=a 2 +b 2 = A a + b =
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
③ a : b: C = sin A :sin E : sin C ； 三、解三角形的应用
3、三角形面积公式： S 曲
=^bc sin 2 1 =—ab sin C 2 1 =—ac sin B . 2 1.坡角和坡度:
4、余弦定理：在 MB C 中, a 2 =b 2 +c 2
-2bccosA ，推论: b 2 =a 2 2
+ C - 2ac cos B ，推
论:
1-2,2
… b +c -a cos A = ---------------- 2bc
2 丄 2 .2
r a +c -b cos B = 2ac 坡面与水平面的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度 h 和水平宽度丨的比叫做坡度，用i 表示，根据定义可
c 2 =a 2 +b -2abcosC ，推论: 2 丄-2 2
c a +b -c
cosC = 2ab
坡角的正切，即i = tana .
2.俯角和仰角:
h
如图所示，在同一铅垂面内，在目标视线与水平线所成的夹角中，目标视线在水平视线的上方时叫做仰角，目标视
在水平视线的下方时叫做俯角
3.方位角
二.方法归纳总结 1、三角形中的边角关系 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如
B 点的方位角为a .
注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的, 三角形内角和等于 180 而方位角是相对于正北方向而言的。
三角形中任意两边之和 大于第三边, 任意两边之差小于第三边; 4.方向角:
三角形中大边对大角，小边对小角; 相对于某一正方向的水平角
正弦定理中,a=2R ? i nA, b=2R sinB, c=2R sinC,其中R 是^ABC 外接圆半径.
5.视角:
在余弦定理中：2bccosA=b 2 +c 2 -a 2 由物体两端射出的两条光线，在眼球内交叉而成的角叫做视角
⑹三角形的面积公式有^jah, 111 ----------------------------- ------------------ S=- absinc=-bcsinA=-acsinB , S=JP(P — a) (P — b)(P —c)其中，h 是 BC 边上
高 P 是半周长. 典例分析
考点一正、余弦定理: 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 例1.在M BC 中, BC =2, AC=2<2,B=45o ,A =
已知两角及一边，求其它边角，常选用 正弦定理. 已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用 正弦定理. 例2.在M BC 中,
c=、：3,b=1,B =30o ,a
三
已知三边，求三个角，常选用 余弦定理. 例3.在M BC 中, 若 &3b — c)cosA= acosC,cosA=
已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用 余弦定理.
例4.在犁BC中,
C =120o,c =\迈a,则a,b大小关系是
例13.如图，AB丄BC,CD=32,NACB=30o,NBCD = 75o，乂BDC = 45o，AC 与DB 相交于点E，求AB 的长. A D 例5.在臥BC中,
2cosBsinA=sinC，贝U A ABc 形状是
例6.在弹BC中,
若tan Atan B >1，则就BC是_____ 三角形.
例7.在MBC中,
A=30o,AB/，满足此条件的MBC有两解，则BC边长的取值范围为
例8.已知A ABC的面积s=a : —c，则/C的大小是例9.在MBC 中，acosC +<3asinC - b-c = O.
(1)求A ；
(2)若a=2S ABcT；3，求b，c. ――最值(范围)问题一一
例14.在锐角AABC中，b = 1,C=2，则a的取值范围______ .
例15.如图，已知在四边形ABCD中，AB = AD=1,NBAD=e，而^B CD是正三角形.
(1)将四边形ABCD的面积S表示为e的函数.
(2)求S的最大值以及此时e的值.
综合问题
例10.在MBC 中，若有三边边长分别为a=3,b=5, c=6,则bccos A+ca cosB+abcosC = 例11.在锐角△ ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asin B = J3b.
(1)求角A的大小；［来源：学I科I 网］例16.在也ABC中，角A,B,C所对的边分别是
例17.在朋BC中，角A,B,C所对的边分别是
(1)求角A的值；
(2)且AB，AC = 12,a=2 打，求b,c(bcc).
2 , 2
a -(b+c) =_[
a,b,c，若=-1，且AC.AB=—4则心ABC的面积等于
a,b,c，若sin A=w 3acosC .
(2)若a =6,b +c = 8,求^ ABC的面积.
例18.在锐角心ABC中，a、b、c分别为角A、B、C 所对的边，且J3a=2csi nA.
(I)确定角C的大小;
考点二三角形中的几何计算：
长度问题
例12.在梯形ABCD 中，已知AD//BC,AB=5,AC =9,N BCA=30o，N A DB =45°，求DB的长.
373
(n)若c = 77,且心ABC的面积为——,求a+b的值.
2
6
专题复习六
A .有一内角是30的三角形
B .等边三角形
C .等腰直角三角形
D .有一内角是30。的等腰
13.在△ ABC 中，已知 AB = J2A C ，B= 30目，则 A =
1.在△ ABC 中，角 A , B ，C 的对边为 a ，b , c ,若 c — acosB = (2a —b)cos A ，则△ ABC 是 A .等腰三角形 B .直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 2 ?在△ ABC 中，若/ A = 60° / B = 45° BC= 2丽, 14. 如图所示，在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25m 的建筑物CD .为了测量该山坡相对于水平地面的
e ，在山坡的A 处测得N DAC = 15目，沿山坡前进 50 m 到达B 处，又测得N DBC = 45 .根据以上数据计算可15. 在△ ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , 6若^ ABC 为锐角三角形，且满足
B . 2/2 C. sin B(1 +2cos C) = 2sin Acos
C + cosAsinC ，则下列等式成立的是
A . a = 2b
B . b=2a
C. A=2B
D . B=2A
3?在△ ABC 中, =8逅 b =6, A =60：，贝y sin B 16.AABC 的内角A ,
B ,
C 的对边分别为 a , b , c .已知 si nB+si n A(si nC-cosC)=0 , a=2, c=J^，贝U C=
n A . 12
17.△ ABC 的内角A , B , n
B. 6
C 的对边分别为a , n
n
C 4
D. §
c ,若 2bcosB = acosC+ccosA ,贝U B = 4.在△ ABC 中，若 a =6后，A = 60°, b=6，则角
18.△
ABC 的内角
A ,
B ,
C 的对边分别为a ,
c .已知 C=60b=J6，c=3 ,则 A=
A . 30 ◎或150?
B . 30 ◎ C. 150?
D. 45
4.在 △ ABC 中, A , B, C 的对边分别为 a , b , c,若 bcosC+ccosB= a sin A,贝U △ ABC 的形状为 19 ?在△ ABC 中，角 A , B, C 的对边分别为 a , 2 n
c ,已知A =- 亍，a " b = 1 , 则c =
3
A . 5.在 锐角三角形 △ ABC 中,
B .直角三角形 A , B ,
C 的对边分别为 6. 7. 9.
A . C.钝角三角形
D .不能确定
a ,
b ,
c ,若 a =8,N B =60；N C =75日，则实数 b 等于
厂 32
C. 4丁6
D.——
3
A .
—
1
C. 2 D . 1
在^ ABC 中,
A . 0 在△ ABC 中在△ ABC 中,
在△ ABC 中, n A.-
6 20 .在△ ABC 中,
A , B, C 的对边分别为 a ,
c , 3cos A-cos(B + C) = 1, b = 2, c= 3 ,则 a
=
= 15,b=18,A = 30?, 则此三角形解的个数为
B . 1 已知 a
=4 , B=60 C =75 ° 角A , C 的对边分别为a , 角A , B , C 的对边分别为 n B.- 4 10.在△ ABC 中，角A , B , C 的对边分别为 3 n B . 一 4 c , B . 3
c. 2/2
C. 2 贝 y b = __ b , c ,已知 A = -,a 3 n C.- 3
D . 不能确定
21 .在△ ABC 中, NABC=」,AB = 72,BC = 3 ,
4
则 si M BAC =
A =-，则角C
3 D .
a ,
b ,
c ,已知 a =3,b = A = ，则角 B 等于 3 C.丄或3 4 4
D .以上都不正确
11.在△ ABC 中，已知b = J 3—1, c = J 6, B =15?，则边长a
等于 A . 十1或2 B . (3+1 C. 2 D . 2/3 c
cos A cosB
12 .在△ ABC 中，角A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 ------ =
a
cosC ,则△ ABC 是 c A .迈
10
D 』
5
22 .在△ ABC 中, A . a A b
23.已知△ ABC 中,
24 .在△ ABC 中，a A , B, C 的对边分别为a , b ,
c ,若 C = 120?,c=
，则
B . a< b
C. a = b
D. a 与b 的大小关系不能确定
AB =73, BC = 1, A =30?，贝y AC
=
=1 , B = 450 , c =4j 2，则△ ABC 的外接圆的直径为 25.在△ ABC 中，如果 sin A: sin B : sin C = 2 :3: 4，那么 cosC 等
于
B . C.
2
D.—
3
26. △ ABC 的三个内角满足:
sin B — si nA c
------------ ,贝y sin B- sin C a+ b
B .
2n
C. 一
3 n . 2 n
D . —或——
3 3
28.如图，在△ ABC中，点D在BC 边上, NCAD = n，AC=? ,cosNADB=-y 4 2 10
(1 )求sin C的值；
(2)若BD =5，求AD的长.
32 .在△ ABC 中，角A, B,C 的对边分别是a,b, c，已知
ccosB + ( b-2a)cosC = 0 .
29?在M BC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c，且辰s
in A=(J2b—c)si nB+(J2c-b)si nC .
(1)求角A的大小;
L 2J5
(2)若a = J10,cosB =亠，D为AC的中点，求BD的长.
5
30.已知a, b, c分别为AABC三个内角A, B , C的对边，c=J3asinC+ccosA .
(1)求角A ;
⑵若a=2逅，MBC的面积为T a,求MBC的周长.
, 2a 3c- 2b 33.在A ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b, c，且——=--------------- -------------------------------------------------------------------------
cosA cosB
J5
(1)若b = J5sinB，求a; (2)若a = J6，氐ABC 的面积为，求b+ c.
2
27.如图所示，在△ABC中，sin______
2
-N ABC迟AB =2，点D在线段AC上，且AD =2DC，3，BD肴，则31.在锐角i ABC 中，角 A, B,C所对的边分别是 a,b,c，且J3csinA-acosC+b—2c= 0 . cosNACB =
(I)求角A的大小；
(n) 若a=3,求i ABC面积的最大值.
(1)求角C的大小；
(2)若C = 2，求A ABC周长的最大值.
