中山大学概率统计第3习题解.docx

习题三

先介绍两个常用的恒等式?对于I 兀|V 1,

工和（屮尸匹爲广）"=&爲匸/対匹二心+】）尸-工二宀

1. 求习题

2.4屮的随机变量X 的期望. 解X 有概率分布

P （X=k ）= p k ~] （l-^ + d-p/-1 p , R = 2,3,….

EX 壬肿 x=k )=xr =2 时(i - 刃+“尸 p

/ 、

—1― -1 + p 1(1-"丿

= 2p-p2 | ]_p2」_ p+ p2 二 ] ]

1 一 P P PQ _ P) p(l — P)

2. 求习题2.9屮的随机变量X 的期望和方差.

解 EX =匚顾兀宓=J[城兀/[01）（兀）+ （2-兀）/[12]（兀）皿

=匚 F 〃(x)dx=J ：g x 2

[x/l01)(x) + (2-x)Z L12J (x)]dr

DX =EX 2-(EX)2 =7/6-l = l/6.

3. 某种彩票中奖的概率是0.1,连续地购买这种彩票，设直到第X 张彩票才获奖.求X 的期望与方差. 解X 有分布

证明如下:

(l-x)3~(l-x)2-(l-x)33)

丿

= i^dx^\(2-x)dx = - + 宀专 =d- P )工：=2 炒 7 + P 》；/(l - P )I =0-P )

EX 2

V°° M-1 - 1

V°° Q z _ 1 +兀 S _(1一才’乙曰 "(1-X )3,

1 (1—兀尸

2 (1-川’

\ +

j : jc'dx + J ：兀 $(2 一 x)dx =) 2

1 14 15 7

— i ______ — _ "4 T"T _6,

P(X=k) = 0」X 0?9*T , R = l,2，….

EX =》；,P(X *) =》：/x0.1x0.91 =0.y xO.k =_^_ = W ,

EX 2 =》；」2p (X =灯二工二八 x0.1 x 0.91-1

DX = EX 2-(EX)2 = 190-100 = 90.

4. 某小组有男生4人女主3人从中随机选出2人.设X 为选到的女牛的人数，求X 的期望和方差. 解X 冇分布

"八、4 3 2 4 3 3 4 4 ……3 2

1 p (X =0) = -x- = -, P(X =l) = -x- + -x- = -, P(X =2) = -x- = -. 7 6 7 7 6 7 6 7 7 6

EX =》：_‘P(X=k) = 0x(2/7) + lx(4/7) + 2x(l/7) = 6/7, EX? =》；=2“P(X =k) = 0x(2/7) + lx(4/7) + 4x(l/7) = 8/7,

DX = EX 2-(EX)2 =8/7-(6/7)2 =20/49.

5. 同时投掷4个骰子一次.约定没有掷出6点得1分,掷岀1个6点得5分，掷出2个6 点得

25分,掷出3个6点得125分,4个6点得625分.问期望能得多少分？解 X 有分布

P(X = 1) = Cf (1 / 6)°(5 / 6)4 = 625 / 64, P(X =5) = C^(1/6)1(5/6)3 =4X 125/64 , P(X = 25) = C ：(1/6尸(5/6尸=6x25/64 , P (X=125) = C^(l/6)3(5/6)1 =4X 5/64, P(X = 625) = C4 (1 / 6)4 (5 / 6)° = 1 / 64 ?

EX =lxP(X =l) + 5xP(X =5) + 25xP(X =25) + 625xP(X =625) =(625+ 5x4x125 + 25x6x25+ 5x4x125+ 625)/64 =625/81.

6. 某人携带5发子弹射击一 H 标,一旦射中或子弹打光了便停止射击.设这个人每次射击命屮目标的概率是p ,问他平均会射击儿次？解1设q = \ — p, X 有分布

p (X =k) = pq k ~x , ￡ = 1,2,3,4, P(X=5) = q 4 .

EX = XLi

X=k) = H W 1 +

=工仁 fc(l- q)qi + 5/

所以 0」X (l+O ?

9) (1-0.9)3

= 190

=1 + 2q + 3/ +

- q- 2q 2 --4q 4 + 5c/4

= ] + g + g2 + / +?4.

解2设q = \-p, X 有分布

p (X = k) = pq-', ￡ = 1,2,3,4, P(X=5) =护.

因为对于|x|

f o 1 v , x="z f +°° 1 -/ .

—xe dx = - \ —te dt = J -oo 2 J o 2

故 EX =0.

EX 2

訂二* 代T% 訂;。

V 厂必=J 厂

+ v

2(T x dx = -2e^x

所以

X — 1-x

1 - 5x 4 + 4x 5

(1 一兀)2

=ZL^(X=^=ZLW-1

_4(/-Q )+5护= ] + q +『+g3 4/+5g4=l + g +『+q3 + g4 i_q

设随机变量X 的概率密度为p(x) = - 1 /(_U)(X )?求EX 和DX .

7T\I\-X 2

r +oo r +1 EX = J xp(x)clx = J [

xdx x=^j n/ 龙

Jl - F 龙/2 sin/cos tdt ~^ 2 7T\ll-sin 2

=「2 沁",

J-7T/2 兀

EX 2 = X 2

p(x)cbc =

J —CO

J —I

x 2

dx x

=^1

TvJ'-X 2

兀/2 sin~/cos/d/

_;r 2

- sin 21

8- = 1p/2^ = 1p/21(i _sinwz = 1p +c^

兀' -兀宀兀龙」一龙/22

TC\1

DX = EX 2-(EX)2 = \/2.

“=丄

-7T/2

设随机变量X 的概率密度为p(x)=昇巴YO

=\Z X

P ^

C 1X =

J S | xe ~^

dx=

J L

xeX (ix+

4-00 1

尹如

丄 xe~x dx =--xe~x

Jo 2 2

\^-e~x dx = --e~x

Jo 2

+8 ] o

飞'

+°°

=2,

DX = EX 2-(EX)2=2.

又由于丄宓Fl 是奇函数，故

EX = J + xp(x)dx = j + ￡ xe~^dx = 0 .

EX 2 = J + x 2p(x)dx = J +

x 2e~x dx = -x 2e~x +J ； 2xe~x dx

DX = EX 2-(EX)2=2.

9. 在赌场上，赌博的人每次交纳个一个筹码便可以同时投掷3个骰子一次，并获取一笔奖金，奖金的数目（元）等于3个骰子掷出的的点数的乘积?如果每个筹码的价钱是45元, 那么赌场老板平均每次可以获利多少？解分别以X P X 2和X 3记3个骰子掷出的的点数，则

EX t =EX 2 =EX 3 =（1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6）/6 = 3.5 Y = X^X 2X 3.

以Y 这些点数的乘积，即丫 = XK2X3，赌场老板平均每次的获利是

45 - EY = 45 - EX }EX 2EX 3 =45 - 3.53 = 45 - 42.875 = 2」25.

10. 对某一目标进行射击，肓到击中r 次为止.如果每次射击的命屮率为p ,求需要射击次数的期望与方差.

解1分别以X],…,X,.记笫1次击中需要射击次数，第1次击中后开始到第2次击中需要射击次数，…，笫厂-1次击中后开始到笫r 次击中需要射击次数.对i = …，厂，X,有分布

P （Xi = k ） = pql', "1,2,…，

其屮qT — p.因而

EXi = LZ=1 kP （Xi = k ）=》；=[ kpqk-' =, EX?=ZL kg=k ）吃爲卄=氓p 存卩墙学

（| 一 q ） p

DXj = EX ：-（EX ； =qj p2

f +8 |

'f. hr

+°° x=l

f+oo

丄

J -OO 2

血Txl dx = ^ + oo

xe~x dx <

以Y 记需要射击的次数贝lj Y = X] +…+ X 八

EY = EX\+??+EXr = H p, DY = DX\+..? + DXr = rq) p? 解2以Y 记需

要射击的次数，则Y 有分布

P(Y = k) = pC ；二严孑-r = C^p r q k ~r ，—,广 +1,….

EY = &」P （Y =約==吃二

沽鬆”

P y 00 k'? — (厂_1)!乙妇厂伙_广)!纟

因而

2 -4+4,"=曲_仰）一吕+马

p~ p p~ p~ p~ p~ p~

解3以厂记需要射击的次数，则Y 有分布

P （Y 寸） = 〃C 吕/厂= C 吕 p r q k -r ,—,厂 +1,….

根据命题2. 2. 1,

工―P& =

' =1 -

分别以r + 1和厂+ 2代替上式的r ,则分别有

k=k*+l

~=乞二耳严厂、工;上严厂.

r (l-6/)r+，

~~P

r\ 上式中

EY 1 2 = M/P(Y = k)=工；」伙 + l)g//qS -工二如曲"

P (k +1)! k_r _ P y^00 / Jt+1x(r+l) __P (一1)!乙心伙-屛一(厂-1)!乙“q 儿 — （〒8 k+1

什_]）!（乙“卫 /q

(r+l)

、仃

+1）

（一叫1一Q 丿 p‘ (r + l)! _心+1)

"7~

q (一 1)! (1-q 严

EY 2 _ 心+1) r

r _ rq

k=r

(k-r)lrl

p r (r-1)!

EV 2

=工;」沁丫 = k) =工;丿伙+ DC ：二”严-工二姒二必，上式中

&丿伙+心严=工二斜启討旷

由此得

r （r + l ） r

P 「 P

D"加-（刃）一二+马-二二卑. p~ p p~ p~

11?设X 服从0分布，即它的密度为

一其中a > 0,0 > 0.求EX 和DX .(提示:称BU,r) = [' u s ~x (1- M )/_I 力为0函数，由微积分 J 0 的知识知 B (S ,H = r (5)r (r )/r (5 +1)) 解(见p. 239,命题2.1)

12. 分别以下的几种情况，求z = Vx 2 + r 2的均值.请用两利方法分別计算,即利用1.10 式直接计算，以及先求Z 的密度，再利用1.4式计算.

1) (X,Y)有联合密度p(x,y)=丄不

2兀 2) (X,y )有联合密度 p(x,y) =丄e-C).

3) (X,D 有联合密度 p(x,y) = 4xye^(x2+y2)I D (x 9y),其中 D = (x,y):x>0,y >0).

解

1)方法1

饯⑵二 P(Z

x=rcos^

y=r sin 0 1

「％ r z r 2

= 云/（0卄）⑵L d&L re ~，dr =心Q ⑵L r

^dr = （1 -厂- z 严”（0+8）⑵,

Pz ⑵=Fz （z ） = Z€ pO y ）⑵,

2 + 1）y8 （k +1）! r+i ji-r P ? 亠n”!（厂+）" q r （r + I ）p8 厂+i 厂+2

?_广

—^厂\=4卩q

r （r + l ）

「（Q + 0） W ）

严七-兀严心」)(兀), -z

方法2

EZ = Eylx 2 + Y 2 = f +O °f " J 兀2 +丹(兀,y}dxdy

J — oo

— OO

1 -2^ 2)方法1

5(z )= P (Z

+ r 2

Pz ⑵"？⑵= 2Z ￡7/(OS (Z ), r

4-00

4-00 0 2

Z=\[i

EZ = J

zpz ⑵Jz = 2j o z~e~~ dz = 2

方法2

EZ = Eylx 2 + Y 2 = T f +°° Jx 2 + y 2 p(x, y)dxdy J —8 J

—OO

X 2+Y 2

/(0卄)⑵ J ；、4sin&cos&d&J ： Pe~r ~ dr = 21

f Z?

卄)⑵J ： te~{dt = (\-e~2~ -zV 2-)/(0+oo)⑵，

/(0,+8)⑵,

EZ = J zp z (z)dz = j 方法

EZ = Eylx 2 + Y 2 = [+o °f +

°° yj x 2 + y 2 p(x 9 y)dxdy

J — OO

J —8

EZ = J z 〃z (z)dz = J 「—(3) = 2.

=j+ j + 4>/x 2 + y 2xye~(x +v }I D {x,y)dxdy

x=rco

sO y 二rsin&

e TT /2 J 。4 sin &cos&d& )A e~rl dr

.v=rcos^

广广产升R 如广罗 J

—OO

v 2 , .,2

*+)dxdy

A=rcos & y=rsin^ |

兀

(o,+8)⑵Jo

d&J

z 2

严力=2心卄）

r z ,2

⑵Jo" dr = (\-e - )/(o.+00)(2),

V /Jz = r (3/2) = V^/2.

x=rcos3

------- i 9

y=rsin^ + y 2 —e^x +r}

dxdy = 7t

+8 9 2 7

=丄厂厂拧 J 一 8 J

—OO

/厂 dr = 2

3)方法1

F z ⑵=P(Z

JJ 4xye

=4 1/

V /^z = r (3/2) = Vi/2.

2 2

% * }I D (x,y)dxdy

A-rcos^ 尸

广sin &

3d 「力二「（5/2） = 3石/ 4.

■°° J2兀(7

—8

= ^￡Lde-x2,(2^ + + / (―淫_2

厂 2

叫5_ I )/EX “ ?

J 2兀

』2兀

—OO

由此得

“ [0

汹奇数

EX n

(

14.设球的点径服从［⑦方］上的均匀分布，求球体积的期望.

解设球的直径为X,球的体积为Y.则丫 =丄兀X 有密度P X (X ) = J —I(X )^

6 b-a

EY = E(—TT X 3) = f +°°—^x 3p x (x)dx = f h

----- i --- 兀Fdx = ---------- 6 J 一8 6 J a

6(b - a) 24(/? 一 a)

7r(b 4 -a 4)

24(〃一。)

15.点随机地落在中心在原点、半径为R 的圆周上，并对弧长是均匀分布的.求落点横处标

的期望和方差.

解从点(1,0)沿反时针方向到落点的弧长为S,落点横坐标为X,则X = Rcos^-f S 有密度 Ps G) = Z — /［0,2龙］(")?因而

S r +°° s

r 2 兀 1 s 1 s

EX = ^cos-]4_^cos-p 5(^ = f 0 -^cos-^=-^2.sin-

2兀

EX 2 = E[/? cos g]2 訂二[R cos 自2 Ps (s)ds 二 J ； "丄 R2 cos 2—

0 27T 17=—f 2；

r (l + cos -)ds = —(5 + sin cos-) 4龙 J 0 71 4" 71 2龙 c

_R^ —?

=j^OO 2rV r

\/z ，

=/j (^r 3/2e _z t/r = r (5/2) = 3A/i/4.

13. 设X ?N (Od),求 EX".

EX° = [ p x {x)dx = 1 ?

J —oo

由于xe~^n 是奇函数，兰厂引曲力广；''『「「宀加=2 v +oo ,故

r +8

xpx Mdx =

J —OO

当心2吋,

EX'

—OO

2 x" Px

—8

DX = EX 2-(EX)2 = R 2/2.

16. 设X ?N(〃Q 2), Y = a x y 其中?>0, a^\.求丫的密度，期望和方差. 解 F Y (y)=P(Y

当 y S0, a < 0 lit, 7y(y)= P(X >ln^/lna) = l - F x (In y /In a),

P Y (y)=用(y) = ((In y//ln a)p x (In y/\n a)=

当 y 5 0, a v 0 吋，F Y (y) = P(X < In y/\na) = F x (In y/\na),

P Y (y )=用(y) = ((In y)'/\n a)p x (In y/\n a)=

由上知y 有密度

內(刃=用O) = (dn y)'/ln a)p x =^￡-e~^加心)心卄)(刃.

17. 设轮船横向摇摆的振幅X 是随机变量,有密度p(x) = Axe-x2/2a2 /(o 卄)◎).求A 和X 的期望和方差，并求振幅大于其期望的概率. 解

1 = j* [

f [ Axe~x ~ 2<7_ /(0 +oo) (x)dx

二可。xe ( }dx = 4b J 。e dt = A (y^.

故 A = [/(y 2.

EX=j^xp(X )dx 寸二 + 代？ /2a 2 心*(x)dx

=A 厂代"7

$ /心=叵厂x 2

1厂2冷心=。后.

，」° 2(7 J —莎(J

2 2

￡0

(兀)必二A 兀3厂2/2,心卄)(劝心' 工)12a 2te~l dt = 2a 2.

DX = EX 2-(EX)2 =(2-7r/2)(y 2.

18. 设等腰点角三角形的直角边长X 为随机变量，服从[0,1]上的均匀分布.求这个三角形的面积的期望.

解 X 冇密度px (x) = /|o.i]W ，这个三角形的面积S = X 2/2.

ES = E(X 2 / 2) = j (x 2 / 2) p(x)dx =J 二(x 2 / 2)I [QA](x)dx = j^(x 2/ 2)dx = 1/6.

- In 。jin y/\na)2 /(2a 2)

Ind g-(ln y/In a-ju)2

/(2a 2)

19. 设园的面积服从指数分布,有密度/心）二冷—巧（o.s （x ）?求这个园的半径的期望. 解设园的而积为X,则这个园的半径R =

ER = E(x!X I 兀)=j \Jx/7Tp x (x)dx =j Vx/7tXe~^x /(0>+oo)(兀)必 =怎「(3 / 2)=怎?挣=壶?

=f 「丘忌严dx r 怎J

20 .设x.r 独立，分别有密度p x （兀）=*仏3］（兀）和P Y M = 2尸〉?0心）（刃，又设z

= XY . 求Z 的期望和方差.

解 EX = J + xp x （x ）^￡v = | + 右兀/「3］（兀）必=］*：￡” 必= 13/6,

f +°° 9 f +°° 1 3 r

j_oo X Px (劝心=Loo 才兀 41,31

EY 訂二啊(刃狞=匚y? 2e~2y I [0^y (y)dy = J 「2y 严=1/2, EY 2 = J 二y 2p Y (y)dy = j^y 2 ? 2宀o,“)心

=J ；°° ly 2e~2y dy = | ^re~l dt =右「(3) = 1 / 2. EZ = E(XY) = EXEY = (13/6)(1/2) = 13/12 ,

EZ 2 = ￡(X 2y 2) = ￡X 2EK 2 =5x(l/2) = 5/2, DZ = EZ 2-(EZ)2 =5/2-(13/12)2 =191/144.

21. 设某人在3天中共收到5份电子邮件，每份电子邮件在这3天中的那一天被收到都是等可能的?设这3天中有X 天当天都至少收到一份电了邮件，求X 的期望.（提示:设

解对于21,2,3,设

则X 胡+込+匕,

p (￡ =0) = (2/3)' =32/243, ?(｝；.= 1) = 1-?(｝；. =0) = 1-32/243 = 211/243, 故E ?

3(1,65/81).因而

EX = E” +E§ + EE= 211/243+ 211/243 + 211/243 = 211/81 = 2下.

22. 设（X 』）有联合密度p （xo9 = A/（x 2 + y 2+1）2,其中A 是常数.求出A 的值，并问

匸加 ] p +oo

EX 2 ｛x)dx = dx = 5,

笫次至少收到一份电子邮件

第沃没有收到电子邮件

则X 二片+込+ E ）.

第次至少收到一份电子邮件笫i 天没有收到电子邮件

解

1 = f + f +

p(x, y)dxdy

= f + [ +

A /(x 2 +

y 2 + I)2dxdy

J — OO J —8

■

— OO J —8

故 A = l//r ?

+ 8 ? ] r +8『?+ X

p(x. y)dxdy = — | ?8 兀 J

—OO J —

x=rcos^y=^in& ] 2龙 ° r +oo r 3

= —I cos* 0d0\ -------------- d 广= +<>o,

龙 Jo Jo (/+1)2

故Ex = DX = E(X - EX)2 = EX2不存在，类似地ayY 亦不存在.

23. 设(XQ 服从区域D = {(x,y)：O

Px ⑴=1心,y)dy = \^I D (x, y)dy =仏](兀)J ： ' 购=2(1 - x)Z l0JJ (x) ‘ EX — j xpx (x)dx = J ； 2x(1 — x)dx — (x 2 — 2x 3 /3)| =1/3, EX 2= j 二/心(x)dx =匸 2兀2(1 一 X )dx = (2x 3/3 - x 4/2)|l =1/6. DX = EX 1-(EX)1 = 1/6 —(1/3)2 =1/18 . 类似可得DY = \/\S. EXY = J J 2兀y/D (x, y)dxdy = ^ 2皿J ；呛=匸 x(l - ^)2 dx

co v( X,Y) = EXY - ( EX)(EK) = 1 /12 - (1 / 3)(1 / 3) = -1 / 36

24. 设(XV)为随机向最(x,/3,a,b,c 都是实数.证明：

COV (Q X +a,0Y + /?) = €^cov(X,y ), D(aX + 卩 Y + c) = a 2DX + /3~DY + 2 妙 cov(X,Y).

x=rcos^? y=rsin^

M +8

]

2(/+1)2

27rA

2(r 2 + l) + 8

=71

+ 8

r +8 r + xp(x. y)dxdy = — I

—8 兀 J J —

+ 8『

4*oo

?OO

/(x 2 + y 2 + \ )2dxdy

=丄 +8( +二心2+ >,2+1)2 必兀 J —OO

\J —OO

类似地，￡7 = 0.

+ 8 f +8 a a a *>

x 2 心 2 + y 2 +

I)2

dxdy ■8

= (X 2/2-2X 3/3 + X 4

/4)

lo = 1/12,

—OO

+ 8 0 ?

25?已知DX =16, DY = 25, p = -0.5.求cov(X,F), D(X + Y)和D(3X-2y + 4).

cov( X y Y) = J DXDY P XY = V16x25 x (-0.5) = -10,

D(X + Y) = DX + DY + 2cos(X,y)= 16 + 25 + 2x(—10) = 21,

D(3X-2y + 4) = 32r>X+22Z)y + 2x3x(-2)cos(X,y)

= 9x16 +4x25+ (—12)x(—10) = 364.

26.设随机变量X有均值4和方差25.为了使得厂X —s有均值0和方差1，应该怎样选样r, s的值.

解由题意得

0=E(rX-s) = rEX-s = 4r-y , 1 = D(rX - s) = r2DX =25r2,

解方程组

J4r-5 = O

I 25r2 = 1

#r = ±l/5, 5 = ±4/5 ?

27.设随机变量X],X2，X3独立同分布，有有限的不等于零的方差.乂设

y = 2X]+X2+2X3, Z = 2X1+3X2-6X3> 求人Z的相关系数.

解设DX]二DX2 = DX、=(T2，则

DY = D(2X]) + 阻 + D(2X3) = 4cr2 + / + 4<72 = 9cr2,

DZ = ￡>(2兀])+ ?(3勒)+ D(-6X3) = 4CT2 + 9cr2 + 36cr2 = 49cr2,

co v(K,Z) = cov(2X],2X]) + cov(2X],3X2)+ cov(2X|, - 6X3)

+ cov(X2,2X]) + cov( X2,3X2)+COV( X?, -6X3) +

+ COV(2X3,2X[) + cov(2 X3,3X2) + cov(2X3, -6X3) +

=cov(2X| ,2X0 + cov(X2,3X2) + COV(2X3,-6X3)

=4(r2 + 3(r2 -12cr2 = -5<72.

_co^y,g)_ _ -5亍_ 一"

"JDYDZ辰2)(4心)' ?

28.设(X,Y)是二维正态随机向最，X和丫都有均值0和方差1,两者的相关系数为1/2. 为了使得X和Y-kX和互独立，应该怎样选择常数k的值.

解设Z = ，贝lj (X,Z)服从正态分布，X , Z相互独立的充分必要条件是

cov(X,Z) = 0.山于

cov(X,Z)二 cov(X,Y — ￡X)二 cov(X,y )— ￡cov(X,X) = y/DXDYp XY -kDX =>JMx(\/2)-kx\ = \/2-k ? 故应选择k = \/2.

29. 分别求习题2.26屮的随机变量X 和丫的期望和方差,并求它们的协方差和相关系数. 解 EX =》：=o"(X =R) = 0x0.4 + lx0.3 + 2x0.3 = 0.9,

曲=工：(,2p (x =R) = 0X 0.4 + 1X 0.3 + 4X 0.3 = 1.5,

DX = EX 2-(EX)2 =1.5-0.81 = 0.69,

EY == k) = 0x0.1 + 1x0.2 + 2x0.3 + 3x0.4 = 2, EY 2 =

= ^) = 0x0」+ 1X 0.2 + 4X 0.3 + 9X 0.4 = 5,

z )y = Ey 2-(Er )2 = 5-4 = i,

=i,y = 7)= 1X 0.1 + 2X 0」+3X 0」+4X 0」+6X 0.2 = 2.2,

cov(X,K)= EXY - EXEY = 2.2-0.9x2 = 0.4,

30. 设(X,Y)服从二维正态分布，EX = EY = 0, DX=a 2, Dy = Z?2, p = 0.求(X,Y)落在

r ? 2

区域D= gy)：冷+冷5”中的概率.

I "廿

解(X,Y)有密度 p(x y y) = -^—e~{x2/a2+y2/b2),\

2ab 兀

P{(X, Y)G D} = JJ p^y)dxdy = JJ

D D

31?设随机变量 X 和丫独立.证明 D(XY) = (DX)(DY) + (EX)2 DY + (EY)2 DX .

32. 设随机变量X|,…,X“相互独立有相同的分布,且有有限的不等于零的方差.记

X =(Xj +--- + XJ/H.

1) 证明对z = l,???,/?, X z -X 与乂不相关. 2) 对山八求Xj -乂与Xj -乂的相关系数.

_ cov (x,y )

P X Y

_ J DXDY

().4

V0.69X1

= 0.4815.

x-arsin^

解设各个随机变量有共同的方差"2.

1) cov( X i -X,X) = cov( X^X)- cov( X,X)

=—COV (Xj,X] + ???+ X fJ ) - COV (X] H --- F X“，X] H - F X“) n n~

=丄 COV ( X 、, E) — 丄[cov( X|, X J + …+ cov( X”，X”)] n 矿

亠[D X]+.?? + DX 』=丄/一亠斤，=o,

n n~

故X, -X 与片不相关.

cov(X / - X, Xj -X) = cov(X z 一 X, X y )-cov(X, -X,X) = cov(X,- - X, X? =cov(X-, X z ) - cov(X,X ：) = -cov(X, X ；)= 一丄cov(X /X /) = --<72,

J J J J J D(X Z -X) = cov(X z -X,X,-X) = cov(X z -X,XJ — cov(X,-X,X) =cov(X z -X,X Z ) = cov(X /,X /)-cov(X,X /) = DX t -丄cov(XjXJ

类似地，D* - X ） =—a 2 .故X t -X 与X ：- X 的相关系数为 n

33. 设某一概率分布有密度*厂/2心十）（劝.求这一分布的3/4分位数. 解设这一分布的

3/4分位数为a,根据定义，

3/4 =仁詁*%=）（如=J 待尸％ = _严| ： = ] _ e-a/2 .

因而 a = 21n4 = 2?7726.

34. 连续型随机变量X 冇密度p （x ） = -/（o4）（x ）.求X 的中位数.

8 解设X 的中位数为根据定义，

2 a 2

1/2 =仁p （如=仁令W 如=『净=址=务

因而a = 2近.

35. 设X 有密度函数p （x ）=加J 心2）（兀）?求X 的k 阶矩EX k .

2) cov(X z -X,X y -X) jD(Xj -乂)D(Xj-乂)

-a 2 In

(n-\)a 2 /n n-1

36. 设X ?N(O,1),Y — 是整数.求P XY ?

解 EX=O, DX = \.由习题 13 可得，EY 2 = EX 2H =(2n-\)(2n-3)??…3?1?

当 n 为偶数时,EY = EX n =(n-l)(n-3)??…3-1,

DY = EY 2 -(EY)2 =⑵？一 l)(2/z-3) ??…3 ? 1 — [(/? 一 1)(/? -3) ??…31]2. EXY = EX"' =0, cov(X, Y) = EXY - (EX )(EK) = 0 _cov(XJ2_

P YV = -/

" = U -

J DXDY

当 n 为基数时，EY = 0, DY = EY 2 -(EY)2 = EY 2 = (2n-1)(2/?-3)??…31.

EXY = EX =n(n-2)??…31,

a _COV (X,r )_ ________________________ _________ PxY

~ JDXDY 一 JTx ⑵?-1)⑵7-3)??…3? 1 一 J ⑵2-1)!! ?

37.

直接验证：若 DX H O, bHO, Y = a + bX,则 p = F Z?>° -1

b<0

■

证 DY = b 2DX , cov(X,y) = Z?cov(X, X) = bDX ，故

c _ cov(X,Y) _ bDX _ J1 b>o

~ /DXDY ~ Jb\DX)2 "I-1 bv0

38. *设X 服从参数为

= min(Af,n).试证明：

1) y Z P{X=W } = 1; 2) E(X)W, 3) DX

严“严-M).

厶心)

N 2(N-1)

提示:展开恒等式(1 + x)N = (1 + x)M (1 + x)N ~M 两边的二项式，比较便得1);利用1) 及等式C ； =-C^可得2)和3).

证1)展开恒等式(l + x)N=(l + QW(l + QJW 两边的二项式得

V /V c k r m v ,H V A '"/V r z J

乙一乙乙心o

上式两边0的系数相等，故

+ oo

匚 x*Px (兀皿=匚

严/(0,+oo )O )心=J ； x k Ae~Ax dx

cov( X 』)=EXY-(EX )(EY) = EXY = n(n -2) ??…3 1,

n(n - 2) (31)

/:!!

I 厂n-m J 乙吩OSS-M E M 严"厂

〃匸 0 5

r m r n-m

因而 Z w=0 P{ X =间=Z w=0-^^ =(工”0 邙 V)/ G = 1 ?

上式中

M(M-l)厂〃 1一2「N-m

Y Z M7/777 _1\ C M C N _M = P mini-]}加伽 j) 一 2 N_M 乙〃片2呱加) r n _乙〃片2“心 ) N(N-l)小_2

V /V ”m S-2 M(M —l)n(" — l)

N(N —1)

收敛?求证：EX =c (提示：xp(c + x)是关于变元x 的奇函数，故f xp(c + x)cbc = O ;令

—co

r = c+x,代入积分得要证的结果). An

f +8 r +°° r +8 p +8

解 EX =

xp(x)dx = cp(x)dx + (x — c) p(x)dx 二 c + (x- c) p(x)cbc J —OO

J —8 J —OO

—OO

*c ?+/

「+8 r +oo f o

= c+

tp(c + t)dt = c+

tp(c + t)dt+

tp{c + t)dt,

J —OO

上式的最后的一项

r 0

/=_S - 4-oo

r +8

n> M

厂"一加 f M_ 厂加一 1 pn-m SS_M =y , 叶皿 S-I S-M /^n L ^n\-\

厂 n

厂加一 1厂(舁一1)一(加一 1) r m 厂("一 1)一山 nM p 5-卜(N-l)-(M-l) _ nM 〒/-1 5-宀(N_1)_(M_1) 卞乙〃口 cFl _ R

2)氏二工;/P{Xw}吃仁 m ? 厂〃

一 1

EX' = ￡"2

P{X = 〃"吃：=/伽-1)?必|严 + 工：『- m=0

厂门一“2

5°N -M

工:

= nM

6 N

「m-2 厂

m -〃？ c Af-2c /V-iW m=2

—N(N —1)—乙心一亦 M (M - 1)门(/7 - 1)y —2 C 紡 _2°爲?2^(M_2)

N(N_\) 乙,w=0

厂〃一2

DX = EX 2

-(EX)2

Ex2/—+ 比

W(N — 1)

M(M —l)nS — l) nM N(N-l) R (nM ? _ 〃M(N — n)(N —

I N 丿一川2("-1)

X 的密度函数〃(x)满足/?(c + x) = p(c-x)

，其中c 为一常数?又设f °° I

x | p{x)dx

j tp(c + t)dt = -j o sp(c-$)h = -Jo tp(c + t)dt,故EX=c.

40*. 1)求泊松分布的矩母函数.

2) 利川矩母函数求泊松分布期望和方差.

3) 利用矩母函数证明泊松分布的加法定理：设随机变暈X,y 独立，X ?Po(2), Y ?Po(y),则 X+Y ?Po(2 + y).

解 1)设 X ?Po(2),则 P(X 二灯=/￡一2"!,? = 0,1,2,????

Mx ⑴=Ee xt =工[o/HX =k) =

Ik\ = 0工；。(￡口)“ /k!

= e~2e

e ，A

(e ，~1)A

Mx (r) = Ae l e (et ~l)A

= Ae

(e ，~l)Ut

, M?(/) = W 一\)e

(e ，~

})Ut

，故

EX =M X (0) = A 9 EX 2 =A/^(0) = 2(2-1), DX = EX 2-(EX)2 =A.

M x (t) = e

(e ，

3 , M Y (t) = e

(e ，_1)z

M x+Y (t) = Mx

=严】)/-"=占1)(心，

故 X + y~ Po(Q + y).

41.*设随机变M X P X 2?X 3,X 4,X 5相互独立同分布R 仅取正值.证明

(绐+X2 + X3 ] = 3/5

IX1 + X2 + X3 + X4 + X5 丿 ?

同分布，故各个｝^有相同的分布，因而有相同的期望.乂

E”23 + 硝24 + 硝25 + 硝34 + 硝35 + 码45 + ^^234 + E 込 35 + ^^245 + ^^345

E (”23 + 儿24 + 人25 + ”34 + 彳35 + 彳45 + 込 34 + 込 35 + ^245 + “45)

(6(X I +X 24-X 3 + X 4 + X 5)>

I X1 + X2 + X3 + X4 + X5 丿

42*.设(X,Y)服从二维正态分布，EX=g EY = g DX=crf ，?丫 =应，P XY = P ?求 (X,Y)落在区域

D = a ，y)：g^_2/W-")(y_“2)+Qz 件寸2 ,

(Tf 2(702 ^2

屮的概率. 解1

(X")有密度

X 「+ X/ + X? X] + X2 + X3 + X4 + x 5

X {+X 2 + X 3

X] + X? + X3 + X4 + ￡

=硝23=6/10 = 3/5?

P (^y) = ---------- \ exp

2兀(702小_ p-

P{(X,y )e D) = jj p(x, y)dxdy

a \ a

2(1“)L

其屮 D* = {($,r)：52-2pat + t 2

记 a = Jl + p , h =

p ,贝II

a 2+

b 2=2, a 2-b 2=2p t (a - bf +(a-b)2= 2(a 2 +b 2) = 4.

1 (a + b -a + b\

[$ 1 'a + b a-b\ / \

u 令

,则

卫

2a b 、一a a + b 丿 J

丿

4 2\ ji_b a + b 丿

=丄[(a + 历：-(a-b)2] = ab = Jl-p 2 , 4 s 2 +r 2 = — [(a + b)u + (a - Z?)v]2 +—[(a - Z?)u + (a + Z?) v]2

4 4

=—[(a + b)2(u 2 + ,)+ (a _bf (w 2 + v 2) + 4(a + b)(a 一b)uv] 4 =—[4(M 2 + v 2) + 8p?v] = (u 2 + v 2) + 2p?v, 4

57 = * {(a + b)(a - b)(u 2 + /) + [(d + bf + (d — b)2 J MV } = + p(u 2 + V 2) + MV s 2 -2pst + t 2 = (w 2 + /) + 2puv 一 p II (M 2 + v 2)-2pwv = (w 2 +v 2)(1 -p 2).

P {(X,y )eD} = ff-^— 小2兀屮

一

a+b "-列“] a-b a+hj^v)

= J°E”2心.砂

其中 D** = |(W, V )：H 2 + V 2

/ 八 -2pst + r \dsclt 2(l — p2)L 」

2(1-叫

(x_Ai)2

2。(兀一“Jb—“2) (y —“2)~

!! 2兀(702(\_ p' exp-

]

2(3)

(兀-“])2 2p(x-“J(y -“2)| b-”2)'

?dxdy

￡ — 2pSl + * dsdt,

j 二 dg) 9(?, v)

1 (d + b a-b

2 ^a-b / \ 1< s =—

exp<

H=r cos 3

v=rsin/7 -2丹0

u 2

+ V 2

解2把(X,Y)改记为(%!，%2),以X 记(XpX 2)的列向量的形式,B|j

T (X])

X =(X1,X 2/=

, 1入2丿

由题目知

记x = (x 1,x 2)r , /Z = (//1,/Z 2)T ,则 X 的密度可记为

1 f I T

Px w = n ,v|1/2 exp - (x - A)》(X-/Z) ?

27r\L\ - I 2

其ipZ = f 1 "I 是X 的协方差矩阵.

I P i 丿

由线性代数理论知，存在正定矩阵3 ,满足B 2=Z.令U =(儿色)丁 = (X -“)矿】, 则”服从正态分布，

EU = E(X-jU )B~} =(EX_“)矿' =0, vart ； = Df(X

= (B -1)7^-1 = Z ,

故U ?N(0,/)? ^u = (u l9u 2)r =(x-//)B~l ,则

(兀1 -“1)2 2p (兀]-Al )(^2 -〃2)|(兀2 -“2)v^2

k 2 2(—2)

1 =工二+2朋严『4 =工二?4”+泸一工二空严尸下面利用上面的两个等式来求丫

k 2

0 uu T < Q

2(1 —/r)

b 2

XeD<^UU T < ------------ —

2(1-p 2)

2(1-小丿」

P(Xw D} = P(UU

Pu }U 2 （旳川2）血］血2 2 M ，+<<2

~2(l-p 2

)

厂

COS0

v=rsin<9

— exp

、2龙 k 2

2(l-p 2)

扛呵 "％

f J"/"-，) =Jo

2(1 - Ob