【典型题】高中必修二数学下期末一模试题(及答案)

【典型题】高中必修二数学下期末一模试题(及答案)

一、选择题

1．执行右面的程序框图，若输入的,,

a b k分别为1,2,3，则输出的M=( )

A．20 3

B．

7

2

C．

16

5

D．

15

8

2．如图，在ABC

?中，已知5

AB=，6

AC=，

1

2

BD DC

=，4

AD AC

?=，则

AB BC

?=

A．-45 B．13 C．-13 D．-37

3．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

收入x（万

元）

8.28.610.011.311.9

支出y（万

元）

6.2

7.5

8.08.5

9.8

根据上表可得回归直线方程?

??

y bx a

=+，其中??

?

0.76,

b a y bx

==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）

A ．11.4万元

B ．11.8万元

C ．12.0万元

D ．12.2万元

4．

某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 A ．k ＞4? B ．k ＞5? C ．k ＞6? D ．k ＞7?

5．已知集合 ，则

A ．

B ．

C ．

D ．

6．已知数列{}n a 的前n 项和2

2n S n n =+，那么它的通项公式是（ ）

A ．21n a n =-

B ．21n a n =+

C ．41n a n =-

D ．41n a n =+

7．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 父亲身高x （cm ）

174

176

176

176

178

儿子身高y （cm ）

175

175

176

177

177

则y 对x 的线性回归方程为 A ．y = x-1

B ．y = x+1

C ．y =88+

12

x D ．y = 176

8．记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大者，设函数

{}2()max 42,,3f x x x x x =-+---，若()1f m <，则实数m 的取值范围是（ ）

A ．(1,1)

(3,4)- B ．(1,3)

C ．(1,4)-

D ．(,1)(4,)-∞-+∞

9．函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为（ ） A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

10．若函数()(),1

231,1

x a x f x a x x ?>?=?-+≤??是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )

A ．2,13??

???

B ．3,14??

????

C ．23,34??

???

D ．2,3??

+∞

???

11．在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面

1ACC A 所成角的大小为（ ）

A ．30

B ．45

C ．60

D ．90

12．在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，7b =，8c =，则

A C +=

A ．90?

B ．120?

C ．135?

D ．150?

二、填空题

13．已知函数())

2ln 11f x x x =++，()4f a =，则()f a -=________．

14．若,2παπ??∈

???

，1sin 43πα?

?+= ???，则sin α=_________

15．函数()12x f x -的定义域是__________． 16．若

4

2

x π

π

<<

，则函数3

tan 2tan y x x =的最大值为 ．

17．已知函数2,()24,x x m

f x x mx m x m

?≤=?

-+>? 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的

方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 18．如图，棱长均为2的正四棱锥的体积为_______．

19．已知复数z x yi =+，且23z -=，则

y

x

的最大值为__________． 20．已知函数2

()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m

的取值范围为 .

三、解答题

21．某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示． 组号 分组

频数 频率

第1组 [)160,165 5 0.050 第2组 [)165,170 ① 0.350

第3组 [)170,175 30 ②

第4组 [)175,180 20 0.200 第5组

[)180,185

10

0.100

（1）请先求出频率分布表中,①②位置的相应数据，再完成频率分布直方图； （2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试； （3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，

求：第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率．

22．a b c 分别为ABC ?内角A 、B 、C 的对边，已知tan 3sin a B b A =. （1）求cos B ；

（2）若3a =，17b =，求ABC ?的面积.

23．如图所示，一座小岛A 距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东

12km 处有一城镇B .一年青人从小岛A 出发，先驾驶小船到海岸线上的某点C 处，再沿海岸线步行到城镇B .若PAC θ∠=，假设该年青人驾驶小船的平均速度为2/km h ，步行速度为4/km h .

（1）试将该年青人从小岛A 到城镇B 的时间t 表示成角θ的函数； （2）该年青人欲使从小岛A 到城镇B 的时间t 最小，请你告诉他角θ的值.

24．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x ，y.奖励规则如下：

①若3xy ≤，则奖励玩具一个； ②若8xy ≥，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶.

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. （Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；

（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由. 25．已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n

n a b n

=． （1）求123b b b ，

，；

（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．

26．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，

222)ac a b c =--.

（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：根据题意由13≤成立，则循环，即133

1,2,,2222

M a b n =+

====;又由23≤成立，则循环，即2838

2,,,33323

M a b n =+

====;又由33≤成立，则循环，即3315815,,,428838M a b n =

+====;又由43≤不成立，则出循环，输出15

8M =． 考点：算法的循环结构

2．D

解析：D 【解析】 【分析】

先用AB 和AC 表示出2

A A

B B

C AB C AB ?=?-， 再根据，1

2

BD DC =

用用AB 和AC 表示出AD ，再根据4AD AC ?=求出A AB C ?的值，最后将A AB C ?的值代入2

A A

B B

C AB C AB ?=?-，，从而得出答案． 【详解】

()

2

A =A A

B B

C AB C AB AB C AB ?=?-?-，

∵1

2

BD DC =

，

∴111B C ?C B 222

AD A A AD AD A AD A -=-=-+（）， 整理可得：1

2

AB 3

3

AD AC +＝， 221

A A 433

AD AC AB C C ∴??+=＝

∴ A =-12AB C ?，

∴2

=A =122537AB BC AB C AB ??---=-．， 故选：D ． 【点睛】

本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．

3．B

解析：B 【解析】 试题分析：由题

，

，所以

．

试题解析：由已知

，

又因为???y

bx a =+，???0.76,b a y bx ==- 所以

，即该家庭支出为

万元．

考点：线性回归与变量间的关系．

4．A

解析：A 【解析】

试题分析：由程序框图知第一次运行112,224k S =+==+=，第二次运行

213,8311k S =+==+=，第三次运行314,22426k S =+==+=，第四次运行4154,52557k S =+=>=+=，输出57S =，所以判断框内为4?k >，故选C.

考点：程序框图.

5．D

解析：D 【解析】

试题分析：由得，所以，因为，所以

，故选D.

【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算

【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.

6．C

解析：C 【解析】

分类讨论：当1n =时，11213a S ==+=，

当2n ≥时，2

2

1(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -??=-=+--+-=-??， 且当1n =时：1414113n a -=?-== 据此可得，数列的通项公式为：41n a n =-. 本题选择C 选项.

7．C

解析：C 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：由已知可得176,176x y ==∴中心点为()176,176， 代入回归方程验证可知，只有方程y =88+

1

2

x 成立，故选C 8．A

解析：A 【解析】 【分析】

画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可． 【详解】

函数()f x 的图象如图，

直线1y =与曲线交点(1,1)A -，()1,1B ，()3,1C ，()4,1D ， 故()1f m <时，实数m 的取值范围是11m -<<或34m <<.

故选A. 【点睛】

本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型.

9．B

解析：B 【解析】 【分析】

可采用构造函数形式，令()()()35

lg 1,1

x h x x g x x +=+=-，采用数形结合法即可求解 【详解】

由题可知，1x >-，当1x =时，()80f x =-≠， 令358

()(1)lg(1)350lg(1)311

x f x x x x x x x +=-+--=?+==+--， 令()()()35

lg 1,1

x h x x g x x +=+=

-，画出函数图像，如图：

则两函数图像有两交点，故函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为2个 故选：B 【点睛】

本题考查函数零点个数的求解，数形结合思想，属于中档题

10．C

解析：C 【解析】 【分析】

由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】

当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，

当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23

a >， 且在1x =处，有：()1

2311a a -?+≥，解得：34

a ≤

， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34??

???

.

本题选择C 选项. 【点睛】

对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．

11．A

解析：A 【解析】 【分析】

由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ，求得1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，在1BC O ?中，即可求解． 【详解】

由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ,

因为正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1， 所以1,BO

AC BO AA ⊥⊥，

因为1AC AA A ?=，所以BO ⊥平面11ACC A ， 所以1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角， 因为222113131(),(2)()222

BO C O =-=

=+=， 所以1133

2tan 32

BO BC O OC ∠===

， 所以0

130BC O ∠=，1BC 与侧面11ACC A 所成的角030．

【点睛】

本题主要考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中空间几何体的线面位置关系，得到1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化与化归思想，属于中档试题．

12．B

解析：B

【分析】

由已知三边，利用余弦定理可得1

cos 2

B =，结合b c <，B 为锐角，可得B ，利用三角形内角和定理即可求A

C +的值． 【详解】 在ABC ?中，

5a =，7b =，8c =，

∴由余弦定理可得：2222564491

cos 22582

a c

b B a

c +-+-===??，

b c <，故B 为锐角，可得60B =?，

18060120A C ∴+=?-?=?，故选B ． 【点睛】

本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．

二、填空题

13．【解析】【分析】发现计算可得结果【详解】因为且则故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质由函数解析式计算发现是关键属于中档题 解析：2-

【解析】 【分析】

发现()()f x f x 2+-=，计算可得结果. 【详解】

因为()()))()2

2

f x f x ln

x 1ln

x 1ln 122x x +-=+++=+-+=，

()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.

故答案为-2 【点睛】

本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现()()f x f x 2+-=是关键，属于中档题.

14．【解析】【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可【详解】因为故故答案为：【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负同时也要利用两角和的正弦公式属

【解析】 【分析】

利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可.

因为1sin 43πα??

+

= ??

?,,2παπ??∈ ???,故cos 43πα??+==- ??? sin sin cos cos s s in 44i 44n 44ππππππαααα?????

?+-=+-+ ? ? ??????

?=

1sin cos 443ππαα???????

?=

+-+=-=?? ? ?? ????????????

.

【点睛】

本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法,同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负,同时也要利用两角和的正弦公式,属于中等题型.

15．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为 解析：(],0-∞

【解析】

由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.

16．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值

解析：-8 【解析】 试题分析：

2tan 1tan 1,4

2

x

x x π

π

∴∴设2tan t x =

()()()2

22141222

2142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-?-=----当且仅当

2t =时成立

考点：函数单调性与最值

17．【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示要满足存在实数b 使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根则解得故m 的取值范围是【考点】分段函数函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质函数

解析：()3+∞，

【解析】

试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则24m m m -<，解得3m >，故m 的取值范围是(3,)+∞.

【考点】分段函数，函数图象

【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.

18．【解析】在正四棱锥中顶点S 在底面上的投影为中心O 即底面ABCD 在底面正方形ABCD 中边长为2所以OA=在直角三角形SOA 中所以故答案为 解析：

42

3

【解析】

在正四棱锥中，顶点S 在底面上的投影为中心O ，即SO ⊥底面ABCD ，在底面正方形ABCD 中，边长为2，所以OA=2，在直角三角形SOA 中

()

2

222

222SO SA OA =-=-

=

所以1122233V sh =

=???=

42

3 故答案为

42

3

19．【解析】【分析】根据复数z 的几何意义以及的几何意义由图象得出最大值【详解】复数且复数z 的几何意义是复平面内以点为圆心为半径的圆的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：即的最大值为故答案为： 解析：

【解析】 【分析】

根据复数z 的几何意义以及y

x

的几何意义，由图象得出最大值. 【详解】

复数z x yi =+且23z -=z 的几何意义是复平面内以点(2,0)3为半径的圆2

2

(2)3x y -+=.

y

x

的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率

由图可知：max

331y x ??== ??? 即

y

x

3 3【点睛】

本题主要考查了复数的几何意义的应用，属于中档题.

20．【解析】【分析】【详解】因为函数的图象开口向上的抛物线所以要使对于任意的都有成立解得所以实数的取值范围为【考点】二次函数的性质

解析：22??- ? ???

【解析】 【分析】 【详解】

因为函数2

()1f x x mx =+-的图象开口向上的抛物线， 所以要使对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <成立，

()22

2

()10(1)1(1)10f m m m f m m m m ?=+-

，解得2

0m <<， 所以实数m 的取值范围为22??

- ? ???

．

【考点】 二次函数的性质．

三、解答题

21．（1）①35人，②0.300，直方图见解析；（2）3人、2人、1人；（3）35

. 【解析】 【分析】

（1）由频率分布直方图能求出第2组的频数，第3组的频率，从而完成频率分布直方图． （2）根据第3,4,5组的频数计算频率，利用各层的比例，能求出第3,4,5组分别抽取进入第二轮面试的人数．

（3）设第3组的3位同学为123,,A A A ，第4组的2位同学为12,B B ，第5组的1位同学为

1C ，利用列举法能出所有基本事件及满足条件的基本事件的个数，利用古典概型求得概

率． 【详解】

（1）①由题可知，第2组的频数为0.3510035?=人，

②第3组的频率为

30

0.300100

=， 频率分布直方图如图所示，

（2）因为第3,4,5组共有60名学生，

所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为： 第3组： 30

6360

?=人， 第4组：人，

第5组：

10

6160

?=人， 所以第3,4,5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．

（3）设第3组的3位同学为123,,A A A ，第4组的2位同学为12,B B ，第5组的1位同学为

1C ，

则从这六位同学中抽取两位同学有15种选法，分别为：12,A A （），13,A A （），11,A B （），12,A B （），11,A C （），23,A A （），21,A B （），22,A B （），21,A C （），31,A B （），32,A B （），31,A C （），12,B B （），11,B C （），21,B C （），

其中第4组的2位同学12,B B 中至少有一位同学入选的有9种，分别为：

11122122A B A B A B A B （，），（，），（，），（，），

31321211A B A B B B B C （，），（，），（，），（，），21B C （，），

∴第4组至少有一名学生被A 考官面试的概率为93

155

=． 【点睛】

本题考查频率分直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，是基础题．

22．（1）1

cos 3

B =；（2）. 【解析】 【分析】

（1）利用正弦定理边角互化思想以及切化弦的思想得出cos B 的值；

（2）利用余弦定理求出c 的值，并利用同角三角函数的平方关系求出sin B 的值，最后利用三角形的面积公式即可求出ABC ?的面积. 【详解】

（1）因为tan 3sin a B b A =，所以sin tan 3sin sin A B B A =， 又sin 0A >，所以

sin 3sin cos B

B B =，因为sin 0B >，所以1cos 3

B =； （2）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，则2

1

179233

c c =+-???， 整理得2280c c --=，0c >，解得4c =.

因为1cos 3B =

，所以sin 3

B ==，

所以ABC ?的面积1

sin 2

S ac B == 【点睛】

本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题. 23．（1）1tan 3cos 2

t θθ=+-；（2）6π

【解析】 【分析】

（1）根据直角三角形的边角关系求出AC 和BC 的值，再求t 关于θ的函数解析式；（2）根据t 的解析式，结合三角函数的性质求出t 的最小值以及对应θ的值． 【详解】

（Ⅰ）由题意知，AP PB ⊥，2AP =，02

π

θ<<

，

所以2tan PC θ=，2

cos AC θ

=，122tan BC θ=-， 所以t 关于θ的函数为 2122tan 1tan 3242cos 4cos 2

AC BC t θθ

θθ-=

+=+=+-； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1tan 2sin 33cos 2cos t θθ

θθ

-=+-=+， 令2sin 0cos y θ

θ

-=>，则22sin 2cos 14y y θθ=++

解得3y ，当且仅当1sin ,cos 2θθ= 即6

π

θ=

时，所花时间t 最小．

【点睛】

本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数图象与性质的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 24．（Ⅰ）5

16

.（Ⅱ）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 【解析】 【分析】 【详解】

（Ⅰ）两次记录的所有结果为（1,1），（1,,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），

（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个． 满足xy≤3的有（1,1），（1,,2），（1,3），（2,1），（3,1），共5个，所以小亮获得玩具的概率为

516

． （Ⅱ） 满足xy≥8的有（2,4），（3,,3），（3,4），（4,2），（4,3），（4,4），共6个，所以小亮获得水杯的概率为616

； 小亮获得饮料的概率为565

1161616

-

-=，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率． 25．（1）11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．理由见

解析；（3）1

2n n a n -=?.

【解析】 【分析】

（1）根据题中条件所给的数列{}n a 的递推公式()121n n na n a +=+，将其化为

()121n n n a a n

++=

，分别令1n =和2n =，代入上式求得24a =和312a =，再利用

n

n a b n

=

，从而求得11b =，22b =，34b =； （2）利用条件可以得到

121n n

a a n n

+=+，从而 可以得出12n n b b +=，这样就可以得到数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列； （3）借助等比数列的通项公式求得12n n

a n

-=，从而求得12n n a n -=?. 【详解】

（1）由条件可得()121n n n a a n

++=

．

将1n =代入得，214a a =，而11a =，所以，24a =． 将2n =代入得，323a a =，所以，312a =． 从而11b =，22b =，34b =；

（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得

121n n

a a n n

+=+，即12n n b b +=，又11b =， 所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列； （3）由（2）可得11122n n n

n a b n

--==?=，所以12n n a n -=?． 【点睛】

该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列{}n b 的通项公式，借助于{}n b 的通项公式求得数列{}n a 的通项公式，从而求得最后的结果. 26．

（Ⅰ）5-

（Ⅱ）5

- 【解析】

试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ， 进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果. 试题解析：（Ⅰ）解：由sin 4sin a A b B =，及

sin sin a b

A B

=，得2a b =.

由)222

ac a b c

=--

，及余弦定理，得2

22

5cos 2ac

b

c a

A bc

ac +-==

=.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得sin A =

sin 4sin a A b B =

，得sin sin 4a A B b ==.

由（Ⅰ）知，A 为钝角，所以cos 5

B ==

.于是4sin22sin cos 5B B B ==，

23

cos212sin 5

B B =-=

，故

()43sin 2sin2cos cos2sin 55B A B A B A ?-=-=?-= ??

考点：正弦定理、余弦定理、解三角形

【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.