天一专升本高数复习计划重点资料库
第一讲 函数、极限、连续
1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。
2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数：)()(x f x f -=-，图像关于原点对称。 偶函数：
)()(x f x f =-，图像关于y 轴对称
3、无穷小量、无穷大量、阶的比较
设βα，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则
（1）若0=β
α
lim ，则α是比β高阶的无穷小量。
（2）若c β
α
=lim
（不为0），则α与β是同阶无穷小量 特别地，若1=β
α
lim ，则α与β是等价无穷小量 （3）若∞=β
α
lim
，则α与β是低阶无穷小量 记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。 4、两个重要极限 （1）100==→→x
x
x x x x sin lim sin lim
使用方法：拼凑[][
][][][][]
000
==→→sin lim sin lim
，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致 （2）e x x x x x
x =+=???
?
?+→∞→1
0111)(lim lim
[][][]e =+→1
1)(lim
使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。
5、()() ?
?>∞<==∞→m n m n m n b
a X Q x P m
n x ,,,lim
00
()x P n 的最高次幂是n,()x Q m 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度
快。m n =,以相同的比例趋向于无穷大；m n <，分母以更快的速度趋向于无穷大；m n >，分子以更快的速度趋向于无穷大。 7、左右极限
左极限：A x f x x =-
→)(lim 0
右极限：A x f x x =+
→)(lim 0
A x f x f A x f x x x x x
x ===+
-
→→→)(lim )(lim )(lim 000
充分必要条件是 注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断 连续的定义：
[]0)()(lim lim 000
=-?+=?→?→?x f x x f y x x 或)()(lim
00
x f x f x x =→
间断：使得连续定义)()(lim
00
x f x f x x =→无法成立的三种情况
???
?
???≠→→)()(lim )(lim )()(00
00
0x f x f x f x f x f x x x
x 不存在无意义
不存在， 记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等
9、间断点类型
（1）、第二类间断点：)(lim 0
x f x x -
→、)(lim 0x f x x +
→至少有一个不存在
（2）、第一类间断点：)(lim 0
x f x x -
→、)(lim 0x f x x +
→都存在
??
???≠=+
-
+
-
→→→→)(lim )(lim )(lim )(lim 000
x f x f x f x f x x x x x
x x x 跳跃间断点：可去间断点： 注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第
一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃” 10、闭区间上连续函数的性质
（1） 最值定理：如果)(x f 在[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上必有最大值最小值。
（2）
ξ零点定理：如果)(x f 在[]b a ,上连续，且0)()(
ξ，使得0)(=ξf
ξ
第三讲 中值定理及导数的应用
1、 罗尔定理
如果函数)(x f y
=满足：（1）在闭区间[]b a ,上连续；（2）在开区间（a,b ）内可导；（3）)()(b f a f =，
则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得0)(='ξf
2、 拉格朗日定理
如果)(x f y
=满足（1）在闭区间[]b a ,上连续
（2）在开区间（a,b ）内可导； 则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得a
b a f b f f --=
')
()()(ξ
（*）推论1 ：如果函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上连续，在开区间（a,b ）内可导，且0)(≡'x f ，那么
在),(b a 内
)(x f =C 恒为常数。
记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为0。 （*）推论2：如果
)(),(x g x f 在[]b a ,上连续，在开区间),(b a 内可导，且),(),()(b a x x g x f ∈'≡'，
那么
c x g x f +=)()(
记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等
3、 驻点
满足
0)(='x f 的点，称为函数)(x f 的驻点。
几何意义：切线斜率为0的点，过此点切线为水平线 4、极值的概念
设
)(x f 在点0x 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点
x,有
)()(0x f x f <，则称)(0x f 为函数
)(x f 的极大值，0x 称为极大值点。
设
)(x f 在点0x 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点
x,有
)()(0x f x f >，则称)(0x f 为函数
)(x f 的极小值，0x 称为极小值点。
记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。 5、 拐点的概念
连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。
注3x y =是拐点
6、 单调性的判定定理
设
)(x f 在),(b a 内可导，如果)(>'x f ，则在内单调增加； 如果
0)(<'x f ，则)(x f 在),(b a 内单调减少。
记忆方法：在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加，
0)(>'x f ；
在图像上凡是和左手向上趋势吻合的，是单调减少，
0)(<'x f ；
7、 取得极值的必要条件
可导函数
)(x f 在点0x 处取得极值的必要条件是0)(0='x f
8、 取得极值的充分条件
第一充分条件：
设
)(x f 在点0x 的某空心邻域内可导，且)(x f 在0x 处连续，则
（1） 如果0x x <时，0)(>'x f ; 0)(0<'>x f x x 时，,那么)(x f 在0x 处取得极大值)(0x f ； （2） 如果0x x
<时，0)(<'x f ；0)(0>'>x f x x 时，，那么)(x f 在0x 处取得极小值)(0x f ；
（3） 如果在点0x 的两侧，)(x f '同号，那么)(x f 在0x 处没有取得极值；
记忆方法：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。 第二充分条件： 设函数
)(x f 在点0x 的某邻域内具有一阶、二阶导数，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f
则 （1）如果0)(0<''x f ，那么)(x f 在0x 处取得极大值)(0x f ； （2）如果0)(0>''x f ，那么)(x f 在0x 处取得极小值)(0x f
9、 凹凸性的判定
设函数
)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，（1）如果),(,0)(b a x x f ∈>''，那么曲线)(x f 在),(b a 内凹的；（2）如果
),(,0)(b a x x f ∈<''，那么)(x f 在),(b a 内凸的。
凹的表现 凸的表现
10、
渐近线的概念
曲线
)(x f 在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。
（1） 水平渐近线：若A x f x =∞
→)(lim ,则)(x f y =有水平渐近线A y =
(2) 垂直渐近线：若存在点0x ，∞=∞
→)(lim x f x ，则)(x f y =有垂直渐近线0x x =
（2） 求斜渐近线：若[]b ax x f a x
x x =-=∞
→∞
→)(lim ,lim ，则b ax y +=为其斜渐近线。
遇到“00
” 、“∞
∞”，就分子分母分别求导，直至求出极限。
如果遇到幂指函数，需用
)(ln )(x f e x f =把函数变成“
00
” 、“∞
∞”。 第二讲 导数与微分
1、 导数的定义
（1）、
[]0)()(lim lim )(000
0=-?+=?='→?→?x f x x f y x f x x
（2）、
h x f h x f x f h )
()(lim
)(000
0-+='→
（3）、
00)
()(lim )(0
x x x f x f x f x
x --='→
注：使用时务必保证0x 后面和分母保持一致，不一致就拼凑。 2、 导数几何意义：
)(0x f '在0x x =处切线斜率
法线表示垂直于切线，法线斜率与
)(0x f '乘积为—1
3、 导数的公式，记忆的时候不仅要从左到右记忆，还要从右到左记忆。
4、 求导方法总结
（1）、导数的四则运算法则
()v u v u '+'='+
u v v u v u ?'+?'='?)(
2
v u
v v u v u '-'='
??
? ?? （2）、复合函数求导：
()[]x f y ?=是由)(u f y =与)(x u ?=复合而成，则
dx
du du dy dx dy ?= （3）、隐函数求导
对于0),(=y x F ，遇到y ，把y 当成中间变量u ，然后利用复合函数求导方法。 （4）、参数方程求导
设???==)
()(t y t x ψ?确定一可导函数)(x f y =，则)()(t t dt
dx dt dy
dx dy ψ?''=
=
dt
dx dt dx dy
d dx
dx dy d dx y
d )()(2
2== (5) 、对数求导法
先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导 （6）、幂指函数求导 幂指函数)
()(x v x u y =，利用公式a
e
a ln =
)
(ln )()(ln )
(x u x v x u e
e
y x v ?==然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。
第二种方法可使用对数求导法，先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导 注：优选选择第二种方法。
5、 高阶导数
对函数)(x f 多次求导，直至求出。
6、 微分
dx y dy '=
记忆方法：微分公式本质上就是求导公式，后面加dx ，不需要单独记忆。 7、 可微、可导、连续之间的关系
可微?可导
可导?连续，但连续不一定可导 8、 可导与连续的区别。
脑海里记忆两幅图
（1）
2x y =在x=0既连续又可导。 x y =在x=0只连续但不可导。
所以可导比连续的要求更高。
第四讲 不定积分
一、原函数与不定积分
1、 原函数：若)()(x f x F ='，则)(x F 为)(x f 的一个原函数；
2、 不定积分：
)(x f 的所有原函数)(x F +C 叫做)(x f 的不定积分，记作C x F dx x f +=?)()(
二、不定积分公式
记忆方法：求导公式反着记就是不定积分公式 三、不定积分的重要性质
1、[]??=='dx x f dx x f d x f dx x f )()()()(或
2、
?+=
'c x f dx x f )()(
注：求导与求不定积分互为逆运算。 四、 积分方法
1、 基本积分公式
2、 第一换元积分法（凑微分法）
把求导公式反着看就是凑微分的方法，所以不需要单独记忆。 3、 第二换元积分法
b ax t b ax +=+令,
三角代换??
???=+=-=-t
a x a x t a x a
x t a x x a tan sec sin 222
222令令令 三角代换主要使用两个三角公式：t t t t 2222
sec tan 1,1cos sin =+=+
4、 分部积分法
??-=vdu uv udv
第五讲 定积分 1、定积分定义
∑?
=→??=n
i i i x b
a
x f dx x f 1
)(lim )(ξ
如果
)(x f 在[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上一定可积。
理解：既然在闭区间上连续，那么在闭区间上形成的就是一个封闭的曲边梯形，面积存在所以一定可积，因为面积是常数，所以定积分如果可积也是常数。 2、定积分的几何意义
（1） 如果
)(x f 在[]b a ,上连续，且0)(>x f ，则?b
a dx x f )(表示由)(x f ，,,
b x a x ==x 轴所围成的
曲边梯形的面积。S=
?
b
a
dx x f )(。
（2） 如果
)(x f 在[]b a ,上连续，且0)( a dx x f )(。 3、定积分的性质： （1） ?=b a dx x kf )(?b a dx x f k )( （2） ?±b a dx x g x f )()(=?b a dx x f )(?±b a dx x g )( （3）???+=c a b c b a dx x g dx x f dx x f )()()( （4） -==-=? ? ?a b a a b a dx x f dx x f a b dx )(0 )(1?b a dx x f )( （5）如果 )()(x g x f ≤，则??≤b a b a dx x g dx x f )()( （6）设m,M 分别是)(x f 在[]b a ,的min, max,则 )()()(a b M dx x f a b m b a -≤≤-? 记忆：小长方形面积曲边梯形面积大长方形面积 （7）积分中值定理 如果)(x f 在[]b a ,上连续，则至少存在一点[]b a ,∈ξ，使得))(()(a b f dx x f b a -=?ξ 记忆：总可以找到一个适当的位置，把凸出来的部分切下，剁成粉末，填平在凹下去的部分使曲边梯形变 成一个长方形。 称 ?-b a dx x f a b )(1为)(x f 在[]b a ,上的平均值。 4、 积分的计算 （1）、变上限的定积分 ?='x a x f dt t f )())(( 注：由此可看出来? =x a dt t f x )()(?是)(x f 的一个原函数。而且变上限的定积分的自变量只有 一个是x 而不是t （2）、牛顿—莱布尼兹公式 设 )(x f 在[]b a ,上连续，)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 由牛顿公式可以看出，求定积分，本质上就是求不定积分， 只不过又多出一步代入积分上下限，所以求定积分也有四种方法。 ?? ? ? ?? ? 分部积分法第二换元积分法分法）第一换元积分法（凑微基本积分公式 5、 奇函数、偶函数在对称区间上的定积分 （1）、若 )(x f 在[]a a ,-上为奇函数，则0)(=?-x f a a （2）、若 )(x f 在[]a a ,-上为偶函数，则??=-a a a dx x f x f 0)(2)( 注：此方法只适用于对称区间上的定积分。 6、 广义积分 （1） 无穷积分 ?? +∞→+∞ =c a c a dx x f dx x f )(lim )( ? ? -∞→∞ -=b c c b dx x f dx x f )(lim )( ??? +∞ ∞-+∞ ∞ -+=c c dx x f dx x f dx x f )()()( 7 面积[]dx x g x f S b a ?-=)()(，记忆：面积等于上函数减去下函数在边界[] b a ,上的定积分。 )(y θ= 面积S= []dy y y d c ?-)()(?θ 记忆方法：把头向右旋转90°就是第一副图。 8、 旋转体体积 （1） 曲线 )(x f 绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积 ：[]dx x f V b a x 2 )(?=π （2）、 阴影部分绕绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积：()[]dx x g x f V b a x ?-=)(22π （3 x )(y x θ=绕y 轴旋转一周所得旋转体体积 ：[]dy y V d c y 2 )(?=θπ (4)、 )(y θ= x 阴影部分绕绕y 轴旋转一周所得旋转体体积: []dy y y V d c y ?-=)()(22?θπ （二）、直线与平面的相关考试内容 一、二元函数的极限 定义：设函数),(y x f z =在点),(00y x 某邻域有定义（但),(00y x 点可以除外），如果当点),(y x 无论沿着 任何途径趋向于),(00y x 时， ),(y x f z =都无限接近于唯一确定的常数A ，则称当点),(y x 趋向于) ,(00y x 时，),(y x f z =以A 为极限，记为 A y x f y x y x =→),(lim ) ,(),(00 二、二元函数的连续性 若 ),(),(lim 00) ,(),(00y x f y x f y x y x =→，则称),(y x f z =在点),(00y x 连续。 注：),(y x f z =的不连续点叫函数的间断点，二元函数的间断点可能是一些离散点，也可能是一条或多条曲 线。 三、二元函数的偏导数 x y x f y x x f y x f x z x x ?-?+='=??→?) ,(),(lim ),(0 y y x f y y x f y x f y z y y ?-?+='=??→?),(),(lim ),(0 四、偏导数求法 由偏导数定义可看出，对哪个变量求偏导就只把哪个变量当成自变量，其它的变量都当成常数看待。 五、全微分：dy y z dx x z dz ??+??= 六、二元函数的连续、偏导、可微之间的关系 二元函数可微，则必连续，可偏导，但反之不一定成立。 若偏导存在且连续，则一定可微。 函数),(y x f z =的偏导存在与否，与函数是否连续毫无关系。 七、二元复合函数求偏导 设),(),,(),,(y x v y x u v u f z ?φ===， 则 x v v z x u u z x z ?????+?????=?? ，y v v z y u u z y z ?????+?????= ?? 注：有几个中间变量就处理几次，按照复合函数求导处理。 八、隐函数求偏导 方程0),,(=z y x F 确定的隐函数为),(y x f z =，则对等号两边同时对x 求导，遇到z 的函数，把z 当成 中间变量。 第八讲 多元函数积分学知识点 一、二重积分的概念、性质 1、 ∑??=→?=n i i i i d D f dxdy y x f 1 ),(lim ),(δ ηξ ，几何意义：代表由 ),(y x f ，D 围成的曲顶柱体体积。 2、性质： （1） =??D dxdy y x kf ),(??D dxdy y x f k ),( （2）[ ]??+D dxdy y x g y x f ),(),(=??D dxdy y x f ),(+??D dxdy y x g ),( （3）、 D dxdy D =?? （4）21D D D +=,??D dxdy y x f ),(=??1 ),(D dxdy y x f +??2 ),(D dxdy y x f (5)若 ),(),(y x g y x f ≤，则≤??D dxdy y x f ),(??D dxdy y x g ),( （6）若,),(M y x f m ≤≤则MD dxdy y x f mD D ≤≤??),( (7)设),(y x f 在区域D 上连续，则至少存在一点D ∈),(ηξ，使=??D dxdy y x f ),(D f ),(ηξ 二、计算 （1） D:)()(,21x y x b x a ??≤≤≤≤ ?? ??=) ()(21 ),(),(x x b a D dy y x f dx dxdy y x f ?? （2） D ：)()(,21y x y d y c ??≤≤≤≤ ， ???? =) ()(21 ),(),(x x d c D dy y x f dy dxdy y x f ?? 技巧：“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线和 垂直线的方法确定另一个变量的范围 （3）极坐标下：θθθrdrd dxdy r y r x ===,sin ,cos ? ???=) (0 )sin ,cos (),(θβαθθθr D rdr r r f d dxdy y x f 三、曲线积分 1、第一型曲线积分的计算 （1）若积分路径为L ：b x a x y ≤≤=),(φ，则 ? L ds y x f ),(=dx x x x f b a ?'+2))((1))(,(φφ （2）若积分路径为L ：d y c y x ≤≤=),(?，则 ? L ds y x f ),(=dy y y y f d c ?'+2))((1)),((?? （3）若积分路为L ：???==) () (t y t x ?φ，βα≤≤t ，则 ? L ds y x f ),(=dt t t t t f ?'+'β α?φ?φ22))(())(())(),(( 2、第二型曲线积分的计算 （1） 若积分路径为L ：)(x y φ=，起点a x =,终点b y =，则 ?=+L dy y x Q dx y x P ),(),([]dx x x x Q x x P b a ?'+)())(,())(,(φφφ （2） 若积分路径为L ：)(y x ?=，起点c y =，终点d y =，则 ?=+L dy y x Q dx y x P ),(),([]dy y y Q y y y P d c ?+')),(()())),((??? （3） 若积分路为L ：???==) () (t y t x ?φ，起点α=t ，终点β=t ，则 ?=+L dy y x Q dx y x P ),(),([]dt t t t Q t t t P ?'+'β α??φφ?φ)())(),(()())(),(( 第九讲 常微分方程 一、基本概念 （1）微分方程：包含自变量、未知量及其导数或微分的方程叫做微分方程。其中未知函数是一元函数的叫常微分 方程。 （2）微分方程的阶：微分方程中未知函数导数的最高阶数。 （3）微分方程的解：满足微分方程)(x f y =或0),(=y x f 。前者为显示解，后者称为隐式解 （4）微分方程的通解：含有相互独立的任意常数且任意常数的个数与方程的阶数相同的解 （5）初始条件：用来确定通解中任意常数的附加条件。 （6）微分方程的特解：通解中的任意常数确定之后的解。 二、一阶微分方程 1、可分离变量的微分方程 （1）形如)()(y g x f dx dy =的微分方程。 解法：变形为 dx x f dy y g )() (1 =，两边作不定积分求出通解。 （2）形如?? ? ??=x y f dx dy 的微分方程。 解法：令 u x y =，则ux y =，两边对x 求导，然后代入原方程，则变量分离 2、一阶线性微分方程 一阶线性齐次微分方程 形如 0)(=+y x P dx dy 。解法：变量分离 一阶线性非齐次微分方程 形如 )()(x Q y x P dx dy =+ 解法：常数变易法或公式法 注：一阶线性非齐次微分方程的通解公式为：?? ????+=???-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()( 在通常使用中建议选择常数变易法 2016年重庆市专升本数学试卷 一、单项选择题（每题4分，满分32分） 1. 设()f x 在0x x =处可导，则()() 000 2lim h f x h f x h →+-= A.()' 0f x - B.()'0f x C.()'02f x D.()'03f x 2.定积分 1 21 sin x xdx -=? A.-1 B.0 C.1 D.2 3.过OZ 轴及点()3,2,4-的平面方程是 A.320x y += B.20y z += C.20x z += D.230x y += 4.已知微分方程为 dy y dx =通解为 A.x y e = B.x y e C =+ C.y x C =+ D.x y Ce = 5.下列级数收敛的是 A.113n n ∞ =????∑ B.1 1 sin n n ∞=∑ 1.1n n C n ∞ =+∑ D.1! n n n n ∞ =∑ 6.3阶行列式314 89 5111 中元素321a =的代数余子式为 A.1 B.8 C.15 D.17 7、设1002A ??= ??? ，则3 A = A.1002?? ? ?? B.3006?? ??? C.1008?? ??? D.3008?? ??? 8、在0,1,2,3,4五个数中任意取3个数，则这三个数中不含0的概率为（） A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.8 二、填空题（每小4分，共16分） 9、极限0sin 6lim tan 2x x x →= 10、设函数()3 20 cos x f x t dt = ? ，求() f x '= 11、设矩阵314035A -?? ??=?? ??-?? ,矩阵 1102B -??=????，则 AB = 12、已知()0.4P A =，()0.3P B =，()0.5P AB =，则() P A B ?= 三、计算题（每小题8分，，共64分） 13、求极限0cos lim tan 2x x e x x →- 14、讨论函数() 2 3()21x f x x =+ -的单调性、极值、凹凸性及拐点。 15、求不定积分2 cos x xdx ? 天一专升本高数知识点 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 第一讲 函数、极限、连续 1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数：)()(x f x f -=-，图像关于原点对称。 偶函数：)()(x f x f =-，图像关于y 轴对称 3、无穷小量、无穷大量、阶的比较 设βα，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则 （1）若0=β α lim ，则α是比β高阶的无穷小量。 （2）若c β α =lim （不为0），则α与β是同阶无穷小量 特别地，若1=β α lim ，则α与β是等价无穷小量 （3）若∞=β α lim ，则α与β是低阶无穷小量 记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。 4、两个重要极限 （1）100==→→x x x x x x sin lim sin lim 使用方法：拼凑[][ ][][][][] 000 ==→→sin lim sin lim ，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致 （2）e x x x x x x =+=??? ? ?+→∞→1 0111)(lim lim 使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。 5、()() ? ?>∞<==∞→m n m n m n b a X Q x P m n x ,,,lim 00 ()x P n 的最高次幂是n,()x Q m 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。m n =,以相同的比例趋向于无穷大；m n <，分母以更快的速度趋向于无穷大； m n >，分子以更快的速度趋向于无穷大。 7、左右极限 左极限：A x f x x =-→)(lim 0 右极限：A x f x x =+→)(lim 0 注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断 连续的定义： []0)()(lim lim 000 =-?+=?→?→?x f x x f y x x 或)()(lim 00 x f x f x x =→ 间断：使得连续定义)()(lim 00 x f x f x x =→无法成立的三种情况 记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等 9、间断点类型 （1）、第二类间断点：)(lim 0 x f x x -→、)(lim 0 x f x x +→至少有一个不存在 （2）、第一类间断点：)(lim 0 x f x x -→、)(lim 0 x f x x +→都存在 注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断 是不是第一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃” 10、闭区间上连续函数的性质 （1） 最值定理：如果)(x f 在[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上必有最大值最小值。 全国教师教育网络联盟入学联考 (专科起点升本科) 高等数学备考试题库 2012 年 、选择题 1.设f (x)的定义域为0,1，则f(2x 1)的定义域为( 1 A: -,1 2 B: 1 , C: ,1 2 1 D: 1 2.函数f()x arcsin sinx的定义域为( ) A：, C： ,— 2 2 D: 1,1 3.下列说确的为( ) A:单调数列必收敛； B：有界数列必收敛； C:收敛数列必单调； D:收敛数列必有界? 4?函数f(X) A：有界 B:单调 C:周期 sinx不是( D:奇 5?函数y sin 3e 2x 1的复合过程为（ ） A: y 3 sin u v ,u e ,v 2x 1 B: y 3 u , u v sine ,v 2x 1 C: 3 2x 1 y u ,u sin v,v e D: y 3 u ,u sin v,v e w , w 2x 1 x 0 ，则下面说法不正确的为 （ ）. X 0 A:函数f （X ）在X 0有定义; B ：极限1X 叫f （x ）存在； C:函数f （X ）在X 0连续； D:函数f （x ）在x 0间断。 sin 4x 7.极限 lim =( ). x 0 x A: 1 B: 2 C: 3 D: 4 8. lim(1 n A: 1 B: e C: e 5 D: 9. 函数y x （1 cos 3 x ）的图形对称于（ A: ox 轴； B:直线y=x ； C:坐标原点； D: oy 轴 3 10. 函数 f （x ） x sinx 是（ ）. A:奇函数； B:偶函数； C:有界函数； sin4x 6.设 f (x) —X — 1 2005年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试 高等数学 试卷 一、单项选择题（每小题2分，共计60分） 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分. 1. 函 数 x x y --= 5)1ln(的定义域为为 （ ） A.1>x 5 解： ?-x e x ~12~12 x e x -,应选B. 4.=?? ? ??++∞ →1 21lim n n n （ ） A. e B.2e C.3e D.4e 解：2)1(2lim 2 )1(221 21lim 21lim 21lim e n n n n n n n n n n n n n n =? ?? ????? ??? ??+=?? ? ??+=?? ? ? ? + +∞→+?∞ →+∞ →∞→,应选B. 5.设 ?? ? ??=≠--=0,0,11)(x a x x x x f 在0=x 处连续，则 常数=a （ ） A. 1 B.-1 C.21 D.2 1 - 解：2 1 )11(1lim )11(lim 11lim )(lim 0000 =-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C. 6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且2 1 )1()21(lim 0 =--→h f h f h ,则=')1(f （ ） A. 1 B.21- C.41 D.4 1 - 解：4 1 )1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim 020-='?='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h , 应选D. 7.由方程y x e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dy dx 为 （ ） A. )1()1(x y y x -- B.)1()1(y x x y -- C.)1()1(-+y x x y D.) 1() 1(-+x y y x 解：对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++, 即dy x e dx e y y x y x )()(-=-++, dy x xy dx xy y )()(-=-, 高等数学试题及答案 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设f(x)=lnx ，且函数?(x)的反函数1?-2(x+1) (x)=x-1 ，则 []?=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x 2．()0 2lim 1cos t t x x e e dt x -→+-=-?（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ?=+?-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ） .lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ?→?=?==?= 4．设函数,1 31,1 x x x ?≤?->?22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ） A.不连续 B.连续但左、右导数不存在 C.连续但 不可导 D. 可导 5．设C +?2 -x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ） 2 2 2 2 -x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e 二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-1 4 )的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞ +++ +<= 8．arctan lim _________x x x →∞ = 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2 g C(g)=9+800 ，则生产100 件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________. ------------------- 时需Sr彳-------- ---- --- -- 专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： y kx b (1) 2 —般形式的定义域：x € R y ax bx c k (2)y 分式形式的定义域：x丰0 x (3)y 、、x根式的形式定义域：x > 0 (4)y log a x对数形式的定义域：X>0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当洛X2时，恒有f(xj f(X2), f(x)在x1?X2所在的区间上是增加的。 当x1 x2时，恒有f (x1) f (x2) , f (x)在x1?x2所在的区间上是减少的。 2、函数的奇偶性 定义：设函数y f(x)的定义区间D关于坐标原点对称(即若x D，则有x D ) (1)偶函数f (x)——x D，恒有f ( x) f (x)。 ⑵奇函数f (x)——x D，恒有f( x) f (x)。 三、基本初等函数 1、常数函数：y c，定义域是(，)，图形是一条平行于x轴的直线。 2、幕函数：y x u, (u是常数)。它的定义域随着u的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数 定义：y f（x）x a，I （a是常数且a 0，a 1）.图形过（0,1）点。 4 、 对数函数 定义：y f （x）lOg a X，（a是常数且a 0，a1）。图形过（1,0 )点。5 、 三角函数 (1)正弦函数：y sin x T 2 ，D(f)(,)，f (D) [ 1,1]。 ⑵余弦函数：y cosx. T 2 ，D(f)(,)，f (D) [ 1,1]。 ⑶正切函数：y tan x T，D(f) {x | x R,x (2k 1)-,k Z}，f(D)(,). ⑷余切函数：y cotx T，D(f) {x | x R,x k ,k Z}，f(D)(,). 5、反三角函数 （1）反正弦函数：y arcsinx，D( f) [ 1,1]，f (D)[,]。 2 2 （2）反余弦函 数： y arccosx，D(f) [ 1,1]，f(D) [0,]。 （3）反正切函数：y arctanx，D(f) ( , )，f (D)(-,- 2 2 （4）反余切函 数： y arccotx，D(f) ( , )，f(D) (0,)。 极限 一、求极限的方法 1代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。 全国教师教育网络联盟入学联考 （专科起点升本科） 高等数学备考试题库 2012年 一、选择题 1. 设的定义域为，则)12 (-x f 的定义域为（ ）. A: ?? ? ???1,21 B: 1,12?? ??? C: 1,12?????? D: 1,12?? ? ? ? 2. 函数()()a r c s i n s i n f x x =的定义域为（ ）. A: (),-∞+∞ B: ,22ππ ??- ??? C: ,22ππ??-???? D: []1,1- 3.下列说法正确的为（ ）. A: 单调数列必收敛； B: 有界数列必收敛； C: 收敛数列必单调； D: 收敛数列必有界. 4.函数x x f sin )(=不是（ ）函数. A: 有界 B: 单调 C: 周期 D: 奇 5.函数1 23sin +=x e y 的复合过程为（ ）. A: 12,,sin 3+===x v e u u y v B: 12,sin ,3+===x v e u u y v C: 123,sin ,+===x e v v u u y D: 12,,sin ,3+====x w e v v u u y w 6.设??? ??=≠=0 1 4sin )(x x x x x f ，则下面说法不正确的为( ). A: 函数在有定义； B: 极限)(lim 0 x f x →存在； C: 函数在连续； D: 函数在间断。 7. 极限x x x 4sin lim 0→= ( ). A: 1 B: 2 C: 3 D: 4 8.5 1lim(1) n n n -→∞ +=（ ）. A: 1 B: e C: D: ∞ 9.函数)cos 1(3x x y +=的图形对称于（ ）. A: ox 轴； B: 直线y=x ； C: 坐标原点; D: oy 轴 10.函数x x x f sin )(3 =是（ ）. A: 奇函数； B: 偶函数； C: 有界函数； D: 周期函数. 第一讲 函数、极限、连续 1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数：)()(x f x f -=-，图像关于原点对称。 偶函数： )()(x f x f =-，图像关于y 轴对称 3、无穷小量、无穷大量、阶的比较 设βα，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则 （1）若0=β α lim ，则α是比β高阶的无穷小量。 （2）若c β α =lim （不为0），则α与β是同阶无穷小量 特别地，若1=β α lim ，则α与β是等价无穷小量 （3）若∞=β α lim ，则α与β是低阶无穷小量 记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。 4、两个重要极限 （1）100==→→x x x x x x sin lim sin lim 使用方法：拼凑[][ ][][][][] 000 ==→→sin lim sin lim ，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致 （2）e x x x x x x =+=??? ? ?+→∞→1 0111)(lim lim [][][]e =+→1 1)(lim 使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。 5、()() ? ?>∞<==∞→m n m n m n b a X Q x P m n x ,,,lim 00 ()x P n 的最高次幂是n,()x Q m 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度 快。m n =,以相同的比例趋向于无穷大；m n <，分母以更快的速度趋向于无穷大；m n >，分子以更快的速度趋向于无穷大。 7、左右极限 左极限：A x f x x =- →)(lim 0 右极限：A x f x x =+ →)(lim 0 A x f x f A x f x x x x x x ===+ - →→→)(lim )(lim )(lim 000 充分必要条件是 注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断 连续的定义： []0)()(lim lim 000 =-?+=?→?→?x f x x f y x x 或)()(lim 00 x f x f x x =→ 间断：使得连续定义)()(lim 00 x f x f x x =→无法成立的三种情况 ??? ? ???≠→→)()(lim )(lim )()(00 00 0x f x f x f x f x f x x x x 不存在无意义 不存在， 记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等 9、间断点类型 （1）、第二类间断点：)(lim 0 x f x x - →、)(lim 0x f x x + →至少有一个不存在 （2）、第一类间断点：)(lim 0 x f x x - →、)(lim 0x f x x + →都存在 专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： （1） c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域：x ∈R （2）x k y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0 （4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。 当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性 定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。 三、基本初等函数 1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数 定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数 定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T ， },2 ) 12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π ， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。 极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。 高等数学 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定 的位置上。 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 一、选择题: 本大题共5小题,每小题4分,共 20分。在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数1 x ()e f x =，则x=0是函数f(x)的（ ）． （A ）可去间断点 （B ）连续点 （C ）跳跃间断点 （D ）第二类间断点 2. 设函数f(x)在[a,b]上连续，则下列说法正确的是 （A ）b a ()()()f x dx f b a ζζ∈=-?必存在（a,b ）,使得 （B ）'()()f b a ζζ∈-必存在（a,b ）,使得f(b)-f(a)= （C ）()0f ζξ∈=必存在（a,b ）,使得 （D ）'()0f ζζ∈=必存在（a,b ）,使得 3 下列等式中，正确的是 （A ）'()()f x dx f x =? （B ）()()df x f x =?（C ）()()d f x dx f x dx =? （D ）()()d f x dx f x =? 4. 下列广义积分发散的是 （A ）+2011+dx x ∞ ? （B ）12 011dx x -? （C ）+0ln x dx x ∞? （D ）+0x e dx ∞-? 5． y -32sin ,x y y e x '''+=微分方程则其特解形式为 （A ）sin x ae x （B ）(cos sin )x xe a x b x + 普通高校专升本《高等数学》试卷 一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个小题，每一小题3分，共24分） 1. 曲线 在 处的切线方程 为 . 2. 已知 在 内连续 , , 设 , 则 = . 3. 设 为球面 ( ) 的外侧 , 则 = . 4. 幂级数 的收敛域为 . 5. 已知 阶方阵 满足 , 其中 是 阶单位阵, 为任意实数 ， 则 = . 6. 已知矩阵 相似于矩阵 , 则 . 7. 已知 , 则 = . 8. 设 是随机变量 的概率密度函数 , 则随机变量 的概率密度函数 = . 二．选择题. （本题共有8个小题，每一小题3分，共24分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求） 得分 阅卷人 得分 阅卷人 1. = ( ). () () () () 2. 微分方程的通解为( ). （C 为任意常数） () () () () 3. = ( ) . () () () () 4. 曲面,与面所围成的立体体积为( ). () () () () 5. 投篮比赛中,每位投手投篮三次, 至少投中一次则可获奖.某投手第一次投中的概率为; 若第一次未投中, 第二次投中的概率为; 若第一, 第二次均未投中, 第三次投中的概率为，则该投手未获奖的概率为( ). () () () () 6．设是个维向量，则命题“线性无关” 与命题（）不等价。 （A）对，则必有； （B）在中没有零向量； （C）对任意一组不全为零的数，必有； （D）向量组中任意向量都不可由其余向量线性表出。 7. 已知二维随机变量在三角形区域上服从均匀分 布, 则其条件概率密度函数是( ). ().时, ().时, () 时, () 时, 8. 已知二维随机变量的概率分布为: , 则下面正确的结论是( ). () 是不相关的 () () 是相互独立的 () 存在，使得 得分阅卷人三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本 题共9个小题，每小题7分，共63分） 1. 计算, (,). 第一讲函数、极限、连续 1、 基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、 函数的性质，奇偶性、有界性 设 a, 3是自变量同一变化过程中的两 个无穷小量，则 a (1)若lim 一 = 0，则a 是比 3 a （2）若 lim — = C （不为 0）, 3 a (3)若 lim — = 3 记忆方法：看谁趋向于 4、两个重要极限 ，贝y a 与3是低阶无穷小 量 sinx X , =lim ----- =1 X T 。si nx 拼凑 lfm*] Tm 。*] =0，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致 ⑵ lim1」「lim （1+xle X X 丿 X T 。 1 时〔卩Le 使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。 奇函数: f(-x)=-f(x), 图像关于原点对称。 偶函数: f (-X)= f(x), 图像关于y 轴对称 3、无穷小量、 无穷大量、阶的比较 特别地，若 lim — =1，则 3 a 与3是等价无穷小量 (3高阶的无穷小量。 则 a 与3是同阶无穷小量 0的速度快，谁就趋向于 0的本领高。 （1）lim T X 使用方法: Pn(X) 5、lim — --- = X *Qm （X ） ,n = m b o 0,n V m V- 巳(X )的最高次幕是n,Q m(x )的最高次幕是m.,只比较最高次幕，谁的次幕高，谁的头大，趋向于无 穷大的速度 n A m,分子以更快的速快。n = m,以相同的比例趋向于无穷大；n < m，分母以更快的速度趋向于无穷大; 度趋向于无穷大。 全国教师教育网络联盟入学联考 （专科起点升本科） 高等数学备考试题库 2012 年 、选择题 A: C ： , 2 2 D: 1,1 3.下列说法正确的为（ ） A:单调数列必收敛； B:有界数列必收敛； C:收敛数列必单调； D:收敛数列必有界. 4. 函数f （x ） sinx 不是（ ）函数 A: 有界 B: 单调 C : 周期 D : 奇 5. 函数y sin 3 e 2x 1的复合过程 为（ A: 3 y sin u, v u e ,v 2x 1 B: 3 y u ,u v sine , v 2x 1 C : 3 sin v,v ( 2x 1 y u ,u 9 D: y u 3,u sin v,v w e , w 2x 1 sin4x x 0 1. A: B: C: D: 2. 设f (x)的定义域为 1 ,1 2 丄1 2 1,1 2 1 2,1 函数 f (X arcsi n 0,1， sin x 则f （2x 1）的定义域为（ 的定义域为（ 6.设f (x) x 则下面说法不正确的为() 1 x 0 A：函数f(X)在x 0有定义; B：极限I］叫f (X)存在； C：函数f (x)在X 0连续; D:函数f (X)在x 0间断。 sin 4x ,、 7.极限lim =(). x 0 x A: 1 B: 2 C: 3 D: 4 8. Iim(1 n A: 1 B: e C: D: 9. 函数y x(1 COS3x)的图形对称于( ). A: ox 轴； B:直线y=x ； C:坐标原点； D: oy轴 10. 函数f (x) x3S "乂是( ). A:奇函数； B:偶函数； C:有界函数； D:周期函数. 11. 下列函数中，表达式为基本初等函数的为( ) A: 2x2x x 0 y 2x 1 B: y 2x cosx C: y x D: y sin . x 12. 函数y sin x cosx 是A:偶函数； B:奇函数； C:单调函数； D:有界函数 sin 4x 13. lim ( ) x 0 sin3x A: 1 B: ■ 任何一门学科的学习都需要付出艰苦的努力才会取得令人满意的结果。 第一天去听高数课，我信心满满的，并暗下决心我一定能学好这门课，可是事情并不如意，当老师在黑板上写下一堆我生平从未见到过的符号，说着一连串我听都没听过的术语的时候，我只觉内心伊真崩溃世界上最难受的精神折磨莫过于你想做好的一件事，近在眼前，你却根本无法完成甚至是无从拿起我的内心就如同煎锅上的生煎一样被煎熬了一节课。下课后我去和授课老师交流，我问老师：什么是绝对值？老师说：绝对值你都不知道你还听什么高数！面对这突如其来的打击,我缓缓的镇定了一下,继续给老师说了我的情况 :打从小学毕业后我就没再学过数学,老师喝了口茶,慢悠悠的说:回去找老师给你补补吧,我的课你不要再听了,听了也没用!完全是在浪费时间。毫不夸张的说，当时真的是万念俱灰，我垂头丧气的回到了学校。由于我们学校最后一年的后半学期要出去实习加上还是周末，所以宿舍只有我一个人，面对空荡荡的宿舍，看着窗外被萧瑟的秋风一片又一片剥落的枯叶，心里百感交集不知所措。夜色渐暗，天气转凉，我独自走在河边，思索着下一步怎么走突然想起了徐悲鸿大师的一句话：人不可有傲气但不可无傲骨。意思是在告诉我们：人在何时都要谦虚谨慎，但在失落无助的时候也要保持坚强不折不挠的性格。于是我决定自学数学，从小学数学开始自学。数学学科的学习可以提前预习，自己去学，这当然是有好处的，但是不要按照自己的思维去理解每一个章节的字面意思否则只会是自己坑自己把自己绕糊涂，比如不定积分和定积分这两个知识点，如果你按照自己的思维从字面意思去理解，你会误以为它们两个基本是一样的，无非就是定积分多了一个几何意义，多了一步原函数带入上下限做差的 郑州天一专升本高数答题技巧 ——编辑：johnny 一元微分主要包括不定积分、定积分和定积分的应用三大部分。其中不定积分部分包含不定积分的定义、性质、基本积分公式、第一换元法、第二换元法、分部积分、简单有理函数的积分等内容；定积分包括定积分的定义、性质、几何意义、变上限的积分、微积分基本公式、利用定积分奇偶性计算、第一换元法、第二换元法、分部积分、简单有理函数的定积分等内容；定积分的应用包括利用定积分求平面图形面积、旋转体体积等内容。 和一元函数微分学一样，一元函数积分学是高等数学二的另一个考查重点。考生应深刻理解不定积分与定积分的定义。要熟练掌握基本方法和基本技能，熟练掌握函数的不定积分、定积分的计算。复习中应当狠抓基本功，从熟记基本公式做起，如基本积分公式。 要熟练掌握积分的性质、换元积分法、分部积分法和简单有理函数的积分。考题中占有相当大的比例，但试题并不难，考生只要达到上述要求，都能正确解答这些试题。同时，要高度重视定积分的应用，如利用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积等。 对不定积分， （1）理解不定积分就是所有的原函数，搞清楚原函数和导数的关系。 （2）不定积分基本积分公式是积分的最基础的内容，要牢记，能利用不定积分的两个运算性质解决简单的计算，一般出填空或选择。 （3）不定积分的第一换元法是考查的重点，要重点掌握，做题时看清楚第一 换元法的条件，就是有没有导数关系，这部分题目难度不大，希望大家一定掌握；第二换元法考的较少，大家只要把上课的例题搞懂即可。 （4）分部积分是用来解决函数乘积的不定积分，这两年有所考查，但难度不大，大家掌握基本题目即可。 （5）简单有理函数的积分以基本题目为主。 1 2012年河南省普通高等学校 选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试 高等数学 一、选择题（每小题2分，共60分） 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 1．函数1 arctan y x = 的定义域是 A ．[)4, -+∞ B ．()4, -+∞ C ．[)()4, 00, -+∞ D ．() ()4, 00, -+∞ 解：40 400 x x x x +≥??≥-≠? ≠?且.选C. 2．下列函数中为偶函数的是 A ．2 3log (1)y x x =+- B ．sin y x x = C ．)y x = D ．e x y = 解：A 、D 为非奇非偶函数，B 为偶函数，C 为奇函数。选B. 3．当0x →时，下列无穷小量中与ln(12)x +等价的是 A ．x B ． 12 x C ．2x D ．2x 解：0x →时，ln(12)~2x x +.选D. 4．设函数2 1 ()sin f x x =，则0x =是()f x 的 A ．连续点 B ．可去间断点 C ．跳跃间断点 D ．第二类间断点 2 解：0x =处没有定义，显然是间断点；又0x →时2 1 sin x 的极限不存在，故是第二类间断点。选D. 5 ．函数y = 0x =处 A ．极限不存在 B ．间断 C ．连续但不可导 D ．连续且可导 解：函数的定义域为(),-∞+∞ ，0 lim lim (0)0x x f + - →→===，显然是连续 的；又0 0(0)lim lim (0)x x f f + ++-→→''===+∞=，因此在该点处不可导。选C. 6．设函数()()f x x x ?=，其中)(x ?在0x =处连续且(0)0?≠，则(0)f ' A ．不存在 B ．等于(0)?' C ．存在且等于0 D ．存在且等于(0)? 解：易知(0)=0f ，且0 0()0 (0)lim lim ()(0)x x x x f x x ???+ ++→→-'===， 0 0()0 (0)lim lim ()(0)(0)x x x x f x f x ???- +-+→→--''==-=-≠.故(0)f '不存在。选A. 7．若函数()y f u =可导，e x u =，则d y = A ．(e )d x f x ' B ．(e )d(e )x x f ' C ．()e d x f x x ' D ．[(e )]de x x f ' 解：根据复合函数求导法则可知：d ()()x x y f u du f e de ''==.选B. 8．曲线1 () y f x = 有水平渐近线的充分条件是 A ．lim ()0x f x →∞ = B ．lim ()x f x →∞ =∞ C ．0 lim ()0x f x →= D ．0 lim ()x f x →=∞ 解：根据水平渐近线的求法可知：当lim ()x f x →∞ =∞时，1 lim 0() x f x →∞ =，即0y =时1 () y f x = 的一条水平渐近线，选B. 9．设函数x x y sin 2 1 - =，则d d x y = 北京交通大学网络教育专升本数学试题库 1、设是常数，则当函数 在 处取得极值时，必有 （） A.0 B.1 C.2 D.3 答案： C 2、函数 在点 处的二阶导数存在,且()00='f ，()00>''f ;则下列结 论正确的是（ ） A. 不是函数 的驻点 B. 不是函数 的极值点 C.是函数的极小值点 D.是函数的极大值点 答案： C 3、设 ，则 （ ） A. B. C. D. 答案： C 4、曲线 在点M 处切线的斜率为15，则点M 的坐标是（ ） A.(3,5) B.(-3,15) C.(3,1) D.(-3,1) 答案： C 5、已知函数 ，则 （ ） A. B. C. D. 答案： B 6、设 则 （ ） A. B. C. D. 答案： A 7、设，则（）。 A. B. C. D. 答案： B 8、设函数可导，若，则（） A. B. C. D. 答案： A 9、函数在点处（） A.无定义 B.不连续 C.可导 D.连续但不可导答案：D 10、下列函数中，在点处不可导的是（） A. B. C. D. 答案： A 11、函数在点处的导数是（） A.1 B.0 C.-1 D.不存在 答案： D 12、函数在点处连续是在该点可导的（） A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.无关条件 答案： B 13、按照微分方程通解的定义，的通解为（）。 A. B. C. D. 答案： A 14、设 为连续函数，且 ()?=a a dx x f -0，则下列命题正确的是（ ） 。 A.为上的奇函数 B.为上的偶函数 C.可能为上的非奇非偶函数 D.必定为上的非奇非偶函数 答案： C 15、设 ，则（ ） A.1 B.-1 C.不存在 D.0 答案： C 16、 ?+∞ ∞ =+-21x dx （ ）。 A. B. C.不存在 D. 答案： A 17、 ?+∞ =1 -2x dx （ ）。 A. B. C. D. 答案： D 18、下列定积分等于零的是（ ）。 普通专科教育考试 《数学（二）》 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20题。在每小题给出的四个备选项 中，选出一个正确的答案，并将所选项前面的字母填写在答题纸的相应位置上，填写在其他位置上无效。） 1.极限=+--+→2 32 lim 2 21x x x x x ( ) A.—3 B. —2 2.若函数()??? ? ???>=<+=?0 ,1 sin 0,00,sin 1 x x x x x a x x x 在0=x 处连续，则=a （ ） D.—1 3.函数()x f 在()+∞∞-,上有定义，则下列函数中为奇函数的是( ) A.() x f B.()x f C.()()x f x f -+ D.()()x f x f -- 4.设函数()x f 在闭区间[]b a , 上连续，在开区间()b a ,内可导，且()()b f a f =，则曲线()x f y =在()b a ,内平行于x 轴的切线（ ） A.不存在 B.只有一条 C.至少有一条 D.有两条以上 5.已知某产品的总成本函数C 与产量x 的函数关系为C (),2000102.02 ++=x x x C 则当产 量10=x ，其边际成本是（ ） A.—14 C.—20 6.设二元函数,xy y e x z +=则=??x z （ ） A. xy y e yx +-1 B.xy y ye yx +-1 C.xy y e x x +ln D.xy y ye x x +ln 7.微分方程y x e dx dy -=2的通解为（ ） A.C e e y x =-2 B.C e e y x =-212 C.C e e y x =-22 1 D.C e e y x =+2 8.下列级数中收敛发散的是（ ） A.∑∞ =1!1n n B.∑∞=123n n n C.∑∞ =+1 1n n n D.∑∞=13sin n n π 成人高考高升专数学常用知识点及公式 第1章 集合和简易逻辑 知识点1：交集、并集、补集 1、交集：集合A 与集合B 的交集记作A ∩B ，取A 、B 两集合的公共元素 2、并集：集合A 与集合B 的并集记作A ∪B ，取A 、B 两集合的全部元素 3、补集：已知全集U ，集合A 的补集记作A C u ,取U 中所有不属于A 的元素 解析：集合的交集或并集主要以列举法或不等式的形式出现 知识点2：简易逻辑 概念：在一个数学命题中，往往由条件甲和结论乙两部分构成，写成“如果甲成立，那么乙成立”。若为真命题，则甲可推出乙，记作“甲=乙”；若为假命题，则甲推不出乙，记作“甲≠乙”。 题型：判断命题甲是命题乙的什么条件，从两方面出发： ①充分条件看甲是否能推出乙 ②必要条件看乙是否能推出甲 A 、 若甲=乙 但 乙=甲，则甲是乙的充分必要条件（充要条件） B 、若甲=乙 但 乙≠甲，则甲是乙的充分不必要条件 C 、若甲≠乙 但 乙=甲，则甲是乙的必要不充分条件 D 、若甲≠乙 但 乙≠甲，则甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 技巧：可先判断甲、乙命题的范围大小，再通过“大范围≠小范围，小范围=大范围”判断甲、乙相互推出情况 第2章 不等式和不等式组 知识点1：不等式的性质 1. 不等式两边同加或减一个数，不等号方向不变 2. 不等式两边同乘或除一个正数，不等号方向不变 3. 不等式两边同乘或除一个负数，不等号方向改变（“>”变“<”） 解析：不等式两边同加或同乘主要用于解一元一次不等式或一元二次不等式移项和合并同类项方面 知识点2：一元一次不等式 1. 定义：只有一个未知数，并且未知数的最好次数是一次的不等式，叫一元一次不等式。 2. 解法：移项、合并同类项（把含有未知数的移到左边，把常数项移到右边，移了之后符号要发生 改变）。2016年专升本试卷真题及答案(数学)
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