正弦定理与余弦定理的证明
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为三角形外接圆的半径）
正弦定理(Sine theorem)
（1）已知三角形的两角与一边，解三角形
（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形
（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。
证明
步骤1
在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足为点H CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中,b/sinB=c/sinC
步骤2.
证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D.
连接DA.
因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度
因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠ACB.
所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
类似可证其余两个等式。
余弦定理的证明：
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得：
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2
b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
余弦定理证明过程 余弦定理证明过程 =a，∠da=π-∠ba=π-，根据三角函数的定义知d点坐标是，asin)即d点坐标是,∴ad=而ad=b∴=∴asin=sina………… ①-aos=osa-b…… ②由 ①得asina=sin，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=sin.由 ②得aos=b-osa，平方得： a2os2=b2-2bosa+2os2a，即a2-a2sin2=b2-2bosa+2-2sin2a.而由 ①可得a2sin2=2sin2a∴a2=b2+2-2bosa.同理可证b2=a2+2- 2aosb，2=a2+b2-2abos.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△ab的三边分别为a,b,,边b,a,ab上的中线分别为ma.mb,m,应用余弦定理证明: mb= m=ma=√^2-a*osb) =√ 由b^2=a^2+^2-2a*osb 得，4a*osb=2a^2+2^2-2b^ 2，代入上述ma表达式： ma=√ =√ 同理可得： mb=
m= 4 ma=√^2-a*osb) =√ 由b^2=a^2+^2-2a*osb 得，4a*osb=2a^2+2^2-2b^ 2，代入上述ma表达式： ma=√ =√ 证毕。 第五篇： 余弦定理的多种证明 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活． 对于任意三角形三边为a,b, 三角为a,b, 满足性质 a^2=b^2+^2-2*b**osa b^2=a^2+^2-2*a**osb ^2=a^2+b^2-2*a*b*os os=2ab osb=2a osa=2b 证明：
正弦定理的几种证明 内蒙古赤峰建筑工程学校 迟冰 邮编（024400） 正弦定理是解决斜三角形问题及其应用问题（测量）的重要定理，而证明它们的方法很多，展开的思维空间很大，研究它们的证明，有利于培养学生的探索精神，体验数学的探索活动过程，也有利于教师根据不同的教学质量要求和学次，进行适当的选择。 C c B b A a C B A c b a ABC sin =sin =sin ,,,,:则：和中的三边和三角分别是 在正弦定理的内容： ? 一向量法 C c B b A a B b A a C c C CB i A CB AC i AB i AC i ABC sin sin sin :sin sin sin sin ||||sin | ) (,⊥=== ==+?=??即正弦定理可证 同理可证：，则：中做单位向量 证明：在
即正弦定理可证 同理可证：即中 和则在中做高线证明：在, sin =sin ,sin =s sin =sin sin =, sin =, C c A a B b inA a B a A b B a CD A b CD BDC Rt ADC Rt CD ABC ??? 三外接圆法 C c B b A R C c R A a R B b B R b B D a D R b Rt CAD R AD D C O ABC sin sin sin a ∴2sin ,2sin :2sin ,sin 2∴∠∠,sin ,∴, ,,========???同理即且且为设圆的半径为连接连接圆心与圆交于点过点的外接圆证明：做
四面积法 C c B b A a B ac C ab A bc S ABC sin sin sin ∴sin 21sin 2 1 sin 21=====?正弦定理可证：
余弦定理的八种证明方法 2011年高考数学卷（陕西卷）考出了“说明并证明余弦定理”这个考题,使平时不注重翻阅课本的同学大部分吃了亏，虽然这是书本上的知识，且课本上只给出了一种证明方法，但仍让同学们很难想到会考这个证明题，因此我们利用这次研究性学习活动，以论文的方式来介绍一下多种余弦定理的证明方法，来增强我们对课本知识的理解。 用多种方法证明余弦定理，扩展思维，了解更多的过程。 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形便可适当移于其它知识。 一余弦定理的内容 对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质 a2 = b2 + c2- 2·b·c·cosA b2 = a2 + c2 - 2·a·c·cosB c2 = a2 + b2 - 2·a·b·cosC 二证明方法 方法一：平面几何法 ∵如图，有a+b=c ∴c·c=(a+b)·(a+b) ∴c2=a·a+2a·b+b·b ∴c2=a2+b2+2|a||b|cos(π-θ) 又∵Cos(π-θ)=-Cosθ∴c2=a2+b2-2|a||b|cosθ 再拆开，得c^2=a2+b2-2*a*b*cosC
方法二：勾股法 在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC2=AD2+DC2 b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2 b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB)2*c2 b2=(sinB2+cosB2)*c2-2ac*cosB+a2 b2=c2+a2-2ac*cosB 方法三：解析法 在三角形ABC建立直角坐标系，使A点为原点，B点落在x轴正半轴上，设三角形三边abc 则有三点坐标为A（0，0）B（c，0）C（bcosA，bsinA） ∵BC=a 则由距离公式得a=（c-bcosA）2-（bsinA）2 化简得a=c2+b2-2bccosA ∴a2=c2+b2-2bccosA 方法四：面积法 S△ACQ=(1/2)bc(cos∠BAC), S△PBC=(1/2)ac(cos∠CBA),
一、正弦定理的几种证明方法
1.利用三角形的高证明正弦定理
（1）当 ? ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据锐角三角函数的定义，
有CD ?asinB ,CD ? b sin A 。
C
由此，得
a sin A
b ? sinB
同理可得 ，
c sinC
?
b sin B
，
b
a
A
B
故有
a
b
sinA ? sinB
c ? sinC .从而这个结论在锐角三角形中成立.
D
（2）当 ? ABC 是钝角三角形时，过点 C 作 AB 边上的高，交 AB 的延长线于点 D， 根据锐角三角函数的定义，有CD ?asin?CBD ?asin?ABC ，CD ? b sin A 。由此，
得
a sin A
b ? sin?ABC
同理可得 ，
c sinC
b ? sin?ABC
C
故有
a
b
sinA ? sin?ABC
c ? sinC .
b
a
A
由(1)(2)可知，在
?
ABC
中，
a sin
A
?
b sin
B
c ? sinC
成立.
BD
从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即
a
b
c
sinA ? sinB ? sinC .
2.利用三角形面积证明正弦定理
已知△ ABC,设 BC＝a, CA＝b,AB＝c,作 AD⊥BC,垂足为 D. 则 Rt△ ADB
中, sin B ? AD , ∴AD=AB·sinB=csinB.
A
AB
∴S△ ABC= 1 a ? AD ? 1 acsin B . 同理,可证 S△ ABC= 1 absin C ? 1 bcsin A.
2
2
2
2
∴ S△ ABC= 1 absin C ? 1 bcsin A ? 1 acsin B . ∴absinc=bcsinA=acsinB, C
2
2
2
D
B
在等式两端同除以 ABC,可得 sin C ? sin A ? sin B . 即 a ? b ? c .
c
a
b
sin A sin B sin C
3.向量法证明正弦定理
(1)△ ABC 为锐角三角形,过点 A 作单位向量 j 垂直于 AC ,则 j 与 AB 的夹角为
90°-A,j 与 CB 的夹角为 90°-C. 由向量的加法原则可得 AC ? CB ? AB ,
为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量
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两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比 沈阳市教育研究院王恩宾 两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式 基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往 往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同 的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、 解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法 设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β． 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β 的正弦、余弦的线段来表示OM． 过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂 足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB ＋CP＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα． 综上所述，. 说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推 导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推 广问题. 方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= . 在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、. ∵，且， ∴，∴， ∴ ， ∴， ∴，. 说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点， 建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求 的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.
中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ 正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法 ——王彦文青铜峡一中1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一 些简单的三角形度量问题． 2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和 方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问 题． 主要考查有关定理的应用、三角恒等变换 的能力、运算能力及转化的数学思想．解三角 形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或 证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度 以及角度等问题，且多以应用题的形式出现． 1．正弦定理 (1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它 所对角的正弦的比相等， 即．其中R是三角形外接圆的 半径． (2)正弦定理的其他形式： ①a＝2R sin A，b＝，c ＝； ②sin A＝a 2R，sin B＝， sin C＝； ③a∶b∶c＝______________________. 2．余弦定理 (1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即 a2＝，b2＝， c2＝. 若令C＝90°，则c2＝，即为勾股定理． (2)余弦定理的变形：cos A ＝，cos B＝，cos C＝. 若C为锐角，则cos C>0，即a2＋b2______c2；若C为钝角，则cos C<0，即a2＋b2______c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角． (3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B sin C cos A，类似地，sin2B＝____________；sin2C＝__________________.注意式中隐含条件A＋B＋C＝π. 3．解斜三角形的类型 (1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理．只有一解． (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用____________定理，可能有___________________．如在△ABC中，已知a， 时，只有一解． (4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解． 正弦定理的证明解读 克拉玛依市高级中学 曾艳 一、正弦定理的几种证明方法 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B =，同理可得 sin sin c b C B =， 故有 sin sin a b A B =sin c C =.从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 =∠sin sin a b A ABC ， 同理可得 =∠sin sin c b C ABC 故有 =∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中，sin sin a b A B =sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即sin sin a b A B =sin c C =. 1’用知识的最近生长点来证明： 实际应用问题中，我们常遇到问题： 已知点A ，点B 之间的距｜AB|，可测量角A 与角B ， 需要定位点C ，即： 在如图△ABC 中，已知角A ，角B ，｜AB ｜＝c ， 求边AC 的长b 解：过C 作CD ⊥AB 交AB 于D ，则 cos AD c A = sin sin cos sin tan sin cos BD c A c A C DC C C C C === sin cos (sin cos sin cos )sin cos sin sin sin c A C c C A A C c B b AC AD DC c A C C C +==+=+ == a b D A B C A B C D b a 分类号 编号 本科生毕业论文（设计） 题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用 作者姓名常正军 专业数学与应用数学 学号 2 9 1 0 1 0 1 0 2 研究类型数学应用方向 指导教师李明图 提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5 论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名：年月日 摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。 关键词：拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用 Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example. Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application 垂心余弦定理证明 垂心余弦定理证明如右图，在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c . 以A为原点，AC所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是C点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得B 点坐标是(ccosA，csinA) . ∴CB = (ccosA-b，csinA). 现将CB平移到起点为原点A，则AD = CB . 而|AD| = |CB| = a ，∠DAC = π-∠BCA = π-C ， 根据三角函数的定义知D点坐标是(acos(π-C)，asin(π-C)) 即D点坐标是(-acosC，asinC), ∴ AD = (-acosC，asinC) 而AD = CB ∴ (-acosC，asinC) = (ccosA-b，csinA) ∴ asinC = csinA …………① -acosC = ccosA-b ……② 由①得asinA = csinC ，同理可证asinA = bsinB ， ∴ asinA = bsinB = csinC . 由②得acosC = b-ccosA ，平方得： a2cos2C = b2-2bccosA + c2cos2A ， 即a2-a2sin2C = b2-2bccosA + c2-c2sin2A . 而由①可得a2sin2C = c2sin2A ∴ a2 = b2 + c2-2bccosA . 同理可证b2 = a2 + c2-2accosB ， c2 = a2 + b2-2abcosC . 到此正弦定理和余弦定理证明完毕。 2 正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教A 版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合. 定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则 (1)(正弦定理) = = ; (2)(余弦定理) c2=a2+b2-2abcos C, b2=a2+c2-2accos B, a2=b2+c2-2bccos A. 一、正弦定理的证明 证法一：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高。则有 AD=bsin∠BCA， BE=csin∠CAB， CF=asin∠ABC。 所以S△ABC=abcsin∠BCA =bcsin∠CAB =casin∠ABC. 证法二：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有 AD=bsin∠BCA=csin∠ABC， 正弦定理的四种证明方法 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义， 有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 1’用知识的最近生长点来证明： 实际应用问题中，我们常遇到问题： 已知点A ，点B 之间的距｜AB|，可测量角A 与角B ， 需要定位点C ，即： 在如图△ABC 中，已知角A ，角B ，｜AB ｜＝c ， 求边AC 的长b 解：过C 作CD ⊥AB 交AB 于D ，则 cos AD c A = sin sin cos sin tan sin cos BD c A c A C DC C C C C = == sin cos (sin cos sin cos )sin cos sin sin sin c A C c C A A C c B b AC AD DC c A C C C +==+=+ == a b D A B C A B C D b a 中值定理的应用方法与技巧 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f b a -=?ξ。积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a,b]上连续，且)(x g 在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得??=b a b a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。 一、 微分中值定理的应用方法与技巧 三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等式证明。由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。 例一．设)(x ?在[0,1]上连续可导，且1)1(,0)0(==??。证明：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得b a b a +='+') ()(η?ξ?成立。 证法1：任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(??ξ?。 任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ?==，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得b b b =--=') 0()1(0)(??η?。 两式相加得：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得 b a b a +='+') ()(η?ξ? 成立。 证法2：任意给定正整数b a ,，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对 数学正弦定理证明如何证明 正弦定理该怎么证明呢?关于它们的证明方法之怎样的呢?下面 就是给大家的正弦定理证明方法内容，希望大家喜欢。 用三角形外接圆 证明：任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交⊙O于D.连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以 c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。 ∴a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 用直角三角形 证明：在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H CH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinA得到a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC∴a/sinA=b/sinB=c/sinC 在直角三角形中,在钝角三角形中(略)。 用三角形面积公式 证明：在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CD⊥AB垂足为点D，作BE⊥AC垂足为点E，则CD=a·sinB，BE=csinA,由三角形面积公式得：AB·CD=AC·BE 即c·a·sinB=b·csinA∴a/sinA=b/sinB同理可得 b/sinB=c/sinC ∴a/sinA=b/sinB=c/sinC 用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2 COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab SINc^2=1-COSc^2 SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2 =[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2 同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2 得证 正弦定理：三角形ABC中BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC 证明如下：在三角形的外接圆里证明会比较方便 例如，用BC边和经过B的直径BD，构成的直角三角形DBC可 以得到： 2RsinD=BC(R为三角形外接圆半径) 角A=角D 得到：2RsinA=BC 同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB 这样就得到正弦定理了 猜你感兴趣： 1.高中数学定理证明 2.承兑延期证明 (经典)高中数学正弦定理的五种全证明方法 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 高中数学正弦定理的五种证明方法 ——王彦文 青铜峡一中 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD⊥BC,垂足为D 则Rt△ADB 中,AB AD B =sin ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21= ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21== 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==即C c B b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与 CB 的夹角为90°-C 由向量的加法原则可得 AB CB AC =+ a b D A B C A B C D b a D C B A 余弦定理证明过程(精选多篇) 余弦定理证明过程ma=√ -ac*cosb) =√ 由b =a +c -2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a +2c -2b ，代入上述ma表达式： ma=√ =√ 证毕。 2 在任意△abc中,作ad⊥bc. ∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a--> bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c 勾股定理可知： ac2=ad2+dc2 b2=2+2 b2=sin2b*c2+a2+cos2b*c2-2ac*cosb b2=*c2-2ac*cosb+a2 b2=c2+a2-2ac*cosb 所以，cosb=/2ac 2 如右图，在abc中，三内角a、b、c 所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac 所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是，由三角函数的定义得b 点坐标是.∴cb=.现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是，asin)即d点坐标是,∴ad=而ad=cb∴=∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而 由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△abc 的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为,mc,应用余弦定理证明: mb= mc=ma=√ -ac*cosb) =√ 由b =a +c -2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a +2c -2b ，代入上述ma表达式： ma=√ =√ 同理可得： mb= mc= 4 ma=√ -ac*cosb) =√ 由b =a +c -2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a +2c -2b ，代入 正弦定理的几种证明方法 欧阳光明（2021.03.07） 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角 三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ， 同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有 =∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ， 同 理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中，sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即sin sin a b A B = sin c C = . 1’用知识的最近生长点来证明： 实际应用问题中，我们常遇到问题： 已知点A ，点B 之间的距｜AB|，可测量角A 与角B ， 需要定位点C ，即： 在如图△ABC 中，已知角A ，角B ，｜AB ｜＝ a b D A B C A B C D b a c ， 求边AC 的长b 解：过C 作CD^AB 交AB 于D ，则 推论： sin sin b c B C = 同理可证： sin sin sin a b c A B C == 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD ⊥BC,垂足为D.则Rt △ADB 中,AB AD B = sin ,∴AD=AB·sinB=csinB. ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?.同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21=. ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21==.∴absinc=bcsinA=acsinB, 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==.即C c B b A a sin sin sin = =. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与CB 的夹角为90°-C . 由向量的加法原则可得 AB CB AC =+, 为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到AB j CB AC j ?=+?)( 由分配律可得AB j CB j AC ?=?+. B ∴|j |AC Co s90°+|j |CB Co s(90°-C )=|j |AB Co s(90°-A ). j ∴asinC=csinA.∴ C c A a sin sin = . A 另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j ,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j D C B A C 柯西中值定理的证明及应用 马玉莲 （西北师范大学数学与信息科学学院，甘肃，兰州，730070） 摘要：本文多角度介绍了柯西中值定理的证明方法和应用, 其中证明方法有: 构造辅助函数利用罗尔定理证明，利用反函数及拉格朗日中值定理证明, 利用闭区间套定理证明, 利用达布定理证明, 利用坐标变换证明. 其应用方面有：求极限、证明不等式、证明等式、证明单调性、证明函数有界、证明一致连续性、研究定点问题、作为函数与导数的关系、推导中值公式. 关键词：柯西中值定理; 证明; 应用 1.引言 微分中值定理是微分学中的重要定理，它包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理，而柯西中值定理较前两者更具有一般性、代表性，其叙述如下： 柯西中值定理：设函数f(x),g(x)满足 (1) 在[,]a b 上都连续; (2) 在(,)a b 内都可导; (3) '()f x 和'()g x 不同时为零; (4) ()()g a g b ≠, 则存在(,)a b ξ∈，使得 ()()() ()()() f f b f a g g b g a ξξ''-=- . （1） 本文从不同思路出发，展现了该定理的多种证明方法及若干应用，以便其更好的被认识、运用. 2.柯西中值定理的证明 2.1构造辅助函数利用罗尔定理证明柯西中值定理 罗尔定理 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 上可导，且 ()()f a f b =则至少存在一点,(,)a b ξ∈ , 使得 因为()0g ξ'≠（若()g ξ'为0则()f ξ'同时为0, 不符条件）故可将（2）式改写为(1)式. 便得所证. 用复数证明余弦定理法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B， ∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B). 根据向量的运算： =(-acos B,asin B)， = - =(bcos A-c,bsin A), (1)由 = ：得 asin B=bsin A,即 = . 同理可得： = . ∴ = = . (2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A， 又| |=a, ∴a2=b2+c2-2bccos A. 同理： c2=a2+b2-2abcos C; b2=a2+c2-2accos B. 法二：如图5， ,设轴、轴方向上的单位向量分别为、，将上式的两边分别与、作数量积，可知 ， 即 将(1)式改写为 化简得b2-a2-c2=-2accos B. 即b2=a2+c2-2accos B.(4) 这里(1)为射影定理，(2)为正弦定理，(4)为余弦定理. 2 在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b 则c^2=a^2+b^2-2ab*cosC a^2=b^2+c^2-2bc*cosA b^2=a^2+c^2-2ac*cosB 下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。 过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a 由勾股定理得： c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2 所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2 =(a-CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2+b^2-2a*CD 因为cosC=CD/b 所以CD=b*cosC 所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC 题目中^2表示平方。 2 正弦定理的几种证明方法 正弦定理的几种证明方法 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 1’用知识的最近生长点来证明： 实际应用问题中，我们常遇到问题： 已知点A ，点B 之间的距｜AB|，可测量角A 与角B ， 需要定位点C ，即： 在如图△ABC 中，已知角A ，角B ，｜AB ｜＝c ， 求边AC 的长b 解：过C 作CD ⊥AB 交AB 于D ，则 cos AD c A = sin sin cos sin tan sin cos BD c A c A C DC C C C C = == sin cos (sin cos sin cos )sin cos sin sin sin c A C c C A A C c B b AC AD DC c A C C C +==+=+ == a b D A B C B C D b a