毛利是多少？

17.如所示，⊙ O沿着凸 n 形 A1A2A3?A n-1 A n的外（和相切）作无滑的一周回到原来的位置。

（ 1）当⊙ O和凸 n 形的周相等，明⊙O自身了两圈；

（ 2）当⊙ O的周是，凸n 形的周是，写明此⊙O自身的圈数。

18. 已知二次函数y x 22( m 1)x m 1 。

（ 1）随着 m的化，二次函数象的点P 是否都在某条抛物上？如果是，求

出抛物的表达式；如果不是，明理由；

（ 2）如果直y x 1 二次函数y x 22( m 1 ) x m 1 象的点P，求

此 m的。

全国初中数学初（一）参考答案

一、

1．答案 D

x3a 4 ,

5

解：解方程，得要使方程的解是一异号的数，

y62a

5

只需 3a 40或 3a 4 0

即a

4

或 a

3

62a062a03

2．答案 B

解：BE，分E， F 作 AC的平行BC 于点 M和 N，

EM=1， BM= 3， MN=4 3 1 33

∴小三角形的周是MN+2MN+ 3 MN=6cm

3．答案 C

解：能成三角形的只有（1，7，7）、（ 2，6， 7）、（3， 5， 7）、（ 3，6，6）、（ 4，4，7）、

（4， 5， 6）、（5， 5， 5）七种

4．答案： D

解：将抛物 C 再回到抛物A：即将抛物y=2(x+1) 2 -1 向下平移 1 个位，再向右平移 2 个位，得到抛物y=2(x-1)2-2，而抛物y=2(x-1)2-2关于x称的抛物是 y=-2(x-1)2+2

5．答案： A

解：四册教材任取两册共有 6 种不同的取法，取出的两册是一套教材的共有 4 种不同

的取法，故所求概率是4 2 6 3

6．答案： A

解：或按下方法可求得点C， E 和 F 棋子不可能停到

点 A， B， C， D，E， F， G 分是第0， 1， 2， 3， 4， 5， 6 格，因棋子移了k 次

后走的格数是1+2+3+? +k= 1

k(k1) ，停在第

1

k(k 1) 7 p 格，是P是整

22

数，且使 0≤1

k(k1) 7 p ≤6，分取k=1，2，3，4，5，6，7，

1

k (k 1) 7 p =1，22

3， 6， 3， 1， 0， 0，发现第2， 4， 5 格没有停棋，若7

入可得，1

k (k 1) 7 p 7m 1 t (t 1) ，由此可知，停棋的情形与k=t时相同，故22

第 2， 4，5 格没有停棋，即顶点C，E 和 F 棋子不可能停到。

7．答案 B

解：假设有整数根，不妨设它的根是2k 或 2k+1 （ k 为整数），分别代入原方程得方程两边的奇偶性不同的矛盾结果，所以排除A；若 a， b， c 分别取 4， 8， 3 则排除 C， D 8．答案 C

解：每个2× 2 小方格图形有 4 种不同的画法，而位置不同的2× 2

小方格图形共有12 个，故画出不同位置的L 形图形案个数是12×

4=48

二、填空题

9．答案：

12

5

12

解：不难证明其公共弦就是直角三角形斜边上的高（设为h），则5h=3× 4, h

5 10．答案： 35%或 65%（答对一个给 3 分）

解：如果平均数小于中位数，那么小于平均数的数据有35 个；如果平均数大于中位数，那么小于平均数的数据有65个，所以这组数据中小于平均数的数据占这100 个数据的百分比是 35%或 65%

11．答案：10

解：不难验证， a2=b2+c2，所以△ ABC是直角三角形，其中 a 是斜边。

bsinB+csinC=

b c c 2 b 2a2

10 b c

a

a

a a a

12．答案：解：方程组1003

2007

y kx k1x1

y(k1) x

的解为

y

直线的交点是（ -1 ， -1 ）

k1

直线 y kx k 1, y(k 1) x k与 x轴的交点分别是1 k

,0 、k

k

Sk 1 1 k k 1 11

,01

k k 1 2 k ，所以

k 12k 1

S1 S2 S3

S2006

1 1 1 1 1

1 1 1 1

2 2 2 3

3

4

2006 2007

1 1

1

1003

2

2007

2007

13．答案：

2

2

解：连结 DM 并延长交 EF 于 N ，则△ ADM ≌△ ENM ，

∴ FN=1，则 FM 是等腰直角△ DFN 的底边上的高，所以FM= 2

2

14．答案：

63

4

解：设这个等腰三角形的腰为

x ，底为 y ，分为的两部分边长分别为 n 和 2n ，得

x n

x x x

2n 4n

x

2n

3 或

x

2

或

x 2

解得

3

x 2n;

y n

y

5n n

y

2

3

y

2

3

∵ 2

2n

5n （此时不能构成三角形，舍去） 3

3

x

4n

3

其中 n 是 3 的倍数

∴取

y

n

3

2

2

三角形的面积 S

1 n 4n n 63 n 2

2 3 3 6

36

当 n ≥ 0 时， S △ 随着 n 的增大而增大，故当

n=3 时， S

三、解答题

15．解：将 a=4+2b 代入 ab+c 2-1=0 ，得 2b 2+4b+c 2-1=0 ，

2

6 2c 2

∴ b

对于 S

63 n 2 36

63 取最小

36

2

b 1 0 b 2

0 b 3

2 b 4

2

∵ b ， c 都是整数，∴只能取

,

,

1 ,

1

c 1

1 c

2 1 c

3 c 4

相对应 a 1=4,a 2=4,a 3=0,a 4=0

故所求 a+b+c 的值有 4 个： 5， 3， -1 ， -3

16．解：设分配给甲店铺

A 款式服装 x 件（ x 取整数，且 5≤x ≤ 30），则分配给甲店铺

装（ 30-x ）件，分配给乙店铺 A 款服装（ 35-x ）件，分配

给乙店铺 B 款式服装 [25-(30-x)]=(x-5)

件，总毛利润（设为

y 总）为：

B 款

Y 总 =30x+40(30-x)+27(35-x)+36(x-5)=-x+1965

乙店铺的毛利润（设为 y 乙）应满足：

Y 乙 =27(35-x)+36(x-5)

5

≥ 950，得 x ≥ 20

9

5

对于 y 总 =-x+1965,y

随着 x 的增大而减小，要使

y 总最大， x 必须取最小值，又 x ≥ 20 ,

9

故取 x=21，即分配给甲店铺 A 、B 两种款式服装分别为 21 件和 9 件，分配给乙店铺 A ，B 两

种款式服装分别为 14 件和 16 件，此时既保证了乙店铺获毛利润不小于 950 元，又保证了

在此前提下王老板获取的总毛利润最大，

最大的总毛利润为 y 总最大 =－ 21+1965=1944（元）

17．解（ 1）一个圆沿着线段的一个端点无滑动地滚动到

另一个端点，圆自身转动的圈数

=（线段的长度÷圆的周

长），因此若不考虑⊙ O 滚动经过 n 个顶点的情况，则⊙ O

自身恰好转动了一圈，现证明，当⊙

O 在某边的一端，滚

动经过该端点（即顶点）时，⊙

O 自身转动的角度恰好等

于 n 边形在这个顶点的一个外角。

如图所示，设∠ A 2A 1A n 为钝角，已知 A n A 1 是⊙ O 的切线，⊙ O 滚动经过端点 A 1 后到⊙ O ’的位置，此时 A 1A 2 是⊙ O ’的

切线，因此 OA A n A 1，O ’ A 1 A 1A 2，当⊙ O 转动至⊙ O ’时，则∠ γ 就是⊙ O 自身转动的角 。 ∵∠ γ +∠ β =90°， ∠ α +∠ β =90°， ∴∠ γ +∠ α ，即⊙ O 滚动经过顶点 A1 自身转动的角度恰好等于顶点 A1 的一个外角。对于顶点是锐角或直角的情况，类似可证（注：只证明直角的情况）

∵凸 n 边形的外角和为 360°

∴⊙ O滚动经过n 个顶点自身又转动一圈

∴⊙ O自身转动的圈数是( b

1) 圈

a

18．解：（ 1）该二次函数图象的顶点P 是在某条抛物线上，求该抛物线的函数表达式如下：

利用配方，得

222

y=(x+m+1) -m -3m，顶点坐标是P（ -m-1,-m -3m）

方法一：分别取m=0,-1,1 ，得到三个顶点坐标是P1(-1,0) 、P2(0,2)、P3(-2,-4) ，过这三个顶点的二次函数的表达式是y=-x 2+x+2

将顶点坐标 P(-m-1,-m2-3m)代入 y=-x 2+x+2 的左右两边，左边 =-m2-3m, 右边=-(-m-1)2+(-m-1)+2=-m 2-3m，∴左边 =右边，即无论 m取何值，顶点 P 都在抛物线 y=-x 2+x+2上，即所求抛物线的函数表达式是y=-x 2+x+2（注：如果没有“左边=右边”的证明，那么解法一最多只能得 4 分）

方法二：令 -m-1=x ，将 m=-x-1 代入 -m2-3m，得

-(-x-1)2-3(-x-1)=-x2+x+2

即所求抛物线的函数表达式是

2

y=-x +x+2 上

（2）如果顶点P(-m-1,-m2-3m)在直线y=x+1上，则-m2-3m=-m-1+1，

2

∴ m=0或 m=-2

即 m=-2m

∴当直线 y=x+1 经过二次函数y=x2+2(m+1)x-m+1 图象的顶点P 时， m的值是 -2 或 0

全国初中数学竞赛预赛（二）

一、选择题（本题共8 小题，每小题 6 分，满分48 分）：下面各题给出的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在题后的括号内.

2x4x

)8x

得（）

1．化简(

y x2y 2

x y x

A. x 3y

B.x3y

C.3x y

D. 3x y

4444

2x11x53x

2．满足不等式组3

x12的所有整数的个数为 ( )

x3

53

A.1

B.2

C.21

D.22

3．两个相似三角形，他们的周长分别是36 和 12. 周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3，则周长较大的三角形的面积是（）

A.52

B.54

C.56

D.58

2

p 、q ，则 p 、 q 等于

（

）

4．由一元二次方程 x +px+q=0 的两个根为

A.0

B.1

C.1

或 -2 D.0 或 1

5．如图，△ ABC 中，∠ B=400，AC 的垂直平分线交 AC 于 D ，交 BC 于 E,

且

A

∠EAB ∶∠ CAE=3∶ 1，则∠ C 等于

（

） D

A.28 0

B.25

B

C

C.22.5 0

D.20

E

6．全班有 70%的学生参加生物小组， 75%的学生参加化学小组， 85%的学生参加物理小组，90%的学生参加数学小组，则四个小组去参加的学生至少占全班的百分比是

（

）

A.10%

B.15%

C.20%

D.25%

7．有纯农药一桶，倒出

20 升后用水补满；然后又倒出

纯农药与水的容积之比为

3∶ 5，则桶的容积为

10 升，在用水补满，这是桶中

（

）

A.30

升

B.40

升

C.50

升

A

D.60 升

C1

B1

8．三角形的三条外角平分线所在直线相交构成的

B

三角形

（

）

C

A. 一定是锐角三角形

A1

B. 一定是钝角三角形

C. 一定是直角三角形

D. 与原三角形相似

二、填空题（本提供

4 小题，每小题 8 分，满分 32 分）：将答案直接填在对应题中的

横线上

9．如图，在△ ABC 中， AB=AC, AD ⊥BC, CG ∥AB, BG 分别

A

G

交 AD,AC 于 E,F. 若

EF

a

，那么

GE

等于

.

F BE

b

BE

E

10. 方程 ||x-3|+3x|=1

的解是

.

B

D

C

11． AD、 BE、 CF是△ ABC的三条中，若BC=a,CA=b,AB=c,

222

AD+BE+CF=.

12．有两个二位数，它的差是58，它的平方数的末两位数相同，个二位数是.

三、解答（本共 3 小，每小20 分，分60 分）

13．△ ABC中， AB=1,AC=2,D 是 BC中点 ,AE 平分∠ BAC

交 BC于 E, 且 DF∥ AE.求 CF的 .A F

B E D C

14．某建筑公司承包了两工程，分由两个工程施工，根据工程度情况，建筑公司

可随整两的人数，如果从甲70 人到乙，乙人数甲人数的 2 倍，如果

从乙若干人去甲，甲人数乙人数的 3 倍，甲至少有多少人？

15．把数字1， 2，3，?， 9 分填入右的 9 个圈内，要求三角形ABC和三角形DEF的每

A

条上三个圈内数位之和等于18.

Ⅰ 出符合要求的填法

Ⅱ共有多少种不同填法？明你的

E D

B C

F

参考答案（二）

一、 DCBCACBA

二、填空

9

． EF AF a EF

a

BE

BE

AB b

b

GF CF

AB AF

AB

b a

BF

AF AF

1

a

AF

GF b a

(BE EF)

b a

a BE)

b a b a BE

a

( BE

b

a

b

a

(b a)(b

a)

a

GE GF EF

ab

BE

b BE

b 2 a 2 a 2

b

BE

BE 3 ( a 2

BE

ab a

10.-2

或 -1 11.

b 2

c 2 ) 12.79 和 21

4

三、解答

13．解：分

E 作 EH ⊥ AB 于 H ， EG ⊥ AC 于 G,因 AE 平分∠ BAC,所以有

EH=EG

从而有

BE

S

CE

S

ABE

AEC

AB 1 AC

2

又由 DF ∥ AE, 得

CF

CD 1 BC 1BE EC 1(BE 1) 1 ( 1 1)

3 CA

CE 2 CE 2 CE

2 CE

2 2

4

所以 CF=

3

CA=

3

2 = 3

4

4 2

14. 解： 甲 有 x 人， 乙 有 [2(x-70)-70]

人，即乙 有 (2x-210)

人

从乙 y 人去甲 ，甲 人数 乙 人数的 3 倍，

3(2x-210-y)=x+y,

即 x=126+

4 y

5

由 y>0 知 y 至少 5，即 x=126+4=130. 所以甲 至少有

130 人.

15. 解：Ⅰ右 出了一个符合要求的填法；

Ⅱ共有 6 种不同填法

把填入 A,B,C 三 圈内的三个数之

A

和 x ；D,E,F 三 圈内的三个数之和

4

y ；其余三个圈所填的数位之和 z. 然

有 x+y+z=1+2+ ? +9=45

①

E

9

1

8D

中六条 ， 每条 上三个圈中之数的和

18，所以有

2

3

z+3y+2x=6 × 18=108

②

B 5

7 6

F

②-①,得

X+2y=108-45=63③

把 AB,BC,CA 每一上三个圈中的数的和相加，可得

2x+y=3 × 18=54④

立③，④，解得x=15 ， y=24，而之z=6.

在 1，2，3，?， 9 中三个数之和24 的 7，8，9，所以在 D,E,F 三圈内，只能填7，

8，9 三个数，共有 6 种不同填法 . 然，当三个圈中指数一旦确定，根据目要求，其余

六个圈内指数也随之确定，从而的，共有 6 种不同的填

全国初中数学（三）参考答案

一、（共 5 小，每小 6 分，分30 分。以下每道小均出了代号A，B，C，D的四个，其中有且只有一个是正确的。将正确的代号填入后的括

号里。不填、多填或填均得0 分）

1．在高速公路上，从 3 千米开始，每隔 4 千米一个限速志牌；并且从10

米开始，每隔 9 千米一个速度控．好在19千米第一次同两种施，

那么第二次同两种施的千米数是（）

（ A）36（B）37（C）55（D）90

答： C．

解：因 4 和 9 的最小公倍数36，19＋ 36=55，所以第二次同两种施的千

米数是在55 千米．

故 C．

千

2．已知m 12， n12，且(7

m 214

m a

)(326

n

7)

=8， a 的

n

等于（）

（A）－5（B）5（C）－9（D） 9

答： C．

解：由已知可得m 22m1， n22n1．又

(7m 214 m a)(3n 26n7) =8，所以(7a)(37)8解得 a=－ 9

故 C．

3．Rt △ ABC的三个点A，B，C 均在抛物y x2上，并且斜AB 平行于 x ．若

斜上的高 h，（）

（ A） h<1（ B）h=1（ C） 12

答： B．

解：点 A 的坐（ a， a2），点 C 的坐（ c， c2）（ |c|<|a|），点 B 的坐（－ a， a2），由勾股定理，得AC 2(c a) 2( c2 a 2 )2，

BC 2(c a)2(c2 a 2 ) 2，AC 2BC 2AB 2所以(a 2c2 )2 a 2c2．

由于 a 2

22

=1，故斜AB上高 h= a

22

=1 c 2，所以a－c－ c

故 B．

4．一个正方形片，用剪刀沿一条不任何点的直将其剪成两部分；拿出其中

一部分，再沿一条不任何点的直将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之

一，是沿一条不任何点的直将其剪成两部分??如此下去，最后得到了34 个六十

二形和一些多形片，至少要剪的刀数是（）

（ A） 2004（B）2005（C）2006（D）2007

答： B．

解：根据意，用剪刀沿不点的直剪成两部分，每剪开一次，使得各部分的

内角和增加360°．于是，剪k 次后，可得 (k ＋ 1) 个多形，些多形的内角和(k

＋1) × 360°．

因(k ＋ 1) 个多形中有34 个六十二形，它的内角和34× (62 －2) × 180°=34× 60× 180°，其余多形有(k＋ 1) － 34= k－ 33( 个) ，而些多形的内角和不少于(k －33)× 180°．所以(k＋1)×360°≥ 34× 60× 180°＋(k－33)× 180°，解得k≥ 2005．当我按如下方式剪2005刀，可以得到符合条件的．先从正方形上剪下 1 个三角形，得到 1 个三角形和 1 个五形；再在五形上剪下 1 个三角形，得到 2 个三角形

和 1 个六形??如此下去，剪了58 刀后，得到58 个三角形和 1 个六十二形．再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33 个三角形和33 个四形，33 个四

形，按上述正方形的剪法，再各剪58 刀，便34 个六十二形和33× 58个三角形．于是共

剪了

58＋ 33＋ 33× 58=2005（刀）．

故选 B ．

5．如图，正方形 ABCD 内接于⊙ O ，点 P 在劣弧 AB 上，连结 DP ，交 AC 于点 Q ．若 QP=QO ，

则

QC

的值为（

）

D

C

QA

（A ）2

3 1

O

（B ）2

3

Q

（ C ） 3 2

A

B

P

（ D ） 3

2

（第 5 题图）

答： D ．

解：如图，设⊙ O 的半径为 r ， QO=m ，则 QP=m ， QC=r ＋ m ，

QA=r － m ．

D

C

在⊙ O 中，根据相交弦定理，得 QA · QC=QP · QD ．

－ m)(r ＋ m)=m · QD ，所以 QD= r

2

m 2

O

即 (r

． Q

m

A

B

2

2

2

连结 DO ，由勾股定理，得

P

QD=DO ＋ QO ，

r 2 m 2 2

3 r （第 5 题图）

即

r 2

m 2 ，

解得 m

m

3

QC

r m

3 1 2

所以，

r

m

3

3

QA

1

故选 D ．

二、填空题

（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分）

6．已知 a ， b ， c 为整数，且 a ＋ b=2006，c － a=2005 ．若 a

为

．

答： 5013．

解：由 a b 2006

， c a 2005

，得 a b c a 4011

．

因为 a b

2006 ， a

于是， a ＋ b ＋ c 的最大值为 5013 ．

A

7．如图，面积为 a b

c 的正方形 DEFG 内接于

D G

B

E F C

面 1 的正三角形 ABC ，其中 a ， b ， c 整数，

且 b 不能被任何 数的平方整除，

a

c

的

b

等于

．

答：

20

．

3

解： 正方形

DEFG 的 x ，正三角形 ABC 的 m ， m 2

4 ，

3

3

m x

x

2

解得 x (2 3 3)m

由△ ADG ∽△ ABC ，可得 ，

m

3 m

2

于是

x 2

(2 3 3)2 m 2

28 3 48，

由 意， a 28 ， b

3， c 48 ，所以

a

c 20 ．

b

3

8．正五 形广 ABCDE 的周 2000 米．甲、乙两人分 从 A 、 C 两点同 出 ，

沿 A → B → C → D →E → A →?方向 广 行走， 甲的速度 50 米 / 分，乙的速度

46 米/ 分．那

么出 后

分 ，甲、乙两人第一次行走在同一条 上．

答： 104．

解： 甲走完 x 条 ， 甲、乙两人第一次开始行走在同一条 上，

此 甲走了 400x

米，乙走了 46×

400x

=368x 米．于是 368(x － 1) ＋800－ 400(x －1)>400 ，

50

400

13

所以， 12.5 ≤ x<13.5 ．

．

故 x=13，此 t

104

50

9．已知 0

1 2

a

29

18 ， 10a 的 等

a

a

30

30

30

于

． ( x 表示不超 x 的最大整数 )

答： 6．

解：因 0< a

1 2 29 2 ，所以

a

1 ， a

2

a

30

a

30，?，

30

30

30

a

29

18 个等于 1，所以

等于 0 或 1．由 知，其中有

30

1211

=0，a 1213

a

29

a a a

30a=1，

3030303030

所以

0 a 11 1 ，≤

a

12＜．30

1

30

2

故 18≤ 30a＜ 19，于是 6≤ 10 a ＜19

，所以10a =6．

3

10．小明家号原六位数，第一次升位是在首位号和第二位号之加上数

字 8，成一个七位数的号；第二次升位是在首位号前加上数字 2，成一个八位数的号．小明，他家两次升位后的号的八位数，恰是原来号的六位数的 81 倍，小明家原来的号是．答： 282500．

解：原来号的六位数abcdef，两次升位后号的八位数

2a8bcdef．根据意，有81×abcdef= 2a8bcdef．

x b10 4c103d102e10f，于是

81a10581x20810 5a10 6x ，

解得x=1250× (208 － 71a)．

因0≤ x＜105，所以0≤ 1250×(208 － 71a) ＜105，故128

a ≤

208 ．7171

因 a 整数，所以a=2．于是 x=1250× (208 － 71×2)=82500 ．所以，小明家原来的号282500．

三、解答（共 4 ，每小15 分，分60 分）

11．已知x b

a ，b是正整数，且它的最大公数， a ，b互的正整数（即

a

1），且a≤ 8， 2 1 x3 1 ．

（1）写出一个足条件的 x；

（2）求所有足条件的 x．

解：（ 1）x 1

????? 5 分足条件．

2

（ 2）因x

b

a ≤8，所以

， a ，互的正整数，且

b

a

3 1 ，即( 2 1)a b ( 3 1)a ．

2 1

a

当 a=1 ， ( 2 1) 1 b ( 3 1)

1 ， 的正整数 b 不存在．

当 a=2 ， (

2

1) 2 b

( 3

1) 2 1 ．

，故 b =1，此 x

2

当 a=3 ， (

2

1) 3 b

( 3

1)

3 2 ．

，故 b =2，此 x

3

当 a=4 ， ( 2 1) 4 b ( 3 1) 4 ，与 a 互 的正整数 b 不存在．

当 a=5 ， (

2

1) 5 b

( 3

1)

5 3 ．

，故 b =3，此 x

5

当 a=6 ， ( 2 1) 6 b ( 3 1) 6 ，与 a 互 的正整数 b 不存在．

当 a=7 ， (

2

1) 7 b

( 3

1) 7 ，故 b =3， 4， 5 此 x

3 ， 4，5．

5 7 7 7

当 a=8 ， (

2

1) 8 b

( 3

1) 8

，故 b =5，此 x

8

所以， 足条件的所有分数

1，2，

3，3，

4，5，5

．??????

15 分

2 3 5 7

7

7

8

12． a ， b ， c 互不相等的 数，且 足关系式

b 2

c 2 2a 2 16a

14

①

bc

a 2 4a 5

②

求 a 的取 范 ．

解法一：由①－ 2×②得 (b c)2 24( a 1) 0 ，所以 a>－ 1．

当 a>－1 ， b 2 c 2 2a 2 16a

14 = 2(a 1)(a

7) 0 ．?????? 10 分

又当 a

b ，由①，②得

c 2 a 2 16 a 14 ，

③

ac a 2

4a

5

④

将④两 平方， 合③得

a 2 ( a 2 16a 14) (a 2 4a 5) 2

化 得

24a 3 8a 2

40a 25

0 ，

故

(6a

5)(4a 2 2a 5)

0 ，

解得 a

5

1

21 ．

，或 a

4

6

所以， a 的取 范

a>－ 1 且 a 5

1 21

．?????????

15 分

， a

4

6

解法二：因 b 2

c 2 2a 2 16a

14 ， bc

a 2 4a 5 ，所以

(b c) 22a216a 14 2(a24a 5) 4a28a 4 4(a 1)2，

所以b c2( a1)．又bc a24a 5 ，所以b，c一元二次方程

x22(a 1) x a24a 5 0⑤

的两个不相等数根，故4(a1)24(a24a5)0 ，所以a>－1．当 a>－1 ，b2c22a216a14 =2(a1)(a7)0 ．??????10分另外，当 a b ，由⑤式有a22( a1)a a 24a 50 ，

即4a22a50 或6a50，解得， a1

421或 a5．

6

5

或 a 121

当 a c ，同理可得a

4．

6

所以， a 的取范 a>－ 1 且a 5121

， a

4

．????????? 15 分6

13．如，点 P ⊙ O 外一点，点P 作⊙ O的两条切，切点分A， B．点 A 作 PB的平行，交⊙ O于点 C． PC，交⊙ O于点 E； AE，并延 AE 交 PB于点 K．求

： PE· AC=CE· KB．

P

明：因AC∥ PB，所以∠ KPE=∠ACE．又 PA 是⊙ O的切，

所以∠ KAP=∠ ACE，故∠ KPE=∠KAP，于是

K

△ KPE∽△ KAP，

所以KP KE ，即 KP2KE KA．

E

KA KP

B 由切割定理得KB 2KE KA A

所以KP KB ．?????????? 10 分

O 因 AC∥ PB，△ KPE∽△ ACE，于是

PE KP

故

PE KB CE AC CE ，

C

AC

即 PE· AC=CE· KB．????????????15 分（第 13 ）14． 10 个学生参加n 个外小，每一个小至多 5 个人，每两个学生至少参加某

一个小，任意两个外小，至少可以找到两个学生，他都不在两个外小中．求n的最小．

解： 10 个学生S1，S2，?，S10， n 个外小G1， G 2，?， G n．

首先，每个学生至少参加两个外小．否，若有一个学生只参加一个外小，

个学生S1，由于每两个学生至少在某一个小内出，所以其它9 个学生都与他在同一出，于是一就有10 个人了，矛盾．???????????? 5 分若有一学生恰好参加两个外小，不妨S1恰好参加G1， G 2，由，于

两，至少有两个学生，他没有参加两，于是他与S1没有同，矛盾．所以，每一个学生至少参加三个外小．于是n 个外小G1， G2，?，G n的人数之和不小于3× 10=30．

另一方面，每一外小的人数不超5，所以n 个外小G1， G2，?，G n的人数不超5n，故5n≥30，所以n≥ 6．???????????10 分下面构造一个例子明n=6 是可以的．

G1S1, S2 , S3, S4, S5， G 2S1,S2,S6, S7, S8， G 3S1,S3,S6,S9,S10，G4S2, S4, S7, S9, S10， G5S3 , S5, S7, S8, S9， G6S4, S5, S6, S8, S10．容易，的 6 个外小足条件．

所以， n 的最小6．???????????15 分