(word完整版)高中数学选修2-1第三章+空间向量与立体几何+测试题(含详解)(精华版)

高中数学选修2-1第三章+空间向量与立体几何+测试题

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)

1．向量a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a 与b 共线，则( )

A ．x ＝1，y ＝1

B ．x ＝12，y ＝－12

C ．x ＝16，y ＝－32

D ．x ＝－16，y ＝23

解析 由a ∥b 知，a ＝λb ，∴2x ＝λ，1＝－2λy,3＝9λ，∴λ＝13，x ＝16，y ＝－32.

答案 C

2．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则x 的值是( )

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

解析 a ·b ＝－3＋2x －5＝2，∴x ＝5.

答案 B

3．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m 的值为(

) A ．3 B ．2 C ．1 D.12

解析 ∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴－2＋6－2m ＝0，∴m ＝2.

答案 B

4．若a ，b 均为非零向量，则a ·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的( )

A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析 ∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，而a ·b ＝|a ||b |.

∴cos 〈a ，b 〉＝1，∴〈a ，b 〉＝0.

∴a 与b 共线．反之，若a 与b 共线，也可能a ·b ＝－|a |·|b |，因此应选B.

答案 B

5．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →

＝( )

A.23b ＋13c

B.53c －23b

C.23b －13c

D.13b ＋23c

解析 如图，AD →＝AB →＋BD →

＝AB →＋23

BC → ＝AB →＋23

(AC →－AB →) ＝13AB →＋23

AC → ＝13c ＋23

b . 答案 A

6．已知a ，b ，c 是空间的一个基底，设p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，则下列向量中可以与p ，q 一起构成空间的另一个基底的是( )

A ．a

B ．b

C ．c

D ．以上都不对

解析 ∵a ，b ，c 不共面，

∴a ＋b ，a －b ，c 不共面，∴p ，q ，c 可构成空间的一个基底．

答案 C

7．已知△ABC 的三个顶点A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( )

A ．2

B ．3 C.647 D.657

解析 BC 的中点D 的坐标为(2,1,4)，

∴AD →

＝(－1，－2,2)．

∴|AD →

|＝

1＋4＋4＝3. 答案 B

8．与向量a ＝(2,3,6)共线的单位向量是( )

A ．(27，37，67

) B ．(－27，－37，－67)

C ．(27，－37，－67)和(－27，37，67

) D ．(27，37，67)和(－27，－37，－67) 解析 |a |＝

22＋32＋62＝7，∴与a 共线的单位向量是±17

(2,3,6)，故应选D. 答案 D 9．已知向量a ＝(2,4，x )，b ＝(2，y,2)，若|a |＝6且a ⊥b ，则x ＋y 为( )

A ．－3或1

B ．3或－1

C ．－3

D ．1

解析 由|a |＝6，a ⊥b ，

得????? 4＋16＋x 2＝36，4＋4y ＋2x ＝0，解得????? x ＝4，y ＝－3，或?????

x ＝－4，y ＝1. ∴x ＋y ＝1，或－3.

答案 A

10．已知a ＝(x,2,0)，b ＝(3,2－x ，x 2)，且a 与b 的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是( )

A ．x >4

B ．x <－4

C ．0

D ．－4

解析 ∵〈a ，b 〉为钝角，∴a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉<0，即3x ＋2(2－x )<0，∴x <－4.

答案 B

11．已知空间四个点A (1,1,1)，B (－4,0,2)，C (－3，－1，0)，D (－1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 所成的角为( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

解析 设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，

∵AB →＝(－5，－1,1)，AC →

＝(－4，－2，－1)，

由n ·AB →＝0及n ·AC →

＝0，得

?????

－5x －y ＋z ＝0，－4x －2y －z ＝0，

令z ＝1， 得x ＝12，y ＝－32，∴n ＝(12，－32

，1)． 又AD →

＝(－2，－1,3)，设AD 与平面ABC 所成的角为θ，则

sin θ＝|AD →·n ||AD →||n |＝－1＋32＋314×142＝12，

∴θ＝30°.

答案 A

12．已知二面角α－l －β的大小为50°，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

解析 过点P 分别作平面α，β的垂线l 1和l 2，则l 1与l 2所成的角为130°或50°，问题转化为过点P 与直线l 1，l 2成65°角的直线有几条，与l 1，l 2共面的有一条，不共面的有2条．因此，共有3条．

答案 B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)

13．已知{i ，j ，k }为单位正交基底，且a ＝－i ＋j ＋3k ，b ＝2i －3j －2k ，则向量a ＋b 与向量a －2b 的坐标分别是________；________.

解析 依题意知，a ＝(－1,1,3)，b ＝(2，－3，－2)，则a ＋b ＝(1，－2,1)，

a －2

b ＝(－1,1,3)－2(2，－3，－2)＝(－5,7,7)．

答案 (1，－2,1) (－5,7,7)

14．在△ABC 中，已知AB →＝(2,4,0)，BC →

＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝________.

解析 cos 〈AB →，BC →〉＝AB →·BC →|AB →||BC →|＝10102＝22

， ∴〈AB →，BC →〉＝π4，∴∠ABC ＝π－π4＝3π4

. 答案 3π4

15．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，面ABD 1与面B 1BD 1所夹角的大小为________．

解析

建立空间直角坐标系D －xyz ，如图．

设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)．

∴D 1A →＝(1,0，－1)，D 1B →＝(1,1，－1)，D 1B 1→

＝(1,1,0)．

设平面ABD 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面B 1BD 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则由m ·D 1A →

＝0，m ·D 1B →＝0，可得m ＝(1,0,1)，由n ·D 1B →＝0，n ·D 1B 1＝0，得n ＝(1，－1,0)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝12.∴所求二平面的大小为60°.

答案 60°

16．在下列命题中：①若a ，b 共线，则a ，b 所在的直线平行；②若a ，b 所在的直线是异面直线，则a ，b 一定不共面；③若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量一定也共面；④已知三向量a ，b ，c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中不正确的命题为________．

解析 ①a ，b 共线，包括a 与b 重合，所以①错．

②空间任意两个向量均共面，所以②错．

③以空间向量的一组基底{a ，b ，c }为例，知它们两两共面，但它们三个不共面，所以③错．

④当与a ，b ，c 共面时，不成立，所以④错．

答案 ①②③④

三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、

证明过程或演算步骤)

17．(10分)如图，空间四边形OABC 中，E ，F 分别为OA ，BC 的中点，

设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示EF →

.

解 EF →＝EO →＋OF →＝－12OA →＋12(OB →＋OC →)＝－12a ＋12b ＋12

c .

18．(12分)设a 1＝2i －j ＋k ，a 2＝i ＋3j －2k ，a 3＝－2i ＋j －3k ，a 4＝3i ＋2j ＋5k ，试问是否存在实数a ，b ，c 使a 4＝a a 1＋b a 2＋c a 3成立？如果存在，求出a ，b ，c 的值；如果不存在，请说明理由．

解 假设a 4＝a a 1＋b a 2＋c a 3成立．

由已知a 1＝(2，－1,1)，a 2＝(1,3，－2)，

a 3＝(－2,1，－3)，a 4＝(3,2,5)，可得

(2a ＋b －2c ，－a ＋3b ＋c ，a －2b －3c )＝(3,2,5)．

∴????? 2a ＋b －2c ＝3，－a ＋3b ＋c ＝2，

a －2

b －3

c ＝5，

解得：a ＝－2，b ＝1，c ＝－3.

故有a 4＝－2a 1＋a 2－3a 3.

综上知，满足题意的实数存在，

且a ＝－2，b ＝1，c ＝－3.

19．(12分)四棱柱ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝5，AD ＝3，AA ′＝7，∠BAD ＝60°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝45°，求AC ′的长．

解 AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→

，

∴(AC ′→)2＝(AB →＋AD →＋AA ′→

)2

＝AB →2＋AD →2＋AA ′→2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA ′→＋AD →·AA ′→

)

＝25＋9＋49＋2(5×3cos60°＋5×7cos45°＋3×7cos45°)

＝98＋56 2.

∴|AC ′→

|＝98＋562，

即AC ′的长为

98＋56 2. 20．(12分)如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，

AB ＝2，PC 与平面ABCD 所成角是45°，F 是AD 的中点，M 是

PC 的中点．

求证：DM ∥平面PFB .

证明 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，由PC

与平面ABCD 所成的角为45°，即∠PCD ＝45°，得PD ＝2，则

P (0,0,2)，C (0,2,0)，B (2,2,0)，F (1,0,0)，D (0,0,0)，M (0,1,1)，

∴FB →＝(1,2,0)，FP →＝(－1,0,2)，DM →

＝(0,1,1)．

设平面PFB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则

∴????? FB →·

n ＝0，FP →·n ＝0，即?????

x ＋2y ＝0，－x ＋2z ＝0. 令y ＝1，则x ＝－2，z ＝－1.

故平面PFB 的一个法向量为n ＝(－2,1，－1)．

∵DM →·n ＝0，∴DM →

⊥n .

又DM ?平面PFB ，则DM ∥平面PFB .

21．(12分)如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1

＝2AB ＝4，点E 在C 1C 上，且C 1E ＝3EC .

(1)证明A 1C ⊥平面BED ；

(2)求二面角A 1－DE －B 的余弦值．

解 以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .

依题设B (2,2,0)，C (0,2,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,4)．

DE →＝(0,2,1)，DB →

＝(2,2,0)，

A 1C →＝(－2,2，－4)，DA 1→

＝(2,0,4)．

(1)∵A 1C →·DB →＝0，A 1C →·DE →

＝0，

∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE .

又DB ∩DE ＝D ，

∴A 1C ⊥平面DBE .

(2)设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则n ⊥DE →

、

n ⊥DA 1→

.

∴2y ＋z ＝0,2x ＋4z ＝0.

令y ＝1，则z ＝－2，x ＝4，

∴n ＝(4,1，－2)．

∴cos 〈n ，A 1C →〉＝n ·A 1C →|n ||A 1C →|

＝1442

. ∵〈n ，A 1C →

〉等于二面角A 1－DE －B 的平面角，

∴二面角A 1－DE －B 的余弦值为

1442

.

22．(12分)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别

是BB 1，CD 的中点．

(1)证明：平面AED ⊥平面A 1FD 1；

(2)在AE 上求一点M ，使得A 1M ⊥平面DAE .

解 (1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，不妨设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，E (2,2,1)，F (0,1,0)，A 1(2,0,2)，D 1(0,0,2)．

设平面AED 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则

????? n 1·DA →＝x 1，y 1，z 1·2，0，0＝0，n 1·DE →＝x 1，y 1，z 1·2，2，1＝0.

∴?????

2x 1＝0，

2x 1＋2y 1＋z 1＝0.

令y 1＝1，得n 1＝(0,1，－2)．

同理可得平面A 1FD 1的法向量n 2＝(0,2,1)．

∵n 1·n 2＝0，∴平面AED ⊥平面A 1FD 1.

(2)由于点M 在AE 上，

∴可设AM →＝λAE →

＝λ(0,2,1)＝(0,2λ，λ)，

可得M (2,2λ，λ)，于是A 1M →

＝(0,2λ，λ－2)．

要使A 1M ⊥平面DAE ，需A 1M ⊥AE ，

∴A 1M →·AE →＝(0,2λ，λ－2)·(0,2,1)＝5λ－2＝0，得λ＝25

. 故当AM ＝25AE 时，即点M 坐标为(2，45，25

)时，A 1M ⊥平面DAE .