初中几何证明题绝对经典
（如图2）
C （如图3）
C
（如图1)
几何证明
1.点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作ABE ?和BCF ?，连接AF ，CE ．取AF 、CE 的中点M 、N ，连接BM ，BN ，MN ．
(1)若ABE ?和FBC ?是等腰直角三角形，且090=∠=∠FBC ABE (如图1)，则MBN ?是三角形．
(2)在ABE ?和BCF ?中，若BA =BE ,BC =BF ,且α=∠=∠FBC ABE ，(如图2)，则MBN ?是
三角形，且=∠MBN .
(3)若将(2)中的ABE ?绕点B 旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么(2)中的结论是否成立？若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.
2.如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC 相交于Q .探究：设A 、P 两点间的距离为x .
(1)当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与PB 之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；
(2)当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系，并写出函数自变量x 的取值范围；
(3)当点P 在线段AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能,指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置.并求出相应的x 值，如果不可能，试说明理由.
Q P D C B
A
3.(1)如图1，四边形ABCD 中，CB AB =，?=∠60ABC ，?=∠120ADC ，请你猜想线段DA 、DC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，四边形ABCD 中，BC AB =，?=∠60ABC ，若点P 为四边形ABCD 内一点，且?=∠120APD ，请你猜想线段PA 、PD 、PC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论．
4. (1)如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =
1
2
∠BAD .求证:EF ＝BE ＋FD ; F
E
D
C
B A
图1 图2 图3
(2) 如图2在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，
且∠EAF =
1
2
∠BAD , (1)中的结论是否仍然成立？不用证明. (3) 如图25-3在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF =
1
2
∠BAD , (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.
图2
图１
5.以ABC ?的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ?和等腰Rt ACE ?，
90,BAD CAE ∠=∠=?连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置及
数量关系．
(1)如图①当ABC ?为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是， 线段AM 与DE 的数量关系是；
(2)将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A 沿逆时针方向旋转?θ(0<θ<90)后，如图②所示，(1)问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．
6.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 在第一象限内，E 是边OB 上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90?，使EF 交矩形的外角平分线BF 于点F ，设C （m ，n ）．
（1）若m = n 时，如图，求证：EF = AE ；
（2）若m ≠n 时，如图，试问边OB 上是否还存在点E ，使得EF = AE ？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若m = tn （t ＞1）时，试探究点E 在边OB 的何处时，使得EF =（t + 1）AE 成立？并求出点E 的坐标．
x
O
E B
A
y C
F
x
O
E B
A
y
C
F x
O E
B
A
y
C
F
7.如图1，已知∠ABC =90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连结QE 并延长交射线
BC 于点F .
（1）如图2，当BP =BA 时，∠EBF =°，猜想∠QFC =°；
（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明；（3）已
知线段AB =32，设BP =x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式．
8. 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，已知AD ＝AB ＝3，BC ＝4，动点P 从B 点出发，沿线段BC 向点C 作匀速运动；动点Q 从点D 出发，沿线段DA 向点A 作匀速运动．过Q 点垂直于AD 的射线交AC 于点M ，交BC 于点N ．P 、Q 两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q 点运动到A 点，P 、Q 两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t 秒． (1)求NC ，MC 的长(用t 的代数式表示)；
(2)当t 为何值时，四边形PCDQ 构成平行四边形？
(3)是否存在某一时刻，使射线QN 恰好将△ABC 的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；
(4)探究：t 为何值时，△PMC 为等腰三角形？
图1
A
C
B
E
Q
F P 图2
A
B
E Q
P
F C
（如图3）
C
1、解：（1）等腰直角 （2）等腰α （3）结论仍然成立
证明：在ABF EBC ??和中，
BA BE ABF EBC BF BC =??
∠=∠??=?
∴△ABF ≌△EBC. ∴AF=CE. ∠AFB=∠ECB ∵M,N 分别是AF 、CE 的中点, ∴FM=CN. ∴△MFB ≌△NCB. ∴BM=BN. ∠MBF=∠NBC
∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC= 2、解：（1）PQ =PB
过P 点作MN ∥BC 分别交AB 、DC 于点M 、N 在正方形ABCD 中，AC 为对角线 ∴AM =PM 又∵AB =MN ∴MB=PN ∵∠BPQ =900
∴∠BPM ＋∠NPQ =900 又∵∠MBP ＋∠BPM =900
∴∠MBP =∠N PQ ∴Rt △MBP ≌Rt △NPQ, ∴PB =PQ
（2）∵S 四边形PBCQ =S △PBC ＋S △PCQ
N M
Q P
D
C
B
A
∵AP =x ∴AM =
2
2
x ∴CQ=CD －2NQ =1－2x 又∵S △PBC =
21BC ·BM =21·1·(1－22x )= 21
-4
2x
S △PCQ =
21CQ ·PN=2
1
(1－2x )·(1－22x )
=22
1x －x 423＋21
∴S 四边形PBCQ =22
1
x －2x ＋1 . (0≤x ≤22)
(3)△PCQ 可能成为等腰三角形.
① 当点P 与点A 重合时，点Q 与点D 重合，
PQ=QC ，此时，x=0.
② 当点Q 在DC 的延长线上，且CP=CQ 时， 有：QN=AM=PM=
x 2
2
，CP=2－x , CN=
CP 22=1－x 2
2 CQ=QN －CN =x 22－（1－x 2
2） =2x －1
∴当2－x =x 2－1时 ，x =1
3、解：（1）如图１，延长CD 至E ，使DA DE =．
可证明EAD ?是等边三角形． 联结AC ，可证明BAD ?≌CAE ?． 故BD CE CD DE CD AD ==+=+．
N M Q
P
D
C
B
A