相似三角形压轴题综合运用(含详解)

教学内容

等腰三角形分类讨论综合

1.理解等腰三角形的性质和判定定理；

2.能用等腰三角形的判定定理进行相关计算和证明；

3.初步体会等腰三角形中的分类讨论思想；

4.体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三角形；

5.培养学生进行独立思考，提高独立解决问题的能力。

。

例1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC= 90°，AB=3，AC=4，AD是BC边上的高，点E、F分别是AB边和AC边上的动点，且∠EDF= 90°．（1）求DE︰DF的值；

（2）设直线DF与直线AB相交于点G，△EFG能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段BE的长；若不能，请说明理由。（★★★★★）

【满分解答】：（1）∵∠BAC= 90°∴∠B +∠C＝90°，

∵AD是BC边上的高∴∠DAC+∠C=90°

∴∠B =∠DAC

又∵∠EDF= 90°

∴∠BDE+∠EDA=∠ADF +∠EDA = 90°

∴∠BDE =∠ADF

∴△BED∽△AFD ∴

DE BD

DF AD

=

∵

3

cot

4

BD AB

B

AD AC

===∴DE︰DF =

3

4

（2）若△EFG为等腰三角形，根据点G的不同位置分两大类讨论：

例1题图

B C

D

E

F

A A A

∴x

y -=

28

…………………………1分 定义域是：20<

（3）解：①当PN PM =时，

∵DC PM // ∴

PN

DN

PM DC =

∴DN DC = 由（2）知：4=PD ，2=DC

∴2=-==DN PD PN PM ………………2分

②当MN MP =时，

∵△ADP ∽△CPB ，4==BC PC 易得：82===PD AD AP 易证：AD MN //

即：四边形AMCD 是平行四边形

∴2==AM DC

∴6=-=AM AP PM …………………………2分 （ 注：当NP NM =时不存在）

动点产生的直角三角形

6.理解直角三角形的性质；

7.能用直角三角形的性质解决相关问题；

8.培养学生分类讨论的思想，并体验动态思维过程； 9.培养学生分析问题、解决问题的能力。

A

P

D C

B

M

N

A

P

D C

B

M

N

练习 1.在ABC ?中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在边CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠。

（1）若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域； （2）当CPQ ? 为直角三角形时，求点P 、B 之间的距离。

【满分解答】：

（1）∵BAP B CPQ APQ ∠+∠=∠+∠，ABC APQ ∠=∠， ∴CQP BAP ∠=∠.

又∵AC AB =，∴C B ∠=∠. ∴QCP ?∽ABP ?. ∴

AB

CP

BP CQ =

. ∵x BP =，8=BC ， ∴x BP BC CP -=-=8，

又∵y CQ =，5=AB ，∴ 58x x y -=

，即x x y 58

512+-=. 故所求的函数关系式为x x y 5

8

512+-=，)80(<

（2）①当90CQP ∠=o

时：如图1， ∴90QAP APQ APQ C ∠+∠=∠=∠o

， ∴90QAP C ∠+∠=o

，则AP BC ⊥ ∴点P 为BC 中点，则4BP = ②当90CPQ ∠=o

时：如图2， ∵B C APQ ∠=∠=∠

∴90BAP CPQ ∠=∠=o

∴4cos 5AB B BP

∠=

=

，解的25

4BP = ③当90C ∠=o 时，不成立。

综上可得，当CPQ ? 为直角三角形时，4BP =或25

4

BP =

。

（图1） （图2）

【备注】：本部分总结解题方法和策略，师生共同总结，大概5分钟左右。

动点产生的直接三角形问题的解题方法和策略：

1.寻找题目中的已知量；

2.观察能否利用“特殊点”、“交点”求解； 3如不能，则利用勾股定理解答；

4.注意：分类讨论，部分题目利用好锐角三角比。

1.已知△ABC 为等边三角形，AB =6，P 是AB 上的一个动点（与A 、B 不重合），过点P 作AB 的垂线与BC 相交于点D ，以点D 为正方形的一个顶点，在△ABC 内作正方形DEFG ，其中D 、E 在BC 上，F 在AC 上。（满分10分，3分+7分）

（1）设BP 的长为x ，正方形DEFG 的边长为y ，写出y 关于x 的函数解析式及定义域； （2）△GDP 是否可能成为直角三角形？若能，求出BP 的长；若不能，请说明理由。 （★★★★★）

【满分解答】：（1）∵△ABC 为等边三角形，

∴∠B=∠C =60o，AB=BC=AC=6. ∵DP ⊥AB ，BP=x ，

∴BD=2x . ...............................................1分

又∵四边形DEFG 是正方形，

∴EF ⊥BC ，EF=DE=y ， ∴. ∴，............................1分 ∴................................................1分

（≤<3） （定义域写错扣0.5分）

（2）△GDP 能成为直角三角形.

①∠PGD=90o时，则点P G F 、、共线，所以AP PF =；

，................................1分 ，................................1分

得到：.................................1分

②∠GPD=90o时，点G 在AB 边上，则点A G P B 、、、共线， 所以6AG PG BG ++= 所以： ，................................1分 ，................................1分

得到：。................................1分 ③当=90GDP ∠o 时，不成立。

∴当△GDP 为直角三角形时，BP 的长 为

或者.....................1分

动点产生的相似三角形

1.掌握相似基本图形中的相似三角形和各种比例式；

2.通过观察了解因动点产生的相似三角形问题的特点，熟悉对应的解题方法， 掌握“动中取静，以静窥动”的解题

y EC 3

3

=

63

3

2=+

+y y x 339)33(-+-=x y 633-x y y x +=-36

?+=-)13(6x ]339)33[(-+-x 11

3

630-=

x y x x 2

3

4+

=?+

=2

3

4x x ]339)33[(-+-x 336-=x 11

3

630-336-=x

策略；

3.培养学生对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力；

4.培养学生学会挖掘题目中的隐藏条件，从未知到已知的一个转变；

5.掌握动点产生的相似三角形的分类讨论情况，并能根据题目中的条件进行求解。

例1.如图，在Rt △ABC 中，?=∠90ACB ，CE 是斜边AB 上的中线，10=AB ，4

3

tanA =

，点P 是CE 延长线上的一动点，过点P 作CB PQ ⊥，交CB 延长线于点Q ，设EP x =，BQ y =。（★★★★） （1）求y 关于x 的函数关系式及定义域；

（2）过点B 作AB BF ⊥交PQ 于F ，当BEF ?和QBF ?相似时，求x 的值。

【满分解答】（1）在Rt △ABC 中，90ACB ?

∠=， ∵4

tan 3

BC A AC =

=，10AB = ∴8,6BC AC ==． ∵CE 是斜边AB 上的中线，∴1

52

CE BE AB ==

= ∴,PCB ABC ∠=∠∵90PQC ACB ?∠=∠= ∴△PQC ∽△ABC

∴

484

,555

CQ BC y PC AB x +===+即 ； ∴4

45

y x =-，定义域为5x >．

（2）∵90,Q ACB QBF A ?

∠=∠=∠=∠

∴△BQF ∽△ABC

我来试一试

故2

21

52,1±=

x 时，△APD ∽△PCE ； ∴当BP 为2，

2

21

5±时，△APD 与△PCE 相似。 （法二）过点D 作DH ⊥AP 于点H

∵∠DAP ＝∠APB ∴AD

AH

AP BP AD DH AP AB ==, ∵224x AP +=

∴2

2

165,1620x

x AH x

DH +=

+=

∴2

216516x

x x HP +-

+=

∵ cot ∠C=

4

3

∴43cot ==∠DH HP DPH 2

22

1620

3165164x x x x +?=???

?

?

?+-+ 解得2

21

52,1±=

x 经检验，均符合题意 故221

52,1±=

x 时，△APD ∽△PCE ； ∴当BP 为2，2

21

5±时，△APD 与△PCE 相似

一．由动点产生的相似三角形的解题方法和策略：

1.寻找题目中特殊的条件和不变的量，并找出由条件引发的一些相等角、相等线段等特殊条件；（挖掘题目中的隐藏条件）

2.注意分类讨论，先找是否有相等角，再决定分类讨论情况：

3.相似三角形的边如果能直接求出列等式最好，如果不能求出，注意转化相似（是否产生新的相似、等腰、平行四边形等更特殊的条件）

4.注意三个易忘定理：线段的中垂线定理、角平分线定理、直角三角形的性质。

1.在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =30，AB =50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点

M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM =EN ，sin ∠EMP =

． （1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；（4分）

（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP =x ，BN =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写

出函数的定义域；（4分）

（3）若△AME ∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长。（6分）（★★★★★）

图1 图2 备用图

【解法点拨】：

1.本题综合性很强，注意抓住题目中的特殊条件和不变的量：0

=90C APE ∠∠=，EM =EN ； 2.求解函数关系式，构造基本图形并应用好三角比和勾股定理；

3.当△AME ∽△ENB 相似时，对已经对应好，但要分点E 在AC 边上和BC 边上两大类讨论：

①.当点E 在AC 边上时：可直接利用比值计算； ②.当点E 在BC 边上时：根据外角定理，△ACE ∽△EPM 。 4.相似三角形分类讨论时，注意点的运动位置和边的对应。

【满分解答】:（1）∵∠ACB =90°，∴AC ===40．..................1分

∵S ==,.

∴CP ===24............................................1分．

在Rt△CPM 中，∵sin∠EMP =，∴

．..................................1分 ∴CM ==

=26．............................................1分 （2）由△APE ∽△ACB ，得，即，∴PE =．.........................1分

在Rt△MPE 中，∵sin∠EMP =，∴

．...................1分 ∴EM ===． ∴PM =PN ===

．...................1分 ∵AP +PN +NB =50，∴x +

+y =50． 1213

AM ME

EN NB

=22AB BC -225030-12AB CP ??1

2AC BC ??AC BC AB

?403050?121312

13

CP CM =1312CP 13

2412

?PE AP BC AC

=3040PE x

=34x 121312

13

PE ME =1312PE 133

124x ?1316x 22

ME PE -2

2

133164x x ????- ? ?????516

x 5

16

x

∴y =(0 < x < 32)．...................1分 （3）第三问：由于给出对应顶点，那么解法一可以直接运用相似和三角比求出对应边长再列比例式求解。本题还可以通过角度之间的关系转换求解，并从角度入手更加简洁直观方法如下： ①当点E 在线段AC 上时，

△AME ∽△ENB ，

．∵EM =EN ，∴．设AP =x ，由（2）知EM =，AM ==，NB =．...................1分 ∴...................1分

解得x 1=22，x 2=0（舍去）．即AP =22．...................1分

② 当点E 在线段BC 上时，

根据外角定理，△ACE ∽△EPM ，∴

．∴CE ==．.........1分 设AP =x ，易得BE =，∴CE =30．∴30=．......1分

解得x =42．即AP =42．....1分∴AP 的长为22或42．（若最后答案没有写，则扣1分）

21

5016

x -

+AM ME

EN NB

=2EM AM NB =?1316x x PM -5111616x x x -=21

5016

x -+2

1311

21(50)1616

16x x x ??=?-+ ???12

5

AC EP CE MP ==512AC 5035(50)3x -5(50)3x --5

(50)3

x --503