点电荷平衡1

物理建模 三电荷平衡模型 两个等量点电荷电场的分布模型

三电荷平衡模型

1．模型构建

对由三个自由电荷组成的系统，且它们仅靠彼此间的静电力作用而处于平衡状态，该系统即为三电荷平衡模型． 2．模型条件

(1)三个点电荷共线．

(2)三个点电荷彼此间仅靠电场力作用达到平衡，不受其他外力．

(3)任意一个点电荷受到其他两个点电荷的电场力大小相等，方向相反，为一对平衡力． 3．模型特点

(1)“三点共线”——三个点电荷分布在同一直线上． (2)“两同夹异”——正负电荷相互间隔． (3)“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小．

(4)“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷．

【典例1】 如图6－1－13所示，在光滑绝缘水平面上放置电荷量分别为q 1、q 2、q 3的三个点电荷，三者位于一条直线上，已知q 1与q 2之间的距离为l 1，q 2与q 3之间的距离为l 2，三个点电荷都处于静止状态．

图6－1－13

(1)若q 2为正电荷，判断q 1和q 3的电性； (2)求q 1、q 2、q 3三者电荷量大小之比．

解析 (1)q 2为正电荷时，假设q 1为正电荷，要使q 2受力平衡，q 3应为正电荷，但此时分析q 1的受力情况，q 2对q 1有向左的斥力，q 3对q 1也有向左的斥力，q 1所受合力向左，不能平衡，因此，q 2为正电荷时，q 1只能为负电荷．同理可知，q 3为负电荷． (2)三个点电荷所受合力都等于零，根据共点力平衡条件和库仑定律有 对q 2：k

q 1q 2l 21＝k q 2q 3l 22 对q 1：k q 1q 2l 21＝k q 1q 3

l 1＋l 2

2 联立可解得q 1∶q 2∶q 3＝?

????l 1＋l 2l 22∶1∶? ????l 1＋l 2l 12答案(1)负，负 (2)? ????l 1＋l 2l 22∶1∶? ??

??l 1＋l 2l 12

即学即练1 两个可自由移动的点电荷分别放在A 、B 两处，如图6－1－14所示．A 处电荷

带正电荷量Q 1，B 处电荷带负电荷量Q 2，且Q 2＝4Q 1，另取一个可以自由移动的点电荷Q 3，放在AB 直线上，欲使整个系统处于平衡状态，则( )．

图6－1－14

A ．Q 3为负电荷，且放于A 左方

B ．Q 3为负电荷，且放于B 右方

C ．Q 3为正电荷，且放于A 、B 之间

D ．Q 3为正电荷，且放于B 右方

解析 因为每个电荷都受到其余两个电荷的库仑力作用，且已知Q 1和Q 2是异种电荷，对Q 3的作用力一为引力，一为斥力，所以Q 3要平衡就不能放在A 、B 之间．根据库仑定律知，由

于B处的电荷Q2电荷量较大，Q3应放在离Q2较远而离Q1较近的地方才有可能处于平衡，故应放在Q1的左侧．要使Q1和Q2也处于平衡状态，Q3必须带负电，故应选A.

答案 A

两个等量点电荷电场的分布模型

1．模型构建

2．模型条件

(1)等量

(2)点电荷

3．模型特点

【典例2】如图6－1－15为真空中两点电荷、形成的电场中的一簇电场线，已知该电场线关于虚线对称，O点为A、B电荷连线的中点，a、b为其连线的中垂线上对称的两点，则下列说法正确的是( )．

图6－1－15

A．A、B可能带等量异号的正、负电荷

B．A、B可能带不等量的正电荷

C．a、b两点处无电场线，故其电场强度可能为零

D．同一试探电荷在a、b两点处所受电场力大小相等，方向一定相反

解析根据题图中的电场线分布可知，A、B带等量的正电荷，选项A、B错误；a、b两点处虽然没有画电场线，但其电场强度一定不为零，选项C错误；由图可知，a、b两点处电场强度大小相等，方向相反，同一试探电荷在a、b两点处所受电场力大小相等，方向一定相反，选项D正确．

答案 D

即学即练

1．(2010·全国Ⅱ，17)在雷雨云下沿竖直方向的电场强度约为104 V/m.已知一半径为1 mm 的雨滴在此电场中不会下落，取重力加速度大小为10 m/s2，水的密度为103 kg/m3.这雨滴携带的电荷量的最小值约为( )．

A ．2×10－9C

B ．4×10－9

C

C ．6×10－9C

D ．8×10－9

C

解析 由于雨滴在此电场中不会下落，则有：

qE ≥mg ＝4

3

πr 3·ρg

雨滴所带电荷量为：q ≥43πr 3

ρg E

≈4×10－9

C ，

正确选项为B. 答案

B

2．(2010·海南单科，4)如图，M 、N 和P 是以MN 为直径的半圆弧上的三点，O 点为半圆弧的圆心，∠MOP ＝60°.电荷量相等、符号相反的两个点电荷分别置于M 、N 两点，这时O 点电场强度的大小为E 1；若将N 点处的点电荷移至P 点，则O 点的场强大小变为E 2，E 1与E 2之比为( )．

A ．1∶2

B ．2∶1

C ．2∶ 3

D ．4∶

3

解析 依题意，每个点电荷在O 点产生的场强为E 1

2

，则当N 点处的点电荷移至P 点时，O 点

场强如图所示，合场强大小为E 2＝E 12，则E 1E 2＝2

1

，B 正确．

答案

B

3．(2011·上海单科，16)如图，在水平面上的箱子内，带异种电荷的小球a 、b 用绝缘细线分别系于上、下两边，处于静止状态．地面受到的压力为N ，球b 所受细线的拉力为F .剪断连接球b 的细线后，在球b 上升过程中地面受到的压力( )． A ．小于N B ．等于N

C ．等于N ＋F

D ．大于N ＋F

解析 剪断连接球b 的细线后，b 球会向上加速，造成两球之间的静电力F 电增大，设箱子质量为M ，剪断前由整体法有N ＝Mg ＋m a g ＋m b g ，F 电＝m b g ＋F .剪断后对箱和a 球有N ′＝Mg ＋m a g ＋F 电′＝N －m b g ＋F 电′，由于F 电′>F 电，所以N ′>N ＋F ，故选D. 答案 D

4．(2011·重庆卷)如图所示，电量为＋q 和－q 的点电荷分别位于正方体的顶点，正方体范围内电场强度为零的点有( )． A ．体中心、各面中心和各边中点 B ．体中心和各边中点 C ．各面中心和各边中点 D ．体中心和各面中心

解析 根据点电荷场强公式E ＝

kQ

r 2

及正方体的对称性可知正方体的体中心点及各面的中心点处场强为零，故答案为D. 答案 D

5．(2011·海南卷，3)三个相同的金属小球1、2、3分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径．球1的带电荷量为q ，球2的带电荷量为nq ，球3不带电且离球1和球2很远，此时球1、2之间作用力的大小为F .现使球3先与球2接触，再与球1接触，然后将球3移至远处，此时球1、2之间作用力的大小仍为F ，方向不变．由此可知( )． A ．n ＝3 B ．n ＝4 C ．n ＝5 D ．n ＝6

解析 根据库仑定律，球3未与球1、球2接触前，球1、2间的库仑力F ＝k nq 2

r

2，三个金属

小球相同，接触后电荷量均分，球3与球2接触后，球2和球3的带电荷量q 2＝q 3＝nq

2

，球

3再与球1接触后，球1的带电荷量q 1＝

q ＋

nq 22

＝ n ＋2 q 4

，此时1、2间的作用力F ′＝

k

nq 2·

n ＋2 q 4

r 2

＝k n n ＋2 q 28r 2

，由题意知F ′＝F ，即n ＝n n ＋2 8

，解得n ＝6.故D 正确． 答案 D

6．(2013·北京卷，18)某原子电离后其核外只有一个电子，若该电子在核的静电力作用下绕核做匀速圆周运动，那么电子运动( )．

A ．半径越大，加速度越大

B ．半径越小，周期越大

C ．半径越大，角速度越小

D ．半径越小，线速度越小 解析 本题是以微观情景为背景，电子所受的库仑力提供向心力，可根据库仑定律和圆周运动知识来判断．

对电子来说，库仑力提供其做圆周运动的向心力，则k Qq r 2＝ma ＝m v 2r ＝m ω2

r ＝m 4π2

T

2r 得：a ＝

kQq

mr 2

，v ＝kQq

mr ，ω＝kQq

mr 3

，T ＝4π2r 3

m

kQq

，因此选项C 正确．

答案 C

7．(2012·浙江理综，19)用金属箔做成一个不带电的圆环，放在干燥的绝缘桌面上．小明同学用绝缘材料做的笔套与头发摩擦后，将笔套自上而下慢慢靠近圆环，当距离约为0.5 cm 时圆环被吸引到笔套上，如图所示．对上述现象的判断与分析，下列说法正确的是( )． A ．摩擦使笔套带电

B ．笔套靠近圆环时，圆环上、下部感应出异号电荷

C ．圆环被吸引到笔套的过程中，圆环所受静电力的合力大于圆环的重力

D ．笔套碰到圆环后，笔套所带的电荷立刻被全部中和

解析 笔套与头发摩擦后，能够吸引圆环，说明笔套上带了电荷，即摩擦使笔套带电，选项A 正确；笔套靠近圆环时，由于静电感应，会使圆环上、下部感应出异号电荷，选项B 正确；圆环被吸引到笔套的过程中，是由于圆环所受静电力的合力大于圆环所受的重力，故选项C 正确；笔套接触到圆环后，笔套上的部分电荷转移到圆环上，使圆环带上相同性质的电荷，选项D 错误． 答案 ABC

8．(2012·安徽卷)如图11甲所示，半径为R 的均匀带电圆形平板，单位面积带电量为σ，其轴线上任意一点P (坐标为x )的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：E

＝2πk σ?

?????

??

1－x R 2＋x 2

12，方向沿x 轴．现考虑单位面积带电量为σ0的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r 的圆板，如图乙所示．则圆孔轴线上任意一点Q (坐标为x )的

电场强度为( )．

A ．2πk σ

x r 2＋x 2 12 B ．2πk σ0r

r 2＋x 2

12

C ．2πk σ

x

r D ．2πk σ

r x

解析 根据半径为R 的均匀带电圆形平板在P 点的电场强度E ＝2πk σ?

?????

??

1－x R 2＋x 2

12，用极限思维法推知当带电圆板无限大时(即当R ―→∞)的电场强度E ′＝2πk σ，对于无限

大带电平板，挖去一半径为r 的圆板的电场强度，可利用填补法，即将挖去的圆板填充进去，这时Q 点的电场强度E Q ＝2πk σ0，则挖去圆板后的电场强度E Q ′＝2πk σ0－

2πk σ0????????1－x r 2＋x 2

12＝2πk σ0x r 2＋x 2

12

，故选项A 正确．选项B 、C 、D 错误．

答案 A

题组一 对电场强度理解及计算

1．(多选)下列关于电场强度的两个表达式E ＝F q 和E ＝kQ r

2的叙述，正确的是( )． A ．E ＝F q 是电场强度的定义式，F 是放入电场中的电荷所受的力，q 是产生电场的电荷的电荷量

B ．E ＝F q

是电场强度的定义式，F 是放入电场中电荷所受的电场力，q 是放入电场中电荷的电荷量，它适用于任何电场

C ．E ＝kQ r

2是点电荷场强的计算式，Q 是产生电场的电荷的电荷量，它不适用于匀强电场 D ．从点电荷场强计算式分析库仑定律的表达式F ＝k q 1q 2r 2，式kq 2

r

2是点电荷q 2产生的电场在点电荷q 1处的场强大小，而

kq 1

r 2

是点电荷q 1产生的电场在q 2处场强的大小 解析 公式E ＝F q

是电场强度的定义式，适用于任何电场．E ＝kQ r

2是点电荷场强的计算公式，只适用于点电荷电场，库仑定律公式F ＝k

q 1q 2r 2可以看成q 1在q 2处的电场E 1＝kq 1

r

2对q 2的作用力，故A 错误，B 、C 、D 正确．

答案 BCD 2．(单选)图6－1－17中边长为a 的正三角形ABC 的三个顶点分别固定三个点电荷＋q 、＋q 、－q ，则该三角形中心O 点处的场强为( )．

图6－1－17

A.6kq a 2，方向由C 指向O

B.6kq

a

2，方向由O 指向C

C.

3kq a

2，方向由C 指向O D.3kq a

2，方向由O 指向C

解析 每个点电荷在O 点处的场强大小都是E ＝

kq 3a /3

2

＝3kq

a 2，画出矢量叠加的示意图，如图所示，由图可得O 点处的合场强为E 0＝2E ＝6kq

a

2，方向由O 指向C .B 项正确．

答案 B

3．(2013·海南卷，1)(单选)如图6－1－18，电荷量为q 1和q 2的两个点电荷分别位于P 点和Q 点．已知在P 、Q 连线上某点R 处的电场强度为零，且PR ＝2RQ .则( )．

图6－1－18

A ．q 1＝2q 2

B ．q 1＝4q 2

C ．q 1＝－2q 2

D ．q 1＝－4q 2

解析 由于R 处的合场强为0，故两点电荷的电性相同，结合点电荷的场强公式E ＝k q r

2可知

k q 1r 21－k q 2

r 22

＝0，又r 1＝2r 2，故q 1＝4q 2，本题选B. 答案 B

题组二 库仑力作用下的平衡问题

4．(单选)如图6－1－19所示，两个电荷量均为＋q 的小球用长为l 的轻质绝缘细绳连接，静止在光滑的绝缘水平面上．两个小球的半径r ?l ，k 表示静电力常量．则轻绳的张力大小为( )．

图6－1－19

A ．0

B ．kq 2

l

2

C ．2kq 2

l

2

D ．kq l

2

解析 轻绳的张力大小等于两个带电小球之间的库仑力，由库仑定律知，F ＝kq 2

l

2，B 正确．

答案 B 5．(单选)如图6－1－20所示，悬挂在O 点的一根不可伸长的绝缘细线下端有一个带电荷量不变的小球A .在两次实验中，均缓慢移动另一带同种电荷的小球B .当B 到达悬点O 的正下方并与A 在同一水平线上，A 处于受力平衡时，悬线偏离竖直方向的角度为θ.若两次实验中B 的电荷量分别为q 1和q 2，θ分别为30°和45°，则q 2q 1

为( )．

图6－1－20 A ．2 B ．3 C ．2 3

D ．3 3

解析 对A 受力分析如图所示，由库仑定律得F ＝k q A q B

r 2

； 又r ＝l sin θ，F ＝G tan θ

由以上各式可解得q B ＝Gl 2sin 2θtan θ

kq A

，

因G 、l 、q A 、k 不变，则

q 2q 1＝sin 2 45°tan 45°sin 2 30°tan 30°

＝2 3.故C 正确． 答案 C

6．(单选)如图6－1－21所示三个点电荷q 1、q 2、q 3在一条直线上，q 2和q 3的距离为q 1和q 2距离的两倍，每个点电荷所受静电力的合力为零，由此可以判定，三个点电荷的电荷量之比q 1∶q 2∶q 3为( )．

图6－1－21

A ．(－9)∶4∶(－36)

B ．9∶4∶36

C ．(－3)∶2∶(－6)

D ．3∶2∶6

解析 由三电荷平衡模型的特点“两同夹异”可知，q 1和q 3为同种电荷，它们与q 2互为异种电荷，设q 1和q 2距离为r ，则q 2和q 3的距离为2r ，对于q 1有

kq 2q 1r 2＝kq 1q 3 3r 2，则有q 2q 3＝1

9

，对q 3有kq 1q 3 3r 2＝kq 2q 3 2r 2，所以q 1q 2＝9

4

，考虑到各电荷的电性，故A 正确．

答案 A

题组三 对电场线的理解及应用

图6－1－22

7．(单选)某静电场的电场线分布如图6－1－22所示，图中P 、Q 两点的电场强度的大小分别为E P 和E Q ，电势分别为φP 和φQ ，则( )． A ．E P >E Q ，φP >φQ B ．E P >E Q ，φP <φQ C ．E P φQ D ．E P

解析 根据沿着电场线的方向电势是降落的，可以判断出φP >φQ ；根据电场线的疏密表示电场的强弱，可以判断出E P >E Q ，故选A.

答案 A

图6－1－23

8．(单选)如图6－1－23所示，实线是电场线，一带电粒子只在电场力的作用下沿虚线由A 运动到B 的过程中，其速度—时间图象是选项中的( )．

解析 电场力的方向指向凹的一面且沿与电场线相切的方向，因此粒子从A 到B 的过程中电场力与速度的夹角大于90°，粒子做减速运动，电场力越来越小，加速度越来越小，故B 项正确． 答案 B

9．(2013·云南昆明质检)(多选)A 、B 为一电场中x 轴上的两点，如图6－1－24甲所示．一电子仅在电场力作用下沿x 轴运动，该电子的动能E k 随其坐标变化的关系如图乙所示，则下列说法正确的是( )．

图6－1－24

A ．该电场不可能是点电荷形成的电场

B ．A 、B 两点电场强度大小关系为E A

C ．A 、B 两点电势的关系为φA <φB

D ．电子在A 、B 两点的电势能大小关系为

E pA

解析 由动能定理得Fx ＝E k ，则F ＝E k x

，可知电子所受的电场力不变，电场强度不变，故B 错误，A 正确；电子由A 到B 电场力做正功，电势能减小，D 错误；电场线的方向由B 指向A ，沿着电场线电势降低，故φA <φB ，C 正确． 答案 AC