2017年考研数学一试题与答案解析

2017考研数学一答案及解析

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

（1

）若函数1(),0,0f x x ax

b x ?-?

=>??≤?

在0x =连续，则（ ）。 A. 12ab = B. 1

2

ab =-

C. 0ab =

D. 2ab = 【答案】A 【解析】

由连续的定义可得-+

lim ()lim ()(0)x x f x f x f →→==，而

+++

2

0001

12lim ()lim lim 2x x x f x ax a

→→→===，-0lim ()x f x b →=，因此可得12b a =，故选择A 。

（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >，则（ ）。 A. (1)(1)f f >- B. (1)(1)f f <- C. |(1)||(1)f f >- D. |(1)||(1)f f <- 【答案】C

【解析】令2

()()F x f x =，则有'()2()'()F x f x f x =，故()F x 单调递增，则

(1)(1)F F =-，即22[(1)][(1)]f f >-，即|(1)||(1)f f >-，故选择C 。

（3）函数22

(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,0)n =的方向导数为（ ）。 A.12 B.6 C.4 D.2 【答案】D

【解析】2

{2,,2}gradf xy x z =，因此代入(1,2,0)可得(1,2,0)|{4,1,0}gradf =，则有

122{4,1,0}{,,}2||333

f u grad u u ?=?==?。 （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：m/s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）。

A. 010t =

B. 01520t <<

C. 025t =

D. 025t > 【答案】C

【解析】从0到0t 时刻，甲乙的位移分别为0

10

()t v t dt ?

与0

20

()t v t dt ?，由定积分的几何意义

可知，

25

210

(()()201010v t v t dt -=-=?

，因此可知025t =。

（5）设α为n 维单位列向量，E 为n 维单位矩阵，则（ ）。

A. T E αα-不可逆

B. T E αα+不可逆

C. 2T E αα+不可逆

D. 2T E αα-不可逆 【答案】A

【解析】因为T αα的特征值为0（n-1重）和1，所以T E αα-的特征值为1（n-1重）和0，故T E αα-不可逆。

（6）已知矩阵200210100021,020,020*********A B C ????????????===??????????????????

，则（ ）。 A.A 与C 相似，B 与C 相似 B. A 与C 相似，B 与C 不相似 C. A 与C 不相似，B 与C 相似 D. A 与C 不相似，B 与C 不相似 【答案】B

【解析】A 和B 的特征值为2,2,1，但是A 有三个线性无关的特征向量，而B 只有两个，所依A 可对角化，B 不可，因此选择B 。

（7）设A ，B 为随机事件，若0()1,0()1P A P B <<<<，且(|)(|)P A B P A B >的充分必要条件是（ ）。 A. (|)(|)P B A P B A > B. (|)(|)P B A P B A < C. (|)(|)P B A P B A > D. (|)(|)P B A P B A < 【答案】A 【解析】

由(|)(|)P A B P A B >得()()()()

()1()()

P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=

-，即()()()P AB P A P B >，因此选择A 。 （8）设12,,

(2)n X X X n ≥来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记1

1n

i i X X n ==∑，则下列

结论中不正确的是（ ）。 A.

21()n

i

i X

μ=-∑服从2χ分布

B. 211

2

()n

n

i X

X =-∑服从2χ分布

C.

1

()n

i

i X

X =-∑服从2χ分布

D. 2

()n X μ-服从2

χ分布

【答案】B

【解析】~(0,1)i X N μ-，故

221

()~()n

i

i X

n μχ=-∑，1~(0,2)n X X N -，因

此

~(0,1)N

，故22~(1)χ，故B 错误，由2

211()1n i i S X X n ==--∑可得

，

2

221

(1)()~(1)

n

i i n S X X n χ=-=--∑，

1

~(0,)

X N n

μ-，则

有

)~(0,1)X N μ-，因此22()~(1)n X μχ-。

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。 （9）已知函数2

1()1f x x

=+，则(3)

(0)f =_________。 【答案】0

【解析】246222

1

()1()(1)1n

n n n n f x x x x x x x

∞∞

====-+-+=-=-+∑∑，因此

230

'''()(1)2(21)(22)n n n f x n n n x ∞

-==---∑，代入可得(3)(0)0f =。

（10）微分方程''2'30y y y ++=的通解为y =_________。

【答案】12()x

e c c -+

【解析】由''2'30y y y ++=，所以2230λλ++=，因此1λ=-，因此通解为：

12()x e c c -+。

（11）若曲线积分

221

L xdy aydy x y -+-?在区域22

{(,)|1}D x y x y =+<内与路径无关，则a =_________。

【答案】－1 【解析】设2222

(,),(,)11

x ay

P x y Q x y x y x y -=

=+-+-，因此可得： 22222222,(1)(1)P xy Q axy y x y x x y ??=-=?+-?+-，根据P Q

y x

??=??，因此可得1a =-。 （12）幂级数

11

1

(1)n n n nx ∞

--=-∑

在区间(1,1)-内的和函数()S x =_________。 【答案】

2

1(1)x +

【解析】

111211

1(1)[(1)]'()'1(1)

n n n n

n n x nx x x x ∞

∞---==-=-==++∑

∑。 （13）设矩阵101112011A ??

??=??????

，123,,ααα为线性无关的3维向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为_________。

【答案】2

【解析】因为123123(,,)(,,)A A A A αααααα=，而

101101101112011011011011000A ??????

??????=→→??????

????????????

，因此()2r A =，所以向量组

123,,A A A ααα的秩2。

（14）设随机变量X的分布函数为

4

()0.5()0.5()

2

x

F x x

-

=Φ+Φ，其中()x

Φ为标准正

态分布函数，则EX=_________。【答案】2

【解析】

2

2

2

2

2

4

()

2

22

(4)

222

1

()'()

2

x

x

x

x

f x F x

-

--

-

-

-

?

==+?

=+

因此可得2

EX=。

三、解答题：15~23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（15）（本题满分10分）

设函数(,)

f u v具有2阶连续偏导数，(,cos)

x

y f e x

=，求

2

00

2

|,|

x x

dy d y

dx dx

==

。

【答案】'

01

|(1,1)

x

dy

f

dx=

=，

2

''''

01112

2

|(1,1)(1,1)(1,1)

x

d y

f f f

dx=

=--

【解析】因为(,cos)

x

y f e x

=，所以''

12

sin

x

dy

f e f x

dx

=-，因此'

01

|(1,1)

x

dy

f

dx=

=

2

''''''''''

1112121222

2

(sin)(sin)sin cos

x x x x

d y

f e f x e f e f e f x x f x

dx

=-+---

因此得：

2

''''

01112

2

|(1,1)(1,1)(1,1)

x

d y

f f f

dx=

=--

（16）（本题满分10分）

求

2

1

lim ln(1)

n

n

k

k k

n n

→∞

=

+

∑

【答案】

1

4

【解析】由定积分的定义可知，

1

20

1

lim ln(1)ln(1)

n

n

k

k k

x x dx

n n

→∞

=

+=+

∑?，然后计算定积分，

21

11212

0000

111ln(1)ln(1)(1)ln(1)|(1)221x x x dx x d x x x dx x -+=+-=+--?+??? 1011

(1)24

x dx =-

-=? （17）（本题满分10分）

已知函数()y x 由方程3

3

3320x y x y +-+-=确定，求()y x 的极值。 【答案】极大值为(1)1y =，极小值为(1)0y -=。

【解析】对3

3

3320x y x y +-+-=关于x 求导得：2

2

33'33'0x y y y +-+=， 令'0y =得233x =，因此1x =±，当1x =时，1y =，当1x =-时，0y =。

对2233'33'0x y y y +-+=关于x 再次求导得：22

66(')3''3''0x y y y y y +++=，将

'0y =代入可得26(33)''0x y y ++=

当1x =时，1y =时，代入可得''1y =-，当1x =-时，0y =时，代入可得''2y =，因此有函数的极大值为(1)1y =，极小值为(1)0y -=。

（18）（本题满分10分）

设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0

()

lim 0x f x x

-

→<，证明： （Ⅰ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根；

（Ⅱ）方程2

()'()('())0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。 【答案】

（Ⅰ）证：因为0

()

lim 0x f x x

-

→<，由极限的局部保号性知，存在(0,)c δ∈，使得()0f c <，而(1)0f >，由零点存在定理可知，存在(,1)c ξ∈，使得()0f ξ=。

（

Ⅱ

）

构

造

函

数

()()'()F x f x f x =，因此

(0)(0)'(0)0,()()'()0F f f F f f ξξξ====，

因为0

()

lim 0x f x x

-

→<，所以'(0)0f <，由拉格朗日中值定理知，存在(0,1)η∈，使得

(1)(0)

'()010

f f f η-=>-，所以'(0)'()0f f η<，因此根据零点定理可知存在

1(0,)ξη∈，使得1'()0f ξ=，所以111()()'()0F f f ξξξ==，所以原方程至少有两个不同

实根。 【解析】略

（19）（本题满分10分） 设薄片型物体S

时圆锥面z =

被柱面22z x =割下的有限部分，其上任一点的弧

度为(,,)u x y z =C ， （Ⅰ）求C 在xOy 平面上的投影曲线的方程； （Ⅱ）求S 的质量M 。

【答案】（Ⅰ）22(1)1

x y z ?-+=?=?；（Ⅱ）64。

【解析】（Ⅰ）C

的方程为22z z x

?=??=??，投影到xOy 平面上为22(1)10x y z ?-+=?=?

（Ⅱ）(,,)M u x y z dS =

=∑∑

????

，dS ==

因此有2cos 2

322

2

2

14418cos 643M d r dr d π

πθ

ππ

θθθ--====∑

??

?。 （20）（本题满分11分）

三阶行列式123(,,)A ααα=有3个不同的特征值，且3122ααα=+， （Ⅰ）证明()2r A =；

（Ⅱ）如果123βααα=++，求方程组Ax β=的通解。 【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）(1,2,1)(1,1,1),T

T

k k R -+∈。

【解析】（Ⅰ）证：因为A 有三个不同的特征值，所以A 不是零矩阵，因此()1r A ≥，若

()1r A =，那么特征根0是二重根，这与假设矛盾，因此()2r A ≥，又根据

3122ααα=+，所以()2r A ≤，因此()2r A =。

（Ⅱ）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个解向量，又3122ααα=+，即

12320ααα+-=，因此基础解系的一个解向量为(1,2,1)T -。因为123βααα=++，故 Ax β=的特解为(1,1,1)T ，因此Ax β=的通解为(1,2,1)(1,1,1),T T k k R -+∈。

（21）（本题满分11分）

设222

123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准型为22

1122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q 。

【答案】2a =

，正交矩阵326032

6Q ??- ? = ? ? ? ??

?

【解析】

二次型对应的矩阵为21411141A a -??

?=- ? ?-??

，因为标准型为22

1122y y λλ+，所以0A =，从

而46a +=，即2a =，代入得2

14

11104

1

2

E A λλλλ---=

-+-=--，解得0,3,6λ=-；

当0λ=时，2140111412E A --?? ?-=-- ? ?--??，化简得111012000--?? ?

- ? ???

，对应的特征向量为

()11,2,1T

k ；

当3λ=-时，5143121415E A --?? ?--=--- ? ?--??，化简得1210

11000---?? ?

? ???

，对应的特征向量为()21,1,1T

k -；

当6λ=时，4146171414E A -?? ?-=-- ? ?-??，化简得171010000--?? ?

? ???

，对应的特征向量为

()31,0,1T

k -；

从而正交矩阵2032

6Q ?-

= ?

?

。 （22）（本题满分11分）

设随机变量X 和Y 相互独立，且X 的概率分布为1

(0)(2)2

P X P X ====

，Y 的概率密度为2,01

()0,y y f y <

其他

（Ⅰ）求{}P Y EY ≤；

（Ⅱ）求Z X Y =+的概率密度。 【答案】 （Ⅰ）

49

（Ⅱ）()11

()(1)22

Z Y Y F z F z F z =+- 【解析】

（Ⅰ）由数字特征的计算公式可知：1

20

2

()23

EY yf y dy y dy +∞

-∞

=

==

?

?，则{}22

3

3024()239P Y EY P Y f y dy ydy -∞??≤=≤===???

???

（Ⅱ）先求Z 的分布函数，由分布函数的定义可知：

(){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤。由于X 为离散型随机变量，则由全概率公式可知

(){}

{}{}{}{}{}{}0|01|111

Y z 12211

()(1)22Z Y Y F z P X Y z P X P X Y z X P X P X Y z X P P Y z F z F z =+≤==+≤=+=+≤==

≤+≤-=+-

（其中()Y F z 为Y 的分布函数：(){}Y F z P Y z =≤） （23）（本题满分11分）

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,

,n X X X 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ，该工

程师记录的是n 次测量的绝对误差||,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=，利用12,,,n Z Z Z 估计σ

（Ⅰ）求1Z 的概率密度；

（Ⅱ）利用一阶矩求σ的矩估计量； （Ⅲ）求σ的最大似然估计量。 【答案】

（Ⅰ）(

)2

2

2,0()'0,0z z f z F z z σ-?>==≤?

（Ⅱ）^

1

n

i i Z σ==

=

（Ⅲ）^

σ= 【解析】

（Ⅰ）因为2~(,)i X N μσ，所以2

~(0,)i i Y X N μσ=-，对应的概率密度为

(

)22

2y Y f y σ-

=

，设i Z 的分布函数为()F z ，对应的概率密度为()f z ；

当0z <时，()0F z =；

当0z ≥时，(){}{}

{

}2

22y z

i i i F z P Z z P Y z P z Y z dy σ--=≤=≤=-≤≤=

?

；则

i Z 的概率密度为(

)2

2

2,0()'0,0z z f z F z z σ-?>==≤?

；

（Ⅱ）因为22

20

z i EZ dz σ-

+∞

=

=

?

，所以i σ=，从而σ

的矩估计量为^

1

n

i i Z σ==

=

；

（Ⅲ）由题可知对应的似然函数为(

)22

2121

,,,i Z n

n i L z z z σσ-

==

……，

，取对数得：

221ln ln ln 2n

i i Z L σσ=??=- ? ???∑，所以231ln ()1n i i Z d L d σσσ

σ=??=-+ ???∑，令ln ()

0d L d σσ=，

得σ=σ

的最大似然估计量为^σ=