专题一：用导数求切线方程的四种类

用导数求切线方程的四种类型

求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线

()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线

定义知，切线方程为0x x =．

下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程

此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．

例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 1解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．

练习：

1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交

答案 B 2.

已知函数y ＝f (x )的图像如右图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )

A ．f ′(x A )>f ′(x

B ) B ．f ′(x A )

C ．f ′(x A )＝f ′(x B )

D ．不能确定 答案 B

2．曲线y ＝－2x 2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )

A ．－4

B ．0

C ．4

D ．不存在

答案 B

10．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( )

A ．2

B ．4

C ．6＋6·Δx ＋2·(Δx )2

D ．6

答案 D

4．函数y ＝sin 2

x 的图像在? ??

??

π6，14处的切线的斜率是( )

A. 3

B.33

C.12

D.32

答案 D

分析 将函数y ＝sin 2x 看作是由函数y ＝u 2，u ＝sin x 复合而成的．

解析 ∵y ′＝2sin x cos x ， ∴y ′|x ＝π6＝2sin π6cos π6＝3

2

2．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－7

3)处切线的倾斜角为( )

A ．30°

B ．45°

C ．135°

D ．60°

答案 B

6．y ＝x 3的切线倾斜角的围为________． 答案 [0，π

2)

解析 k ＝y ′＝3x 2≥0.

8．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋2

3上的任意一点，点P 处切线倾

斜角为α，则角α的取值围是( )

A.????

??23π，π B.? ??

??

π2，56π C.??????0，π2∪? ??

??5

6π，π

D.??????0，π2∪????

??2

3π，π

答案 D

解析 由y ′＝3x 2－3，易知y ′≥－3，即tan α≥－ 3. ∴0≤α<π2或2

3

π≤α<π.

14．已知曲线C ：y ＝x 3，求在曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程．

解析 将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1， ∴切点P (1,1)．

∵y ′＝lim Δx →0

Δy Δx ＝lim Δx →0

x ＋Δx 3－x 3

Δx

＝lim Δx →0

3x 2Δx ＋3x Δx

2

＋Δx

3

Δx

＝lim Δx →0

[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝3x 2，

∴y ′|x ＝1＝3.

∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.

14．求曲线y ＝sin x 在点A (π6，1

2)处的切线方程．

解析 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x . ∴y ′|x ＝π6＝cos π6＝32，k ＝3

2.

∴切线方程为y －12＝32(x －π

6)．

化简得63x －12y ＋6－3π＝0. 6．曲线y ＝

x

x －2

在点(1，－1)处的切线方程为( )

A ．y ＝x －2

B ．y ＝－3x ＋2

C ．y ＝2x －3

D ．y ＝－2x ＋1

答案 D

例3 求曲线y ＝1x 2－3x 在点(4，1

2)处的切线方程．

【思路分析】 将函数变形为y ＝(x 2

－3x )－1

2

，将其看做是由函

数y ＝u －1

2

、u ＝x 2－3x 复合而成．

【解析】 ∵y ＝

1x 2

－3x

＝(x 2

－3x )－12， ∴y ′＝－12(x 2－3x )－3

2·(x 2－3x )′

＝－12(x 2－3x )－3

2·(2x －3)．

∴曲线y ＝

1x 2

－3x

在点(4，1

2)处的切线斜率为 k ＝y ′|x ＝4＝－1

2

(42－3×4)－32

·(2×4－3)＝－516

.

∴曲线在点(4，1

2)处的切线方程为

y －12＝－5

16(x －4)，即5x ＋16y －28＝0. 探究3 本题不要将函数y ＝

1x 2

－3x

看做是由y ＝1

u ，u ＝v ，v ＝x 2－3x 三个函数复合而成的，这样求导就麻烦了．

思考题 3 (1)曲线y ＝3x 2＋1在点(1,2)处的切线方程为__________________．

【答案】 3x －2y ＋1＝0

(2)y ＝1

1－x 2的水平切线方程是________．

【解析】 令y ′＝0，得x ＝0，∴y ＝1.

12．求曲线y ＝2x －x 3在点(－1，－1)处的切线的方程及此切线与x 轴、y 轴所围成的平面图形的面积．

答案 x ＋y ＋2＝0；2

8．曲线y ＝e 12 x

在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )

A.9

2e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2

答案 D

解析 ∵y ′＝12·e 12 x

，

∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝4＝12e 2

.

∴切线方程为y －e 2

＝12

e 2

(x －4)．

∴横纵截距分别为2，－e 2，∴S ＝e 2，故选D.

11．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝1

2x

＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.

答案 3

解析 f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋2＝5

2，∴f (1)＋f ′(1)＝3.

5．如图是函数f (x )及f (x )在点P 处切线的图像，则f (2)＋