《概率论与数理统计》习题及标准答案--第一章

《概率论与数理统计》习题及答案--第一章

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·3·

《概率论与数理统计》习题及答案

第 一 章

1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：

（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；

（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；

（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；

（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，

A =‘甲盒中至少有一球’

； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，

B =‘通过的汽车不少于3台’

。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。

（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S =

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}；

{(4,6),(5,5),(6,4)}A =；

{(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。

（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}

{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A =

（4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒；

{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。

（5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。

2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

·4·

（1）仅A 发生；

（2）,,A B C 中至少有两个发生；

（3）,,A B C 中不多于两个发生；

（4）,,A B C 中恰有两个发生；

（5）,,A B C 中至多有一个发生。

解 （1）ABC

（2）AB AC BC U U 或ABC ABC ABC ABC U U U ；

（3）A B C U U 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC U U U U U U ；

（4）ABC ABC ABC U U ；

（5）AB AC BC U U 或ABC ABC ABC ABC U U U ；

3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品，试用i A 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；

（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。

解 （1）123A A A ；（2）123A A A U U ；（3）123123123A A A A A A A A A U U ；

（4）121323A A A A A A U U 。

4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。 解 设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则

4104126()0.50410250

P P A === 5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求

（1）5只全是好的的概率；

（2）5只中有两只坏的的概率。

解 （1）设A =‘5只全是好的’，则

537540

()0.662C P A C =B ； （2）设B =‘5只中有两只坏的’，则

23337540

()0.0354C C P B C =B . 6．袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求

（1）3个球的最小号码为5的概率；

（2）3个球的最大号码为5的概率.

解 （1）设A =‘最小号码为5’，则

·5·

253101()12

C P A C ==； （2）设B =‘最大号码为5’，则

243101()20

C P B C ==. 7．（1）教室里有r 个学生，求他们的生日都不相同的概率；

（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.

解 （1）设A =‘他们的生日都不相同’，则

365()365

r r P P A =； （2）设B =‘至少有两个人的生日在同一个月’，则

212223214121141241212441()1296

C C P C C C P C P B +++==； 或

412441()1()11296

P P B P B =-=-=. 8．设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率.

解 设A =‘生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天’，则

2676(22)()0.011077

C P A -==. ？？？？为什么 9．将,,,,,,C C E E I N S 等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率是多少？

解1 设A =‘恰好排成SCIENCE ’

将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：

字母C 在7个位置中占两个位置，共有2

7C 种占法，字母E 在余下的5个位置中占两个位置，共有25C 种占法，字母,,I N C 剩下的3个位置上全排列的方法

共3！种，故基本事件总数为22753!1260C C ??=，而A 中的基本事件只有一个，故

227511()3!1260

P A C C ==??； 解2 七个字母中有两个E ，两个C ，把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。一般地，设有n 个元素，其中第一种元素有1n 个，第二种元素

·6·

有2n 个…，第k 种元素有k n 个12()k n n n n +++=L ，将这n 个元素排成一排称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为

12!!!!

k n n n n L ， 对于本题有

141()7!7!1260

2!2!

P A ===. 10．从0,1,2,,9L 等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：1A =‘三个数字中不含0和5’，2A =‘三个数字中不含0或5’，3A =‘三个数字中含0但不含5’.

解 3813107()15

C P A C ==. 333998233310101014()15

C C C P A C C C =+-=， 或

182231014()1()115

C P A P A C =-=-=， 2833107()30

C P A C ==. 11．将n 双大小各不相同的鞋子随机地分成n 堆，每堆两只，求事件A =‘每堆各成一双’的概率.

解 n 双鞋子随机地分成n 堆属分组问题，不同的分法共

(2)!(2)!2!2!2!(2!)n

n n =L ‘每堆各成一双’共有!n 种情况，故 2!()(2)!

n n P A n ?= 12．设事件A 与B 互不相容，()0.4,()0.3P A P B ==，求()P AB 与()P A B U

解 ()1()1()()0.3P AB P A B P A P B =-=--=U

因为,A B 不相容，所以A B ?，于是

()()0.6P A B P A ==U

13．若()()P AB P AB =且()P A P =，求()P B .

·7·

解 ()1()1()()()P AB P A B P A P B P AB =-=--+U 由()()P AB P AB =得

()1()1P B P A p =-=-

14．设事件,A B 及A B U 的概率分别为,,p q r ，求()P AB 及()P A B U 解 ()()()()P AB P A P B P A B p q r =+-=+-U

()()()()()1()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P AB =+-=+--+U 11q p q r p r =-++-=+-.

15．设()()0.7P A P B +=，且,A B 仅发生一个的概率为0.5，求,A B 都发生的概率。

解1 由题意有

0.5()()()P AB AB P AB P AB =+=+

()()()()P A P AB P B P AB =-+-

0.72()P AB =-，

所以

()0.1P AB =.

解2 ,A B 仅发生一个可表示为A B AB -U ，故

0.5()()()()2(),P A B P AB P A P B P AB =-=+-U

所以

()0.1P AB =.

16．设()0.7,()0.3,()0.2P A P A B P B A =-=-=，求()P AB 与()P AB . 解 0.3()()()0.7()P A B P A P AB P AB =-=-=-，

所以

()0.4P AB =，

故

()0.6P AB =；

0.2()()()0.4P B P AB P B =-=-.

所以

()0.6P B =

()1()1()()()0.1P AB P A B P A P B P AB =-=--+=U

17．设AB C ?，试证明()()()1P A P B P C +-≤

[证] 因为AB C ?，所以

()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+-U

·8·

故

()()()1P A P B P C +-≤. 证毕.

18．对任意三事件,,A B C ，试证

()()()()P AB P AC P BC P A +-≤.

[证] ()()()()()()P AB P AC P BC P AB P AC P ABC +-≤+-

()P AB AC =U {()}()P A B C P A =≤U . 证毕.

19．设,,A B C 是三个事件，且1

()()(),()()04

P A P B P C P AB P BC =====，1()8

P AC =，求,,A B C 至少有一个发生的概率。 解 ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+U U 因为 0()()0P ABC P AB ≤≤=，所以()0P ABC =，于是

315()488

P A B C =-=U U 20．随机地向半圆202y ax x <<-（a 为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x 轴的夹角小于/4π的概率.

解：半圆域如图

设A =‘原点与该点连线与x 轴夹角小于/4π’ 由几何概率的定义

2221142()12a a A P A a ππ+==的面积半园的面积112π=+ 21．把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.

解1 设A =‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为,,x y a x y --，则0,0,0x a y a x y a <<<<<+<，不等式构成平面域S .

A 发生0,0,222

a a a x y x y a ?<<<<<+< 不等式确定S 的子域A ，所以 1()4

A P A ==的面积S 的面积 解2 设三段长分别为,,x y z ，则0,0,0x a y a z a <<<<<<且 0y y a /4π x S

0 a a a a A

·9· x y z a ++=，不等式确定了三维空间上的有界平面域S .

A 发生x y z ?+>

x z y +>

y z x +> 不等式确定S 的子域A ，所以 1()4A P A =

=的面积S 的面积. 22．随机地取两个正数x 和y ，这两个数中的每一个都不超过1，试求x 与y 之和不超过1，积不小于0.09的概率.

解 01,01x y ≤≤≤≤，不等式确定平面域S .

A =‘1,0.09x y xy +≤≥’则A 发生的 充要条件为01,10.09x y xy ≤+≤≥≥不 等式确定了S 的子域A ，故

0.90.10.9()(1)A P A x dx x =

=--?的面积S 的面积 0.40.18ln30.2=-=

23．（蒲丰投针问题）在平面上画出等距离(0)a a >的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长()l l a <的针，求针与任一平行线相交的概率.

解 设A =‘针与某平行线相交’，针落在平面上的情况不外乎图中的几种， 设x 为针的中点到最近的一条平行线的距离。

?为针与平行线的夹角，则 0,02a x ?π<<<<，不等式确定了平面上 的一个区域S .

A 发生sin 2L x ??≤，不等式确定S 的子域A 故 01

2()sin 22L L P A d a a π??π

π==?

a a

x z

y

A 2a

π ? x 0 A S sin 2

l x ?= 1y 10.9 0.1 0 A S y