北师大高中数学选修21培优新方案同步课时跟踪检测九 空间向量与平行关系 含解析
课时跟踪检测（九） 空间向量与平行关系
一、基本能力达标
1．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝15
2
C ．x ＝3，y ＝15
D ．x ＝6，y ＝15
2
解析：选D ∵l 1∥l 2，设a ＝λb ，∴(2,4,5)＝λ(3，x ，y )，∴x ＝6，y ＝15
2
.
2．已知l ∥π，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面π的法向量为????1，1
2，2，则m ＝( ) A ．－8 B ．－5 C ．5
D ．8
解析：选A ∵l ∥π，∴直线l 的方向向量与平面π的法向量垂直．∴2＋m
2＋2＝0，m ＝－
8.
3．若平面α，β的一个法向量分别为m ＝????－16，13，－1，n ＝????1
2，－1，3，则( ) A ．α∥β
B ．α⊥β
C ．α与β相交但不垂直
D ．α∥β或α与β重合
解析：选D ∵n ＝－3m ，∴m ∥n ，∴α∥β或α与β重合． 4.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：
①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ； ③A 1M ∥平面DCC 1D 1； ④A 1M ∥平面D 1PQB 1.
这四个结论中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选C ∵A 1M ――→＝A 1A ―→＋AM ―→＝A 1A ―→＋12AB ―→
，
D 1P ――→＝D 1D ―→＋DP ―→＝A 1A ―→＋12
AB ―→，
∴A 1M ――→∥D 1P ――→
，从而A 1M ∥D 1P ，可得①③④正确．
又B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确．
5．已知两直线l 1与l 2的方向向量分别为v 1＝(1，－3，－2)，v 2＝(－3,9,6)，则l 1与l 2的位置关系是________．
解析：∵v 2＝－3v 1， ∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合． 答案：平行或重合
6．若平面π1的一个法向量为n 1＝(－3，y,2)，平面π2的一个法向量为n 2＝(6，－2，z )，且π1∥π2，则y ＋z ＝________.
解析：∵π1∥π2，∴n 1∥n 2.∴－36＝y －2＝2
z .
∴y ＝1，z ＝－4.∴y ＋z ＝－3. 答案：－3
7.如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π
4
，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点． 证明：直线MN ∥平面OCD .
证明：作AP ⊥CD 于点P .如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．
则A (0,0,0)，B (1,0,0)， P ????0，
22，0，D ????－22，22，0，O (0,0,2)，M (0,0,1)，N ???
?1－24，24，0. MN ―→＝????1－24，24，－1，
OP ―→＝????0，22，－2， OD ―→＝???
?－22，22，－2. 设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·OP ―→＝0，n ·OD ―→＝0.
即??
?
22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0，
取z ＝2，
解得n ＝(0,4，2)．
∵MN ―→·n ＝(1－24，24，－1)·(0,4，2)＝0，∴MN ―→⊥n .
又M N ?平面OCD ，∴MN ∥平面OCD .
8．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .
证明：如图所示建立空间直角坐标系D -xyz ，
则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2，2,2)，所以FC 1――→
＝(0,2,1)，
DA ―→＝(2,0,0)，AE ―→
＝(0,2,1)．
(1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA ―→，n 1⊥AE ―→
，即?
??
??
n 1·DA ―→＝2x 1＝0，n 1·AE ―→＝2y 1＋z 1＝0，
得?????
x 1＝0，
z 1＝－2y 1，
令z 1＝2，则y 1＝－1， 所以n 1＝(0，－1,2)．
因为FC 1――→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1――→⊥n 1. 又因为FC 1?平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)因为C 1B 1―→
＝(2,0,0)，
设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量． 由n 2⊥FC 1――→，n 2⊥C 1B 1―→
，得
?????
n 2·FC 1――→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·
C 1B 1―→＝2x 2＝0，得?????
x 2＝0，z 2＝－2y 2.
令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .
二、综合能力提升
1．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 不在平面α内，则能使l ∥α的是( )
A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0)
B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1)
C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)
D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)
解析：选D 直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，要使l ∥α，则a ⊥n ， ∴a ·n ＝0. 只有D 中a ·n ＝0.
2.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B ，AC 的中点，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )
A ．相交
B ．平行
C ．垂直
D ．不能确定
解析：选B 建系如图，设正方体的棱长为2，则A (2,2,2)，A 1(2,2,0)，C (0,0,2)，B (2,0,2)，∴M (2,1,1)，N (1,1,2)，∴MN ―→
＝(－1,0,1)．
又平面BB 1C 1C 的一个法向量为 n ＝(0,1,0)，
∵－1×0＋0×1＋1×0＝0，
∴MN ―→
⊥n ，∴MN ∥平面BB 1C 1C .故选B.
3．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，
D 1C 1，AB ，CC 1的中点．
求证：PQ ∥RS .
证明：法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .
则P (3,0,1)，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S (0,4,1)，PQ ―→＝(－3,2,1)， RS ―→
＝(－3,2,1)，
∴PQ ―→＝RS ―→，∴PQ ―→∥RS ―→
，即PQ ∥RS . 法二：RS ―→＝RC ―→＋CS ―→＝12DC ―→－DA ―→＋12DD 1―→
，
PQ ―→＝PA 1―→＋A 1Q ―→＝12DD 1―→＋12DC ―→－DA ―→
，
∴RS ―→＝PQ ―→，∴RS ―→∥PQ ―→
，即RS ∥PQ .
4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2.点M 在棱BB 1上，且BM ＝2MB 1，点S 在DD 1上，且SD 1＝2SD ，点N ，R 分别为A 1D 1，BC 的中点．
求证：MN ∥平面RSD .
证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则根据题意得
M ????3，0，43，N (0,2,2)，R (3,2,0)，S ?
???0，4，23. ∴MN ―→＝????－3，2，23，RS ―→＝????－3，2，23，MN ―→＝RS ―→
. ∴MN ―→∥RS ―→
. ∵M ?RS .∴MN ∥RS .
又RS 平面RSD ，M N ?平面RSD ， ∴MN ∥平面RSD .
法二：设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→
＝c ， 则MN ―→＝MB 1―→＋B 1A 1―→＋A 1N ―→＝1
3c －a ＋12b ，
RS ―→＝RC ―→＋CD ―→＋DS ―→＝1
2b －a ＋13c ，
∴MN ―→＝RS ―→，∴MN ―→∥RS ―→
，
又∵R ?MN ，∴MN ∥RS .
又RS 平面RSD ，M N ?平面RSD ， ∴MN ∥平面RSD .
5．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．
解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1， 则A 1(0,0,1)，B (1,0,0)， B 1(1,0,1)，E ?
???0，1，12， BA 1―→＝(－1,0,1)，BE ―→
＝????－1，1，12. 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量，
则由n ·BA 1―→＝0，n ·BE ―→
＝0，得?????
－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋1
2
z ＝0.
所以x ＝z ，y ＝1
2z .
取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．
设棱C 1D 1上存在点F (t,1,1)(0≤t ≤1)满足条件， 又B 1(1,0,1)，所以B 1F ―→
＝(t －1,1,0)．
而B 1F ?平面A 1BE ，
于是B 1F ∥平面A 1BE ?B 1F ―→
·n ＝0?(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0?2(t －1)＋1＝0?t ＝12?F 为C 1D 1
的中点．
这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE .
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平面向量及空间向量高考数学专题训练
平面向量及空间向量高考数学专题训练（四） 一、选择题（本大题共12小题，每小题分6，共72分） 1．设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b ， 则锐角α为（ ） A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =?满足，则点P 的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3．已知向量值是相互垂直，则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(（ ） A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4．已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-（ ） A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5．将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a （2,3 π ）平移，再将所得图像上各点的横坐标 变为原来的2倍，则所得图像的解析式可以写成（ ） A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x －3 π )－2 C.y=(321π+x )－2 D.y=sin(321π-x )+2 6．若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7．从点A(2,－1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为（ ） A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C 满足 =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则?的值为 （ ） A.2 m B. 212m C. 4 1 2m D. 432m 10．O 为空间中一定点，动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(-?-=0,
高中数学选修2-1《空间向量与立体几何》知识点讲义
第三章 空间向量与立体几何 一、坐标运算 ()()111222,,,,,a x y z b x y z == ()()()()121212121212 11112121 2,,,,,,,,a b x x y y z z a b x x y y z z a x y z a b x x y y z z λλλλ+=+++-=---=?=???则 二、共线向量定理 (),0,=.a b b a b a b λλ≠←??→?充要对于使 三、共面向量定理 ,,.a b p a b x y p x a y b ←??→?=+充要若与不共线，则与共面使 ,,, 1.O OP xOA yOB P A B x y =+←???→+=充要条件四、对空间任意一点，若则三点共线 ,1.P A B C O OP xOA yOB zOC P A B C x y z =++←??→++=充要五、对空间异于、、、四点的任意一点，若若、、、四点 ()()()11, 1.P A B C AP xAB y AC OP OA x OB OA y OC OA OP xOB yOC x y OA x y z x y z ∴=+∴-=-+-∴=++----=∴++=证明：①必要性 、、、四点共面， ，，， 令()()() 1, 1,x y z OP y z OA yOB zOC OP OA y OB OA z OC OA AP y AB z AC A B C P ++=∴=--++∴-=-+-∴=+∴②充分性，，、、、四点共面. 六、空间向量基本定理 {} ,,a b c p x y z p xa yb zc a b c a b c ?若,,不共面，对于任意，使=++，称,,做空间的一个基底，, ,都叫做基向量.
(完整版)选修21空间向量知识点归纳总结
第三章空间向量与立体几何 1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的 向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一 样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 ⑵加法结合律：（a b ） c ⑶数乘分配律：（a b ） 3. 共线向量。 （1） 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量 也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作a 〃b 。 当我们说向量a 、b 共线（或a// b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线 可能是同一直线，也可能是平行直线。 （2） 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （ b 工0 ），a// b 存在实数入， 使a =入b 。 4. 共面向量 （1） 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。r r （2） 共面向量定理：如果两个向量a,b 不共线，P 与向量a,b 共面的条件是 存在实数x, y 使p xa yb 。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量P ， 存在一个唯一的有序实数组x, y,z ，使p xa yb zc 。 若三向量ab,c 不共面，我们把｛a,b,c ｝叫做空间的一个基底，a,b,c 叫做基向 2. uuu r OB a b a (b c) b a
量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设O,代B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个 uuu uuu uuu uuur 有序实数x, y,z，使OP xOA yOB zOC。
高中数学-空间向量及向量的应用
高中数学 - 空间向量及向量的应用 空间直角坐标系的原则： 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设 ， ， 空间向量的直角坐标运算： 空间两点间距离： ； 1：利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量） 2：利用空间向量求线线角、线面角 1 ）异面直线所成角 设 分别为异面直线 的方向向量，则 则： 空间线段 的中点 M （x ，y ，z ）的坐标：
2 ）线面角 设 是直线 l 的方向向量， n 是平面的法向量，则 3 ：利用空间向量求二面角 其计算公式为：设 分别为平面 的法向量，则 与 互补或相等， 操作方法： 1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法： 斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos （ S 为原斜面面积 , S 为射影面积 , 为斜面与射影所成二面 角的平面角 ）这个公式对于斜面为三角 形 , 任意多边形都成立 . 是求二面角的好方法 .当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ,可直接应用公式 ,求出二面角的大小。 2．空间的距离 点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3．空间向量的应用 （1）用法向量求异面直线间的距离 2）直线与平面所成的角的范围是 [0, ] 。射影转化法 2 方法 3）二面角的范围一般是指 （0, ]，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 1）异面直线所成的角的范围 是 b F
北师大版(新课标)高中数学课本目录大全(必修)
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高中数学的空间向量知识
高中数学的空间向量知识 基本内容 空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。 如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。 以下用向量法求解的简单常识： 1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB(其中PM等为向量，由于图不方便做就如此代替，下同） 2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC （其中x＋y＋z=1），则四点P、A、B、C共面． 3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量（k∈R）． 4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量． 5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取，求：的问题． 6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题：． 7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标． 首先该图形能建坐标系 如果能建 则先要会求面的法向量 求面的法向量的方法是 1。尽量在空中找到与面垂直的向量 2。如果找不到，那么就设n=（x,y,z） 然后因为法向量垂直于面 所以n垂直于面内两相交直线
高中数学-空间向量的基本定理练习
高中数学-空间向量的基本定理练习 课后导练 基础达标 1.若对任意一点O ，且OP =y x +,则x+y=1是P 、A 、B 三点共线的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案：C 2.已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM OM=x + 31+31,则x 的值为…( ) A.1 B.0 C.3 D. 3 1 答案：D 3.在以下命题中,不正确的个数是（ ） ①已知A,B,C,D 是空间任意四点,则DA CD BC AB +++=0 ②|a |+|b |=|a +b |是a ,b 共线的充要条件 ③若a 与b 共线,则a 与b 所在的直线的平行 ④对空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C,若z y x ++=,(其中x,y,z∈R ),则P,A,B,C 四点共面 A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 4.设命题p:a ,b ,c 是三个非零向量;命题q:{a ,b ,c }为空间的一个基底,则命题p 是命题q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 5.下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OM --= B.MC MB MA ++=0 C.3 13131++++ D.OC OB OA OM +-=2 答案：B 6.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为矩形ABC Ｄ的对角线的交点，设A 1=a,11B A =b,11D A =c,则E A 1=____________.
答案：a +21b +21c 7.设O 为空间任意一点,a,b 为不共线向量,OA =a,OB =b,OC =ma+nb,(m,n∈k)若A,B,C 三点共线,则m,n 满足____________. 答案：m+n=1. 8.已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，在下列各条件下，点P 是否与A 、B 、C 一定共面？ (1)OP =52OA +51OB +5 2OC ； (2)OP=2OA-2OB-OC. 解：(1)OP = 52OA +51OB +52OC . ∵1525152=++,∴P 与A 、B 、C 共面. (2)OP =OC OB OA --22. ∵2-2-1=-1,∴P 与A 、B 、C 不共面. 9.如右图，已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且CF =32CB ,CG =3 2CD . 求证：四边形EFGH 是梯形． 证明：∵E、H 分别是AB 、AD 的中点, ∴= 21,=2 1， EH =-=21AD -21AB =21(AD -AB )=21BD =2 1(CB CD -) =21(23CG -23CF )=43(-)=4 3. ∴EH ∥FG 且|EH |=43|FG |≠|FG |. ∴四边形EFGH 是梯形. 综合运用 10.如右图，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11B A =a ，11D A =b ，11A A =c ，则下列向量中与B 1M 相等的向量是（ ）
选修2-1第三章空间向量与立体几何教案
第三章空间向量与立体几何 空间向量及其运算（一） 教学目标： ㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． ㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：应用向量解决立体几何问题． 教学方法：讨论式． 教学过程： Ⅰ.复习引入 ［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量向量是怎样表示的呢 ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： ①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB． ［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向
量运算： ⒈向量的加法： ⒉向量的减法： ⒊实数与向量的积： 实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. ［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢 ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27． Ⅱ.新课讲授 ［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢相等的向量又是怎样表示的呢［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． ［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．
北师大版高中数学课本目录(含重难点及课时分布)
高中数学课本内容及其重难点北师大版高中数学必修一 ·第一章集合（考点的难度不是很大，是高考的必考点） · 1、集合的基本关系 · 2、集合的含义与表示 · 3、集合的基本运算（重点） （2课时） ·第二章函数 · 1、生活中的变量关系 · 2、对函数的进一步认识 · 3、函数的单调性（重点） · 4、二次函数性质的再研究（重点） · 5、简单的幂函数 （5课时） ·第三章指数函数和对数函数 · 1、正整数指数函数 · 2、指数概念的扩充 · 3、指数函数（重点） · 4、对数 · 5、对数函数（重点） · 6、指数函数、幂函数、对数函数增减性（重点） （3课时） ·第四章函数应用 · 1、函数与方程 · 2、实际问题的函数建模 （2课时） 北师大版高中数学必修二 ·第一章立体几何初步 · 1、简单几何体 · 2、三视图（重点） · 3、直观图（1课时） · 4、空间图形的基本关系与公理（重点） · 5、平行关系（重点）
· 6、垂直关系（重点） · 7、简单几何体的面积和体积（重点） · 8、面积公式和体积公式的简单应用（重点、难点）（4课时） ·第二章解析几何初步 · 1、直线与直线的方程 · 2、圆与圆的方程 · 3、空间直角坐标系 （4课时） 北师大版高中数学必修三 ·第一章统计 · 1、统计活动：随机选取数字 · 2、从普查到抽样 · 3、抽样方法 · 4、统计图表 · 5、数据的数字特征（重点） · 6、用样本估计总体 · 7、统计活动：结婚年龄的变化 · 8、相关性 · 9、最小二乘法 （3课时） ·第二章算法初步 · 1、算法的基本思想 · 2、算法的基本结构及设计（重点） · 3、排序问题（重点） · 4、几种基本语句 （2课时） ·第三章概率 · 1、随机事件的概率（重点） · 2、古典概型（重点） · 3、模拟方法――概率的应用（重点、难点） （4课时） 北师大版高中数学必修四 ·第一章三角函数 · 1、周期现象与周期函数
(完整版)高中数学空间向量训练题
高中数学空间向量训练题（含解析） 一．选择题 1．已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线MN上，且MP=2PN，设向量=，=，=，则=（） A．++B．++C．++D．++ 2．已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，，共面，则λ=（） A．2 B．3 C．4 D．6 3．空间中，与向量同向共线的单位向量为（） A．B．或 C． D．或 4．已知向量，且，则x的值为（） A．12 B．10 C．﹣14 D．14 5．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=++，则P，A，B，C四点（） A．不共面B．共面C．共线D．不共线 6．已知平面α的法向量是（2，3，﹣1），平面β的法向量是（4，λ，﹣2），若α∥β，则λ的值是（）
A．B．﹣6 C．6 D． 7．已知，则的最小值是（）A．B．C．D． 8．有四个命题：①若=x+y，则与、共面；②若与、共面，则=x+y；③若=x+y，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则=x+y．其中真命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知向量=（2，﹣1，1），=（1，2，1），则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4 D．8 10．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（） A．B． C．D． 11．正方体ABCDA1B1C1D1中，直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为（） A． B． C．D． 二．填空题（共5小题） 12．已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k= ． 13．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，MN是正方体内切球的直径，P为正方体表面上的动点，则?的最大值为． 14．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果=（2，﹣1，﹣4），=（4，
创新设计高中数学苏教选修21习题：第3章 空间向量与立体几何
3.1.5 空间向量的数量积 课时目标 1.掌握空间向量的夹角及空间向量数量积的概念.2.掌握空间向量的运算律及其坐标运算.3.掌握空间向量数量积的应用． 1．两向量的夹角 如图所示，a,b 是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则__________ 叫做向量a 与向量b 的夹角，记作__________． 如果〈a ，b 〉＝π2 ，那么向量a ，b ______________，记作__________． 2．数量积的定义 已知两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作a·b . 即a·b ＝__________. 零向量与任一向量的数量积为0. 特别地，a·a ＝|a|·|a|cos 〈a ，a 〉＝________. 3．数量积的运算律 空间向量的数量积满足如下的运算律： (λa )·b ＝λ(a·b ) (λ∈R )； a·b ＝b·a ； a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4．数量积的坐标运算 若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 (1)a·b ＝________________； (2)a ⊥b ?__________?____________________________； (3)|a |＝a·a ＝______________； (4)cos 〈a ，b 〉＝____________＝_________________________________________. 一、填空题 1．若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的____________条件． 2．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝________. 3．已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29且λ>0，则λ＝________. 4．若a 、b 、c 为任意向量，下列命题是真命题的是____．(写出所有符合要求的序号) ①若|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若a·b ＝a·c ，则b ＝c ； ③(a·b )·c ＝(b·c )·a ＝(c·a )·b ； ④若|a |＝2|b |，且a 与b 夹角为45°，则(a －b )⊥b . 5．已知向量a ＝(2，－3,0)，b ＝(k,0,3)，若a 与b 成120°角，则k ＝________. 6.设O 为坐标原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运 动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为________． 7．向量(a ＋3b )⊥(7a －5b )，(a －4b )⊥(7a －2b )，则a 和b 的夹角为____________． 8．若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π3 ，则|a ＋b |＝________. 二、解答题
高中数学-空间向量及向量的应用
高中数学-空间向量及向量的应用 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设血勺乃召），氓叫?乃w ）， AB = OB-OA=（^y 2l 切—（吊丹 丑）=（乃—咛乃—丹 勺一匂） 空间向量的直角坐标运算： 设Q = 2],砌，色3 $ =1鹉毎妇则； ① 口+ b= P],曲，电 宀|俎,给禺 ?=I 角十知鬥 +為、屯 +鸟I ? ② a-b = \ a^a 2,a 21■ 诲.场岛i =（业一％ 气-如 码一為 帀 ③ 加=兄I 曲卫2，? ' = I 現珂"久卷 '（/i e 7?）； ④ 总■&= |气命4 片妇任 | = &占 + 逐血 +&並： ⑤ 口0Fe 鱼二 空三生=左或。『舌寻口[三碣‘ - 冊节 处二赵; 对? $ ⑥ 7丄匸q 口血十口曲十m 禺=0 ； 空间两点间距离:丄“ 「 1 :利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量） 2:利用空间向量求线线角、线面角 （1）异面直线所成角Z ? gw 设Q”分别为异面直线讥的方向向量，则 则: 空间线段 的中点M （x ，y ，z ）的坐标: 空间直角坐标系的原则: 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应
(2) 线面角凰打殳《是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，则 3 :利用空间向量求二面角 其计算公式为：设 加“分别为平面G 8的法向量，则 与，剤7 互补或相等, - ? ? . m * n |( csfl i = | A>| = I 忘I * I 云I 操作方法： 1 ?空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法: 斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos (S 为原斜面面积，S 为射影面积，为斜面与射影所成二面 角的平面角)这个公式对于斜面为三角形 ,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ，可直接应用公式，求岀二面角的大小。 2 ?空间的距离 点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3 ?空间向量的应用 (1 )用法向量求异面直线间的距离 CQS P rris-：欧 * b (1)异面直线所成的角的范围是 (2 )直线与平面所成的角的范围是 ［0,—］。射影转 化法 2 方法 (3 )二面角的范围一般是指 (0,］，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 b F
空间向量高中数学教案课程
空间向量 考纲导读 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式； 掌 握 空 间 两 点 间 的距离公式． 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广． 本节知识点是：
1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量． (2) 向量相等：方向 且长度 ． (3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ．(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． (2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ． 共面向量定理的推论： ．5．空间向量基本定理 (1) 空间向量的基底： 的三个向量． 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ．
苏教版数学选修2-1：3.1 空间向量及其运算3.1.5
1.若a ，b 均为非零向量，则a ·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的____________条件． 解析：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝|a ||b |?cos 〈a ，b 〉＝1?〈a ，b 〉＝0，当a 与b 反向时，不成立． 答案：充分不必要 2.对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中真命题是________(填序号)． ①若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ②若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0； ③若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b ； ④若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c . 解析：①中若a ⊥b ，则有a ·b ＝0，不一定有a ＝0或b ＝0. ③中当|a |＝|b |时，a 2＝b 2，此时不一定有a ＝b 或a ＝－b . ④中当a ＝0时，a ·b ＝a ·c ，不一定有b ＝c . 答案：② 3.已知向量a ，b 满足条件：|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则a 与b 的夹角为________． 解析：因为a 与2b －a 互相垂直，所以a ·(2b －a )＝0. 即2a ·b －a 2＝0.所以2|a ||b |cos 〈a ，b 〉－|a |2＝0， 所以cos 〈a ，b 〉＝22 ，所以a 与b 的夹角为45°. 答案：45° 4.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝________． 解析：|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝13. 答案：13 [A 级 基础达标] 1.(2011·高考重庆卷)已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则|2e 1－e 2|＝__________． 解析：|2e 1－e 2|2＝4e 21－4e 1·e 2＋e 22＝4－4×1×1×cos60°＋1＝3，∴|2e 1－e 2|＝ 3. 答案： 3 2.若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －(a ·a a ·b )b ，则向量a 与c 的夹角为__________． 解析：a ·c ＝a ·[a －(a ·a a ·b )b ]＝a ·a －(a ·a a ·b )b ·a ＝a ·a －a ·a ＝0，∴a ⊥c . 答案：90° 3.已知三点A (1，－2，11)，B (4，2，3)，C (6，－1，4)，则三角形ABC 的形状是__________． 解析：AB →＝(3，4，－8)，BC →＝(2，－3，1)，AC →＝(5，1，－7)． ∴|AB →|＝89，|BC →|＝14，|AC →|＝75， ∴|AB →|2＝|BC →|2＋|AC →|2，
2017新版北师大版小学数学教材内容整合
北师大版小学数学教材内容整合 册别单 元 内 容 版 块 标题课题摘要 一年级上册 前言数学来源于生活 第 一 单 元 生 活 中 的 数 数 与 代 数 1、可爱的校园10以内的个数有什么，有多少，数一数 2、快乐的家园数的意义1、2、 3、4分别可以表示什么。 3、玩具5以内的数数一数，说一说，写一写 4、小猫钓鱼0的认识生活中用到0的地方 5、文具6—10的认识数一数，写一写，6—10分别可以 表示什么。 第 二 单 元 比 较 统 计 与 概 率 1、动物乐园比多少知道符号>,=,<的意义；会读，会写 2、高矮比高矮谁高谁矮，比一比 3、轻重比轻重说一说、掂一掂、称一称 第 三 单 元 加 减 法 （ 一 ） 数 与 代 数 1、有几支铅笔什么是加法认识加号，理解加号的意义，会读 加法算式。 2、有几辆车加法交换律a+b=b+a；两个数相加，交换加数 的位置，和不变。 3、摘果子什么是减法认识减号，理解减号的意义，会读 减法算式。 4、小猫吃鱼得数是0的减法依次减，直到减到0为止。 练习一5以内的加减法 5、猜数游戏做加法想减法，做减法想加法 6、跳绳8和9的加减法数一数，算一算 7、可爱的企鹅8、9的应用题 练习二9以内的加减法 8、分苹果10的加减法10个苹果分成两堆，每堆有几个？ 9、操场上求谁多谁少的应用题甲比乙多4→乙比甲少4 10、乘车一位数加减混合运算从前往后，依次计算 练习三10的加减法，加减混合运算整理与复习（一）0—10加减法表 11、大家来锻炼生活中处处有数学 第 四 单 元 分 类 统 计 与 概 率 1、整理房间大分类怎样整理，分类依据 2、整理书包小分类怎样整理，分类依据 第 五 单 元 位 置 与 顺 序 空 间 与 图 形 1、前后森林运动会，看图说一说 2、上下看图填一填，说一说 3、左右要发言的请举右手，另一只手是？ 4、教室前后左右上下说一说教室里面有什么，是怎样摆 放的？
高中数学(理)空间向量知识点归纳总结及综合练习
空间向量知识点归纳总结 知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a 平行于 b ，记作b a //。 》 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a b a b 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使 p xa yb =+。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组 ,,x y z ，使p xa yb zc =++。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使 OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： ~ （1）空间直角坐标系中的坐标： （2）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ?=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=。 ②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---。 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 》
高二数学选修2-1空间向量试卷与答案
高二数学（选修2-1 ）空间向量试题 宝鸡铁一中司婷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的 代号填在题后的括号内（每小题 5 分，共 60 分）． 1．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝2BB1，则 AB1与 C1B 所成的角的大小为（）A． 60°B． 90°C． 105°D．75° 2．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝A 1 B 1 ，则 BE1 4 与 DF1所成角的余弦值是（） A．15 B． 1 172 图 8 D．3 C． 2 17 3．如图， 1 1 1—是直三棱柱，∠=90°，点1、 1 分别是 1 1、 A B C ABC BCA D F A B A1C1的中点，若 BC=CA=CC1，则 BD1与 AF1所成角的余弦值是（） A．C． 301 10 B． 2 30图 15 15 D． 10 4．正四棱锥S ABCD 的高 SO 2 ，底边长AB 2 ，则异面直线BD 和 SC 之间的距离（） ．15．5C． 2 5 A5B55 5．已知ABC A1 B1 C1是各条棱长均等于 a 的正三棱柱， D 是侧棱 CC1的中点．点 C1到平面 AB1 D 的距离（） A． 2 a B． 2 a 48A 1D． 5 C1 10B1 D A C B图
C．3 2 a D． 2 a 42 6．在棱长为 1 的正方体ABCD A1 B1C1D1中，则平面 AB1C 与平面 A1 C1 D 间的距离（） A．3B．3C．2 3 D．3 6332 7．在三棱锥－中，⊥，＝＝1，点、 D 分别是、的中点，⊥底 P ABC AB BC AB BC2PA O AC PC OP 面 ABC，则直线 OD与平面 PBC所成角的正弦值（） A．21B．8 3 C210 D ．210 636030 8．在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB 90，侧棱 AA1 2 ，D，E 分别是CC1与A1B的中点，点 E 在平面AB D 上的射影是ABD 的重心G．则A1B 与平面 AB D所成角的余弦值（） A． 2 B． 7 C． 3 D． 3 3327 9．正三棱柱ABC A1 B1C1的底面边长为3，侧棱AA13 3 ，D是C B延长线上一点，2 且 BD BC ，则二面角B1AD B 的大小（） A． 3B． 6 C． 5 D． 2 63 10．正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面边长为 2 2 ，侧棱长为4， E，F 分别为棱AB，CD的中点，EF BD G ．则三棱锥B1EFD1的体积V（） A．6B．16 3C．16 D．16 633 11．有以下命题： ①如果向量 a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a, b 的关系是不共线； ② O , A, B,C 为空间四点，且向量OA, OB, OC不构成空间的一个基底，则点 O, A, B,C 一定共面； ③已知向量 a, b, c 是空间的一个基底，则向量 a b, a b, c 也是空间的一个基底。其中
北师大版高中数学课本目录标准版
必修1 第一章集合 §1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算交集与并集全集与补集 第二章函数 §1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识函数概念函数的表示法映射 §3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究二次函数的图像二次函数的性质§5 简单的幂函数 课题学习个人所得税的计算 第三章指数函数和对数函数 §1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质指数概念的扩充指数运算的性质§3指数函数指数函数的概念指数函数和的图像和性质指数函数的图像和性质§4 对数 对数及其运算换底公式§5 对数函数对数函数的概念y=log2x的图像和性质对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 第四章函数应用 §1 函数与方程利用函数性质判定方程解的存在利用二分法求方程的近似解 §2 实际问题的函数建模实际问题的函数刻画用函数模型解决实际问题函数建模案例 必修2 第一章立体几何初步 §1 简单几何体简单旋转体简单多面体§2 直观图§3 三视图简单组合体的三视图由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理空间图形基本关系的认识空间图形的公理§5 平行关系平型关系的判定平行关系的性质§6 垂直关系垂直关系的判定垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积简单几何体的侧面积棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积课题学习正方体截面的形状
第二章解析几何初步 §1 直线与直线的方程直线的倾斜角和斜率直线的方程两条直线的位置关系两条直线的交点平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程圆的标准方程圆的一般方程直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标空间两点间的距离公式 必修3 第一章统计 §1 从普查到抽样§2 抽样方法简单随机抽样分层抽样与系统抽样§3 统计图表§4 数据的 数字特征平均数、中位数、众数、极差、方差标准差§5 用样本估计总体估计总体的分布估计总体的数字特征§6 统计活动：结婚年龄的变化§7 相关性§8 最小二乘估计 第二章算法初步 §1 算法的基本思想算法案例分析排序问题与算法的多样性§2 算法框图的基本结构及设计顺序结构与选择结构变量与赋值循环结构§3 几种基本语句条件语句循环语句 第三章概率 §1 随机事件的概率频率与概率生活中的概率§2 古典概型古典概型的特征和概率计算公式建立概率模型互斥事件§3 模拟方法—概率的应用 必修4 第一章三角函数 §1 周期现象§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与周期性单位圆与诱导公式§5 正弦函数的性质与图像 从单位圆看正弦函数的性质正弦函数的图像正弦函数的性质§6 余弦函数的性质与图像正弦函数的图像正弦函数的性质§7 正切函数正切函数的定义正切函数的图像与性质正切函数的诱导公式§8 函数y=Asin 的图像§9 三角函数的简单应用