§21 函数及其表示.docx

第二章函数的概念与基本初等函数［（指数函数、对数函数、

幕函数）

命题探究

|f （x ）|=2-x 恰有两个不相等的实数解?所以直线严2?x 与函数y=|f （x ）|6

个交点?如图所示.

2-%0 =坊 + (4a-3)x 0 + 3a. … 人亠 3 「1 = 2勿 + (4a ?3), 可得 4aFa+3=O .得 21(旧 ?而

当3M2?即a 右时?直线y=2-x 与y=|f （x ）|的图象在y 轴左侧有i 交点综合可得

1 2 3#3.

?核心考点）— 1 .分段函数及其应用 2函数与方程 3 ?廉数图令卫命题烦律） ------------------------------- 换数零点问题上要包抵零点所在区间、零点个数的判斯以及由换数寒点的个数求解参数的取值范憎等问题.该部分内容已成为近年閒考的热点.与函数性质、不等式、方程的根的交汇成为高考命遨方向.分值约为5分皿数学思想方法｝ 1 ?转化与化扫思想：険数零点个数问题常转化为卿个隨数图彖的交点个数问聽 2?函数9方程思想：方程张）=比）的解就是西数/X ）与共0图象交点的櫛坐标 3?数形结合思想 I ；足

弋关联考点〕 -----

1 ?一次丙数的图彖利性质 2

对数两数的图象和性质

3 ?负数的m 调性 4?导数的儿何意义 5.不等式

（2016天津，8, 5分）

已知换数/&）

二

xr+(4a 一 3)x+3a / <0

(o>0, fi 超思路分析｝

aHl ）在R 上单调递减」L 关于尤的方程张）1= 2-於右两个不相等的实数解.则a 的取值范 2 A.(0,y ]

1.根城/⑴在R 上为祓函数，得到不等式

组.求出°的取值范他

2在同-平向直角坐标系中価出隕数

尸!/U ）l 与尸2-龙的图象?结合图彖求出满足条件的a 的取值范围

rQ 储备知识） -------------------

LL 知丙数有零点（方程有根球参数取位范围常

用方法：⑴立接法：根据题设条件构建关于参数的不等式（组）?通过解不等式（组）确定参数取值范1魏（2）分离参数法: 先将参数分离?转化为険数址值问题帅以解决；（3）?（形结合法：先对解析式变形? 在同一平面I 1（角坐标系中RfllRfi 数图象? 然后数形结合求斛

5解题过程

答案:c 解析:要使函数f （xM￡ R 上单调递减■只需 ^>0, 0 < a < 1; 3a > 1,

1 3

解之得尹I 环因为方程

易知尸|f （x ）|的图象与x 轴的交点的横坐标为十I ，又耗-1S2,故由图可知道线

y=2-x 与y=|f （x ）|的图象在x>0时有一交点:当直线y=2-x 与y=x 2+（4a- 3）x+3a （xvO ）的图象相切时?设切点为（Sy 。）?则

§2.1函数及其表示

考纲解读

分析解读1?理解函数的概念?应把重点放在构成它的三要素上，并会根据定义判断两个函数是否为同一个函数2掌握函数的三种表示方法，即图象法、列表法、解析法.3?掌握分段函数及其应甩在解决分段函数问题时，要注意分段函数是一个函数?而不是几个函数并会求其值域.4.分段函数图象的作法是高考的热点.5?本节在高考中分值为5分左右，属中低档题.

五年高考

考点一函数的有关概念及其表示

1.(2015浙江.7,5分)存在函数f(x)满足:对于任意xeR都有()

A.f(sin 2x)=sin x

B.f(sin 2x)=x2+x

C.f(x2+1 )=|x+1|

D.f(x2+2x)=|x+1|

答案D

2.(2014山东,3,5分)函数f(x)j I的定义域为()

J(log2x)2-1

A.(0,|)

B.(2,+oo)

C.(0,|)U(2,+oo)

D.(0,*]U[2,+8)

答案C

3.(2014 江西,3,5 分)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(aeR).若f[g(l)]=L则a=()

A.l

B.2

C.3

D.-l

答案A

4.(2013大纲全国.4,5分)已知函数f(x)的定义域为(丄0),则函数f(2x+l)的定义域为()

A.(-1,D

B.(-1,-|)

C.(-1,O)

D.(pl)

答案B

教师用书专用(5—7)

5.(2014江西,2,5分)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为()

A.(0,l)

B.[O,1J

C.(-oo,0)U(l ,+oo)

D.(-oo,0]U[ 1 ,+oo)

答案C

6.(2013江西,2,5分)函数y=V^ln( I -x)的定义域为()

A.(0,l)

B.[0,l)

C.(0,l]

D.[0,l]

答案B

7.(2016江苏.5,5分)函数y二(3?2匕以的定义域是____ .

答案[-3,1]

考点二分段函数

1. (2015 课标 II ,5,5 分)设函数 f(x)屮：g(2?x),x < 1,则 f(.2)+f(1

12)=(

)

(2X -I ,x > 1, A.3

B.6

C.9

D 」2

答案C

> 0,

2. (2015 湖北6,5 分)已知符号函数 sgn x=] 0,x = 0, f (x )g R 上的增函数g(x)=f(x)-f(ax)(a> 1 ),则()

< 0. A.sgn[g(x)J=sgn x B.sgn[g(x)J=-sgn x C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]

D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]

答案B

(x-a)2#x < 0,

3. (2014上海1&5分)设f(x)= i n 若f(0雇f(x)的最小值则a 的取值范围为()

(x + - + a,x>0. A.[?l,2] B.[-1,O] C.[l,2]

D.[0,2]

答案D

4. (2017课标全国III,15,5分)设函数f (x)电二J ；则满足f(x)+f (囲)>1的x 的取值范围是 ____________ 答案(-￡ + 8)

+ x

X V 0

5. (2014浙江」54分)设函数f(x)=笃 [°

若f(f(Q)乜则实数a 的取值范围是

匕《X > 0.

------------

答案(①,说| 教师用书专用(6-7)

6. (2015山东」0,5分)设函数f(x)￡；J % <现满足f(f(a))=2^>的a 的取值范围是()

x > 1. A.[|,l] B.[0,l] C.g, + 8)

D.[ l,+oo)

A ?f(x)是偶函数

B ?f(x)是增函数 C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为卜1,+s)

答案D

三年模拟

A 组2016—2018年模拟?基础题组

考点一函数的有关概念及其表示

1. (2018河北保定:来水波峰中学第一次调硏.1)下列图象可以表示以M={x|0

C D

则下列结论正确的是(

答案c

x 2 + l,x > 0,

cosx,x < 0,

答案c

（2018吉

林东北师大附中第一次摸底,4）已知函数f （x ）的定义域是|0,2侧函数g （x ）=f （x + 的定义域

是（）

1 B.

P J

L2J

答案C

3. （2017广东深圳一模,3）函数尸住乜的定义域为（） A.（?2,l ） B.[?2,l] C.（0,l ） D.（0,l]

答案C

4. （人教A 必1 ,-l ?2 A,2,变式）下列各组函数表示同一函数的是（） A ?f （x ）=斗与 g （x ）=x+ l B. f(x)=J ?2x3 与 g(x)=xj ?2尢 C ?f(x)二x 与 g(x)=(Vx)2

D.f(x)=x 2-2x-1 与 g(t)=t 2-2t-l 答案D

考点二分段函数

7 3

A.4 B 彩 C.3 D 彩答案B

6.（2017河北“五个一名校联盟”二模,6）设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数?且f （x ）彳叢￡； /X ' ° A.-l B.-2 Cl D.2 答案A

(2017湖北黄石调硏.4)已知函数f(x)422 : 1，X

若f(f(0))=4a ?则实数a 等

于() lx + ax,x > 1,

A ?扌

B ?￡

C.2

D.9

答案c

E 组2016—2018年模拟?提升题组

（满分：40分时间:25分钟）

一、选择题（每小题5分?共20分）

1. （2018湖南衡阳联考,5）若函数f （x ）=2Z+JZ 爲的定义域与值域相同，则口）

A.-l B 」 C.O D.±l

答案B

（2017

河北石家庄二中三模,5）已知函数F （x ）屮蔦2?x ）,x < 2,若吃泪戶],则f （a ）=（）

l2"2?i,x > 2,

则f （2）的值为

3. （2017山西大同灵丘三模.3）具有性质:￡）=f （x ）的函数我们称为满足“倒负”变换的函数绐出下列函数

(

%,0 < % < 1, 0X = 1,

?加>1? 其中满足“倒负”变换的函数是（）

A.①②

B.①③

C.②③

D.?

答案C

4. （2016江西宜春高安中学期中,3）设f,g 都是由A 到A 的映射.其对应关系如下:

映射f 的对应关系

2 3 4 f(x)

3 4

映射g 的对应关系

1 2 3 4 g(x)

4 3

则flgCDJffi 值为()

A.I

B.2

C.3

D.4

答案A 二、填空题（每小题5分，共20分）

5. （2018山东淄博桓台二中月考,14）设函数f （x ）二￡霞:且f （x ）为奇函数，则g （-j ）= ___ ■

答案1

6. （2018河南南阳第一中学第二次考试,16）已知f （l-cos x^siiA.则fE ）的解析式为 _________________

答案 f （x 2）=-x 4+2x\xe|-V2,V2]

7. （2018江苏常熟期中,1 （））若函数呛）彳阳;:欺> 2

（a>0

且* 1）的值域为[6，+°°），则实数a 的取值范围

是答案（1,2]

（10g 3x,x > 0,

8. （2017天津红桥期中,15）已知函数f （x ）= 那么不等式f （x ）ni 的解集为

店），X < 0, ------------

答案（?8,0]U[3，+oo ）

C 组2016—2018年模拟方法题组方法1求函

数定义域的方法

1. （2017江西宜春模拟,7）已知函数f （2心碍,则函数f （仮）的定义域为（）

A.[0,+oo ）

B.[0,16]

C.[0,4]

D.[0,2]

答案B

2. （2016黑龙江哈师大附中模拟,7）已知函数f （x ）的定义域是卜1,2],则y 二f （x ）+f （?x ）的定义域是

（）

A.[-l,l]

B.[-2,2]

C.[-l,2]

D.[-2,l]

答案A

方法2确定函数解析式的方法

3. (2017湖北武汉4月调硏」1)已知函数『(X )满足￡)+￡f(-x)=2x(x*0),则f(-2)=()

A.-2

B.-l 答案A

C ?1 D.2

①尸喘；② 零

答案c

4.(2016安徽黄山质检3)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]=x+2.则f(x)=()

A.x+1 B?2x-1

C.-x+l

D.x+1 或?x-l

答案A

方法3分段函数问题的解题策略

5.(2018四川凉山第一次诊断检测.14)已知函数躯)电:;1舟<则方程f(l+x*f(2x)的解集是_____________ . 答案f0,+o))

(|2x-l|,x< 1,

6.(2016安徽江淮十校第二次联考」5)已知函数F(x)=*_ % > 1 则满足旗⑻戶12他1的实数a的取值范围为答案Ml或沦4

(完整版)复变函数知识点梳理解读

第一章:复数与复变函数这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。二、复数的运算高中知识,加减乘除,乘方开方等。主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性相同。第二章:解析函数

这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。一、解析函数的概念介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。二、解析函数和调和函数的关系出现了新的概念:调和函数。就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。三、初等函数和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。第三章:复变函数的积分这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。一、复积分的概念复积分就是复变函数的积分,实质是两个实二型线积分。所以应该具有相应的实二型线积分的性质。复积分存在的充分条件是实部函数和虚部函数都连续。二、柯西积分定理

6类基本初等函数的图形及性质(考研数学基础)_完美版

基本初等函数及图形 (1) 常值函数（也称常数函数） y =c （其中c 为常数） (2) 幂函数 μ x y =，μ是常数； (3) 指数函数 x a y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ； (4) 对数函数 x y a log =(a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞； 1. 当u 为正整数时，函数的定义域为区间) ,(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当 u>1时在原点处与X 轴相切。且u 为奇数时，图形关于原点对称；u 为偶数时图形关于Y 轴对称； 2. 当u 为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。 3. 当u 为正有理数m/n 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。函数的图形均经过原点和（1 ,1）. 如果m>n 图形于x 轴相切,如果m1时函数为单调增,当a<1时函数为单调减. 2. 不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方. 3. 当x=0时,y=1,所以他的图形通过(0,1)点. 1. 他的图形为于y 轴的右方.并通过点(1,0) 2. 当a>1时在区间(0,1),y 的值为负.图形位于x 的下方, 在区间(1, +∞),y 值为正,图形位于x 轴上方.在定义域是单调增函数. a<1在实用中很少用到/

正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，正切函数 x y tan =， 2π π+ ≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ，余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ；

函数概念及其基本性质

第二章函数概念与基本初等函数I 一. 课标要求：函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，从而发展学生对变量数学的认识。教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题. 1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域， 2. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 4. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 5. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 6.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 7.了解指数函数模型的实际背景.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）. 8.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）. 9．知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义. 10．通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数 1 312 ,,, y x y x y x y x - ====的图象，了解它们的变化情况 11．通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型. 12. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1．教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2．.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，要准确把握这方面的要求，防止拨高教学. 3. 函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念. 在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.

五大基本初等函数性质及其图像

五、基本初等函数及其性质和图形 1.幂函数函数称为幂函数。如，，，都是幂函数。没有统一的定义域，定义域由值确定。如 ,。但在内总是有定义的，且都经过（1,1）点。当时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。下面给出几个常用的幂函数：的图形，如图1-1-2、图1-1-3。图1-1-2

图1-1-3 2.指数函数函数称为指数函数，定义域，值域；当时函数为单调增加的；当时为单调减少的，曲线过点。高等数学中常用的指数函数是时，即。以与为例绘出图形，如图1-1-4。图1-1-4 3.对数函数

函数称为对数函数，其定义域，值域。当时单调增加，当时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面内。与互为反函数。当时的对数函数称为自然对数，当时，称为常用对数。以为例绘出图形，如图1-1-5。图1-1-5 4.三角函数有，它们都是周期函数。对三角函数作简要的叙述：（１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。图形为图1-1-6、图1-1-7。

图1-1-6正弦函数图形图1-1-7余弦函数图形（２）正切函数，定义域，值域为。周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8 图1-1-8 （３）余切函数，定义域，值域为，周期。在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。

图1-1-9 （４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。图1-1-10 （５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期在定义域为奇函数，图形如图1-1-11。

高中数学必修1函数的基本性质

高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论：若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。（3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意： ○ 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○ 2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1

函数的基本性质解析

1 第二讲函数的性质（一）一、函数的单调性 1．单调函数的定义增函数减函数定义设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2 当x 1f (x 2) ，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降 2．单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是或，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，叫做y ＝f (x )的单调区间． 3、单调性的判定方法（1）定义法：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ○ 1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1

复变函数与积分变换试题及答案(10)

复变函数与积分变换试题与答案一、填空（每题2分） 1．z=i 的三角表示式是：。指数表示式是。 2．|z -1|=4在复平面上表示的曲线是一个。 3．38的全部单根是：，，。 4．函数在f (z )=|z |2在z 平面上是否解析。 5．设C 是正向圆周|z |=1，积分?c z dz 2 = 。 6．函数2 2 1 )1()(z e z f -=的弧立奇点是和，其中是极点，是本性奇点。 7．级数 +++++n z z z 21在|z |<1时的和函数是。 8．分式线性映射具有，，。二、判断题(每题2分，请在题后括号里打“√”或“×”)。 1．零的辐角是零。（） 2．i <2i . （） 3．如果f (z )在z 0连续，那么)(0z f '存在。（） 4．如果)(0z f '存在，那f (z )在z 0解析。（） 5．z e e -=2 （） 6．解析函数的导函数仍为解析函数（） 7．幂级数的和函数在其收敛圆内解析。（） 8．孤立奇点的留数在该奇点为无穷远点时其值为1--β

9．单位脉冲函数)(t δ与常数1构成一个傅氏变换对。（） 10．共形映射具有保角性和伸缩率的不变性。（）三、计算题（每题6分） 1．dz z z c ?3sin （其中C 为正向圆周|z|=1） 2．?=?? ? ??-++4||3211z dz z z （积分沿正向圆周进行） 3．dz z ze z z ?=-2||21 （积分沿正向圆周进行） 4．求函数) 2()(1 )(10-+= z i z z f 在无穷远点处的留数四、求解题（每题6分） 1．求函数22),(y x y x u -=的共扼调和函数),(y x v 和由它们构成的解析函数 )(z f ，使f （0）=0。 2．求函数2 ) 1(1 )(z z z f -= 在1|1|0<-

基本初等函数图像及性质大全

一、一次函数与二次函数（一）一次函数（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2 ()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质

①.二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2x a =- 顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a =- 时，2max 4()4ac b f x a -=．二、幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α =叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象

过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．三、指数函数（1）根式的概念：如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．（2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．（3）运算性质

函数的基本性质练习题(重要)

（高中数学必修1）函数的基本性质 [B 组] 一、选择题 1．下列判断正确的是（） A ．函数2 2)(2--=x x x x f 是奇函数 B ．函数()(1f x x =- C ．函数()f x x = D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2．若函数2 ()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（） A ．(],40-∞ B ．[40,64] C ．(][),4064,-∞+∞ D ．[)64,+∞ 3 ．函数y = ） A ．( ]2,∞- B ．(]2,0 C ．[ )+∞,2 D ．[)+∞,0 4．已知函数()()2 212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（） A ．3a ≤- B ．3a ≥- C ．5a ≤ D ．3a ≥ 5．下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数； (2)若函数2 ()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >；(3) 2 23y x x =--的递增区间为[)1,+∞；(4) 1y x =+ 和y = 表示相等函数。其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）二、填空题

1．函数x x x f -=2 )(的单调递减区间是____________________。 2．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2 -+=x x x f ，那么0x <时，()f x = . 3．若函数2 ()1 x a f x x bx += ++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________. 4．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1-，则2(6)(3)f f -+-=__________。 5．若函数2 ()(32)f x k k x b =-++在R 上是减函数，则k 的取值范围为__________。三、解答题 1．判断下列函数的奇偶性（1）()f x = （2）[][]()0,6,22,6f x x =∈-- 2．已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意,a b R ∈，都有()()()f a b f a f b +=+，且当0x >时，()0f x <恒成立，证明：（1）函数()y f x =是R 上的减函数；（2）函数()y f x =是奇函数。 3．设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且1 ()()1 f x g x x +=-,求()f x 和()g x 的解析式. 4．设a 为实数，函数1||)(2 +-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）求)(x f 的最小值。

(完整word版)六大基本初等函数图像与性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）； α

1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果ma ，1≠a )，定义域是R ； [无界函数] 1.指数函数的图象： 2. 1）当1>a 时函数为单调增,当10<

3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)(