线性规划的常见题型及其解法

课题 线性规划的常见题型及其解法答案

线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．

归纳起来常见的命题探究角度有： 1．求线性目标函数的最值． 2．求非线性目标函数的最值． 3．求线性规划中的参数． 4．线性规划的实际应用．

本节主要讲解线性规划的常见基础类题型．

【母题一】已知变量x ，y 满足约束条件????

?

x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )

A ．[7，23]

B ．[8，23]

C ．[7，8]

D ．[7，25]

求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z

b ，通过求

直线的截距z

b 的最值，间接求出z 的最值．

【解析】画出不等式组????

?

x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，

表示的平面区域如图中阴影部分所示，

由目标函数z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z 3，平移直线y ＝－2

3x 知在点B 处目标函数取到最小值，解方程组

????? x ＋y ＝3，2x －y ＝3，得?

????

x ＝2，y ＝1，所以B (2,1)，z min ＝2×2＋3×1＝7，在点A 处目标函数取到最大值，解方程组

????? x －y ＝－1，2x －y ＝3，得?????

x ＝4，y ＝5，

所以A (4,5)，z max ＝2×4＋3×5＝23． 【答案】A

【母题二】变量x ，y 满足????

?

x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，

(1)设z ＝y

2x －1，求z 的最小值；

(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；

(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．

点(x ，y )在不等式组表示的平面区域内，y 2x －1＝12·y －0???

?

x －12表示点(x ，y )和

????12，0连线的斜

率；x 2＋y 2表示点(x ，y )和原点距离的平方；x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2表示点(x ，y )和点(－3,2)的距离的平方．

【解析】(1)由约束条件????

?

x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，

作出(x ，y )的可行域如图所示．

由????? x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ????1，225． 由?????

x ＝1，

x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)． 由?

????

x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． ∵z ＝y 2x －1

＝y －0x －12

×12

∴z 的值即是可行域中的点与???

?12，0连线的斜率，观察图形可知z min ＝2－05－12×12＝29． (2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29． ∴2≤z ≤29．

(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是： 可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．

结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中， d min ＝1－(－3)＝4，

d max ＝?－3－5?2＋?2－2?2＝8 ∴16≤z ≤64．

1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．

2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．

求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距z

b 的最值，间接求出z 的最值．

(2)距离型：形一：如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离；

形二：z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离的平方．

(3)斜率型：形如z ＝y x ，z ＝ay －b cx －d ，z ＝y

cx －d ，z ＝ay －b x ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点所在直

线的斜率．

【提醒】 注意转化的等价性及几何意义．

角度一：求线性目标函数的最值

1．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x ，y 满足约束条件????

?

x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )

A ．10

B ．8

C ．3

D ．2

【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，

由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，

对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8．

【答案】B

2．(2015·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件????

?

x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )

A ．3

B ．4

C ．18

D ．40

【解析】作出约束条件对应的平面区域如图所示 ，当目标函数经过点(0,3)时，z 取得最大值18．

【答案】C

3．(2013·高考陕西卷)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0

D ．2

【解析】如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，

令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点(－2,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6．

【答案】A

角度二：求非线性目标的最值

4．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组????

?

2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动

点，则直线OM 斜率的最小值为( )

A ．2

B ．1

C ．－13

D ．－1

2

【解析】已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，

显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－1

3．

【解析】C

5．已知实数x ，y 满足???

0≤x ≤2，

y ≤2，

x ≤2y ，

则z ＝

2x ＋y －1

x －1

的取值范围 ． 【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，

目标函数z ＝2x ＋y －1x －1＝2＋y ＋1

x －1的取值范围可转化为点(x ，y )与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取值

范围，由图形知，A 点坐标为(2，1)，则点(1，－1)与(2，1)所在直线的斜率为22＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z 的取值范围为(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)．

【答案】(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)

6．(2015·郑州质检)设实数x ，y 满足不等式组????

?

x ＋y ≤2y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )

A ．[1，2]

B ．[1，4]

C ．[2，2]

D ．[2，4]

【解析】如图所示，

不等式组表示的平面区域是△ABC 的内部(含边界)，x 2

＋y 2

表示的是此区域内的点(x ，y )到原点距离的

平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]．

【答案】B

7．(2013·高考北京卷)设D 为不等式组????

?

x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间

的距离的最小值为________．

【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，

则根据图形可知，点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小，d ＝|2×1－0|22＋1＝255，故最小距离为25

5． 【答案】255

8．设不等式组????

?

x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x 所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0

对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )

A ．28

5 B ．4 C ．125

D ．2

【解析】不等式组????

?

x ≥1x －2y ＋3≥0y ≥x

，所表示的平面区域如图所示，

解方程组????? x ＝1y ＝x ，得?????

x ＝1y ＝1

．点A (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3－4－9|5＝2，则|AB |的最小值为4．

【答案】B

角度三：求线性规划中的参数

9．若不等式组?????

x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋4

3分为面积相等的两部分，则k 的值是

( )

A ．7

3 B ．37 C ．4

3

D ．34

【解析】不等式组表示的平面区域如图所示．

由于直线y ＝kx ＋43过定点???

?0，43．因此只有直线过AB 中点时，

直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，

B (0,4)，所以AB 中点D ????12，52．当y ＝kx ＋43过点???

?12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73．

【解析】A

10．(2014·高考北京卷)若x ，y 满足????

?

x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )

A ．2

B ．－2

C ．1

2

D ．－12

【解析】D 作出线性约束条件????

?

x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0

的可行域．

当k ＞0时，如图①所示，此时可行域为y 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值．

当k ＜－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．

当－1＜k ＜0时，如图②所示，此时可行域为点A (2,0)，B ???

?－2k ，

0，C (0,2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ????－2k ，0时，有最小值，即－???

?－2k ＝－4?k ＝－12．

【答案】D

11．(2014·高考安徽卷)x ，y 满足约束条件????

?

x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，

则实数a 的值为( )

A ．1

2或－1 B ．2或1

2 C ．2或1

D ．2或－1

【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0,2)，B (2,0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B ＞z C 或z A ＝z C ＞z B 或z B ＝z C ＞z A ，解得a ＝－1或a ＝2．

法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2．

【答案】D

12．在约束条件?????

x ≥0，y ≥0，

x ＋y ≤s ，

y ＋2x ≤4.

下，当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是( )

A ．[6，15]

B ．[7，15]

C ．[6，8]

D ．[7，8]

【解析】 由????? x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4，得?????

x ＝4－s ，

y ＝2s －4，

，则交点为B (4－s,2s －4)，y ＋2x ＝4与x 轴的交点为A (2,0)，

与y 轴的交点为C ′(0,4)，x ＋y ＝s 与y 轴的交点为C (0，s )．作出当s ＝3和s ＝5时约束条件表示的平面区域，即可行域，如图(1)(2)中阴影部分所示．

(1) (2)

当3≤s ＜4时，可行域是四边形OABC 及其内部，此时，7≤z max ＜8； 当4≤s ≤5时，可行域是△OAC ′及其内部，此时，z max ＝8．

综上所述，可得目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是[7，8]． 【答案】D

13．(2015·通化一模)设x ，y 满足约束条件???

??

x ≥0，

y ≥0，

x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1

的最小值为3

2，则a 的值为

________．

【解析】∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2?y ＋1?x ＋1，而y ＋1

x ＋1表示过点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率，易知a ＞0，

∴可作出可行域，由题意知y ＋1x ＋1的最小值是14，即? ??

??

y ＋1x ＋1min ＝0－?－1?3a －?－1?＝13a ＋1＝14?a ＝1．

【答案】1

角度四：线性规划的实际应用

14．A ，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润

300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．

【解析】 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则x ，y 满足约束条件????

?

3x ＋y ≤11，x ＋3y ≤9，x ∈N ，y ∈N ，生产利润为z ＝

300x ＋400y ．

画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z ＝300x ＋400y 在点A 处取得最大值，由方

程组????? 3x ＋y ＝11，x ＋3y ＝9，解得?????

x ＝3，y ＝2，

则z max ＝300×3＋400×2＝1 700．故最大利润是1 700元． 【答案】1 700

15．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．

(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润w (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？

【解析】(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300．

(2)约束条件为????? 5x ＋7y ＋4?100－x －y ?≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .整理得????

?

x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .

目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300． 作出可行域．如图所示：

初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，w 有最大值．由????? x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得?????

x ＝50，

y ＝50.

最优解为A (50,50)，所以w max ＝550元．

所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．

一、选择题

1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7) B ．(－7,24) C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)

D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)

【解析】根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0．即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24． 【答案】B

2．(2015·临沂检测)若x ，y 满足约束条件?????

x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )

A ．－3

B ．0

C ．3

2

D ．3

【解析】作出不等式组????

?

x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3

表示的可行域(如图所示的△ABC 的边界及内部)．

平移直线z ＝x －y ，易知当直线z ＝x －y 经过点C (0,3)时，目标函数z ＝x －y 取得最小值，即z min ＝－3．

【答案】A

3．(2015·泉州质检)已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件?????

x ＋|y |≤1，x ≥0，

则z ＝OA →·OP

→

的最大值为( )

A ．－2

B ．－1

C ．1

D ．2

【解析】如图作可行域，z ＝OA →·OP →

＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处z max ＝2．

【答案】D

4．已知实数x ，y 满足：????

?

x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，

则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )

A ．???

?53，5 B ．[0，5]

C ．????53，5

D ．???

?－53，5

【解析】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：2x －2y －1＝0，平移l 可知2×1

3－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是???

?－53，5．

【答案】D

5．如果点(1，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为( ) A ．2 B ．1 C ．3

D ．0

【解析】由题意知(6－8b ＋1)(3－4b ＋5)＜0，即????b －78(b －2)＜0，∴78＜b ＜2，∴b 应取的整数为1．

【答案】B

6．(2014·郑州模拟)已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )

A ．(1－3，2)

B ．(0，2)

C ．(3－1，2)

D ．(0，1＋3)

【解析】如图，根据题意得C (1＋3，2)．

作直线－x ＋y ＝0，并向左上或右下平移，过点B (1,3)和C (1＋3，2)时，z ＝－x ＋y 取范围的边界值，即－(1＋3)＋2

【答案】A

7．(2014·成都二诊)在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组????

?

y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0，所表示的平面区域上一动

点，则直线OP 斜率的最大值为( )

A ．2 B

．1

3 C

．1

2

D ．1

【解析】作出可行域如图所示，当点P 位于?

????

x ＋y ＝2，

y ＝1，的交点(1,1)时，(k OP )max ＝1．

【答案】D

8．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )

A ．2

B ．1

C ．1

2

D ．14

【解析】不等式?

????

x ＋y ≤1，

x ≥0，y ≥0，所表示的可行域如图所示，

设a ＝x ＋y ，b ＝x －y ，则此两目标函数的范围分别为a ＝x ＋y ∈[0,1]，b ＝x －y ∈[－1,1]，又a ＋b ＝2x ∈[0,2]，a －b ＝2y ∈[0,2]，∴点坐标(x ＋y ，x －y )，即点(a ，b )满足约束条件?????

0≤a ≤1，

－1≤b ≤1，

0≤a ＋b ≤2，

0≤a －b ≤2，

作出该不等式

组所表示的可行域如图所示，由图示可得该可行域为一等腰直角三角形，其面积S ＝1

2×2×1＝1．

【答案】B

9．设x ，y 满足约束条件????

?

3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则ab 的

取值范围是( )

A ．(0，4)

B ．(0，4]

C ．[4，＋∞)

D ．(4，＋∞)

【解析】作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z ＝ax ＋by (a >0，b >0)过点A (1,1)时取最大值，∴a ＋b ＝4，ab ≤

???

?a ＋b 22＝4，∵a ＞0，b ＞0，∴ab ∈(0，4]．

【答案】B

10．设动点P (x ，y )在区域Ω：????

?

x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段

AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )

A ．π

B ．2π

C ．3π

D ．4π

【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，

则根据图形可知，以AB 为直径的圆的面积的最大值S ＝π×???

?422＝4π．

【答案】D

11．(2015·东北三校联考)变量x ，y 满足约束条件????

?

y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有

无穷多个，则实数a 的取值集合是( )

A ．{－3,0}

B ．{3,－1}

C ．{0,1}

D ．{－3,0,1}

【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．

易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，∴a ＝－1或a ＝3．

【答案】B

12．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件?

????

x ＋y ≥a ，

x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )

A ．－5

B ．3

C ．－5或3

D ．5或－3 【解析】法一：联立方程???

?

?

x ＋y ＝a ，x －y ＝－1，

解得?????

x ＝a －12，y ＝a ＋1

2，

代入x ＋ay ＝7中，解得a ＝3或－5，当a

＝－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7．

法二：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解．

当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．

图(1) 图(2)

由?

???? x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)，则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项．

当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．

由?

????

x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值．z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．

【答案】B

13．若a ≥0，b ≥0，且当????

?

x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则由点P (a ，b )所确定的平面区域的面积是( )

A ．1

2

B ．π4

C ．1

D ．π2

【解析】因为ax ＋by ≤1恒成立，则当x ＝0时，by ≤1恒成立，可得y ≤1

b (b ≠0)恒成立，所以0≤b ≤1；同理0≤a ≤1．所以由点P (a ，b )所确定的平面区域是一个边长为1的正方形，面积为1．

【答案】C

14．(2013·高考北京卷)设关于x ，y 的不等式组????

?

2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，

满足x 0－2y 0＝2．求得m 的取值范围是( )

A ．???

?－∞，43

B ．???

?－∞，13

C ．???

?－∞，－23

D ．???

?－∞，－53

【解析】当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m ＜0．如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．

要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝1

2x －1的下方即可，即m ＜－12m －1，解得m ＜－23．

【答案】C

15．设不等式组????

?

x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ．若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，

则a 的取值范围是 ( )

A ．(1，3]

B ．[2，3]

C ．(1，2]

D ．[3，＋∞)

【解析】平面区域D 如图所示．

要使指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，所以1＜a ≤3． 【解析】A

16．(2014·高考福建卷)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：????

?

x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且

圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )

A ．5

B ．29

C ．37

D ．49

【解析】由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1．显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6．∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37．

【解析】C

17．在平面直角坐标系中，若不等式组????

?

y ≥0，y ≤x ，y ≤k ?x －1?－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是

( )

A ．(－∞，－1)

B ．(1，＋∞)

C ．(－1，1)

D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

【解析】已知直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示． 当直线y ＝k (x －1)－1位于y ＝－x 和x ＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域．所以直线y ＝k (x －1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k 的取值范围是(－∞，－1)．当直线y ＝k (x －1)－1与y ＝x 平行时不能形成三角形，不平行时，由题意可得k ＞1时，也可形成三角形，综上可知k ＜－1或k ＞1．

【答案】D

18．(2016·武邑中学期中)已知实数x ，y 满足?

????

x －2y ＋1≥0，

|x |－y －1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )

A ．4

B ．6

C ．8

D ．10

【解析】区域如图所示，目标函数z ＝2x ＋y 在点A (3,2)处取得最大值，最大值为8．

【答案】C

19．(2016·衡水中学期末)当变量x ，y 满足约束条件????

?

y ≥x x ＋3y ≤4x ≥m 时，z ＝x －3y 的最大值为8，则实数m

的值是( )

A ．－4

B ．－3

C ．－2

D ．－1

【解析】画出可行域如图所示，目标函数z ＝x －3y 变形为y ＝x 3－z

3，当直线过点C 时，z 取到最大值， 又C (m ，m )，所以8＝m －3m ，解得m ＝－4． 【答案】A

20．(2016·湖州质检)已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组?????

x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x －1≥0，则tan ∠

AOB 的最大值等于( )

A ．9

4 B ．47 C ．3

4

D ．12

【解析】如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，

观察图形可知当A 为(1,2)，B 为(2,1)时，tan ∠AOB 取得最大值，此时由于tan α＝k BO ＝1

2，tan β＝k AO

＝2，故tan ∠AOB ＝tan (β－α)＝tan β－tan α

1＋tan βtan α

＝

2－12

1＋2×12

＝34． 【解析】C 二、填空题

21．(2014·高考安徽卷)不等式组 ????

?

x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．

【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝1

2×2×(2＋2)＝4．

【答案】4

22．(2014·高考浙江卷)若实数x ，y 满足????

?

x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，

则x ＋y 的取值范围是________．

【解析】作出可行域，如图，作直线x ＋y ＝0，向右上平移，过点B 时，x ＋y 取得最小值，过点A 时取得最大值．

由B (1,0)，A (2,1)得(x ＋y )min ＝1，(x ＋y )max ＝3．所以1≤x ＋y ≤3． 【答案】[1,3]

23．(2015·重庆一诊)设变量x ，y 满足约束条件????

?

x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为____．

【解析】根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，

∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4．

【答案】4

24．已知实数x ，y 满足????

?

x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，

则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．

【解析】目标函数w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8＝(x －2)2＋(y －2)2，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x ，y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，

由图可知，点(2,2)到直线x ＋y －1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又|2＋2－1|2＝32

2，

所以w min ＝9

2．

【答案】9

2

25．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组????

?

2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的

最小值是________．

【解析】如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O 到直线x ＋y －2＝0的垂线段长是|OM |的最小值，∴|OM |min ＝

|－2|

12＋12

＝2．

【答案】2

26．(2016·汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．

【解析】设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，