浅谈力学量算符
姓 名:__刘 珺__ 学 号:_06 专业班级:_2009级物理学二班
摘 要：由于微观粒子具有波粒二象性，所以在计算中必须采用新的方式来表示微观粒子的力学量——算符。本文简单叙述关于力学量算符的基本理论并详细说明了两种基本的力学量算符。
关键字：力学量算符；对易；本征值；动量算符；角动量算符 1. 引言
1923年，法国物理学家德布罗意于提出微观粒子具有波粒二象性的假说。
德布罗意认为：正如光具有波粒二象性一样，实体的微粒(如电子、原子等)也具有这种性质，即既具有粒子性也具有波动性。这一假说不久就为实验所证实。 由于观粒子具有波粒二象性，微观粒子所遵循的运动规律就不同于宏观物体的运动规律，描述微观粒子运动规律的量子力学也就不同于描述宏观物体运动规律的经典力学。
量子力学与经典力学的差别首先表现在对粒子的状态和力学量的描述及其变化规律上。在量子力学中，粒子的状态用波函数描述，它是坐标和时间的复函数。当微观粒子处于某一状态时，它的力学量(如坐标、动量、角动量、能量等)一般不具有确定的数值，而具有一系列可能值，每个可能值以一定的几率出现。当粒子所处的状态确定时，力学量具有某一可能值的几率也就完全确定。在描述力学量时，便引入了力学量算符。2. 力学量算符基本概念 算符及其运算规则
（一）算符的定义： 算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。
我们通常用上方加“∧”的字母来表示算符，例如：
i x dx
d
P F ,3,,,,
,∧
∧
。算符作
用在一个函数u 上，使之变成另一个新的函数v ，例如：v dx du v u F ==∧
,
，dx d 是
微商算符。
（二）算符的运算规则：
1.算符相等：如果u u Q P ∧
∧
=，则Q P ∧
∧
=。
2.算符相加：若u
u u Q P F
∧
∧
∧
+=，则Q
P F
∧
∧
∧
+=。
且A B B A ∧
∧
∧
∧
+
=+ （满足加法交换律）
C
B A
C B A
∧
∧
∧
∧
∧
∧++=++)(() （满足加法结合律）
3.算符相乘：若u
u F Q
P ∧
∧
∧=，则F
Q
P ∧
∧
∧
=。
如果同一算符P ∧
连续作用n 次，则写作n
P ∧，例如：
)]([3
u u P P P P
∧
∧∧∧=。
4.算符的对易关系：如果 ???????
---≠---=-∧∧
∧∧
∧∧
∧
∧不对易与对易与Q P Q P P Q Q P 00， 一般来说，算符之 积并不一定满足对易律，即一般地P Q Q P ∧
∧
∧
∧≠。但是，在某些情况下，算符之积满
足对易律。另外，如果算符A ∧和B ∧对易，B ∧和C ∧对易，则A ∧和C ∧
不一定对易，例如：x 和
dy d 对易的，dy d 和dx d 对易，但x 和dx
d
都不对易。 有了这些规定，就可以象普通代数中那样对算符进行加、减和乘积运算。但是，在计算中不能随便改变各因子的次序（因为两个算符不一定对易），例如：
2
2
))(((B
B A A B A B A B A ∧∧
∧∧∧∧∧
∧∧∧-+-=
+-，除非已经知道Ａ与Ｂ对易，否则不
能轻易地把上式写成等于2
2
B A ∧∧-。 算符的种类 （一）线性算符
若
2
211221
1)(u c u c u c u
c Q Q Q ∧
∧∧
+=+，则称Q ∧
为线性算符，其中21,u u 为
两个任意函数，21,c c 是常数（复数）。显然，x,?2
，积分运算?dx
都是线性，但平方根算符“
”则不是线性算符。因为：22112211u c u c u c u c +≠+。
在一般的情况下，量子力学中刻画力学量的算符都是线性算符。
（二）厄密算符
如果对于任意两个函数ψ和φ，算符F ∧
满足下列等式：
φ
ψτφτψ??∧
+
∧=*)(*F F
d d
则称F ∧
为厄密算符，式中x 代表所有变量，积分范围是所有变量变化的整个区域，且ψ和φ是平方可积的，即当变量±∞→x 时，它们要足够快地趋向于0。
显然，两个厄密算符之和仍为厄密算符，但两个厄密算符之积却不一定是厄密算符，除非两者可以对易。 算符的本征值和本征函数
如果算符F ∧
作用在一个函数ψ，结果等于ψ乘上一个常数λ：
λψ
ψ=∧
F
则称λ为F ∧
的本征值，ψ为属于λ的本征函数，上面方程叫本征方程。本征方程的物理意义：如果算符F ∧
表示力学量，那么当体系处于F ∧
的本征态ψ时，力学量有确定值，这个值就是F ∧
在ψ态中的本征值。 3. 力学量的算符表示
（一）几个例子：（ψ表示为坐标的函数时，),,,(t z y x ψψ=）
动量p
：
?= i p ?
能量E ：)(222
r U +-=?H ∧
μ
坐标r ：
,,,z y x z y x ∧
∧
∧
→→→（可写成等式）
（二）基本力学量算符：动量和坐标算符
z
y x r
z
i y i x i z y x r p p p
z y x
====??-=??-=??-=∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
,,,,,
（三）其他力学量算符：
由基本力学量相对应的算符所构成，如果量子力学中的力学量F ∧
在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符F ∧
由经典表示式),(p r F
=中将
p
换为算符
p ∧
而得出，即：
),(),(?-==∧
∧
∧
∧
∧
∧
i r F p r F F
例如：
)
(22
r U E p
+=
μ
，则)(222
r U E +-==?
H ∧
∧
μ又如：p r L ?=
则：??-=?-?=?=∧
∧
∧
r i i r p r L
)(
当然，在量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符所有力学量的数值都是实数，既然表示力学量的算符的本征值是这个力学量的可能值，因而表示力学量的算符，它的本征值必须是实数，而厄密算符就具有这个性质。 4. 两个典型的力学量算符 动量算符
动量算符的本征值方程是：
)()(r p r i p
p
ψψ=?- （１） 式中p
是动量算符的本征值，)(r p ψ为相应本征函数，（1）式的三个分量方程是：
)()(r p r i p x p x ψψ=-?? )()(r p r i p
y p y ψψ=-?? )()(r p r i p
z p z
ψψ=-?? （２） 它们的解是：
r p p i ce r ?=)(ψ （３）
式中Ｃ是归一化常数，为了确定Ｃ的数值，计算积分：
τψψd r r p
p )()(* '
∞
∞
-?
dxdydz z p p y p p x p p i
c z z y y x x ])()()[(exp 2
'-+'-+'-=???∞
∞-∞∞-∞
∞
- 因为：)(2])(exp[x x x x p p dx x p p i
'-='-?∞
∞
-δπ
式中)(x x p p '-δ是以x x p p '-为变量的δ函数，所以有：
τψψd r r p
p )()(*
'
∞
∞
-?
τd e
c r p p i
?'-∞
∞
-?
=)(2
|
|
)()2(||32p p c '-=
δπ
因此，如果取2
32
)2( π=c ，则)(r p
ψ归一化为δ函数：
τψψd r r p p )()
(* '∞
∞
-?
)()2(||3
2p p c '-=
δπ （４）
r p i p ce r
?=)(ψ （５）
)(r p
ψ不是象?=1*τψψd 所要求的归一化为１，而是归一化为δ函数，这是
由于)(r p
ψ所属的本征值组成连续谱的缘故。
箱归一化
箱归一化把法主要是针对将动量的连续本征值变为分立本征值而进行计算。 设粒子被限制在一个正方形箱中，箱子的边长为Ｌ，取箱的中心作为坐标原点，显然，波函数在两个相对的箱壁上对应的点具有相同的值。波函数所满足的这种边界条件称为周期性边界条件，加上这个条件后，动量的本征值就由连续谱变为
分立谱。因为根据这一条件，在点Ａ（L 21，y,z ）和点A '（L 21
-,y,z), P ψ的
值应相同，即：
]2
[]2
[z p y p L
p i z p y p L
p i z y x z y x ce
ce ++-++=
或 1][=L p i
x e
这个方程的解是：
x x n L p π21
=
,2,1,0±±=x n （６） 这样有： L
n p x
x π2=
（７） 同理： L
n p y
y π2=
（８）
L
n p z
z π2=
（9） ,2,1,0,±±=z y n n
从上三式显然可以看出两个相邻本征值的间隔与Ｌ成反比，当∞→L 时，本征值谱由分立谱变为连续谱。在加上周期性边界条件后，动量本征函数可以归一化为１，归一化常数是2
3-=L C ， 因而： r p i L
p e
?=2/31)
(ψ （10）
这是因为：1*322/2
/2
2
/2
/===???
?
??
--L c d c d L L p
p L L ττψψ
像这样地粒子限制在三维箱中，再加上周期性边界条件的归一化方法，称为
箱归一化。)(r p
ψ乘上时间因子e iEt
-就是自由粒子的波函数，在它所描写的态中，
粒子的动量有确定值p
，这个确定值就是动量算符p ∧
在这个态中的本征值。
角动量算符
角动量p r L
?=，由力学量的算符表示得：
p p r L r i r ∧
∧
∧
∧
?=?-?=?=)(
????
???--=-=--=-=--=-=??
??????????)(??)(??)(??x y x y z
z x z x y y z y z x y x i p y p x L x z i p x p z L z y i p z p y L
（１）
角动量平方算符是：2222????z
y x L L L L ++= 2222)()()[(x y z x y z y x x z z y ????????????-+-+--= （２）
直角坐标与球坐标之间的变换关系是：
φθcos sin r x =
2222z y x r ++= （3）
φθsin sin r y = r z /cos =θ
（4）
θcos r z = x y /tan =φ （5） 对于任意函数f (r, θ, φ)
（其中r ，θ，φ，都是x,y,z 的函数）有：
i
i i i x f x f x r r f x f ????+????+????=??φ
φθθ 其中：z y x x x x ,,,,321=
或： ????
?????????+
????
+????=
??????+
????
+
????=??????+
????
+????=??z
z z r r z y y y r r y x x x r r x φφθθφ
φθθφ
φθθ （６） 将（３）式两边分别对x,y,z 求偏导得：
?????????=??=??=??θφθφθcos sin sin cos sin z
r
s y r
x r
（７） 将（４）式两边分别对x,y,z 求偏导得：
?
?????
??
?-=??=??=??θθφθθφθθsin 1
sin cos 1
cos cos 1
r z
r y r x （８） 将（５）式两边分别对,y,z 求偏导得：
??????
???=??=
??-=??0sin cos 1sin sin 1z
r y r x φθφ
φθφφ （９） 将上面结果代回（６）式得：
?
?????
??
?+??
-??=????+??+??=??
??-??+??=??
0sin 1cos sin cos 1sin cos 1sin sin sin sin 1cos cos 1cos sin θθθφθφθφθφθφθφθφθφθr r z
r r r y
r r r x （10） 则角动量算符在球坐标中的表达式为：
???
?
??
?????-=??
+??-=??
+??=φφφθθφφφθθφ i L i L i L z
y
x
?]sin cot [cos ?]cos cot [sin ? （11） ]sin 1)(sin sin 1[?2222
2
φθθθθθ??+????-= L （12） ∧
2
L 本征方程： ),(),(?22?θ?θY L Y L
= 或：),(),(]sin 1)(sin sin 1[2
2
222
?θλ?θφ
θθθθθY Y =??+????- （13） ),(?θY 是2L ∧算符的本征函数，属于本征值2
λ的。由以上的结果知2L ∧
的本
征值是2)1(( +l l ，所属本征函数是),(?θY ：),()1(),(?22?θ?θlm
lm Y l l Y L += 参考文献：
[1] 钱伯初，《量子力学》，电子工业出版社，1993
[2] 曾谨言，《量子力学》卷I ，第三版，科学出版社，2000 [3] 曾谨言，《量子力学导论》，科学出版社，2003
[4] 钱伯初，《量子力学基本原理及计算方法》，甘肃人民出版社，1984 [5] 量子力学教案，百度文库