空间立体几何典型例题分析讲解
(8
6
空间立体几何
考试范围:xxx ;考试时间:100分钟;命题人: 注
意事项:
1 ?答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2 ?请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷(选择题)
请点击修改第I 卷的文字说明
1的正方体 ABCB-ABCD 的内切球,
3 ?某几何体的三视图及尺寸如图示,则该几何体的表面积为(
xxx
评卷人
得分
、选择题(题型注释)
则平面 ACD 截球0的
(A)-
6
(B )—
3
2 ?一个几何体的三视图如图所示
,且其侧视图是一个等边三角形
,则这个几何的体积为
(B ) (4
)3
(0(
8
)3
3
(D ) 截面面积为(
)
A
B
(A*
(A ) 48+12 2 (C ) 36+12 . 2
(B ) 48+24 2
(D) 36+24.2
6 ?一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(
A. 3
B. 4 ?某简单几何体的三视图如图所示,其正视图. 积分别是1 , 2
, 10 C. 6 4,则这个几何体的体积为 D. 4
侧视图?俯视图均为直角三角形,面 ()
B . 8 3
C. 4
D. 8
视图如图,则该棱锥的全面积(单位:c m 2 )为(
5 . 一个棱锥的
A . 2
B . 1
7.已知正方形 ARP 2B 的边长为4,点B,C 位边RP 2,F 2F 3的中点,沿 AB, BC,CA 折
到平面ABC 的距离为 D. 2
1
A 丄倍
2
旋转一周,则所形成的旋转体的体积是
9 m 7
^5^3
A. B. C. D.
2 2
12 .在三棱锥 A BCD 中,AC 底面 BCD , BD DC , BD DC , AC a ,
俯视图
叠成一个三棱锥P ABC (使R,F 2, B 重合于点P ),则三棱锥P
ABC 的外接球表
面积为 A. 24
B.
12
C. D.
已知球的表面积为
20 ,球面上有 A 、B 、C 三点,如果 AB=AC=2 BC=2』3,则球
A. 1
设四面体的四个面的面积分别为 S,S 2,S 3,S 4, 它们的最大值为 S ,记
4
S i
i 1
S
则有 A. 2<
<4 B . 3<
10 .若一个三角形,
采用斜二测画法作出其直观图, w D.
其直观图面积是原三角形面积的 11.在 ABC 中,
AB 2, BC 1.5, ABC 1200 (如下图),若将 ABC 绕直线BC
ABC 30 ,,则点C 到平面ABD 的距离是()
A 冷a
B ?乎C^a D 吕
14 ?如图,半球内有一内接正方体,则这个半球体积与正方体的体积之比为(
15 ?两个球的体积之比是 8: 27 ,那么这两个球的表面积之比是(
)
16 .甲球与某立方体的各个面都相切,乙球与这个立方体的各条棱都相切,丙球过这个 立方体的所有顶点,则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为(
)
AB
1D
1的距离为(
)
8
3
4
3
A .
B
. -
C
D
3
8
3 4
21 .直三棱柱ABC
A 1
B 1
C 1
中
,
各侧棱和底面的边长均为 a ,点D 是CC 1上任意一点,
连接AB,BD,AD,AD ,则三棱锥A ABD 的体积为(
)
-3
3
3
3
a C . a D 12 6
22 ?已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形,且侧棱垂直于底面)高 为4,
体积为16,则这个球的表面积是(
)
A. 16
B. 20
C. 24
D. 32
13 .一个表面积为 36 n 的球外切于一圆柱,则圆柱的表面积为(
A 、45 n
B 、27 n
C 、36 n
D 54 n A 、 3 B
、 9 C 、
27 D
18 .球内接正方体的表面积与球的表面积的比为( )
A 、2:「丨
B 、3:「丨
C >
4: HI D
19 .球的体积是n,则此球的表面积是(
)
n
n
n n
20 ?在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1,底面是边长为 2的正方形,高为4,则点A 1到截面
1 3 a 12
D 、[-二
17 .若球的大圆面积扩大为原来的
3倍,则它的体积扩大为原来的(
)倍
24.与正方体各面都相切的球,它的表面积与正方体的表面积之比为()
A. B. C. D .
25 .直径为10cm的一个大金属球,熔化后铸成若干个直径为2cm的小球,如果不计损耗,可铸成这样的小球的个数为()
A. 5 B . 15 C . 25 D. 125
26.一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(圆锥的轴截面为正三角形)的体积之比()
A. 2: 3: 5 B . 2: 3: 4 C . 3: 5: 8 D. 4: 6: 9
27 ?两个球体积之和为12 n,且这两个球大圆周长之和为 6 n,那么这两球半径之差是
()
A. B. 1 C. 2 D . 3
28 .直三棱柱各侧棱和底面边长均为a,点D是CC上任意一点,连结A B, BD, A
D, AD,则三棱锥A—A BD的体积()
A. B. C. D.
29 ?将一个边长为a的正方体,切成27个全等的小正方体,则表面积增加了()
222
A. B. 12a2C. 18a2D. 24a2
30.球的体积与其表面积的数值相等,则球的半径等于()
A. B. 1 C. 2 D. 3
31 .若正棱锥底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是()
A.三棱锥
B.四棱锥
C.五棱锥
D.六棱锥
第II 卷(非选择题)
请点击修改第II 卷的文字说明
33 . 一个四面体所有棱长都为 .2 ,四个顶点在同一球面上, 则此球表面积为 ____________ 34 .如图,平面四边形 ABCD 中,AB AD CD 1 , BD 2,BD CD ,将其沿对 角线BD 折成四面体 A' BCD ,使平面 A'BD 平面BCD ,若四面体 A' BCD 顶点在同 一个球面上,则该球的体积为 ________________
35 ?如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形,且 直角三角形的直角边长为 1,那么这个几何体的体积为 __________________ cm
36 .三个球的半径之比为 1 : 2 : 3,则最大球的体积是其他两个球的体积之和的 __________ 倍 37 .湖结冰时,一个球漂在其上,取出后 (未弄破冰),冰面上留下了一个直径为 24cm,
深为8cm 的空穴,则该球的半径为 ______________
38 .如图,一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水、若放入一个半径为
r 的实
评卷人
得分
填空题(题型注释) (单位:cm )如图所示,
则该几何体的体积为
3
cm
32 . 一个空间几何体的三视图
他}视長
39 .把一个大的金属球表面涂漆,需油漆,若把这个金属球熔化,制成 64个半径相等
的小金属球(设损耗为零),将这些小金属球表面涂漆,需用油漆 _________________ 。 40 .球0的一个小圆 O 的面积为25; 丁,0到此小圆截面的距离是 12,则这个球的表面 积为 ___________ 。
41 .有6根细木棒,其中较长的两根分别为,,其余4根均为,用它们搭成三棱锥,贝U 其中两条较长的棱所在的直线所成的角的余弦值为
42 ?在右图所示的是一个正方体的展开图,在原来的正方体中,有下列命题:
①AB 与EF 所在的直线平行;②AB 与CD 所在的直线异面;③MN 与BF 所在的直线成60° 角;④MN 与CD 所在的直线互相垂直.其中正确的命题是 __________________
43 . P 为边长为a 的正三角形 ABC 所在平面外一点且 PA PB PC a ,贝U P 到
AB 的距离为 ______ 。
44 ?空间四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是AB, BC,CD, DA 的中点,则BC 与AD 的位置关系是 ______________ ;四边形EFGH 是 ______________ 形;当 ____________ 时,四 边形EFGH 是菱形;当 _____________ 时,四边形EFGH 是矩形;当 ______________ 时, 四边形EFGH 是正方形
45 .已知正三棱锥的侧面积为 18 cm,高为3cm.求它的体积 ________________ . 46 .球的表面积扩大为原来的 4倍,则它的体积扩大为原来的 _______________ 倍 47 .正六棱锥的高为 4cm,最长的对角线为 cm,则它的侧面积为 ______________ .
如图,已知正三棱柱ABC — AB 1C 1的底面边长是2 , D 是侧棱CC 1的中点,直线AD
48 .(本题满分14分) 三、解答题(题型注
释)
⑴求此正三棱柱的侧棱长;
⑵求二面角A BD C的平面角的正切值;
⑶求直线BC与平面ABD的所成角的正弦值.
49 ?如图,PA丄平面ABCD , ABCD是矩形,PA AB 1 , AD . 3,点F是PB 的中点,点E在边BC上移动.
(1)求三棱锥E PAD 的体积;
⑵ 当点E 为BC 的中点时,试判断 EF 与平面PAC 的位置关系,并说明理由; ⑶ 证明:无论点E 在边BC 的何处,都有 PE AF .
50 .(本题满分12分)
如图,轴截面为边长是 2的正方形的圆柱 00^!内有一个三棱柱 ABC AEG ,三棱柱 的底面为圆柱底面的内接三角形,且
AB 是圆0的直径. A0C 60
(1) 求三棱柱AOC A 101C 1的体积; (2) 证明:平面 AA 1C 1C 丄平面BB ]C 1C
51 .正三棱锥P — ABC 的侧棱长为I ,两侧棱的夹角为 2二,求它的外接球的体积。
52 .已知:球的半径为 R ,要在球内作一内接圆柱,问这个圆柱的底面半径和高为何值 时,它的侧面积最大
53 .在球心同侧有相距 9cm 的两个平行截面,它们的面积分别是 49冗例沪和400冗分沪 求球的表面积、
54 .如图,正三棱柱 ABC-ABC 的底面边长的 3,侧棱AA=D 是CB 延长线上一点,且 BD=BC.
(I)求证:直线
BC
O i
1. A
【解析】
试题分析:根据正方体的几何特征知,平 面ACD 是边长为J 2的正三角形,且球与与
以点D 为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD 三边的中点, 故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积,
则所求的截面圆的面积是 故选A . 考点:正 方体及其内接球的几何特征
点评:中档题,关 键是想象出截面图的形状,利用转化与化归思想,将空间问题转 化成平面问题。 2. D 【解析】
试题分析:观察三视图知,该几何体是半个圆锥与一个四棱锥的组合体。因为,其侧视图是 一个边长为2的等边三角形,所有,几何体高为.3。圆锥底半径为1,四棱锥底面边长为 2,
故其体积为,丄1 .3
1
22 、、3 ? 口,选Do
2 3
3
6
考点:三视图,体积计算。
点评:简单题,三视图问题,关键是理解三视图的画法规则,应用“长对正,高平齐,宽相 等”,确定数据。认识几何体的几何特征,是解题的关键之一。 3.
【解析】D
试题分析:由三视图可知,该几何体是一个圆锥,底面圆的半径为 1,高为2 2,所以圆
锥的母线长为3,所以圆锥的表面积为
12 1 3 4
考点:本小题主要考查根据三视图识别几何体和圆锥表面积的计算, 力和
运算求解能力 点评:解决此类问题,关键是根据三视图正确还原几何体 4. A 【解析】
试题分析:由三视图可知,该几何体是一个底面是直角三角形,
有一条侧棱垂直于底面的三
参考答案
△ ACD 内切圆的半径是返 X tan30 ° =
V 6
2
~6
则由图得,
考查学生的空间想象能
棱锥,设底面直角三角形的两条直角边分别为a,b,垂直于底面的侧棱长为c,所以
ab 2,bc 4,ac 8,所以该三棱锥的体积为 1 1 a b c 4.
3 2 3
考点:本小题主要考查三视图的应用和三棱锥体积的计算,考查学生的空间想象能力和运算
求解能力.
点评:解决此类问题关键是根据三视图正确还原几何体
5. A
【解析】
试题分析:由三视图可知,该几何体是一个三棱锥,所以全面积为
1562 166-624 48 12、2.
2 2 2
考点:本小题主要考查三视图和空间几何体的表面积的计算,考查学生的空间想象能力和运
算求解能力.
点评:求解与三视图有关的问题,关键是正确还原几何体
6. C
【解析】
试题分析:由三视图可知,该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥,
该几何体的高是1,
底面是对角线为J的正方形,所以该几何体的体积为1(、.2)2 1
3 3
考点:本小题主要考查几何体的三视图的识别和应用以及四棱锥体积的计算,考查学生的空间想象能力和运算求解能力.
点评:解决与三视图有关的问题,关键是由三视图正确还原几何体
7. A
【解析】
试题分析:折叠后的三棱锥P ABC中PA, PB,PC两两垂直,所以三棱锥的外接球与以
PA, PB,PC为临边的长方体外接球是相同的,球的直径2R等于长方体体对角线2.6 , R .6 S 4 R224
考点:三棱锥外接球
点评:解本题的关键点在于利用PA, PB, PC两两垂直将三棱锥外接球转化为长方体外接球
8 . A
【解析】由球的表面积公式可知S求4 R220 , R 飞,
所以因为AB=AC=2 , BC=2 3 , 所以BAC 120°, 所以
9
BC 一 2r - 3- 2r r 2 ,所以球心到平面 ABC 的距离为 sin 120° ' sin 120° '
d ,( 5)2 22 1.
9 . A
【解析】当S i =Sa=S 3=S=S 时,入=4;当高趋向于零时,入无限接近 2
10. B
【解析】根据斜二侧画法可知, 平行与x 轴的不变,y 轴的缩为原来的一半, 则一个三角形, 采用斜二测画法作出其直观图,其直观图面积是原三角形面积的 11. D
【解析】根据旋转体的概念可知,
ABC 中,AB 2,BC 1.5, ABC 绕直线BC 旋转一周,则所形成的旋转体的体积大圆锥减去小的圆锥的体积,
30 ,,则点C 到平面ABD 的距离是-15a ,选B
5
13. D
【解析】
因为该球外切于圆柱,所以圆柱的底面半径为
、2
—倍,选B.
4
1200,若将 ABC
则可知是乞,
2
选D. 12. B 【解因为三棱锥 A BCD 中,AC 底面BCD , BD
DC , BD DC , AC a ,
因为球的表面积为 36 n ,所以球的半径为 3, 3,高为6, ABC
所以圆柱的表面积 S 2 32 2 3 6 54
14. B
【解析】若正方体的棱长
为
a ,半球的半径为 R,
在直角三角形
OAA 中, R
(2 2a )2
V 半球
V
正方体
15. B
【解析】
设半径分别为 r,R; 4 3
r
则 一
—R 3
3
_8 27’ R 2;则
r 2 4 R 2
故选 16. A 【解
析】
设立方体棱长为
a,甲,乙,丙三个球半径分别为
r , s, t;则
即 2R 2.6, R . 6,S 求 4 R 2 24 23 . A
1 3
3 【解析】设扇形半径为R,则A
R 2 R 2;圆锥底面圆半径为r,则 2 4
8
3 3
2
3 2
3 2
33 2
2 r R, r - R;所以 B A r 2
R 2
(—R)2 R 2
.所以 4 8
8 8
64
A:B 11:8.故选 A
24 . B
【解析】设正方体棱长为a,球半径为r;由条件知a 2r.则球表面积正方体的表
1 r a, s 2
T a,t T a;则"E 2
1: 2:3.故选 A
17. D
【解析】 设球扩大前后半径为r,R; 4 R 2 3 4 r 2. R , 3r;扩大后体积为
J3
3
18. A
—r 3.故选 3
【解析】 若正方体的棱长为 则球的半径为
、? 3
a
,
2
s 正方体 S 球
6a 2 4
(子a )2
19. B
【解析】 设球的半径为 R,则-
3
R 3
32 3
所以R
球的表面积S 4 R 2 16 。
20 . C
【解析】利用三棱锥 A AB 1D 1的体积变换:
V A AB 1D 1
V A 人眄,则-2 4 1 6 h
3 3
21 . B
【解析】V A A ,BD V D ABA
-3a Ga 2
2
12
22 . C
【解析】正四棱柱的底面积为 4,正四棱柱的底面的边长为 2,正四棱柱的底面的对角线
为2.2,正四棱柱的对角线为
2 6,而球的直径等于正四棱柱的对角线,
2 2
面积之比为4「
4
「
■.故选B
6a 2
6(2「)2 6
25 . D
【解析】
4
设个数为n;则
3
5 n
4 3
13
, n 125.故选 D
3
3
26 . D
【解析】 设球的半径为:1,
则球的外切圆柱的底面半径为: 1,高为:
2,
球的外切等边圆锥的底面半径为: .3 , 圆锥的高为:3
所以球的体积为:4
3
圆柱的体积: 2
2Xnl =2 n
圆锥的体
积:
1
32 3
3
3
一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(圆锥的轴截面为正三角形)的体积之比 -:2 n
3
3n 即 4: 6: 9 故选D 27 . B 【解析】
设两个球的半径分别为r 1, r 2,那么: 4/3
3\
(「1 「2 ) 12
3 1
2 (r 1 r 2) 6 于是:r ,3
r 23
9
r 1 r 2 3
J 叮(*「2)( J J 即:9
3( r 12
r 22
r 1 r 2)
r 1 r 2 r 1 r 2 3 (r 1 r 2
)2
3r 1 r 2
3
「1 r
2 2
2 2
于疋:* 「2 A 「2 「2
(「1「2)2
1
「2 1
故选B
1 u 1 1 3 .3 3
S ^ AAD h a a a = a
「1 「2)
【解析】如图,由题意得;三棱锥
A-ABD 的体积等于三棱锥 B-AA 1D 的体积.
所以:V 三棱锥B AAD
3 AA1D 3 2 2 12
2
故选C.
29 . B
1
【解析】27个全等的小正方体的棱长为
a;边长为a 的正方体的表面积为6a 2; 27个全等 3
的小正方体的表面积和为 27 6 (-a)2 18a 2;则表面积增加了 12a 2。故选B
3
30 . D
【解析】设球半径为R,则-R 3
4 R 2
R 3故选D
3
,
31 . D
【解析】正四面体,正方体,正五棱锥的底面边长与侧棱长相等。因为正六 边形的中心到各个顶点的距离相等且等于正六边形的边长,所以不存在底面 边长和侧棱长相等的六棱锥,故选D 32. 【解析】
试题分析:由三视图可知,该几何体是一个底面是边长为 2的正方形, 1 8 棱垂直于底面的四棱锥,所以该四棱锥的体积为
- 2 2 2 - 3
3
考点:本小题主要考查空间几何体的三视图和空间几何体的体积的计算, 象能力和运算求解能力.
点评:求解与三视图有关的几何问题的关键是根据三视图正确还原几何体 33. 3 【解析】
试题分析:显然该四面体是一个正四面体,把这个正四面体置于一个正方体中,在棱长为 1
的正方体 ABCD ABCD 中,由四个顶点 A , B, C , D 组成的四面体的所有棱长均为 2 ,
从而四面体的外接球就是正方体的外接球,由于正方体的体对角线长为
考点:本小题主要考查四面体与外接球的关系和球的表面积的计算, 考查学生的空间想象能
力和运算求解能力?
点评:此题的解法很特殊但是很有效,其实借助规则的几何体进行解题是常用的解题方法 ?
73
34.
2
【解析】
试题分析:由题意可知,
AB AC ,所以若四面体 A' BCD 顶点在同一个球面上,则 BC
由一条长度为2的侧
考查学生的空间想
,所以球的半径
所以球的表面积为
为球的直径,所以BC . 3,所以球的半径为
2
考点:本小题主要考查球内接多面体, 球的体积等,考查学生的空间想象能力和运算求解能 力?
点评:本题属于比较基础的题目,正确求出球的半径是解题的关键
【解析】
试题分
由三视图可知,该几何体是一个三棱锥,该三棱锥底面为直角边为 1的等腰直角
1 1
1
三角形,由一条侧棱垂直于底面,长度为
1,所以该几何体的体积为 一 一 1 1 1 一
3 2
6
考点:本小题主要考查由几何体的三视图还原几何体和空间几何体的体积计算, 考查学生的
空间想象能力和运算求解能力 ?
点评:解决此类问题的关键是根据三视图还原几何体, 另外有时此类题目还考查表面积的计
算? 36. 3
4
3
【解析】不妨三个球半径分别为 1,2,3 ;则最大球的体积为
33 36 ;其他两个球的体
3
4
3
4 3
积之和为 13
23 12 .则最大球的体积是其他两个球的体积之和的
3倍.
3
3
37. 13cm
【解析】设球半径为 R,则R 2 (R 8)2 122.解得R 13.
2馅
38.
?
是大的金属球表面积的 4倍;所以需用油漆2.4 4 9.6kg. 40. 676;厂
【解析】因为小圆 O 的面积为25 ,所以小圆O 的半径为5, 球的半径R 、52 122 13, 所以球的表面积S 4 R 2 4 132 676 。
41 .或 0
【解析】依题意可得,三棱锥中较长的两条棱长为.3a^, 2a ,设这两条棱所在直
【解析】根据题意可得: R 2
r, R
4r
^r ,所以R 3 r
39. 9、6 kg
【解析】设大的金属球半径为 R, 64个半径相等的小金属球半径为 则r 一 R;于是64个半径相等的小金属球的表面积和
64 4 r 2
4
64 R 3 64
3
4 (; R)2
4
2
16 R 2
线的所成角为。若这两条棱相交,则这两条棱长所在面的第三条棱长为a,由余弦定理可
AB EF 且异面,①不正确; AB 与CD 异面,②正确; CD ,④正确
【解析】 如图,设
PA PB
以OE AB ,而PO AB ,
所以AB 面POE ,从而可得 AB PE ,所以PE 长为点P
到AB 距离。而 PAB 是边长为a 的正三角形,E 是AB 中点,所以可得PE a
2
44 .异面直线;平行四边形; BD AC ; BD AC ; BD AC 且BD AC 【解析】
1 由图可知,BC, AD 为异面直线。因为 E,H 分别是AB, AD 中点,所以EH / / BD 。同
2
1
理可得FG//—BD ,所以EH //FG ,则四边形EFGH 是平行四边形。
2 1 1 1
由上可得EF//-AC ,当四边形 EFGH 是菱形时,EF EH ,即一AC - BD ,所以 =2 2 2 可得BD AC o
当四边形EFGH 是矩形时,EF EH ,因为EF //AC,EH //BD ,所以可得BD AC 。 当四边形EFGH 是正方形时,有EF EH 且EF EH ,从而可得BD AC 且
BD AC
45 . cm
得cos
(忌)
2
(忌)2
AC
..3a, BD
有AE
cos
cos900
42 .②④
【解析】 2
a 2 3a ,2a
—6 o 若这两条棱异面,如图,
3
、2a ,取BD 中点E ,连接AE,CE 。因为AB AD BC
BD,CE BD ,从而有BD 面 ACE ,所
由展开图可知,各点在正方体中的位置如下 CD 以BD
AC
由图可知, 确;MN
MN //BF ,③不正
O 是点P 在平面ABC 内射影,连接CO 并延长交 PC a ,所以点O 是 ABC 的中心。因为 AB 于点E o 因为
ABC 是边长为a 的正三角形,所
高中立体几何典型题及解析
高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题) 51. 已知空间四边形ABCD 中,AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。 求:AM 及CN 所成的角的余弦值; 解析:(1)连接DM,过N 作NE∥AM 交DM 于E ,则∠CNE 为AM 及CN 所成的角。 ∵N 为AD 的中点, NE∥AM 省 ∴NE=2 1AM 且E 为MD 的中点。 设正四面体的棱长为1, 则NC=21·23= 4 3且ME=2 1MD= 4 3 在Rt△MEC 中,CE 2=ME 2+CM 2= 163+41=16 7 ∴cos ∠CNE= 324 3 432167)43()43( 2222 22-=??-+=??-+NE CN CE NE CN , 又∵∠CNE ∈(0, 2 π) ∴异面直线AM 及CN 所成角的余弦值为3 2. 注:1、本题的平移点是N ,按定义作出了异面直线中一条的平行线,然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长,再回到△CEN 中求角。 2、作出的角可能是异面直线所成的角,也可能是它的邻补角,在直观图中无法判定,只有通过解三角形后,根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角(也就是异面直线所成的角)或钝角(异面直线所成的角的邻补角)。最后作答时,这个角的余弦值必须为正。
52. .如图所示,在空间四边形ABCD 中,点E 、F 分别是BC 、AD 上的点,已知AB=4,CD=20,EF=7, 3 1 ==EC BE FD AF 。求异面直线AB 及CD 所成的角。 解析:在BD 上取一点G ,使得3 1 =GD BG ,连结EG 、FG 在ΔBCD 中,GD BG EC BE = ,故EG//CD ,并且4 1==BC BE CD EG , 所以,EG=5;类似地,可证FG//AB ,且 4 3 ==AD DF AB FG , 故FG=3,在ΔEFG 中,利用余弦定理可得 cos ∠ FGE= 2 1 5327532222222- =??-+=??-+GF EG EF GF EG ,故∠FGE=120°。 另一方面,由前所得EG//CD ,FG//AB ,所以EG 及FG 所成的锐角等于AB 及CD 所成的角,于是AB 及CD 所成的角等于60°。 53. 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=c ,AB=a ,AD=b ,且a >b .求AC 1及BD 所成的角的余弦. A B C D E F G E D 1 C 1 B 1 A 1 A B D C O