2021年高三数学第四次月考试卷 理
2021年高三数学第四次月考试卷理
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数（其中i为虚数单位）的虚部是
A．B． C．D．
2. 已知：若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是
A． B．C．D．
3．设为等比数列的前项和，已知,则公比
A．B．C． D．
4. 某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，
则该四棱锥的体积等于
A．1 B．2
C．3 D．4
5．在中，的对边分别是，其中
，则角A的取值一定
属于范围
A． B．
C． D．
6．为得到函数的导函数
．．．图象，只需把函数的图象上所有点的
A．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标向左平移
B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标向左平移
C．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标向左平移
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标向左平移
7．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立
．．．的是A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC
8．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
9．在中，若，则面积的最大值为
A． B． C． D．
10．正四面体ABCD的棱长为1，G是△ABC的中心，M在线段DG上，且∠AMB＝90°，则GM
的长为
A ．12
B ．22
C ．33
D ．66
11．设满足约束条件 ，若目标函数的值是最大值为12，则的最小值为
A ．
B ．
C ．
D ． 4 12．已知函数，若恒成立，则的最大值为
A ．
B ．
C ．
D ．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯
形，那么原平面图形的面积是___________.
14．已知(为自然对数的底数),函数
,则__________.
15．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a 的正方体
ABCD －A 1B 1C 1D 1，点M 是线段DC 1上的动点，
则点M 到直线AD 1距离的最小值是________．
16．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，如果函数，，（）的“新驻点”分别为，，，那么，，的大小关系是 ．
三、解答题:本大题共5小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分） 已知函数()23)cos()sin 244f x x x x a ππ
=++++的最大值为． （1）求常数的值；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．
18. （本小题满分12分）
如图所示，PA ⊥平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，∠CBA ＝30°，
PA ＝AB ＝2，点E 为线段PB 的中点，点M 在AB 上，且OM ∥AC .
(1)求证：平面MOE ∥平面PAC ；
(2)求证：平面PAC ⊥平面PCB ；
(3)设二面角M －BP －C 的大小为θ，求cos θ的值．
19．（本小题满分12分）
已知数列中，，前项和．
(1) 求数列的通项公式；
(2) 设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，H 是正方形AA 1B 1B
的中心，AA 1＝22，C 1H ⊥平面AA 1B 1B ，且C 1H ＝ 5.
(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；
(2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；
(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．21．（本小题满分12分）
已知函数（为无理数，）
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）设实数，求函数在上的最小值；
（3）若为正整数，且对任意恒成立，求的最大值．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写题号．
22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】
如图，在正△ABC中，点D,E分别在边AC, AB上，
且AD=AC， AE= AB，BD，CE相交于点F。
（1）求证：A，E，F，D四点共圆；
（2）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．
23. （本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】
在直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线，已知过点的直线的参数方程为
（为参数），直线与曲线分别交于两点。
（1）写出曲线和直线的普通方程；
（2）若成等比数列,求的值．
24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
对于任意的实数()和,不等式恒成立,记实数的最大值是.
(1)求的值; (2)解不等式.
宁夏银川一中xx届高三第四次月考数学(理科)试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A B B D C C D C D A D
13. 14. 7 15. 33a 16. >> 三、解答题： 17.（1）()a x x a x x x f ++=++??
? ??
+=2sin 2cos 32sin 22sin 3π
，
（2）由，解得
，所以函数的单调递增区间
（3）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，
()??? ??+=??????+??? ?
?+=??? ??+=∴322sin 2362sin 26ππππx x x f x g
当时，，取最大值
当时，，取最小值-3.
18. [解析] (1)因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点，
所以OE ∥PA .
因为PA ?平面PAC ，OE ?平面PAC ，
所以OE ∥平面PAC .
因为OM ∥AC ，
又AC ?平面PAC ，OM ?平面PAC ，
所以OM ∥平面PAC .
因为OE ?平面MOE ，OM ?平面MOE ，OE ∩OM ＝O ，
所以平面MOE ∥平面PAC .
(2)因为点C 在以AB 为直径的⊙O 上，
所以∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC .
因为PA ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，
所以PA ⊥BC .
因为AC ?平面PAC ，PA ?平面PAC ，PA ∩AC ＝A ，
所以BC ⊥平面PAC .
因为BC ?平面PBC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .
(3)如图，以C 为原点，CA 所在的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系C －xyz .
因为∠CBA ＝30°，PA ＝AB ＝2，
所以CB ＝2cos30°＝3，AC ＝1.
延长MO 交CB 于点D .
因为OM ∥AC ，
所以MD ⊥CB ，MD ＝1＋12＝32，CD ＝12CB ＝32
. 所以P (1,0,2)，C (0,0,0)，B (0，3，0)，M (32，32
，0)． 所以CP →＝(1,0,2)，CB →＝(0，3，0)．
设平面PCB 的法向量m ＝(x ，y ，z )．
因为????? m ·CP →＝0，m ·CB →＝0.
所以??? x ，y ，z ·1，0，2＝0，x ，y ，z ·0，3，0＝0.即??? x ＋2z ＝0，3y ＝0.
令z ＝1，则x ＝－2，y ＝0.
所以m ＝(－2,0,1)．
同理可求平面PMB 的一个法向量n ＝(1，3，1)．
所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－15.所以cos θ＝15
. 19. 解：（1）（解法一）∵
∴
∴
整理得
∴
两式相减得211(1)(2)(1)n n n n n a na n a n a ++++-=+-+
即
∴，
即
∴ 数列是等差数列
且，得，则公差
∴
（解法二） ∵
∴
∴
整理得
等式两边同时除以得 ，
即
累加得
112211112211
n n n n n a a a a a a a a n n n n n ---=-+-++-+--- 111111113112232
n n n n n n =-+-+-++-+-----
得
（2） 由（1）知
∴
∴ 111111111()2355721212123
n T n n n n =-+-++-+--+++
则要使得对一切正整数都成立，只要，所以只要
∴ 存在实数，使得对一切正整数都成立，
且的最小值为
20. [解析] 如图所示 ，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原
点．依题意得A (22，0,0)，B (0,0,0)，C (2，－2，5)，A 1(22，
22，0)，B 1(0,22，0)，C 1(2，2，5)．
(1)易得AC →＝(－2，－2，5)，A 1B 1→＝(－22，0,0)，于是
cos 〈AC →，A 1B 1→〉＝AC →·A 1B 1→|AC →|·|A 1B 1→|＝43×22＝23. 所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为23
. (2)易知AA 1→＝(0,22，0)，A 1C 1→＝(－2，－2，5)．
设平面AA 1C 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，则
?????
m ·A 1C 1→＝0，m 、AA 1→＝0.即??? －2x －2y ＋5z ＝0，22y ＝0. 不妨令x ＝5，可得m ＝(5，0，2)．
同样的，设平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则
????? n ·A 1C 1→＝0，n ·A 1B 1→＝0.即??? －2x －2y ＋5z ＝0，－22x ＝0.
不妨令y ＝5，可得n ＝(0，5，2)．
于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝27·7＝27
， 从而sin 〈m ，n 〉＝357
. 所以二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值为357
. (3)由N 为棱B 1C 1的中点，得N ?
????22
，322，52. 设M (a ，b,0)，则MN →＝? ????22－a ，322－b ，52， 由MN ⊥平面A 1B 1C 1，得????? MN →·A 1B 1→＝0，MN →·A 1C 1→＝0.
即????? ? ????22－a ·－22＝0，? ??
??22－a ·－2＋? ????322－b ·－2＋52·5＝0. 解得????? a ＝22，b ＝24.故M ? ????22，24，0，因此BM →＝? ??
??22，24，0， 所以线段BM 的长|BM →|＝104
. 21.⑴∵()(0,)()ln 1,()()2f x f x x f e e f e ''+∞=+==定义域为又
():2(),2y f x e y x e e y x e ∴==-+=-函数在点(，f(e))处的切线方程为即------3分
（2）∵时，单调递减；
当时，单调递增.
当min 1,()[,2],[()]()ln ,a f x a a f x f a a a e
≥==时在单调递增 min 111112,[()]2a a a f x f e e e e e ??<<<<==- ???
当时,得 (3) 对任意恒成立，
即对任意恒成立， 即对任意恒成立
令2ln ln 2()(1)'()(1)1(1)
x x x x x g x x g x x x x +--=
>?=>-- 令1()ln 2(1)'()0()x h x x x x h x h x x -=-->?=>?在上单调递增。 ∵
∴所以存在唯一零点，即。
当时，；
当时，；
∴在时单调递减；在时，单调递增；
∴0000min 0000(ln 1)(1)[()]()11
x x x x g x g x x x x +-====-- 由题意，又因为，所以k 的最大值是3
22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】
（Ⅰ）证明：，.
在正△中，，，
又，，
△BAD ≌△CBE ，，
即，所以，，，四点共圆.
（Ⅱ）解：如图6，取的中点，连结，则.
，，
，， △AGD 为正三角形，
，即，
所以点是△AED 外接圆的圆心，且圆的半径为.
由于，，，四点共圆，即，，，四点共圆，其半径为.…（10分）
2３解：（Ⅰ）C:
（Ⅱ）将直线的参数表达式代入抛物线得
因为 由题意知，
代入得
24．解: (1)不等式恒成立,即对于任意的实数()和恒成立,只要左边恒小于或等于右边的最小值. 因为||2|)()(|||||a b a b a b a b a =-++≥-++,当且仅当时等号成立,即时,成立,也就是的最小值是2.
(2) . 解法1:利用绝对值的意义得:
解法2:当时,原不等式化为,解得,所以的取值范围是.当时,原不等式化为 ,得的取值范围是.当时,原不等式化为,解得,
所以的取值范围是.综上所述: 的取值范围是.
解法3:构造函数作
的图象,利用图象有得: . 1DZ25504 63A0 掠34519 86D7 蛗38899 97F3 音40770 9F42 齂n32733 7FDD 翝22825 5929 天g/!22101 5655 噕37198 914E 酎
图6