高中数学(北师大版)选修2-2教案：第4章 简单几何体的体积 参考教案

简单几何体的体积

一、教学目标

1、理解定积分概念形成过程的思想；

2、会根据该思想求简单旋转体的体积问题。

二、 学法指导

本节内容在学习了平面图形面积计算之后的更深层次的研究，关键是对定积分思想的理解及灵活运用，建立起正确的数学模型，根据定积分的概念解决体积问题。

三、教学重难点：

重点：利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单的旋转体的体积问题； 难点；数学模型的建立及被积函数的确定。

四、教学方法：探究归纳，讲练结合

五、教学过程

（一）、复习：（1）、求曲边梯形面积的方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？

（二）新课探析

问题：函数()y f x =，[],x a b ∈的图像绕x 轴旋转一周，所得到的几何体的体积V = 。 2[()]b

a V f x dx π=? 典例分析

例1、给定直角边为1的等腰直角三角形，绕一条直角边旋转一周，得到一个圆锥体。求它的体积。 分割→近似代替(以直代曲)→求和→取

极限（逼近）

学生阅读课本P89页分析，教师引导。

解：圆锥体的体积为 1231

0033V x dx x ππ

π===?

变式练习1、求曲线x y e =，直线0x =，

12x =与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。 答案：)(12-e π

；

例2、如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是一个圆锥，

上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一周所成的形状，尺寸

如图所示，试求其体积。

分析：解此题的关键是如何建立数学模型。将其轴载面按

下图位置放置，并建立坐标系。则A ，B 坐标可得，再求出直

线AB 和抛物线方程， “冰激凌”可看成是由抛物线弧OB 和线

段AB 绕X 轴旋转一周形成的。

解：将其轴载面按下图位置放置，并建立如图的坐标系。则),(012A ， ),(44B ，设抛物线弧OA 所在的抛物线方程为：px y 22=，代

入),(44B 求得：2=p

∴抛物线方程为：x y 42=（0≥y ）

设直线AB 的方程为：12+=qy x ，

代入),(44B 求得：2-=q

∴直线AB 的方程为：62

1+-=x y ∴所求“冰激凌”的体积为：3401242232246212)()()(cm dx x dx x ππ=?

?????+-+?? 变式练习2

如图一，是火力发

电厂烟囱示意图。它是双

曲线绕其一条对称轴旋

转一周形成的几何体。烟

囱最细处的直径为m 10，

最下端的直径为m 12，最

细处离地面m 6，烟囱高

m 14，试求该烟囱占有空间的大小。

（图二） （图一） （精确到310m .） 答案：321659m .

归纳总结：求旋转体的体积和侧面积

由曲线()y f x =，直线,x a x b ==及x 轴所围成的曲边梯形

绕x 轴旋转而成的旋转体体积为2[()]b

a V f x dx π=?.其侧面积为 '22()1[()]b

a S f x f x dx π=+?侧. 求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程，总结

求旋转体体积公式步骤如下：1．先求出()y f x =的表达式；2．代

入公式()2b a V f x dx π=?，即可求旋转体体积的值。 （三）、课堂小结：求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程，总结求旋转体体积公式步骤如下：1．先求出()y f x =的表达式；2．代入公式()2b

a V f x dx π=?，即可求旋转体体积的值。 （四）、作业布置：

五、教后反思