2013年考研数三真题与答案解析(完整版)

2013 年考研数三真题及答案解析

一、选择题

1 —8 小题．每小题

4 分，共 32 分．、

１．当 x

0 时，用 o(x) 表示比 x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（

）

（ A ） x o ( x 2 ) o(x 3 )

（ B ） o( x) o(x 2 ) o( x 3 )

（ C ） o( x 2 ) o( x 2 )

o( x 2 )

（ D ） o(x) o( x 2 ) o( x 2 )

【详解】由高阶无穷小的定义可知（ A ）（ B ）（ C ）都是正确的，对于（ D ）可找出反例，例

如当 x 0

时 f (x)

x 2

x 3 o( x), g( x)

x 3

o(x 2 ) ，但 f (x)

g(x)

o( x) 而不是

o( x 2 ) 故应该选（ D ）．

x

x

2．函数 f ( x)

1

的可去间断点的个数为（

）

x( x

1) ln x

（A ）0

（ B ）1

（ C ）2

（D ）3

【详解】当 x ln x

x

1

e xln x

1 ~ x ln x ，

0 时， x

x

x ln x

lim f ( x) lim

x

1

lim 1 ，所以 x 0是函数 f ( x) 的可去间断点．

x 0

x 0

x( x 1) ln x

x 0

x ln x

x

x ln x

lim f ( x) lim

x

1

lim 1

，所以 x

1 是函数 f ( x) 的可去间断点．

x 1

x 1

x( x 1) ln x

x 0

2 x ln x

2

x

x

xln x

lim f ( x)

lim

1

lim

，所以所以 x

1不是函数 f (x) 的

(x 1) ln x

x

1

x

1

x(x 1) ln x

x 1

可去间断点．

故应该选（ C ）．

３．设 D k 是圆域 D

( x, y) | x 2

y 2 1 的第 k 象限的部分， 记 I k

( y x)dxdy ，则

D k

（

）

（ A ） I 1

B I 2 0

C 3 0

D I 4 0

（ ）

（ ） I

（ ）

【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知

k 2

1

2

1

I k

( y

x)dxdy

( k 1) d

(sincos )r

dr

D k

3

2

1

k

cos |k 2

sin

1

3

2

所以 I 1

I 3

0,I 2

2 , I 4 2 ，应该选（ B ）．

3 3

４．设 a n 为正项数列，则下列选择项正确的是（

）

（A ）若 a n

a n 1 ，则

( 1) n 1 a n 收敛；

n 1

k

2 (sin

sin ) d

k 1 2

（B ）若

( 1)n 1 a n 收敛，则 a n a n 1 ；

n 1

（C ）若

a n 收敛．则存在常数 P 1，使 lim n p a n 存在；

n 1

n

（D ）若存在常数 P 1，使 lim n p a n 存在，则

a n 收敛．

n

n 1

【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（ D ）正确，故应选（Ｄ）．

此小题的（ A ）（ B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（ A ），但少一

条件 lim a n

0 ，显然错误． 而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，

不是必要条件，

n

选项（ B ）也不正确，反例自己去构造．

５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为 n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则

（ A ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价． （ B ）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价． （ C ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价．

（ D ）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价．

【详解】 把矩阵 A ，C 列分块如下： A 1, 2,

, n , C 1 , 2 , , n ，由于ＡＢ＝Ｃ，

则可知

i b i1 1 b i 2 2

b in n (i 1,2, , n) ，得到矩阵 C 的列向量组可用矩阵 A 的

列向量组线性表示．同时由于

B 可逆，即 A CB 1 ，同理可知矩阵

A 的列向量组可用矩阵

C 的列向量组线性表示，所以矩阵

C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．应该选（

B ）．

1 a 1

2 0

6．矩阵 a b a

与矩阵

0 b 0 相似的充分必要条件是

1 a 1

0 0

（ ） a

0,b

2

（ ） a 0， b 为任意常数

A

B

（ C ） a 2,b 0

（D ） a 2 ， b 为任意常数

2 0

1 a 1

2 0 0 【详解】注意矩阵 0 b

0 是对角矩阵，所以矩阵 A= a b

a 与矩阵

0 b 0 相 0 0

1 a 1

0 0

似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．

1

a 1 E A

a b a ( 2

(b 2)

2b 2a 2 )

1

a

1

从而可知 2b 2a 2 2b ，即 a 0 ， b 为任意常数，故选择（ B ）．

7 ． 设 X 1,X 2,X 3

是随机变量，且X 1

~ N (0,1), X 2 ~ N(0,22), X 3 ~ N(5,32) ，

P i

P 2 X i

2 ，则

（A ） P 1 P 2 P 3

（B ） P 2 P 1 P 3

（C ） P 3

P 2 P 1

（D ） P 1

P 3

P 2

【详解】若 X ~ N(

, 2

)，则 X

~ N(0,1)

P 1 2 (2) 1， P 2

P

2

X 2

2

P

X 2 1

2 (1) 1，

1

2

P 3 P2X 3

2 P

2 5 X

3 5

2 5 7 7

3

3

3

( 1)

1)

3

3

，

P 3P 21

7 3 (1) 0．

3(1)2

3

故选择（ A ）．

8．设随机变量 X 和 Y 相互独立，且

X 和 Y 的概率分布分别为

X

0 1 2

P

1/2

1/4

1/8

Y -1 0 P

1/3

1/3

则PXY2 （

）

（A ）

1

（B ）

1

（C ）

1

（D ） 12

8 6

3P 1/8 1 1/3

1

2

【详解】

PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX

1111 3,Y1

24246

12

，故选择（ C）．

二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4分，满分 24分 .把答案填在题中横线上）

9．设曲线y f (x) 和 y x 2x 在点1,0处有切线，则lim nf n．

n n2

【详解】由条件可知 f 10, f ' (1)1．所以

f1

2 n n f (1)

lim nf lim2 2 f '(1)2

n22n 2

n n

n22n

10．设函数z z x, y 是由方程z y x xy 确定，则z

|(1,2 )．x

【详解】

设 F x, y, z F x x, y, z( z y) x l z y)当 x 1, y 2 时，z0 ，所以

11．

ln x

2 d x．

(1x)

1

(

z y x xy

，则

)

y, F z (x,ny, z) x(z y) x 1，(

z

|(1, 2 )2 2 ln 2 ．

x

【详解】

1

ln x2 dx

1

ln xd1ln x |1

1

1dx ln x|1 ln 2 (1 x) 1 x1x x(1 x)x1

12．微分方程y y 1 y0 的通解为．

4

11

【详解】方程的特征方程为r0，两个特征根分别为

412，所以方程通

2

x

解为 y (C1 C 2 x) e2，其中 C1 ,C2为任意常数．

13．设A a

ij是三阶非零矩阵， A 为其行列式，A ij为元素 a ij的代数余子式，且满足

A

ij a

ij0(i , j1,2,3) ，则A=．

【详解】由条件 A

ij

a

ij

0(i, j 1,2,3) 可知 A

A* T 0 ，其中 A * 为 A 的伴随矩阵，从

而可知

A* A *

T

3 1

A ，所以 A 可能为

1或 0．

A

n,r (A)

n

但由结论 r ( A * )

1, r ( A) n 1 可知， A A * T 0 可知 r ( A)

r ( A*) , 伴随矩阵的秩只

0, r ( A) n

1

能为 3，所以 A 1.

14．设随机变量 X 服从标准正分布 X ~ N ( 0,1) ，则 E Xe 2X

．

【详解】

E Xe 2 X

1 x 2

x

(x 2)2

e 2

(x 2) 2

xe

2x

e 2

dx

e

2

dx

( x 2

2)e 2

dx

2

2

2 2

e 2

t 2

t 2

te 2 dt 2

e 2 dt

e 2 E( X ) 2e 2 2e 2 ．

2

所以为 2e 2 ．

三、解答题

15．（本题满分 10 分）

当 x

0时，1 cosx cos2x cos3x 与 ax n 是等价无穷小，求常数

a, n ．

【分析】主要是考查 x 0 时常见函数的马克劳林展开式．

【

详 解 】

当 x 0时

，

1

2

2 )

，

c x o 1 s x

o( x

1

(2x) 2

2

cos2 x

1 o(x

2 ) 1 2 x 2 o(x 2 )

，

2

cos3x

1

1

(3x)2

o( x 2 ) 1 9 x 2 o( x 2 ) ，

2 2

所

以

1 cosx cos2xcos3x

1 (1 1 x

2 o( x 2 ))(1

2x 2 o(x 2 ))(1 9 x 2

o( x 2 )) 7x 2

o( x 2 )

2

2

，

由于 1

cosx cos2 x cos3x 与 ax n 是等价无穷小，所以 a

7, n 2 ．

16．（本题满分

10 分）

设 D 是由曲线 y

3

x ，直线 x a (a 0) 及 x 轴所转成的平面图形，

V x ,V y 分别是 D 绕 x

轴和 y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若

10V x V y ，求 a 的值．

【详解】由微元法可知

a

2

5

2 dx

a

3

a 3

V x

y x 3 dx

；

5

a

a 4

7

x 3

dx

6

a 3

V y

2 xf ( x) dx 2

；

0 7

由条件 10V x V y ，知 a 7 7 ．

17．（本题满分 10 分）

设平面区域 D 是由曲线 x

3 y, y

3x, x y 8 所围成，求

x 2 dxdy ．

D

【详解】

x 2

dxdy

x 2

dxdy

x 2

dxdy

2x 2

dx x dy

x 2

dx x dy

416 ．

3 x

6 8 x

D

D 1

D 2

0 3

2 3

3

18．（本题满分 10 分）

设生产某产品的固定成本为

6000 元，可变成本为

20 元 / 件，价格函数为 P

60

Q

,（P

1000

是单价，单位：元， Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求：

（ 1）该的边际利润． （ 2）当 P=50 时的边际利润，并解释其经济意义．

（ 3）使得利润最大的定价 P ．

【详解】

（1）设利润为

Q 2 y ，则 y PQ (6000 20Q ) 40Q

6000 ，

1000

边际利润为 y'

40

Q .

500

（ 2）当 P=50 时， Q=10000，边际利润为 20．

经济意义为：当 P=50 时，销量每增加一个，利润增加20．

（3）令 y'

0，得Q

20000 , P

20000 40.

60

10000

19．（本题满分 10 分）

设函数 f x 在 [0,

) 上可导， f

0 0 ，且 lim f (x)

2 ，证明

x

（1）存在 a 0 ，使得 f a

1;

（2）对（ 1）中的 a

，存在

(0, a) ，使得 f ' ( 1 ．

)

a

【详解】

证明（ 1）由于lim()2

，所以存在

X0

，当 x X 时，有3

，

f x5

x f (x)

22

又由于 f x在 [0,) 上连续，且 f 00 ，由介值定理，存在a0 ，使得 f a 1;（2）函数f x 在 [0,a] 上可导，由拉格朗日中值定理，

存在(0, a) ，使得 f ' ()f (a) f (0)1

．

a a

20．（本题满分 11 分）

1a

, B 01

，问当 a, b 为何值时，存在矩阵C，使得AC CA B ，并求出

设 A

01b

1

所有矩阵 C．

【详解】

显然由 AC CA B 可知，如果C存在，则必须是

x1x2

2 阶的方阵．设C，

x3x4

则 AC CA B 变形为

x2ax3ax1x2ax40 1

，x1x3x4x2ax3 1 b

x2ax30

即得到线性方程组

ax1x2ax41

，要使 C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方x1x3x41

x2ax3b

程组的增广矩阵进行初等行变换如下

01a0010111

a10a101a00 A |b

011100001，

1a

01a0b0000b

所以，当 a1, b0 时，线性方程组有解，即存在矩阵C，使得AC CA B ．10111

此时， A | b

01100

0000，

00000

x1111

所以方程组的通解为

x x20

C1

1

C2

，也就是满足 AC CA B 的矩阵x3010

x4001

C为

C1C1C2C

1，其中 C1 , C2为任意常数．

C1C2

21．（本题满分 11 分）

设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2(a1 x1 a2 x2 a3 x3 ) 2(b1 x1 b2 x2 b3 x3 )2．记

a1b1

a2,b2．

a3b3

（1）证明二次型 f 对应的矩阵为 2T T ；

（2）若,正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2 y12y22．

【详解】证明：（1）

f ( x1, x2 , x3 ) 2(a1 x1 a2 x2a3 x3 ) 2(b1 x1b2 x2b3 x3 ) 2

a1x1b1

2 x1, x2 , x

3 a2a1 ,a2 , a3 x2x1 , x2 , x3 b2 b1, b2 ,b3

a3x3b3

x1x1

x1, x2 , x3 2T x2x1, x2 , x3T x2

x3x3

x1

x1, x2 , x3 2T T x2

x3

所以二次型 f 对应的矩阵为2T T ．

证明（ 2）设A2T T ，由于1, T0

则 A2T T22T2，所以为矩阵对应特征值向量；

A2T T2T2，所以为矩阵对应特征值量；x1

x2

x3

1 2 的特征21的特征向

而矩阵 A 的秩r ( A) r ( 2T T )r (2T ) r (T) 2，所以30 也是矩阵的一个特征值．

故 f 在正交变换下的标准形为 2 y12y22．

22．（本题满分11 分）

设 X,Y是二维随机变量， X 的边缘概率密度为f X( x)3x2 ,0x 1

，在给定

0,其他

X x(0x1) 的条件下，Y的条件概率密度为f Y( y / x)3y 2,0y x,

x 3．

X

0,其他（1）求X ,Y的联合概率密度 f x, y ；

（2） Y 的的边缘概率密度f Y ( y) ．

【详解】（ 1）X , Y的联合概率密度 f x, y：

f x, y f Y ( y / x) f X ( x)9 y 2,0 x1,0y x x

X

0,其他（2） Y 的的边缘概率密度f Y ( y) ：

f Y ( y) f (x, y)dx 1 9 y29 y2ln y,0 y 1

dx

y x

0,其他

23．（本题满分11 分）

2

设总体X 的概率密度为 f (x; )x 3

e x , x 0

0,，其中为为未知参数且大于零，

其他X1X 2,X n为来自总体 X 的简单随机样本．（1）求的矩估计量；

（2）求的极大似然估计量．

【详解】（ 1）先求出总体的数学期望E（ X）

2

E(X)xf (x)dx

2

e x dx，x

令 E(X)

1n

X X i，得的矩估计量n n 1

（2）当x i0(i1,2, n) 时，似然函数为

1 n

X i．X

n i1

n

2

2n

n 1

x

x i

L ( )

3 e

i

3

e

i 1

n

，

i

1

x i

x i

i 1

取对数， ln L(

) 2nln

n

1 3

n

ln x i ，

x i

i 1

i 1

令 d ln L( )

0 ，得

2n

n

1

0 ，

d

i 1 x

i

解得 的极大似然估计量为 ．