浙江省宁波市2017-2018学年高一统考试数学试题+Word版含答案

宁波市2017学年第一学期期末考试

高一数学试卷

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，{1,3,4,7}A =，{1,2,4,6,7}B =，则()U C A B =I （） A ．{3,6} B ．{5} C ．{2,3,5,6} D ．{1,2,3,4,5,6,7}

2.下列函数中，在定义域内单调递增的是（）

A ．0.5log y x =

B ．sin y x =

C ．2x y =

D ．tan y x = 3.若幂函数()f x x α=的图像过点(4,2)，则(9)f 的值为（） A ．1 B ．3- C ．3± D ．3 4.若角α的终边经过点(1,1)P --，则（） A ．tan 1α= B ．sin 1α=- C.2cos 2α=

D ．2sin 2

α= 5.在ABC ?中，点D 为边AB 的中点，则向量CD =u u u r

（）

A ．12BA BC -u u u r u u u r

B ．12

BA BC --u u

u r u u u r

C.12BA BC -+u u u r u u u r D ．12

BA BC +u u

u r u u u r

6.下列函数中，最小正周期为π，且图像关于直线6

x π

对称的是（）

A ．1sin()212y x π=-

B ．sin(2)6y x π

C.1cos()26y x π=+ D ．cos(2)6y x π

7.函数||cos x x

y e

=的图像大致是（）

A ．

B ． C.

D ．

8.已知函数()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()x e f x g x =+，则()f x =（）

A ．2x x e e --

B ．2x x e e -+ C.2

x x

e e -- D ．2x x e e ---

9.对于非零向量,m n ，定义运算“?”：||||sin m n m n θ?=，其中θ为,m n 的夹角.设,,a b c 为非零向量，则下列说法错误．．

的是（） A ．a b b a ?=? B ．()a b c a c b c +?=?+? C.若0a b ?=，则//a b D ．()a b a b ?=-?

10.已知[,]22ππα∈-，[,0]2π

β∈-，且211sin cos2()()24παβαβ--=-，则sin()2

β-=（）

A ．1

- B ．0 C.22 D ．32

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.

11.已知2log 3a =，则2log 9= （用a 表示），2a = ．

12.已知(1,1)A -，(3,3)B ，(1,)a m =，且//AB a u u u r

，则||AB =u u u r ，m = ．

13.已知函数()=2sin()f x x ω?+(0,0)2

ωω><<

一部分图像如图所示，则

ω= ，函数()f x 的图像可以由()2sin g x x ω=的图像向左平移至少

个单位得到．

14.()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2x f x =，且关于x 的方程

2[()]4f x -()0f x a +=在R 上有三个不同的实数根，则(1)f -= ，a = ．

15.弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作《无穷小分析概论》中提

出把圆的半径作为弧长的度量单位.已知一个扇形的弧长等于其半径长，则该扇形圆心角的弧度数是． 16.已知向量,a b 的夹角为

，(0,1)a =，||2b =，则|2|a b -= ． 17.函数65,1

()2,1x x x f x x -+

．若存在12x x <，使得12()()f x f x =，则12()x f x ?的最大值

为．

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.已知集合={|3}A x x a -≤≤，a R ∈，{|34,}B y y x x A ==+∈，2{|,}C z z x x A ==∈. （Ⅰ）若0a =，求A B I ；

（Ⅱ）若3a ≥，且B C B =U ，求a 的取值范围. 19.已知函数22()23sin cos cos sin f x x x x x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）若(0,)2x π

∈，求函数()f x 的最大值以及取得最大值时x 的值. 20.如图所示，四边形ABCD 是边长为2的菱形，3

BAD π

∠=

（Ⅰ）求AB AC ?u u u r u u u r

的值；

（Ⅱ）若点P 在线段AB 及BC 上运动，求()AB AC AP +?u u u r u u u r u u u r

的最大值.

21.已知,(0,)2παβ∈，sin 7

α=

sin 27

β=

（Ⅰ）求cos()αβ+的值；

（Ⅱ）是否存在,(0,)2x y π∈，使得下列两个式子：①2x y αβ+=+；②tan tan 23

y ?=同时成立？若存在，求出,x y 的值；若不存在，请说明理由. 22.已知函数2()log (1)f x x =+，()||g x x x a =-.

（Ⅰ）若()g x 为奇函数，求a 的值并判断()g x 的单调性（单调性不需证明）；

（Ⅱ）对任意1[1,)x ∈+∞，总存在唯一的2[2,)x ∈+∞，使得12()()f x g x =成立，求正实数．．．a 的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5:CCDAA 6-10:BDABC

二、填空题

11.2a ，3 12.2 13.2，6

14.2，3 15.1 16.2 17.

2524

三、解答题

18.解：（Ⅰ）由题可得0a =时，{|30}A x x =-≤≤，{|54}B y y =-≤≤. ∴{|30}A B x x =-≤≤I .

（Ⅱ）∵B C B =U ，∴C B ?，{|534}B y y a =-≤≤+.

3a ≥时，2{|0}C z z a =≤≤.

∴234a a ≤+，14a -≤≤. ∴34a ≤≤.

19.解：（Ⅰ）()2cos 2f x x x =+2sin(2)6

x π

=+.

∴函数()f x 的最小正周期22

T π

π=

=. （Ⅱ）∵(0,)2x π∈，()2sin(2)6f x x π=+，∴72(,)666

x πππ

+∈∴max ()2f x =.

此时26

x π

，∴6

x π

20.解：（Ⅰ）以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，

∴(2,0)B

，C ，(2,0)AB =u u u r

，AC =u u u r .∴6AB AC ?=u u u r u u u r

（Ⅱ）

AB AC +=u u u r u u u r ，设(,)P x y

，∴()5AB AC AP x +?=+u u u r u u u r u u u r

所以当点P 在点C 处时，()AB AC AP +?u u u r u u u r u u u r

的值最大，最大值为18.

21.解：（Ⅰ）∵,(0,)2παβ∈

，sin α=

sin β=

，

∴cos α=

cos β= ∴1

cos()cos cos sin sin 2

αβαβαβ+=-= （Ⅱ）∵(0,)αβπ+∈，∴3

αβ+=

，∴

x y παβ+=+=.

∴tan

tan 2tan()21tan tan 2

x y x y ++=

=-?

∵tan tan 22x y ?=

tan tan 32x

y +=.

∴tan 2

，tan y

是方程2(320t t -+=的两个根.

∵,(0,)2x y π∈，∴0tan 12x <<

，∴tan 22

=，tan 1y =.

∴4

y π

，6

x π

.即存在6

x π

，4

y π

满足①②两式成立的条件.

22.解：（Ⅰ）∵()g x 为奇函数，∴()()(||||)0g x g x x x a x a +-=--+=恒成立. ∴0a =.此时()||g x x x =，在R 上单调递增.

（Ⅱ）1[1,)x ∈+∞，2()log (1)f x x =+，∴1()[1,)f x ∈+∞

,(),x ax x a

g x x ax x a

?-≥?=?-+

a ≥，∴3

22a ≤≤

②当24a <<时，2()g x 在[2,]a 上单调递减，在[,)a +∞上单调递增. ∴(2)421g a =-+<，52

a <

，∴5

22a <<

③当4a ≥时，2()g x 在[2,]2a 上单调递增，在[,]2

a a 上单调递减，在[,)a +∞上单调递增.

∴2

2()()1222

a a a g =-+<，22a -<<，不成立.

综上可知，35

a ≤<.