2013年高考江苏数学试题及答案(word解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学Ⅰ

．．．．．．．．（1）【2014年江苏，1，5分】函数3sin(2)4

y x π

=-的最小正周期为_______．

【答案】π

【解析】函数π3sin 24y x ?

?=+ ???的最小正周期2ππ2T ==．

（2）【2014年江苏，2，5分】设2(2i)z =-(i 为虚数单位)，则复数z 的模为_______．

【答案】5

【解析】()2

22i 44i i 3i 54z =--+-====．

（3）【2014年江苏，3，5分】双曲线22

1169

x y -=的两条渐近线的方程为_______．

【答案】3

4

y x =±

【解析】由题意可知所求双曲线的渐近线方程为3

4

y x =±．

（4）【2014年江苏，4，5分】集合{}1,0,1-共有 _______个子集． 【答案】8

【解析】由于集合{}1,0,1-有3个元素，故其子集个数为328=．

（5）【2014年江苏，5，5分】右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是_______． 【答案】3

【解析】第一次循环后：82a n ←←，；第二次循环后：263a n ←←，；由于2620>，跳出循环，

输出3n =．

（6）【

的那位运动员成绩的方差为 ．【答案】2

【解析】由题中数据可得=90x 甲，=90x 乙．()()()()()22

222287909190909089909015394s -+-+-??=?

+-+-?=甲，

()()()()()22222289909090919088909015292s -+-+-??=?

+-+-?=乙，由22

>s s 甲乙，可知乙运动员成绩稳

定．故应填2．

（7）【2014年江苏，7，5分】现有某类病毒记作m n X Y ，其中正整数,(7,9)m n m n ≤≤可以任意选取，则,m n 都

取到奇数的概率为________．

【答案】20

63

【解析】由题意知m 的可能取值为1，2，3，…，7；n 的可能取值为1，2，3，…，9．由于是任取m ，n ：若1

m =时，n 可取1，2，3，…，9，共9种情况；同理m 取2，3，…，7时，n 也各有9种情况，故m ，n 的取值情况共有7963?=种．若m ，n 都取奇数，则m 的取值为1，3，5，7，n 的取值为1，3，5，7，9，

因此满足条件的情形有4×5=20种．故所求概率为20

63

．

（8）【2014年江苏，8，5分】如图，在三棱柱111A B C ABC -中，,,D E F 分别是1,,AB AC AA 的中点，设三棱锥F ADE -的体积为1V ，三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ，则12:V V =_______． 【答案】1:24

【解析】由题意可知点F 到面ABC 的距离与点1A 到面ABC 的距离之比为1:2，1:4ADE ABC S S =:．

因此121

31:242AED ABC

AF S AF S V V ??=?=?:． （9）【2014年江苏，9，5分】抛物线2y x =在1x =处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和

边界)．若点(,)P x y 是区域D 内的任意一点，则2x y +的取值范围是________．

【答案】12,2??

-????

【解析】由题意可知抛物线2y x =在1x =处的切线方程为21y x =-．该切线与两坐标轴围成的区域

如图中阴影部分所示：当直线20x y +=平移到过点1,02A ??

???

时，2x y +取得最大值12．

当直线20x y +=平移到过点1(0)B -，时，2x y +取得最小值2-． 因此所求的2x y +的取值范围为12,2??-????

．

（10）【2014年江苏，10，5分】设,D E 分别是ABC ?的边,AB BC 上的点，12AD AB =

，2

3

BE BC =，若12DE AB AC λλ=+(12,λλ为实数)，则12λλ+的值为________．

【答案】1

2

【解析】由题意作图如图．∵在ABC ?中，1223DE DB BE AB BC =+=+12

()23

AB AC AB =+-

121263AB AC AB AC λλ=-+=+，∴116λ=-，223λ=．故1212

λλ+=．

（11）【2014年江苏，11，5分】已知()f x 是定义在R 上的奇函数．当0x >时，2()4f x x x =-，则不等式()f x x >

的解集用区间表示为________． 【答案】5,0)5()(∞－,＋

【解析】∵函数()f x 为奇函数，且0x >时，()24f x x x =-，则()22400040f x x x x x x x x =?->?

=??--

∴原不等式等价于

20

4x x x x >??->?

或2

04x x x x ?，由此可解得5x >或50x -<<． （12）【2014年江苏，12，5分】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为22

221(0,0)x y a b a b

+=>>，右焦

点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ．

若21d =，则椭圆的离心率为________．

【解析】设椭圆C 的半焦距为c ，由题意可设直线BF 的方程为

=1x y

c b

+，即0bx cy bc +-=．

于是可知

1bc d a ==，2222

2a a c b d c c c c -=-==．∵21d =，∴2b c =，即2ab =．

∴()22246a a c c -=．∴42610e e +-=．∴21

3

e =

．∴e

（13）【2014年江苏，13，5分】平面直角坐标系xOy 中，设定点(,)A a a ，P 是函数1

(0)y x x

=>图像上一动点，

若点,P A 之间最短距离为a 的所有值为________．

【答案】1-【解析】设P 点的坐标为1,x x ??

???

，则2222

22111()=2=2x a a x a x a x x A x P ??????-+-+-+ ? ? ???????=．令12t x x =+≥，

则()()2222222222PA t at a t a a t =-+-=-+-≥．结合题意可知(1)当2a ≤，2t =时，2

PA 取得最小 值．此时()2

2228a a -+-=，解得1a =-，3a =(舍去)．(2)当2a >，t a =时，2

PA 取得最小值．

此时228a -=，解得a =a =(舍去)．故满足条件的实数a 1-．

（14）【2014年江苏，14，5分】在正项等比数列{}n a 中，512

a =，673a a +=．则满足123123......n n a a a a a a a a ++++>的最大正整数n 的值为_______． 【答案】12

【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则由()26753a a a q q +=+=可得2q =，于是62n n a -=，

则1251

(12)

13221232n n n a a a --=-+=-++?．∵51

2

a =，2q =，∴61a =， 111210261a a a a a ==?==．

∴12111a a a ?=．当n 取12时，761212121112121

322

2a a a a a a a a ++?+=->?==成立；当n 取13时，

867131213121112131213221

32

·22a a a a a a a a a a ++?+=-?===<．

当13n >时，随着n 增大12n a a a ++?+将恒小于12n a a a ?．因此所求n 的最大值为12．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．

作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

（15）【2014年江苏，15，14分】已知()cos sin a αα=，，()cos sin b ββ=，，0βαπ<<<． （1）若2a b -=，求证：a b ⊥；

（2）设()01c ,=，若a b c +=，求α，β的值． 解：（1）解法一：

由||2a b -=，得：22||()2a b a b -=-=，即2

2

22a a b b -?+=．又2

2

2

2||||1a b a b ====， 所以222a b -?=，0a b ?=，故a b ⊥．

解法二：

(cos cos ,sin sin )a b αβαβ-=--，由||2a b -=，得：22||()2a b a b -=-=，

即：22(cos cos )(sin sin )2αβαβ-+-=，化简，得：2(cos cos sin sin )0αβαβ+-=， cos cos sin sin 0a b αβαβ?=+-=，所以a b ⊥．

（2）(cos cos ,sin sin )a b αβαβ+=++，可得：cos cos 0

(1)sin sin 1

(2)

αβαβ+=??

+=? 解法一：

0(3)1(4)，可得：π=．代入（

AS AB =．过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是侧棱SA ，SC 的中点．求证：

（1）平面EFG //平面ABC ； （2）BC SA ⊥． 解：（1）因为AS AB =，AF SB ⊥于F ，所以F 是SB 的中点．又E 是SA 的中点，所以//EF

AB ．

因为EF ?平面ABC ，AB ?平面ABC ，所以//EF 平面ABC ．同理可证//EG 平面ABC ．

又EF EG E =，所以平面//EFG 平面ABC ．

（2）因为平面SAB ⊥平面SBC 于SB ，又AF ?平面SAB ，AF SB ⊥，所以AF ⊥平面SBC ．

因为BC ?平面SBC ，所以AF BC ⊥．又因为

AB BC ⊥，AF AB A =，AF AB ?、平面SAB ，

所以BC ⊥平面SAB ．又因为SA ?平面SAB ，所以BC SA ⊥．

（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：．设圆的半径为1，圆心在l 上．

（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 解：（1）由题设，圆心C 是直线24y

x =

-和1y x =-的交点，解得点2(3)C ,，于是切线的斜率必存在．

设过3(0)A ,的圆C 的切线方程为3y kx =+1=，解得0k =或3

4-， 故所求切线方程为3y =或34120x y +-=．

（2）因为圆心在直线24y x =-上，所以圆C 的方程为()()2

2221x a y a -+--???

=?．设点()M x y ，， 因为2MA MO =22230x y y ++-=，即()2

214x y ++=， 所以点M 在以1(0)D -，为圆心，2为半径的圆上．由题意，点()M x y ，在圆C 上，所以圆C 与圆D 有 公共点，则2121CD -≤≤+，即13≤．由251280a a -+≥，得R a ∈；

由25120a a -≤，得0125a ≤≤

．所以点C 的横坐标a 的取值范围为120,5??

????

． （18）【2014年江苏，18，16分】如图，游客从某旅游景区的景点处下山至C 处有两种路径． 一

种是从沿A 直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到 C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线

运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，12

cos 13

A =

，3cos 5C =．

（1）求索道AB 的长；

（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（3）为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？．

解：（1）在ABC ?中，因为3os 1c 12A =，cos 35C =，所以sin 513

A =，sin 4

5C =．

从而()()sin sin sin sin cos cos sin 5312463

13513565

B A

C A C A C A C π=-+=+=+???==????． 由正弦定理sin sin AB AC

C B

=

，得12604sin 104063sin 565

AC AB C B =?=?=．所以索道AB 的长为1040 m ． （2）假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了()10050 m t +，乙距离A 处130m t ，

所以由余弦定理得()()()()2

2

2212

1005013021301005020037705013

d t t t t t t =++-??+?=-+， 因10430001t ≤≤

，即08t ≤≤，故当35

37

t =(min)时，甲、乙两游客距离最短． （3）由正弦定理sin sin BC AC

A B

=

，得12605sin 500m 63sin 1365

AC BC A B =?=?=． 乙从B 出发时，甲已走了()50281550?++=(m)，还需走710 m 才能到达C ．

设乙步行的速度为v m/min ，由题意得5007103350v -≤

-≤，解得1250625

4314

v ≤≤

，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在1250625,4314??

????

(单位：m/min)范围内． （19）【2014年江苏，19，16分】设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列()0d ≠，n S 是其前n 项和．

记2n n nS

b n c

=+，N n *∈，其中c 为实数．

（1）若0c =，且1b ，2b ，4b 成等比数列，证明：()2N nk k S n S k,n *=∈；

（2）若{}n b 是等差数列，证明：0c =． 解：由题设，(1)

2

n n n S na d -=+

． （1）由0c =，得12n n S n b a d n -==+．

又因为124b b b ，，成等比数列，所以1224b b b =，即2

3=22d a a a d ???

?++ ? ????

?， 化简得220d ad -=．因为0d ≠，所以2d a =．因此，对于所有的*N m ∈，有2m S m a =．

从而对于所有的k ，*N n ∈，有()2

222nk k S nk a n k a n S ===． （2）设数列{}n b 的公差是1d ，则()111n b b n d =+-，即

()112

1n

b n nS n c

d =+-+，*N n ∈，代入n S 的表达式，整理 得，对于所有的*N n ∈，有()111321111122d d n b d a d n cd n c d b ???

?-+--++ ? =???-??

．

令112A d d =-，111

2

B d d b a =--+，()11D c d b =-，则对于所有的*N n ∈，有321An Bn cd n D ++=．(*)

在(*)式中分别取12

34n =,,,，得1111842279364164A B cd A B cd A B cd A B cd ++=++=++=++， 从而有11173019502150A B cd A B cd A B cd ++=??

++=??++=?

①

②③

，由②，③得0A =，15cd B =-，代入方程①，得0B =，从而10cd =．

即1102d d -=，11102b d a d -+=-=0，10cd =．若d 1=0，则由11

02

d d -=，得0d =，与题设矛盾，

所以10d ≠．又因为10cd =，所以0c =．

（20）【2014年江苏，20，16分】设函数()ln f x x ax =-，()x g x e ax =-，其中a 为实数． （1）若()f x 在()1,+∞上是单调减函数，且()g x 在()1,+∞上有最小值，求a 的范围； （2）若()g x 在()1,-+∞上是单调增函数，试求()f x 的零点个数，并证明你的结论． 解：（1）令f ′(x )=()110ax

f x a x x

-'=

-=<，

考虑到()f x 的定义域为(0)+∞，，故0a >，进而解得1x a ->，即()f x 在1()a -+∞，上是单调减函数．同理，()f x 在1(0)a -，上是单调增函数．由于()f x 在(1)+∞，上是单调减函数，故1()(1)a -∞∞?++，

，，从而11a -≤，即1a ≥．令()0x g x e a '=-=，得ln x a =．当ln x a <时，()0g x '<；当ln x a >时，()0g x '>．又()g x 在(1)+∞，上有最小值，所以ln 1a >，即a e >．

综上，有()a e ∈+∞，．

（2）当0a ≤时，()g x 必为单调增函数；当0a >时，令()0x g x e a '=->，解得x a e <，即ln x a >．

因为()g x 在()1-+∞，上是单调增函数，

类似（1）有ln 1a ≤-，即10a e -<≤．结合上述两种情况，有1a e -≤． ①当0a =时，由()10f =以及()1

0f x x

'=

>，得()f x 存在唯一的零点； ②当0a <时，由于()()10a a a f e a ae a e =-=-<，()10f a =->，且函数()f x 在[1]a e ，上的图象不间断， 所以()f x 在(1)a e ，

上存在零点．另外，当0x >时，()1

0f x a x

'=->，故()f x 在(0)+∞，

上是单调增 函数，所以f (x )只有一个零点．

③当10a e -<≤时，令()1

0f x a x

'=-=，解得1x a -=．当10x a -<<时，()0f x '>，当1x a ->时，()0f x '<，

所以，1

x a -=是()f x 的最大值点，且最大值为()1ln 1f a a -=--．当ln 10a --=，即1a e -=时，()f x 有一个零点x e =．当ln 10a -->，即10a e -<<时，()f x 有两个零点．实际上，对于10a e -<<，由于()1110f e ae --=--<，()10f a ->，且函数()f x 在11[]e a --，上的图象不间断，所以()f x 在

11()e a --，上存在零点．另外，当1()0x a -∈，时， ()1

0a x

f x =

->'，故()f x 在1(0)a -，上是单调增函数，所以()f x 在1

(0)a -，上只有一个零点．下面考虑()f x 在1()a -+∞，上的情况．先证()()1210a a f e a a e ---=-<．为此，我们要证明：当x e >时，2x e x >．设()2x h x e x =-，则()

2x h x e x '=-，再设()()2x l x h x e x ='=-，则()2x l x e '=-．当1x >时，()220x l x e e '=->->，所以()()l x h x ='在(1)+∞，上是单调增函数．故当2x >时，()()22240x h x e x h e '=->'=->，从而()h x 在(2)+∞，

上是单调增函数，进而当x e >时，()()220x e h x e x h e e e =->=->．即当x e >时，2x e x >．当10a e -<<，即1a e ->时，()()111210a a a f e a ae a a e -----=-=-<，又()10f a ->，且函数()f x 在11[]a a e --，上的图象不间断，所以()f x 在11()a a e --，上存在零点．又当1x a ->时，()0f x a '=-<，故()f x 在(a -1，+∞)上是单调减函数，所以f (x )在(a -1，+∞)上只有一个零点．

综合①，②，③，当0a ≤或1a e -=时，()f x 的零点个数为1，当10a e -<<时，()f x 的零点个数为2．

数学Ⅱ

【选做】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答 的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （21-A ）【2014年江苏，21-A ，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 和BC 分

别与圆O 相切于点D C AC 、，经过圆心O ，且2BC OC =．求证：2AC AD =．

解：连结OD ．因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，所以90ADO ACB ∠=∠=?．

又因为A A ∠=∠，所以Rt Rt ADO ACB ??∽．所以BC AC

OD AD

=

． 又22BC OC OD ==，故2AC AD =． （21-B ）【2014年江苏，21-B ，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵

1012,0206-????==????

????

A B ，求矩阵1-A B ． 解：设矩阵A 的逆矩阵为 a b c d ??????

，则1 00 2-?????? a b c d ??????=1 00 1??????，即 2 2a b c d --??????=1 00 1??????，故100a b c =-==，，，1

2d =，从而A 的逆矩阵为1 1 010 2--????????=A ，所以1 1 010 2--???????=?

A B 1 2

0 6??????= 1 20 3--??????

． （21-C ）【2014年江苏，21-C ，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为1

2x t y t =+??=?（t 为参数），曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ?=?=?（θ为参数）．试求直线l 和曲线C 的普通方程，

并求出它们的公共点的坐标．

解：因为直线l 的参数方程为1

2x t y t =+??=?

(t 为参数)，由1x t =+得1t x =-，代入2y t =，得到直线l 的普通方程为

220x y --=．同理得到曲线C 的普通方程为22y x =．联立2212y x y x =(-)??=?

,解得公共点的坐标为(2)2，，1,12??

- ???． （21-D ）【2014年江苏，21-D ，10分】（选修4-4：不等式选讲）已知0a b ≥>，求证：332222a b ab a b -≥-． 解：()()()()()()()()332222222222222a b ab a b a a b b a b a b a b a b a b a b ---=-+-=-+=-++．

因为0a b ≥>，所以0a b -≥，0a b +>，20a b +>，

从而()()()20a b a b a b -++≥，即3322

22a b ab a b -≥-． 【必做】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．

． （22）【2014年江苏，22，10分】如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点．

（1）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；

（2）求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值． 解：（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()000A ，，，()200B ，，，()020C ，，

()110D ，，，14(0)0A ，

，，14(0)2C ，，，所以1(20)4A B =-，，，1(11)4C D =--，，．

因为11111

1cos ,20A B C D A B C D A B C D

?=

==

，所以异面直线1A B 与1C D ．

（2）设平面1ADC 的法向量为1()n x y z =，，，因为(1)10AD =，，，10()24AC =，，，所以10n AD ?=，

110n AC ?=，即0x y +=且20y z +=，取

1z =，得2x =，2y =-，所以，12()21n =-，，是

平面1ADC 的一个法向量．取平面1

AA B 的一个法向量为2(010)n =，

，，设平面1ADC 与平面 1ABA 所成二面角的大小为

θ

．由12122||||s 3co θ?==

=n n n n ，得sin θ=．

因此，平面1ADC 与平面1ABA ．

，11(1),

(1)k k k k k ----个

，…

n a +

+()n N *∈．对于l N *∈，定义（1）求11中元素个数； （2）求集合2000P 中元素个数．

解：（1）由数列{}n a 的定义得123456789101223334444a a a a a a a a a a ==-=-====-=-=-=-，，，，，，，，，，，

115a =，1234567891011113036226105S S S S S S S S S S S ∴==-=-=====-=-=-=-，，，，，，，，，，，

从而11445566111102S a S a S a S a S a ==?===-，，，，，所以集合11P 中元素的个数为5． （2）先证：()()*2121()i i S i i i +=-+∈N ．

①当1i =时，()3213i i S S +==-，()213i i -+=-，故原等式成立； ②假设i m =时成立，即()()2121m m S m m +=-+，则1i m =+时，

()()()()()()()()2

2

222(113)21222143253123m m m m S S m m m m m m m m m +++=++-+=-+--=-++=-++．

综合①②可得()()2121i i S i i +=-+．于是()()()()()()()2(2

21121)212121211i i i i S S i i i i i i +++=++=-+++=++． 由上可知()21i i S +是21i +的倍数，而()21(211221)i i j a i j i ++=+=?+，

，，，所以()()(212)121i i i i j S S j i +++=++是 ()211)2(21i i j a j i ++=?+，，，的倍数．又()()()()121121i i S i i ++=++不是22i +的倍数，而()()()12122i i j a i +++=-+

()1222j i =?+，，，，所以()()()()()()()()1211212221122i i j i i S S j i i i j i +++++=-+=++-+不是()()121i i j

a +++ 122()2j i =?+，，，的倍数，故当()21l i i =+时，集合l P 中元素的个数为()21321i i ++?+-=，

于是，当()()21121l i i j j i =++≤≤+时，集合l P 中元素的个数为2i j +． 又()200031231147=??++，故集合2000P 中元素的个数为231471008+=．