习题解答

高等数学课件与自学复习讲义

第七章 空间解析几何 向量代数

§1 空间直角坐标系

一、 空间直角坐标系

问在yz 平面上的点有什么特点？ 答：x 坐标为0 二、 两点间的距离公式

1. 求P 1(1, -1, 0), P 2(-1, 2, 3)之间的距离 解：22)03())1(2()11(P P 2222

1=-+--+--=

2. 在xy 上找一点，使它的x 坐标为1，且与点(1, -2, 2)和点(2, -1, -4)

等距

解：由题意设此点的坐标为（1, y, 0）

得方程

z ,5y 18

y 2y 8y 4y )z 4()y 1()12()z 2()y 2()11(222

22222==++=++--+--+-=-+--+-

所以此点坐标为（1， 5， 0）

§2 曲面曲线的方程

一、坐标面的方程，与坐标面平行的平面方程 1. 下面方程各代表什么曲面？

（1）x=b: 过点（b, 0, 0）且平行于yz 平面的方程 （2）y=0: xz 平面

（3）y=c: 过点（0, c, 0）且平行于xz 平面的方程 二、球心在点P 0(x 0, y 0, z 0)，半径为R 的圆 1. 方程x 2+y 2+z 2-2x+2y-z+3=0是否表示球面？ 解：方程配方得

4

3

)21z ()1y ()1x (222-=-+++-

无实数解，因而不表示球面。

2. 若方程x 2+y 2+z 2-4x+y=0是球面，求球心与半径 解：方程配方得

2

222)2

17(417z )21y ()2x (==+++-，

所以方程球心为（2, 21, 0）, 半径为

2

17

3. 求出下列方程所表示的球面的球心坐标与半径，x 2+y 2+z 2+4x-2y+z+4

5=0

解：配方得222224)2

1z ()1y ()2x (==++-++，

所以方程球心为（-2, 1, -2

1），半径为2

三、 柱面方程 1. 做方程y=x 2的图形 解：此题为抛物柱面，缺z

2. 方程14

z y 2

2

=+表示什么曲面？（测验题）

解：平行于x 轴椭圆柱面

3. 下列方程表示什么曲面，并作图. x 2+y 2=2x 解：配方得 (x-1)2+y 2=1

即圆心在（1, 0, 0）点上的圆柱面

4. y 2=1

解：y=±1,相互平行的平面

5. x 2+y 2+z 2=0 解：原点O 四、空间曲线的方程

1. 问???==+a

z R y x 2

22表示什么曲线？

解：x 2+y 2=R 2表示圆柱面，它的母线平行于z 轴，而z=a 表示平行于xy 坐标面的平面，因而它们的交线是圆。所以方程表示圆在z=a 的平面上.

2. 问?????=+=++2

222222R

y x R

z y x 表示什么曲线？（此题要注意空间中球体的画法） 解：因为2222R z y x =++表示球心在原点，半径为R 的球面，而222R y x =+表示母线平行于z 轴，半径为R 的圆柱面，它们的交线为在xy 平面上圆心在原点，半径为R 的圆。

3. 下面方程组表示什么曲线？???==++1

y 4

z y x 222

解：因为4z y x 222=++表示球心在原点，半径为2的球面，y=1表示 xz 平面上平行的平面，所以其曲线为圆点在（0,1,0），半径为1的圆。 4.

??

?==+1

x x

2y x 22 解：配方方程(1)得(x-1)2+y 2=1, 表示圆心在（1, 0），半径为1的圆柱面. x=1表示平行于yz 轴的平面，所以曲线为两条平行线.

§3 二、三阶行列式简介

一、二阶行列式 1. 计算二阶行列式5

4

32- 解：224)3(52543

2=?--?=-

2. 213)7(606

37

0=?--?=- 3.

2222y x y x y

x x x

y x -=--=+-

二、三阶行列式 1. 计算三阶行列式8

5

61

053

42---

解：（1）沙路法

)4(581)5(260)3(5)5()3(61)4(8028

5

6105342-??-?-?-??--?-?-+??-+??=---=221

（2）按行展开法

2215

60

5)3(8615)4(851028

5

6105342=-?-+?---?=---

2. 84425116169999164916425912516916949

4

1-=??-??-??-??+??+??= 3. 3x x 0)1(x )1(0x 00000)1()1(0x x x x 0

1x 00

1x =??--?-?-??-??+-?-?+??=--

§4 向量及其加减法 数与向量的乘积 向量的坐标表达式 二、向量的加减法

1. △ABC 中D, E 是BC 边上三等分点，设b AC ,a AB ==。试用a, b 表示AE ,AD

解：AC BC AB =+Θ, a b BC -=∴

)a b (31DE EC BD -===, )a 2b (3

1

)a b (31a BD AB AD +=-+=+=

AC EC AE =+Θ, )a b 2(3

1)a b (31b EC AC AE +=--=-=∴

2. 设M, N, P 分别为AB C ?的三个边AB, BC, CA 的中点，已知

c ,b B ,a ===，求,B ,.

解：由已知 b 21

a 21+=+

=

c 21b 21+=+=， a 21

c 21+=+=

四、向量的坐标表达式

1. 求向量a=i+j-k 的长度及方向余弦，求a 0 解：（1）向量长度：

3)1(11a 222=-++=

（2）方向余弦： 31a z cos ,31a y cos ,31a x cos -======

γβα （3）单位向量：

3

k j i a a a 0-+==

2. 向量a=2i-j+zk, 其长度为3，试求a 解：由题意

2

222z 14z y x a ++=++==3

得 z 2=4, z=±2

故有两个向量 2i-j+2k, 或 2i-j-2k 3. 设a=i+2j-2k ，求a 及a 的方向余弦 解：（1）向量长度： 3)2(21a 222=-++=

（2）方向余弦：

3

2

a z cos ,32a y cos ,31a x cos -======

γβα 4. 设点M 1(x 1, y 1, z 1), M 2(x 2, y 2, z 2)求21M M

, 及21M M 的方向

解：由 2

211OM M M OM =+ 得

1221OM OM M M -=

k z j y i x OM 1111++= k z j y i x OM 2222++=

从而 k )z z (j )y y (i )x x (M M 12121221-+-+-=

2

12212212)z z ()y y ()x x (-+-+-=

所以 2

122

122

121

2)z z ()y y ()x x (x x cos -+-+--=α

2

122

122

1212)

z z ()y y ()x x (y y cos -+-+--=β

2

122

122

1212)

z z ()y y ()x x (z z cos -+-+--=

γ

5. 设点P 1(0, -1, 2)，点P 2(-1, 1, 0)，求21P P 及方向余弦 解：（1）k 2j 2i k )z z (j )y y (i )x x (P P 12121221-+-=-+-+-= （2

3)2(2)1(222=-++-=

3

2

cos ,32cos ,31cos -==-=

γβα §5 数量积 向量积

一、数量积（点乘积）

1. 设a=i-j+k ，b=3i+2j-2k,求b )a (,b a ?，a 与b 之间的夹角余弦

解：（1）1)2(12)1(31b a -=-?+?-+?=? （2）171)

2(231b

b a )a (2

2

2

b -=

-++-=

?=

（3）51

1

17

1)1(11b a b a cos 222-=

+-+-=

?=θ 2. △ABC 的三个顶点为A(1, -1, 0)，B(-1, 0, -1), C(3, 4, 1), 试证△ABC 为直角三角形 解：

k j 5i 2CA ,k 2j 4i 4B C ,k j i 2AB ---=++=-+-= 0)1()1()5(1)2()2(=-?-+-?+-?-=?Θ CA AB ⊥∴向量， △ABC

是直角三角形

3. 设a=4i+7j+3k ，b=3i-5j+k, 试计算：)b a cos(,)b (,)a (,b a a b Λ? 解：（1）2013)5(734b a -=?+-?+?=? （2）35

201

)5(320b

b a )a (2

2

2

b -=

+-+-=

?=, 74

203

7420a

b

a )

b (2

2

2

a -=

++-=?=

（3）

3929

.074

3520b

a b

a )

b a cos(-=-=?=

Λ

二、向量积（叉乘积）

1. 设a=2i-3j-k ，b=i-k, c=i+3

1j+k, 问b a ?与c 平行吗？

解：k 3j i 30

13

2k 1112j 1013i 1

01132k

j

i

b a ++=-+------=---=

?

b a ?Θ=3c, b a ?∴与

c 平行

2. 设a=-i+2j-2k ，b=5i+2j, 试计算b a ? 解：k 12j 10i 42

52

1k 0521j 0222i 025221k

j

i

b a -+=-+----=--=

?

3. 计算a=i+2j-k, b=2j+3k 形成平行四边形面积 解：772)3(8b a A 222=+-+=

?=

4. 设a=i-3j+k ，b=2i-j+3k 求平行四边形面积

解：k 5j i 81

23

1k 3211j 3113i 3

12131k

j i b a +--=--+---=--=

?

1035)1()8(b a A 222=+-+-=?=

第七章测验题

一 判断

1 单位向量的模为1，凡单位向量均相等

（×） 2

若

向

量

→

a

⊥

→

b

，则

→

a

×

→

b

=

→

（×） 二 选择

1 设点()1,3,2P 1，()4,7,2P 2，则=21P P D

A ±5

B 3

C 4

D 5

2记α,β,γ 分别为向量→

a 与z ,y ,x 轴之间的夹角，则=++γβα222cos cos cos B

A 0

B 1 C

3 D 3

3 以向量→

a ，→

b 为邻边的平行四边形的面积为 D A |→

a ||→

b |θcos B →

a ?→

b C →a ×→b D |→a ×→

b |

三 计算

1方程0y x 4z y x 222=+-++表示球面吗？若是球面写出球心坐标及半径. 解：方程化为2

222)2

17(

z )2

1y ()2x (=+++- ∴方程表示球面，球心坐标为（2, 21, 0）, 半径为

2

17

2设→a =→→→-+-k 2j 2i ，→b =→→+k 3i 5，→c =→

→→--k 6j 5i 2，试计算

（1）→

a ?→

b ,及??

?

??→∧→b ,a cos （2）→a ×→b ，问→a ×→b 与→

c 平行吗？

解：3)2(21a

222=-++=， 3435b 22=+=

（1）13)2(51b a -=?-+?=?,

34

31

b a b a )b a cos(-=

?=

Λ

（2）k 10j 13i 60

52

1k 3521j 3022i 3

05221k

j

i

b a --=+---=-=?

∵→

a ×→

b 系数与→

c 不成比例，所以不平行

第八章 多元函数及其微分法

§1 多元函数概念 二元函数的极限和连续

一、多元函数概念 1. 求函数2

22y x R z --=的定义域

解：∵

0y x R 222≥--, ∴定义域 }R y x )y ,x {(D 222≤+=

2. 求函数)y x 1ln(z 22--=的定义域 解：∵,0y x 122>-- ∴定义域}1y x )y ,x {(D 22<+=

3. 求函数1y x 4z 22-+=的定义域

解：∵

01y x 422≥-+， ∴定义域}1y x 4)y ,x {(D 22≥+=

§2 偏导数 高阶偏导数

一、偏导数

1. 求函数z=xsiny 在点)4

,1(π处的两个偏导数

解：2

2y

sin x

z ,

y sin x

z )4

,

1()4

,

1(==??=??ππ则

2

2y

cos x y

z ,y cos x y z )4

,

1()4

,

1(=

=??=??ππ

则 2. 求函数y x z =的y

z ,x z ????

解：x ln x x y

z

,

yx x z y y 1y ==??=??- 3. 求函数的一阶偏导数f(x, y)=xyln(x+y)

解：y x x y

)y x ln(y y x 1x y

)y x ln(y x

f

+++=+++=?? 根据对称性 y

x x y )y x ln(x x f +++=?? 4. 求函数的一阶偏导数2

2y x ln

)y ,x (f +=

解：22

2

222y x x x 2y x 121y x 1

x f

+=?+??+=

??

根据对称性 2

2

y x y

y f +=??

5. 求2

22z y x r ++=

的各个偏导数

解： r

x z y x x 221x r 222=++?=?? 根据对称性 r y y r =?? r

z z r =?? 6.

)z y x 1ln(u 32+++=

解：

3

2z y x 11

x u +++=

??

3

2z y x 1y 2y u +++=

??

3

22

z y x 1z 3z u +++=

??

二、高阶偏导数

1. 求335224x y x y y x 3x z -++=所有的二阶偏导数 解：35223y y x 3xy 6x 4x

z -++=??

2342x y 3x y 5y x 6y

z

-+=?? 5

2222x y 6y 6x 12x z ++=?? xy 6x y 20x 6y z 3322

2-+=??

24222y 3y x 15x y 12x

y z

y x z -+=???=??? 2.

2244y x 4y x z -+=

解：2

3xy 8x 4x z -=?? y x 8y 4y z 23-=?? 2222y 8x 12x z -=?? 2222x 8y 12y

z -=??

x y 16x

y z

y x z 22-=???=??? 3. 设)x y x ln(z 2

2

-+=, 求y x z

,y z ,

x z

22

222??????? 解：x y x 1

x 2x z 2

2-+-=??, x

y x y

2y z 2

2-+=?? 2

222222222222)x y x (1

y 2x 2x 2)x y x ()1x 2()x y x (2x z -+-++-=

-+---+=??

222

2222222222)x y x (x

2y 2x 2)x y x ()y 2()x y x (2y z -+--=-+--+=?? 2

22

22)x y x ()

1x 2(y 2x y z y x z -+--=???=???

4. 设222zx yz x y )z ,y ,x (f ++=，求)1,0,0(f xx

'', )2,0,1(f xz

'', )0,1,0(f y z -'', )1,0,2(f zzx ''' 解：x z

2y f 2x +='

,

2y

z xy 2f +=', 2z x yz 2f +=' ()2z 2f 1,0,0xx

=='', ()2x 2f 2,0,1xz =='', ()0z 2f 0,1,0yz =='' y 2f zz

='', f 0f zzx =''' 5. 求y 2x z =的二阶导数 解：1y 2yx 2x

z -=??,

x ln x 2y

z

y 2=?? 2y 22

2x )1y 2(y 2x z --=??, y

2222x )x (ln 4y

z =??, x ln yx 4x 2x y z y x z 1y 21y 222--+=???=??? §3 全微分

1. 计算y x y x z 2++=在点(1, 2)处的全微分 解：

51xy 2x

z

)2,1(=+=??， 21x y z )2,1(2=+=?? dy 2dx 5dy y

z

dx x z dz +=??+??=

∴ 2. 求函数2

2y x 1ln

z ++=在点(1, 1)处的全微分

解：3

1

y x 1x x 2)y x 1(2

1

y x 11x z 2

22

1

2222=

++=

?++?++=

??- 根据对称性，

31y z =?? dy 3

1dx 31dy y z dx x z dz +=??+??=∴ 3. 求函数y ln x z =的全微分（测验题） 解：y ln x

z =??，

y

x y z =??， dy y

x ydx ln dy y z dx x z dz +=??+??=

∴ 4. 求)xy sin(z =的全微分

解：

y )xy cos(x

z

?=??, x )x y cos(y z ?=??， dy )x y cos(x dx )x y cos(y dy y

z

dx x z dz +=??+??=

∴ §4 多元函数的微分法

一、复合函数的微分法

1. 设x sin v ,x 3u ),u 3v 2ln(z 2==+=，求dx

dz

解： u

3v 23u z +=

??，

u

3v 22

v z +=

??

x 6dx du =， x cos dx dv = 2

x

9x sin 2x

cos 2x 18x cos u 3v 22x 6u 3v 23dx

dv v z dx

du u z dx

dz ++=?++?+=??+??=∴ 2. 设x e v ,x ln u ,

u

v z ===，求

dx

dz

解：

2u

v u z -=??,

u 1v z =?? x 1dx du =, x e dx

dv

= )x ln x 1

1(x ln e e u

1x 1u v dx dv v z dx du u z dx dz x x 2-=+-=??+??=

∴ 3. 设xy v ,

y x u ,u

v arctan z 22=+==，求

y

z

,x z ???? 解：22u v )u v (11u

z -?+=

??， u 1

)u

v (11v z 2

?+=??，

x 2x u =??， y x

v

=?? 2

222v u yu

v u xv 2x v v z x u u z x z ++

+-=?????+?????=??∴

根据对称性， 2

222v u x u v u yv 2y z ++

+-=??

4. 设y 2x 3v ,y x u ,

v ln u z 2-==

=，求y

z ,x z ????

解：v ln u 2u

z

=??， v u v z 2=

??，

y 1x u =??， 3x

v

=??， 2y x y u -=??

2y

v

-=?? v

u 3y 1v ln u 2x v v z x u u z x z 2

+?=?????+?????=??∴ v u 2)y

x (v ln u 2y v v z y u u z y z 2

2--?=?????+?????=??

5. （1）设222u z y x u ,

e w ++== （2）设222t v u z t ,y v ,x u ,432w ===??=

分别对（1）（2）求z

w

,

y w ,x

w ??????

解：（1）z 2z

u

,y 2y u ,x 2x u ,

e u w u =??=??=??=??,

u xe 2x u u w x w =?????=??, u ye 2y u u w y w =?????=??, u ze 2z

u

u w z w =?????=?? （2）2ln 432u w t v u =??,

3ln 432v w t v u =??, 4ln 432t

w

t v u =?? x 2x u =??, 0y u =??, 0z u =?? 0x v =??, y 2y v =??, 0z v =?? 0x t =??, 0y t =??, z 2z

t =??

2ln 432x 2x t

t w x v v w x u u w x w t v u =?????+?????+?????=?? 3ln 432y 2y

t

t w y v v w y u u w y w t v u =?????+?????+?????=??

4ln 432z 2z

t t w z v v w z u u w z w t v u =?????+?????+?????=?? 6. 设)x y ,

y x (f z 22-=，f

可微，求y

z ,x z ????

解：令22y x u -=,

xy v =

则x 2x u =??，

y 2y u -=??， y x

v =??， x y v =?? v

z y u

z x 2x

v v z x

u u z x

z ??+??=?????+?????=??∴

v

z

x u z y 2y v v z y u u z y z ??+??-=?????+?????=?? 7. 求)e ,

y x (f z xy 22-=的一阶偏导数

解：令22y x u -=,

xy e v =

则x 2x u =??，

y 2y u -=??， xy ye x

v

=??， xy x e y v =?? x v

ye u z x 2x v v z x u u z x z xy

??+??=?????+?????=??∴

y

v

x e u z y 2y v v z y u u z y z xy ??+??-=?????+?????=??

第九章 重积分

§1. 2 二重积分的性质及计算（所有问题必须画图）

一、确定积分式 1. 设计分区域由d y ,c y ,b x ,

a x ====所围成的闭域，试讲二重积分

σd )y ,x (f D

??化为累次积分

解：

b x a ≤≤

积分区域 D dy )y ,x (f dx d )y ,x (f d

c b

a D

????=∴σ d y c ≤≤

2. 将二重积分σd )y ,x (f D

??化为累次积分，其中D 是由y=x, y=2-x, y=0

所围成的闭域

解：可以将积分区域分为D 1和D 2两个部分

其中 1x 0≤≤

积分区域 D 1 dy )y ,x (f dx d )y ,x (f x

01

01

D ????=∴σ x y 0≤≤

2x 1≤≤ dy )y ,x (f dx d )y ,x (f x

20212

D ????-=∴σ

积分区域 D 2 x 2y 0-≤≤ 3. 求将σd )y ,x (f D

??化为累次积分，其中D 是由x+y=1, x-y=1及x=0

所围成的区域（测验题） 解：

1x 0≤≤

积分区域 D dy )y ,x (f dx d )y ,x (f x

11x 1

0D

????--=∴σ x 1y 1x -≤≤-

4. σd )y ,x (f D

??，其中D

由,x y ,x

1y ==及x=2

所围闭域

解： 2x 1≤≤

积分区域 D dy )y ,x (f dx d )y ,x (f x

x

12

1D

????=∴σ

x y x

1

≤≤ 二、二重积分的计算

1. 计算σd )y x (D

??+，其中D 是由2x ,2y ,

x

1y ===所围成的区域

解：

29)x x 21x (dx )1x 21x 2(dx

)y 2

1xy (dx )dy )y x ((d )y x (2

2

1

22

2

12

2y x

1y 2

2

1222

12

x

1D

=++=+-

=

+

=

+=

+??????==σ

2. 计算σd xy D

??，其中D 是由x 2y ,

x y 2+==所围成的区域

解：

8

45dx ]x )2x (x [21dy

xy dx d xy 2

15

2x

2x

2

1

D

2=-+=

=

???

??-+-σ

3. 计算σd y sin x D

??，其中D 是由2

y ,0y ,2x ,

1x π

=

===所围成的区域

解：

2

3

y cos 2

3

dy y sin 23dy y sin x 2

1dy y sin x dx d y sin x 20

20

20

21220

2

1

D

=

-==

=

=

?

?

??

??ππππσ

4. 计算σd )y x cos(D

??+，其中D 是由x y ,

y ,0x ===π所围成的区域

解：2)0cos 0(cos 2

1

)cos 0(cos x 2cos 2

1)x cos(dy x 2sin )x sin(dy

)y x sin(dy )y x cos(dx d )y x cos(00

00

x x

D

-=-+

--=++-=-+=+=

+=

+??

??

??πππσπππ

π

ππ

π

第八、九章测验

一 判断

1 若函数()y ,x f z =在点()00y ,x 处连续，则函数()y ,x f z =在点()00y ,x 处可微。

（ × ）

2 若

()()D

y ,x ,0y ,x f ∈≥，则

()0d y ,x f D

≥??σ

( √ ) 二 选择 1

函

数

()

22y x 1ln z --=的定义域为______

（ C ）

A (){}1y x y ,x 22>+

B (){}1y x y ,x 22≥+

C (){}1y x y ,x 22<+

D (){}1y x y ,x 22≤+ 2

设

积

分

域

D

：

1

y x 22≤+，

=

??

σd D

_______

（ B ）

A 0

B π

C 1

D 2π

三 计算 设()x y

v ,y x u ,

u 3v 2ln z 22=+=+=, 求x z ?? ,

y

z

??

解：

y v 2u 32x 2v 2u 33x v v z x u u z x z ?++?+=?????+?????=?? 回代得 x y

2)y x (3y 2x 6x z 22+++=??

x v 2u 32y 2v 2u 33y v v z y u u z y z ?++?+=?????+?????=?? 回代得 x y

2)y x (3y 2x 6y z 22+++=??

第十二章 常微分方程 §1. 微分方程的基本概念

1. 求一条曲线，使其上任意一点的切线斜率等于该点的横坐标加上1，且该点过（0,1）

解：设所求曲线的方程为y=y(x)， 则有1x y +='

等式两边积分，得C x x 2

1y 2++=

其中C 为任意常数。将点（0,1）代入得C=1 所以该方程为 1x x 2

1y 2

++=

2. 验证x 2x 1e C e C y -+=是二阶方程0y y =-''的通解（21C ,C 为任意常数）

解：

x 2x 1e C e C y --='， x 2x 1e C e C y -+=''

将y ''及y 代入方程得

（x 2x 1e C e C -+）-（x 2x 1e C e C -+）=0 ∴原问题得证

3. 指出已给各函数是微分方程的解或通解. 2x 5y ,y 2y x =='

解：x 10y =', 代入得

y 2x 10x 10x 2==?

∴原问题得证 4.

x 2x 1e C e C y ,0y y 2y -+==+'-''

解：x 2x 1e C e C y --='，

x 2x 1e C e C y -+=''， 代入得 x 2x 1e C e C -+-2（x 2x 1e C e C --）+x 2x 1e C e C -+=2x 1e C +4y e C x 2≠-

所以0y y 2y =+'-''不是原方程的解

§2 一阶微分方程

一、可分离变量的微分方程 1. 求xy y ='的通解 解：分离变量得

x dx y dy

=

等式两边积分得

2

x C C 2

x 1

2

2112

e

e e

y C 2x y ln dx

x dy y 1

==+==+??

得

2

x 2Ce

y =

2. 求解初值问题?????==-=1y 0

ydx 3xdy 1

x

解：分离变量 x

dx 3y dy =

两边积分得 C ln x ln 3y ln += 得 3Cx ln y ln =

即

3Cx y =

当x=1, y=1代入， 得C=1 ∴初值问题的解为 3x y =

3. 求可分离变量方程2x 1y x y -='

解：分离变量得 dx x x 1ydy 2

-= 两边积分得 )

Cx ln(y x C x 21x ln y 21xdx

x 1

ydy 22222=++-=-=??

4.

2y y y x =+'（测验题）

解：分离变量得

dx x 1

dy y

y 12=-

两边积分得

1

y y

Cx C x ln 1

y y ln dx x 1dy )y 11y 1(

-=

+=-=--?? 二、齐次型方程 1. 求解初值问题

???

???

?=+='=6y

x

y tan x y

y 1x π 解：令x

y u =，则y=ux ，u x u y '+='，代入得u tan u u x u +='+

化简分离变量得

dx

x

1

udu cot dx

du

u ==

'

两边积分得 Cx

u sin C

ln x ln u sin ln =+= 即 Cx x y sin =

代入6y ,1x π==, 得 21C = ∴ x 2

1x y sin =

2. 求y x y y x y 22'='+的通解

解：1x y )x y

(x

x x xy x y x xy y y 22

2

2

2

222

-=-=

-=' 是齐次方程，令x

y

u =，则y=ux ，代入得1u u u x u 2-='+

分离变量得 )

Cxu ln(u C ln x ln u ln u dx

x

1du )u 11(=+=-=-

即 Cy ln x

y = 通解为 x y

e Cy =

3. 求解齐次方程 2x

y y 22

-='

解：令x

y u =，则y=ux ，代入得2u u x u 2-='+， 即)1u )(2u (x u +-='

分离变量得 3

3Cx 1u 2

u Cx ln 1u 2u ln dx

x 1du )1u 12u 1(31=+-=+-=+--??，

回代 3Cx 1x

y 2

x y =+- 即 )y x (Cx x 2y 3+=-

4. ydy ydx xdy =-

解：两边同除以dx 得

y y y y x '=-'

两边同除以x 得

y x

y x y y '=-

' 令x

y u =，则y=ux ，u x u y '+='，代入得)x u u (u u u x u '+=-'+

分离变量得

C x ln x

y

ln y x C x ln u ln u

1

dx

x 1

du u u 12+=--+=--=-?? 得 C y ln y x =+

三、一阶线性微分方程

（一）线性齐次微分方程的解法 1. 求tdt cos y dy -=的通解 解：分离变量得 C

ln t sin y ln tdt cos y dy

+-=-= 得 t sin Ce y -= 2. 求0y 1

x 1

y =++

'满足初始条件1y 1x ==的特解 解：分离变量得 C

ln )x 1ln(y ln x 1dx y dy ++-=+-

= 得 x

1C

y +=

当x=1, y=1时， 代入得C=2, ∴其特解为 x

12y +=

（二）线性非齐次微分方程的解法 1. 求x sin y y x =+'的通解（全部用公式法） 解：用公式，将方程化为

x

x sin x y y =+

'