向量法求异面直线夹角线面角和二面角
用向量法求二面角的平面角教案
第三讲：立体几何中的向量方法——利用空间向量求二面角的平面角 大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1．使学生会求平面的法向量； 2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点
求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向量法. 教学难点 求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈） 向量夹角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） Ⅱ、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形，?=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ，
用向量法求二面角的平面角教案
第三讲：立体几何中的向量方法 利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形” 的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数 方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课 程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。 空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1使学生会求平面的法向量； 2?使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3. 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题; 4. 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高 教学重点 求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向量法 教学难点 求解二面角的平面角的向量法 教学过程 I、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：[0,]）
2、 法向量的方向： 一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面 角等于法向量夹角的补角 . 3、 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” ： （1） 建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何 问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2） 通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行 向量运算） （3） 把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回到图形） n 、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形， ABC 90 , SA 求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值? 分析 分别以BA, AD,AS 所在直线为x,y,z 轴， 建立空间直角坐标系，求出平面 SCD 的法向量 仁, 平面SBA 法向量n 2，利用n i , n 2夹角 cos cos n 1, n 2 结论： 或 ——■ cos cos 门1,门2 cos cos n j , n 2 统一为： n 1 n 2 |n 1 n 2 1 面 ABCD , SA AB BC 1, AD -, 2
《用向量法求直线与平面所成的角》教案
第二讲：立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求直线与平面所成的角 大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线面角的求法进行总结。 教学目标 1.使学生学会求平面的法向量及直线与平面所成的角的向量方法； 2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量； 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学难点 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾有关知识： 1、直线与平面所成的角：（范围：]2 , 0[π θ∈） 思考：设平面α的法向量为，则><,与θ的关系？ A B θ αO
《用向量法求异面直线所成的角》教案
第一讲：立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求异面直线所成的角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线线角的求法进行总结。 教学目标 1.使学生学会求异面直线所成的角的向量方法； 2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求解异面直线所成的角的向量法. 教学难点 求解异面直线所成的角的向量法. 教学过程
Ⅰ、复习回顾 一、回顾有关知识： 1、两异直线所成的角：（范围：） （1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a′与b′，那么直线a′与b′所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b 所成的角. （2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a、b 的方向向量分别为和， 问题1：当与的夹角不大于90°时，异面直线a、b 所成 的角与和的夹角的关系？ 问题2：与的夹角大于90°时，，异面直线a、b 所成的角与和的夹角的关系？ 两向量数量积的定义： a b O
§3.2.2立体几何中的向量方法(4)及详解——向量法求线线角与线面角
§立体几何中的向量方法（4） 向量法求线线角与线面角 一、学习目标 1．理解直线与平面所成角的概念． 2．掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法． 二、问题导学 问题1：什么叫异面直线所成的角它的范围是什么怎样用定义法求它的大小 问题2：怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角 设l 1与l 2是两异面直线，a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量，l 1、l 2所成的角为θ， 则〈a ，b 〉与θ ，cos θ＝ 。 问题3：用向量的数量积可以求异面直线所成的角，能否求线面角 如图，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量， n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，θ＝〈a ，n 〉， 则sin φ＝ 。 三、例题探究 例1．如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D 的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角． 变式：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的 班别： _____________ 学号： _____________ 高二理科数学 导学案
中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于 ( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 例2．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C； (2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2， 求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值． 变式：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．求BD与平面ADMN所成的角θ. 四、练一练（时间：5分钟） 1. 1．若平面α的法向量为μ，直线l的方向向量为v， 直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是 ( ) A．cosθ＝μ·v |μ||v| B．cosθ＝ |μ·v| |μ||υ| C．sinθ＝ μ·v |μ||v| D．sinθ＝ |μ·v| |μ||v|
用空间向量解决空间中“夹角”问题
利用空间向量解决空间中的“夹角”问题 学习目标 ： 1.学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法； 2.能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.提高分析与推理能力和空间想象能力。 重点 ： 利用空间向量解决空间中的“夹角” 难点 ： 向量夹角与空间中的“夹角”的关系 一、复习引入 1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） 2．向量的有关知识： （1）两向量数量积的定义：><=?,cos |||| （2）两向量夹角公式：| |||,cos b a >= < （3）平面的法向量：与平面垂直的向量 二、知识讲解与典例分析 知识点1：异面直线所成的角（范围：]2 , 0(π θ∈） （1）定义：过空间任意一点o 分别作异面直线a 与b 的平行线a′与b′，那么直线a′与b′ 所成的锐角或直角，叫做异面直线a 与b 所成的角. （2）用向量法求异面直线所成角 设两异面直线a 、b 的方向向量分别为和， 问题1： 当与的夹角不大于90 的角θ与 和 的夹角的关系？问题 2：a 与b 的夹角大于90°时，，异面直线a θ与a 和b 的夹角的关系？ 结论：异面直线a 、b 所成的角的余弦值为| ||||,cos |cos n m = ><=θ a
例1如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和1CB 所成的角. 解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。 解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则 )2,,0(),0,21,23(),2,21,23(),0,0,0(11a a B a a C a a a C A -- ∴ )2,21,23(1a a a AC -=，)2,21 ,23(1a a a CB = 即21 323||||,cos 22 111111==>=<,与θ的关系？ 例2、如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和B B AA 11面所成角的正弦值. 分析：直线与平面所成的角步骤： 1. 求出平面的法向量 2. 求出直线的方向向量 3. 求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角 解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则),0,,0(),2,0,0(1a a AA ==)2,21 ,23(1a a a AC -= 设平面B B AA 11的法向量为),,(z y x n = x y
用向量法求直线与平面所成的角教案
用向量法求直线与平面所 成的角教案 Prepared on 24 November 2020
第二讲：立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求直线与平面所成的角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线面角的求法进行总结。 教学目标 1.使学生学会求平面的法向量及直线与平面所成的角的向量方法； 2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量； 求解直线与平面所成的角的向量法.
教学难点 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾有关知识： 1、直线与平面所成的角：（范围：]2,0[π θ∈） 思考：设平面α的法向量为n ，则> 第二讲：立体几何中的向量方法——利用空间向量求直线与平面所成的 角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合 推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般 规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。 空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线面角的求法进行总结。 教学目标 1. 使学生学会求平面的法向量及直线与平面所成的角的向量方法； 2. 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3. 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量； 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学难点 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学过程 I、复习回顾 一、回顾有关知识： 1 1、直线与平面所成的角：（范围：二? [0,—]） 2 思考：设平面:的法向量为n，则::n,BA .与二的关系? JT ■■二日=----- < n, BA > 2 （图 ） 2 学习-----好资料 第一讲：立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求异面直线所成的角 大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线线角的求法进行总结。 教学目标 1.使学生学会求异面直线所成的角的向量方法； 2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求解异面直线所成的角的向量法. 教学难点 求解异面直线所成的角的向量法. 教学过程 更多精品文档． 好资料学习----- Ⅰ、复习回顾 一、回顾有关知识：??],0?(）、两异直线所成的角：（范围：12所成的b′bo（1）定义：过空间任意一点分别作异面直线a与b的平行线a′与′，那么直线a′与. b 所成的角锐角或直角，叫做异面直线a与ba（2的方向向量分别为，和）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a、b a 求线面角的三种常见思路方法 舒云水 本文以2009年湖南卷理18题为例，介绍求线面角的三种常见思路方法，并对这三种方法作比较分析﹒ 如图1，在正三棱柱 111ABC A B C -中，1AB =，点D 是11A B 的中 点，点E 在11AC 上，且 DE AE ⊥． （I ）证明：平面ADE ⊥平面11ACC A ； （II ）求直线AD 和平面1ABC 所成角的正弦值． （Ⅰ）证明略． 下面主要谈（Ⅱ）小题的解法﹒ 思路1：直接作出线面角求解﹒ 分析：因为本题几何图形是特殊的几何体——正三棱柱，点D 在特殊位置上——线段11B A 的中点，所以本题比较容易作出线面角﹒如图2，取AB 的中点F ，连结DF ，1DC ，F C 1，则面⊥1DFC 面1ABC ，过D 作F C DH 1⊥于H ，则⊥DH 面1ABC ，连结AH ，则HAD ∠是AD 和平面1ABC 所成的角﹒ 解法1 如图2，设F 是AB 的中点，连结DF ，1DC ，1C F ．由正三棱柱111ABC A B C -的性质及D 是11A B 的中点知，111A B C D ⊥，11A B DF ⊥． 又1C D DF D =，所以11A B ⊥平面1C DF ． 而11AB A B ∥， 所以AB ⊥平面1C DF ．又AB ?平面1ABC ，故 平面1ABC ⊥平面1C DF ． 过点D 作DH 垂直1C F 于点H ， 则DH ⊥平面1ABC ． 连结AH ，则HAD ∠是直线AD 和平面1ABC 所成的角． 由已知1AB = ，不妨设1AA ，则2AB = ，DF = 1DC 1C F = AD = = 11·5DF DC DH C F = == ． 所以sin 5 DH HAD AD ∠= =． 即直线AD 和平面1ABC ． 思路2：用等体积法求出点D 到面1ABC 的距离h ，AD h 为所求线面角的正弦值． 利用空间向量解立体几何问题1、线面垂直 别解：本题还可以证明向量A1C与平面DBE的法向量平行 11.（2009安徽卷理） 如图，四棱锥F－ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，，AE、CF都与平面 ABCD垂直，AE=1，CF=2. （I ）求二面角B －A F －D 的大小； （向量法）以A 为坐标原点，BD 、AC 、AE 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图） 设平面ABF 的法向量1(,,)n x y z =，则由1100n AB n AF ??=???=?? 得02220 x y y z ?- +=???+=? 令1z = ，得1 x y ?=??=-??1(2,1,1)n =-- 同理，可求得平面ADF 的法向量2(2,1,1)n =-。 由120n n ?=知，平面ABF 与平面ADF 垂直， 二面角B-AF-D 的大小等于 2 π 。 14.（2009江西卷文） 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==， 2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ． （1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求直线PC 与平面ABM 所成的角； （3）求点O 到平面ABM 的距离． 解：方法（一）： （1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ. 因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ， 所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ. （２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ， 由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN 是PN 在平面ABM 上的射影， 所以 P N M ∠就是PC 与平面ABM 所成的角， 且PNM PCD ∠=∠ tan tan PD PNM PCD DC ∠=∠== 所求角为arctan （3）因为O 是BD 的中点，则O 点到平面ABM 的距离等于D 点到平面ABM 距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M ，则|DM|就是D 点到平面ABM 距离. 因为在Rt △PAD 中，4PA AD ==，PD AM ⊥，所以M 为PD 中点，DM =，则O 点到平面ABM 。 方法二： （1）同方法一； （2）如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(0,0,4)P ，(2,0,0)B ， (2,4,0)C ，(0,4,0)D ， (0,2,2)M ， 设平面ABM 的一个法向量(,,)n x y z =，由,n AB n AM ⊥⊥可得：20 220x y z =??+=? ，令1z =-， 则1y =，即(0,1,1)n =-.设所求角为α ，则2sin 3 PC n PC n α ?= = ， 所求角的大小为. （3）设所求距离为h ，由(1,2,0),(1,2,0)O AO =，得：2AO n h n ?= = 25.（2009全国卷Ⅰ文）(本小题满分12分)（注决：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥S ABCD -中， 底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，AD = ， 空间角 1、异面直线所成角的求法一是几何法，二是向量法。异面直线所成的角的范围：(0, ] 2 几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几 何知识求解。基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的 点。常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中 一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是 常用的方法之一。 例 1 在正方体ABCD A B C D 中，E是AB的中点， // （1）求 BA与 CC夹角的度数 . // （2）求 BA与 CB夹角的度数． (3)求 A/ E 与 CB/夹角的余弦值． 例 2：长方体 ABCD— A1B1C1D1中，若 AB=BC=3， AA1=4，求异面直线 B1D 与 BC1所成角的余弦值。 直接平移：常见的利用其中一个直线 a 和另一个直线 b 上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线 a 的 平行线。 解法一：如图④，过B1点作 BE∥ BC1交 CB的延长线于 E 点。 则∠ DBE 就是异面直线DB 与 BC 所成角，连结 DE交 AB于 M， DE=2DM=3 5， 1 1 1 1 7 34 cos ∠DBE= 170 解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过 B 点作 BE∥ DB1交 D1B1的延长线于E，则∠ C1BE就是异面直线DB1与 BC1所成的 角，连结 C1E，在△ B1C1E 中， ∠ C1B1E=135°， C1E=3 5 7 34 ， cos ∠C1BE= 170 课堂思考： 1. 如图， PA矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。 §3.2立体几何中的向量方法（4） 向量法求线线角与线面角 一、学习目标 1．理解直线与平面所成角的概念． 2．掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法． 二、问题导学 问题1：什么叫异面直线所成的角？它的范围是什么？怎样用定义法求它的大小？ 问题2：怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角？ 设l 1与l 2是两异面直线，a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量，l 1、l 2所成的角为θ， 则〈a ，b 〉与θ ，cos θ＝ 。 问题3：用向量的数量积可以求异面直线所成的角，能否求线面角？ 如图，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量， n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，θ＝〈a ，n 〉， 则sin φ＝ 。 三、例题探究 例1．如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D 的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角． 变式：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，点P 在A 1B 1上，则直线PQ 与直线AM 所成的角等于 ( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 班别： _____________ 学号： _____________ 姓名： ___________ 高二理科数学 导学案 例2．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. (1)证明：AB ⊥A 1C ； (2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ＝2， 求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值． 变式：如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝AB ＝2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点．求BD 与平面ADMN 所成的角θ. 四、练一练（时间：5分钟） 1. 1．若平面α的法向量为μ，直线l 的方向向量为v ， 直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是 ( ) A ．cos θ＝μ·v |μ||v| B ．cos θ＝|μ·v||μ||υ| C ．sin θ＝μ·v |μ||v| D ．sin θ＝|μ·v||μ||v| 2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝4 1 1B A ， 则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ） A ．1715 B ．21 C ．17 8 D ．23 3．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长相等，则AC 1与面BB 1C 1C 所成角的余弦值为（ ） A ． 5 4 B ． 104 C ． 52 D ． 102 A B C D 1 E 1 F 1 A 1 B 1 C 1D 向量法求异面直线的距离 解法探求 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 向量法求异面直线的距离解法探求 空间异面直线的距离问题是立体几何的重点，难点，同时也是历届高考试题的热点问 题。如何很好地利用向量法求解这类问题又是一个值得探讨与研究的问题。下举例谈谈向 量法求解这类问题的基本方法与策略。 一、 定义法： 例1、如图1，正方形ABCD 与ABEF 成600的二 面角，且正大光明方形的边长为，M ，N 分别为BD ， EF 的中点，求异面直线BD 与EF 的距离。 解析：选取为,,,AB AF AD 基向量。显然AF AD ,的夹角为600，AD AB ,的夹角为900，AF AB ,的夹角为900，AD AF AB AD AF AB AD FE DF BD FN DF MD MN 2121)()(212121-=+-+-=++=++= EF MN EF MN AB AD AB AF AB AD AF FE MN BD MN BD MN a a AB AD AB AF AD AD AF AB AD AD AF BD MN ⊥⊥∴=?-?=?-=?⊥⊥∴=+--=?+?--?=-?- =?∴即又即）（,02 1)2 1(.,,0002160cos 2 121)21(2022从而MN 为异面直线BD 与EF 的公垂线。 ,2 3||434160cos 41)21(||2202222222a MN a a a a AD AD AF AF AD AF MN MN ==+-=+?-=-== 异面直线BD 与EF 的距离为 a 2 3。 点评：本题利用向量数量积定义，很好地证明MN 为异面直线的公垂线。然 后利用向量模与数量积的关系，巧妙进行了模与向量的转化，解法自然，回味 无穷。 二、射影法： 分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为a ，与这两条异面直线都垂直的法向量为n ，则两异面直线间的距离是a 在n 方向上的正射影向 量的模设为d ，从而由公式| |n n a d =求解。 例2、如图2，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形， ,PA ABCD ⊥底面33PA AB a ==，求异面直线AB 与PC 的距 离。 解析：以A 为坐标原点，AB 为x 轴建立如图所示的直角坐标 系，则B （a,0,0）,C(a,a,o),P(0,0,3a)，则)3,,(),0,0,(a a a PC a AB -==，设PC AB ,的公垂线的方向向量 为),,(z y x n =由 1 线线角、线面角的向量求法 A ．直线与直线所成的角向量求法 知识点 设直线l ，m 的夹角为(0)2 π θθ≤≤，方向向量分别为u 、v ，则cos θ= |||||| ?a b a b ． 注意：当向量的夹角为锐角或直角时，异面直线所成的角等于此时的向量夹角；当向量的夹角为钝角时，异面直线所成的角则是向量 夹角的补角． 例1 （P118页第10题）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别是1DD ，BD ，1BB 的中点． （1）求证：EF CF ⊥； （2）求EF 与CG 所成角的余弦值． 解：如图所示，以D 为原点，DA 为单位长度建立空间直角坐标系D xyz -． 则(0,1,0)C ，因为E ，F ，G 分别是1DD ，BD ，1BB 的中点， 所以1(0,0,)2E ，11(,,0)22F ，1 (1,1,)2 G ． （1）依题意111(,,)222 EF =-，1 1(,,0)2 2 CF =-， 因为111 11 0022222EF CF ???? ?=?+?-+-?= ? ????? ，所以EF CF ⊥，即EF CF ⊥． （2）依题意1(1,0,)2CG = ，因为1111102cos ,||||1 EF CG EF CG EF CG ???+?+ -? ????= =， 所以EF 与CG ． 例2 在正三棱柱111ABC A B C -中，若1AB ，求异面直线1AB 与1C B 所成角的大小． 解法一（向量法）：因为11AB AB BB =+，1111C B C B B B =+，又1A B B B ⊥，111C B BB ⊥，11,60AB C B ??=?，11||||AB B C =，所以 22 22111111 1 1 1||c o s 60| || || |0A B C B A B C B B B B B A B B B B B B B ? =?+? =?-=- =． 所以11AB C B ⊥，即 1AB 与1C B 所成角为90?解法二（坐标法）：取11 AB 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 以1 2 AB 为长度单位，则由1AB ，可知(0,A -，B ，1(0,1,0)B ，1C ． 所以1(0,2,AB =，1(C B =，所以1 1220AB C B ?=-=．即1AB 与1C B 所成的角为90? 自主体验 1．教材P111A 组第1题 结果：（1）60?．（2）45?． A 1A 1D 1C 1B C B D F G E 第二讲:立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求直线与平面所成的 角 大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点,以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战,技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中,向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题,体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法,避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度,减轻了学生学习的负担,体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要,需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理,只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线面角的求法进行总结。 教学目标 1.使学生学会求平面的法向量及直线与平面所成的角的向量方法; 2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题; ３．使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量; 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学难点 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾有关知识： 1、直线与平面所成的角：(范围:]2,0[π θ∈） 思考:设平面α的法向量为n ,则> 异面直线所成角的几种求法 异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。 一、向量法求异面直线所成的角 例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。 解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线 到某个点上。 作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ， 连结GH ，有GH//A 1E 。过F 作CD 的平行线RS ， 分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS 。 由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH 。 在△GHS 中，设正方体边长为a 。 GH=46a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ， 连QH ，可知△GQH 为直角三角形）， HS=2 6a （连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形）， GS= 426a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。 ∴Cos ∠GHS=6 1。 所以直线A 1E 与直线B 1F 所成的角的余弦值为61。 解法二：（向量法） 分析：因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用 点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。 B A C D F E B 1 A 1 D 1 C 1 G H S R P Q 1《用向量法求直线与平面所成的角》教案
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