常微分方程第四章
3.4 n 阶常系数线性齐次微分方程的解法
对于齐次方程（3.4）而言，只要能得到该方程的一个基本解组，即，n 个线性无关的解
)(,),(),(21x y x y x y n
我们就能得到方程（3.4）的通解.但是，对于一般的n 阶线性齐次微分方程，它的基本解组很难找到.可是，当齐次方程（3.4）的系数),,2,1)((n i x p i =都是实常数时，求它的基本解组的问题却可以转化为求一个一元n 次多项式方程根的问题.如果能够求得这个一元n 次多项式方程的所有根，就能得到方程（3.4）的基本解组，从而也就得到了方程（3.4）的通解了.
形如
)(1)1(1)(x f y p y p y p y n n n n =+'+++--
的方程（其中),,2,1(n i p i =均为实常数），称为n 阶常系数线性微分方程.如果 0)(=x f ，即
01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n
称为n 阶常系数线性齐次微分方程.如果0)(≠x f ，称为n 阶常系数线性非齐次微分方程.本节主要介绍n 阶常系数线性齐次微分方程的解法，先研究一阶常系数线性齐次微分方程
0=+'py y
这是一个变量可分离的方程，采用初等积分法，可求得该方程的一个非零解
px e x y -=)(.
因为方程是一阶的，所以基本解组中只含有一个解，即px e x y -=)(.
对于n 阶常系数线性齐次微分方程而言，我们猜想该方程也有形如
x e x y λ=)(
的解，其中λ是待定常数.为了确定λ，可以将x e x y λ=)(代入方程
01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n .
这时，需要计算y 的各阶导数)(,,,n y y y '''
),,2,1(,)(n i e y x i i ==λλ
代入方程得：
0)(111=++++--x n n n n e p p p λλλλ
因为0>x e λ，所以有
0111=++++--n n n n p p p λλλ
该一元n 次方程称为常系数线性微分方程的特征方程.该方程的根，称为线性微分方程的特征根.
x e x y λ=)(是n 阶常系数线性齐次微分方程的解，当且仅当λ是线性微分方程的特征根.这样，求n 阶常系数线性齐次微分方程的解，就转化为求特征方程的特征根的问题了.
下面根据特征根的情况来讨论常系数线性齐次微分方程的解.
1、特征根互异
首先，假设特征方程有n 个互异的实根n λλλ,,,21 .这时，就可以得到相对
应的n 个解
x n x x n e x y e x y e x y λλλ===)(,,)(,)(2121
因为n λλλ,,,21 两两互异，所以
x n x x n e x y e x y e x y λλλ===)(,,)(,)(2121
是n 个线性无关的解，即，它们就是齐次微分方程的基本解组，所以齐次微分方程的通解为
x n x x n e C e C e C x y λλλ+++= 2121)(.
其中n C C C ,,,21 是任意常数.
例1 求方程
23=+'+''y y
的通解.
解 特征方程为
0232=++λλ
即
0)2)(1(=++λλ
从而，特征根为
2,121-=-=λλ 基本解组为
x x e x y e x y 221)(,)(--==
因此方程的通解为
x x e C e C x y 221)(--+= 其中21,C C 是任意常数.
例2 求方程
045=+'-''y y y 的通解及满足初始条件：
4)0(,1)0(='=y y 的特解. 解 特征方程为
0452=+-λλ 即
0)4)(1(=--λλ 从而，特征根为
4,121==λλ 基本解组为
x x e x y e x y 421)(,)(==
因此方程的通解为 x
x e
C e C x y 421)(+=
其中21,C C 是任意常数.
下面来求满足初始条件的特解，将初始条件代入
x x e C e C x y 421)(+=
x x e C e C x y 4214)(+='
得
???=+=+44121
21C C C C 所以1,021==C C ，因此所求的特解为
x e x y 4)(=.
其次，互异的特征根中含有复根，即n λλλ,,,21 中有复数，不妨设bi a k +=λ（b a ,为实数）.这时，bi a k +=λ所对应的解为
x k e x y λ=)(.
由于bi a k +=λ为复数，
x k e λ应该如何定义呢？定义之后x k e x y λ=)(的求导与k λ为实数时的求导计算是否相同呢？下面我们来解决这些问题.
给出复数的代数形式后，我们可以转化为三角形式，例如
)sin (cos θθi r bi a z +=+= 其中a
b b a r arctan ,22=+=θ. 同时，复数也可以写成指数形式，即
θθθi r i r i e e e re bi a z +===+=ln ln
所以有
)sin (cos )sin (cos ln ln θθθθθi r i e e r i r +=+=+
于是有
)sin (cos )(bx i bx e e e ax x bi a x k +==+λ.
有了定义之后，我们来研究k λ为复数与k λ为实数时的求导计算是否相同.
性质1.无论α是实数还是复数，总有
x x e e ααα=')(.
证明 当α为实数时，上述结论是已知的.那么我们证明α为复数的情形，设bi a +=α，b a ,为实数.因为
)sin (cos )(bx i bx e e e ax x bi a x +==+α
所以
)cos sin ()sin cos ()sin ()cos ()(bx b bx a ie bx b bx a e bx e i bx e e ax ax ax ax x ++-='+'='α x ax ax e bi a bx i bx e b bx i bx i bx i bx a e αα=++=+++=))(sin (cos ])sin (cos )sin (cos [. 由性质1，可得：无论α是实数还是复数，总有
x n n x e e ααα=)()(.
性质2.无论α是实数还是复数，对任意实数k ，总有
x k k x k e x kx e x ααα)()(1+='-.
证明 当α为实数时，上述结论是已知的.那么我们证明α为复数的情形，设bi a +=α，b a ,为实数.这时
)sin (cos )(bx i bx e x e x e x ax k x bi a k x k +==+α
所以
)sin ()cos ()('+'='bx e x i bx e x e x ax k ax k x k α
)]cos sin (sin [)]sin cos (cos [11bx b bx a e x bx e kx i bx b bx a e x bx e kx ax k ax k ax k ax k +++-+=--])sin (cos )sin (cos [)sin (cos 1b bx i bx i bx i bx a e x bx i bx e kx ax k ax k +++++=-
))(sin (cos )sin (cos 1bi a bx i bx e x bx i bx e kx ax k ax k ++++=-
x k k e x kx αα)(1+=-.
有了上述定义和性质，bi a k +=λ所对应的解为
)sin (cos )(bx i bx e e x y ax x k +==λ
是满足常系数线性齐次微分方程的.但是，这个解是复数形式的解，下面给出复
解的概念，并把复解实数化.
定义3.4 函数)(),(x v x u 都是实数函数，设复值函数
)()()(x iv x u x y +=
是常系数线性齐次微分方程
01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n
的解，则称复值函数)(x y 为方程的复解.
定理3.11设复值函数
)()()(x iv x u x y +=
是常系数线性齐次微分方程
01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n
的解，则复值函数的实部)(x u 和虚部)(x v 都是方程的解.
证明 因为复值函数)()()(x iv x u x y +=是常系数线性齐次微分方程
01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n
的解，所以有
0))()(())()(())()(())()((1)1(1)(=++'++++++--x iv x u p x iv x u p x iv x u p x iv x u n n n n 即
0))()(())()((]))(())([())(())((1)1()1(1)()(=++'+'+++++---x iv x u p x v i x u p x v i x u p x v i x u n n n n n n 即
)())(())([()]()())(())([(1)1(1)(1)1(1)(x v p x v p x v i x u p x u p x u p x u n n n n n n n '+++++'+++---- 0)](=+x v p n
所以
0)()())(())((1)1(1)(=+'+++--x u p x u p x u p x u n n n n
0)()())(())((1)1(1)(=+'+++--x v p x v p x v p x v n n n n
即，实部)(x u 和虚部)(x v 都是方程的解.
我们继续讨论互异特征根中含有复数的情形，如果互异特征根中含有一个复数bi a k +=λ，则该复数根对应一个复解
)sin (cos bx i bx e y ax +=
而该复解的实部函数bx e x u ax cos )(=和虚部函数bx e x v ax sin )(=都是齐次方程的解，即，该复根bi a k +=λ对应齐次方程的两个解.下面有两个问题需要解决：
（1）一个复特征根对应两个解，则解的个数会多于n 个，怎么处理？
（2）将复解实数化后得到的解，与实特征根所对应的解组成的函数组是不是基本解组呢？
因为方程
01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n
的系数),,2,1(n i p i =全为实数，所以特征方程就是实系数的，因此，特征根出现复根时，必是共轭出现的.即，bi a +是特征根，则bi a -也是特征根.这样，复解是成对出现的，bi a -所对应的复解为
)sin (cos bx i bx e y ax -=
这时，它的实部函数和虚部函数同bi a k +=λ的所对应的复解的实部函数和虚部函数等价，因此，这一对共轭的特征根bi a ±=λ对应两个解.故解的个数不会增加，仍然是n 个.而且，实部函数和虚部函数可以由bi a ±=λ所对应的两个复解
)sin (cos )(1bx i bx e x y ax +=和)sin (cos )(1bx i bx e x y ax -=
来表示，即
)]()([2
1)]sin (cos )sin (cos [21cos )(21x y x y bx i bx e bx i bx e bx e x u ax ax ax +=-++== )]()([21)]sin (cos )sin (cos [21sin )(21x y x y i
bx i bx e bx i bx e i bx e x v ax ax ax -=--+== 下面来解决第二个问题，将复解实数化后与实特征根所对应的解组成的函数组仍然是线性无关，从而仍然为齐次方程的基本解组.
定理 3.12 如果)(,)(),(),(321x y x y x y x y n 是在区间),(b a 上的n 个线性无关的函数，
21,k k 是两个非零常数，则函数组
)(,),()),()(()),()((3212211x y x y x y x y k x y x y k n -+
在区间),(b a 上仍是线性无关的.
证明 设函数组)(,)()),()(()),()((3212211x y x y x y x y k x y x y k n -+的线性组合等于零.即
0)()())()(())()((3321222111=+++-++x y C x y C x y x y k C x y x y k C n n
即
0)()()()()()(332221112211=+++-++x y C x y C x y k C k C x y k C k C n n
因为函数组)(,)(),(),(321x y x y x y x y n 是线性无关的，所以
0,0,0322112211====-=+n C C k C k C k C k C
因为21,k k 不为零，由0,022112211=-=+k C k C k C k C 可得：
021==C C
所以
0321=====n C C C C
因此，函数组)(,),()),()(()),()((3212211x y x y x y x y k x y x y k n -+在区间),(b a 上仍是线性无关的.
解决了上述问题后，互异特征根出现一个复根时，则与它共轭的复数也是特征根，这一对特征根对应一对实数解，而且得到的新函数组仍然为基本解组.如果出现两对共轭的特征根，则会对应两对实数解，而且得到的新函数组仍然为基本解组，依次类推，遇到复数特征根都可以将它所对应的复解实数化. 例3 求方程
044=+'+''+'''y y y y
的通解.
解 特征方程为
4423=+++λλλ
即
0)4)(1(2=++λλ
从而，特征根为
i 2,13,21±=-=λλ
基本解组为
x x y x x y e x y x 2sin )(,2cos )(,)(321===-
因此方程的通解为
x C x C e C x y x 2sin 2cos )(321++=-
其中321,,C C C 是任意常数.
例4求方程
05262)4(=+'+''+'''+y y y y y
的通解.
解 特征方程为
05262234=++++λλλλ
即
0)52)(1(22=+++λλλ
从而，特征根为
i i 21,4,32,1±-=±=λλ
基本解组为
x e x y x e x y x x y x x y x x 2sin )(,2cos )(,sin )(,cos )(4321--==== 因此方程的通解为
x e C x e C x C x C x y x x 2sin 2cos sin cos )(4321--+++=
其中4321,,,C C C C 是任意常数.
2、特征根有重根
设1λ是)1(n k k ≤<重特征根（1λ为实数或复数），则1λ对应着齐次方程的一
个解
x e x y 1)(1λ=.但是，1λ是k 重特征根，相当于k 个特征根，只得到了一个解.这时
得到的线性无关解的个数会少于n 个，构不成基本解组.所以k 重特征根1λ应该对应k 个线性无关的解，那除了x e x y 1)(1λ=外还应补上1-k 个解，应该补上哪些解呢？我们先研究二阶常系数线性齐次微分方程有重根的情形. 设二阶齐次方程为
0=+'+''qy y p y
其中q p 42=. 特征方程为
02=++q p λλ
特征根为
2
2,1p -
=λ 则得到二阶齐次方程的一个非零解
x p e
x y 2
1)(-=.
利用刘维尔公式可求得与x p e
x y 2
1)(-=线性无关的另一个解)(2x y ，
x p px px
x p pdx xe dx e
e e dx x y e x y x y 222112)()()(-----==?
=??
即，当2
1p
-=λ是二重特征根时，除了对应解x p
e x y 21)(-=之外，还对应另外一个
与x p e x y 2
1)(-=线性无关的解x p xe
x y 2
2)(-=.
与二阶方程类似，我们猜想，当1λ是k 重特征根时，对应的k 个线性无关的解为
x k k x x e x x y xe x y e x y 111121)(,,)(,)(λλλ-===
下面来证明这个猜想，即证明),,2,1()(11k i e x x y x i i ==-λ是n 阶常系数线性齐次方程
01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n
的解.
首先，特征方程为
0111=++++--n n n n p p p λλλ
记n n n n p p p P ++++=--λλλλ111)( ，因为1λ是k 重特征根，所以
0)()()(1)1(11==='=-λλλk P P P 且0)(1)(≠λk P
下面求),,2,1()(11k i e x x y x i i ==-λ的各阶导数，由牛顿—莱布尼兹公式得：
x i i i n i n i n n i n n i n n i e x C x C x C x x y 1])()()([))(()1(1)
1(111212111111)(λλλλλ----------++''+'+= x i i i n i n i n n i n n i n n i e x C x C x C x x y 1])()()([))(()1(1)1(11
111312112111111)1(λλλλλ----------------++''+'+= ………………………………………………………………………………………………………
x i i i e x x x y 1])([))((111λλ'+='--
代入i n i n n i n i y p y p y p y +'+++--1)1(1)( 得
x i i i i i i e x P x P x P x P 1]))(())(())(()([)1(11)1(111111λλλλλ------++''''+''+
因为k i ,,2,1 =，所以
0)()()(1)1(11==='=-λλλi P P P
因此
01)1(1)(=+'+++--i n i n n i n i y p y p y p y
故),,2,1()(11k i e x x y x i i ==-λ是n 阶常系数线性齐次方程
01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n
的解.
以上只讨论了1λ是重根的情形，对于一般的情形，我们有如下的定理. 定理3.13 如果方程
01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n
有两两互异的特征根t λλλ,,,21 ，它们的重数分别为1,,,,21≥i t m m m m ，且
n m m m t =+++ 21，则齐次方程的基本解组为
x
m m x x e x x y xe x y e x y 11111121)(,,)(,)(λλλ-===
x m m m x m x m e x x y xe x y e x y 22212121121)(,,)(,)(λλλ-+++=== ……………………………………………………………
x m n x m n x m n t t t t t t e x x y xe x y e x y λλλ121)(,,)(,)(-+-+-=== .
证明 由上述论证，函数组中的每一个函数都是齐次方程的解.现在只需要证明它们是线性无关的函数组. 设函数组的线性组合等于零，即
][11111121x m m x x e x C xe C e C λλλ-+++ ][22212121121x m m m x m x m e x C xe C e C λλλ-+++++++ 0][121=+++++-+-+-x m n x m n x m n t t t t t t e x C xe C e C λλλ . 整理可得：
x m m e x C x C C 111][121λ-+++ +++++-+++x m m m m m e x C x C C 222111][121λ 0][121=++++-+-+-x m n m n m n t t t t e x C x C C λ . 即
x m e x P 11)(λ ++x m e x P 22)(λ0)(=+x m t t e x P λ.
假设n C C C ,,,21 至少有一个不为零，则)(,),(),(21x P x P x P t m m m 中至少有一个不是零多项式，不妨假定)(x P t m 不恒为零.而)1,,2,1)((-=t i x P i m 至多为1-i m 次多项式，在
x m e x P 11)(λ ++x m e x P 22)(λ0)(=+x m t t e x P λ.
两边同时乘以x e 1λ-得
)(1x P m ++-x m e x P )(122)(λλ0)()(1=+-x m t t e x P λλ.
对上式关于x 求1m 次导数，这时有
0))(()(11=m m x P
x m m x m e x P e x P )()
1()()(122
1122)())((λλλλ--= ………………………………………
x m m x m t t
t t e x P e x P )()1()()(111)())((λλλλ--= （其中)()1(x P i
m 是与)(x P i m 同次数的多项式),,2(t i =） 所以，上式化为
0)()()()1()()1(1122=++--x m x m t t
e x P e x P λλλλ 再在两边同时乘以x e )(21λλ-得
0)()()()1()1(22=++-x m m t t
e x P x P λλ 对上式关于x 求2m 次导数，这时有
0))(()(22=m m x P
………………………………………
x m m x m t t
t t e x P e x P )()2()()()1(222)())((λλλλ--= 所以上式化为
0)(0)()2(2=++-x m t t
e x P λλ 序行此法，最后可得
0)()()1(1=---x t m t t t
e x P λλ 而0)(1≠--x t t e λλ，所以0)()1(=-x P t m t
，故0)(=x P t m ，这与)(x P t m 不恒为零矛盾.因此假设不成立，即n C C C ,,,21 全为零.
所以，函数组是线性无关的，从而是基本解组.
由定理 3.13，我们得到了方程的基本解组，从而可以写出齐次方程的通解为
][)(11111121x m m x x e x C xe C e C x y λλλ-+++= +++++x m x m xe C e C 212121[λλ
][]12112221x m n x m n x m n x m m m t t t t t t e x C xe C e C e x C λλλλ-+-+--+++++++ .
如果在上述基本解组中，出现了复解，那么同单根的情形一样，可以取其实部函数和虚部函数，将复解实数化.例如bi a +=1λ是1m 重的特征根，则与其共轭的复数bi a -=2λ也是1m 重的特征根，这一对共轭的特征根会对应12m 个复解
常微分方程四、五章作业答案 (1)
《常微分方程》第四、五章作业答案 第四章 1．证明：由题可知()t x 1，()t x 2分别是方程（1），（2）的解 则：()()() ()()()t f t x t a dt t x d t a dt t x d n n n n n 111 1111=+++--Λ （3） ()()() ()()()t f t x t a dt t x d t a dt t x d n n n n n 221 2112=+++--Λ （4） 那么由（3）+（4）得： ()()()()()()() ()()()()=++++++--t x t x t a dt t x t x d t a dt t x t x d n n n n n 211 211121Λ()t f 1+()t f 2 即()t x 1+()t x 2是方程是()()=+++--x t a dt x d t a dt x d n n n n n Λ111()t f 1+()t f 2的解。 2．（1）特征方程为：42540λλ-+= 特征根为12341,1,2,2λλλλ==-==- 原方程通解为：221234()t t t t x t c e c e c e c e --=+++ （2）特征方程为：5340λλ-= 特征根为1230,2,2λλλ===-，其中10λ=是三重根 原方程通解为：22212345()t t x t c c t c t c e c e -=++++ （3）特征方程为： 22100λλ++= 特征根为：1,213i λ=-± 通解为：12()(cos3sin 3)t x t c t c t e -=+ （4）原方程对应的齐线性方程的通解为： 123456*()()cos ()sin t t x t c e c e c c t t c c t t -=+++++ 下求原方程的特解. 设原方程的特解为：2()x t At Bt C =++ 代入方程有： 2243A At Bt C t -+++=- 故1,0A C B ===
线性系统的时域分析法(第七讲)
第三章 线性系统的时域分析法 3.1 引言 分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步 分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。 实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。例如，切削机床的自动控制的例子。 在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号比较它们对特定的输入信号的响应来建立。 许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。 3.1.1 典型试验信号 经常采用的试验输入信号： ① 实际系统的输入信号不可知性； ② 典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系； ③ 电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。 突然受到恒定输入作用或突然的扰动。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。 （单位）阶跃函数（Step function ） 0,)(1≥t t 室温调节系统和水位调节系统 （单位）斜坡函数（Ramp function ） 速度 0,≥t t ∝ （单位）加速度函数（Acceleration function ）抛物线 0,2 12 ≥t t （单位）脉冲函数（Impulse function ） 0,)(=t t δ 正弦函数（Simusoidal function ）Asinut ，当输入作用具有周期性变化时。 通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。本章讨论系统非周期信号（Step 、Ramp 、对正弦试验信号相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论）作用下系统的响应。 3.1.2 动态过程和稳态过程
常微分方程第5章答案
1.给定方程组 x = x x= （*） a)试验证u(t)= ,v(t)= 分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)= , v(0)= 的解. b)试验证w(t)＝c u(t)+c v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)= 的解，其中是任意常数.解：a) u(0)= = u (t)= = u(t) 又v(0)= = v (t)= = = v(t) 因此u(t),v(t)分别是给定初值问题的解. b) w(0)= u(0)+ u(0)= + = w (t)= u (t)+ v (t) = + = = = w(t) 因此w(t)是给定方程初值问题的解. 2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题： a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2 b) x +x=te ,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0 c) x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1 解：a）令x ＝x, x = x , 得 即 又x ＝x(1)=7 x (1)= x (1)=-2 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： x ＝x(1)＝ 其中x＝. b) 令＝x ＝＝＝则得： 且(0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2, (0)= (0)=0 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： = x(0)= , 其中x= . c) 令w ＝x，w ＝，w ＝y，w ＝y ，则原初值问题可化为： 且 即w w(0)= 其中w＝ 3. 试用逐步逼近法求方程组 ＝x x＝ 满足初始条件 x(0)= 的第三次近似解.
常微分方程第一章
第一章一阶微分方程 1、1学习目标: 1、理解微分方程有关得基本概念,如微分方程、方程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等得定义与提法、掌握处理微分方程得三种主要方法: 解析方法, 定性方法与数值方法、 2、掌握变量分离法,用变量替换将某些方程转化为变量分离方程, 掌握一阶线性方程得猜测检验法, 常数变易法与积分因子法, 灵活运用这些方法求解相应方程, 理解与掌握一阶线性方程得通解结构与性质、 3、能够大致描述给定一阶微分方程得斜率场, 通过给定得斜率场描述方程解得定性性质; 理解与掌握欧拉方法, 能够利用欧拉方法做简单得近似计算、 4、理解与掌握一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理, 能够利用存在唯一性定理判别方程解得存在性与唯一性并解决与之相关得问题, 了解解对初值得连续相依性与解对初值得连续性定理, 理解适定性得概念、 5、理解自治方程平衡点, 平衡解, 相线得概念, 能够画出给定自治方程得相线, 判断平衡点类型进而定性分析满足不同初始条件解得渐近行为、 6、理解与掌握一阶单参数微分方程族得分歧概念, 掌握发生分歧得条件, 理解与掌握各种分歧类型与相应得分歧图解, 能够画出给定单参数微分方程族得分歧图解, 利用分歧图解分析解得渐近行为随参数变化得状况、 7、掌握在给定得假设条件下, 建立与实际问题相应得常微分方程模型, 并能够灵活运用本章知识进行模型得各种分析、 1、2基本知识: (一)基本概念 1.什么就是微分方程: 联系着自变量、未知函数及它们得导数(或微分)间得关系式(一般就是 指等式),称之为微分方程、 2.常微分方程与偏微分方程: (1)如果在微分方程中,自变量得个数只有一个,则称这种微分方程为常微分方程,例 如, 、 (2)如果在微分方程中,自变量得个数为两个或两个以上,则称这种微分方程为偏微 分方程、例如, 、 本书在不特别指明得情况下, 所说得方程或微分方程均指常微分方程、 3.微分方程得阶数: 微分方程中出现得未知函数最高阶导数得阶数、例如, 就是二阶常微分方程; 与就是二阶偏微分方程、 4.n阶常微分方程得一般形式: , 这里就是得已知函数,而且一定含有得项;就是未知函数,就是自变量、 5.线性与非线性: (1) 如果方程得左端就是及得一次有理式,则称为n阶线性微分方程、
常微分方程第四章考试卷
常微分方程第四章测试试卷(3) 班级 姓名 学号 得分 一、 填空（20分） 1．——————称为n 阶齐线性微分方程。 2．1x )(t 非零为二阶齐线性方程''x 1a +)(t 2'a x +x t )(≡0的解，这里 ()t a 1 和()t a 2于区间[]b a ,上连续，则()t x 2 是方程解的冲要条件是― ——————。 ３．常系数非齐线性方程中，若()()t m m m m e b t b t b t b t f λ++++=--1110 ， 其中λ与i b 为实常数，那么方程有形如————的特解。 ４．在n 阶常系数齐线性方程中，n a a a ,2,1 为常数，则它的特征方程为——————。 ５．若方程()()022=++y x q dx dy x p dx y d 中满足————条件，则方程有形 如∑∞ ==0 n n n x a y 的特解。 ６．微分方程03'2'''4=++y y xy 的阶数为——。 ７．设()01≠t x 是二阶齐线性方程()()0'''21=++x t a x t a x 的一个解,则方程的通解可表为________ ８．解线性方程的常用方法有____、_____、_____、_____ ９．若())2,1,0(n i t x i =为齐线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为__________. １０.若()),,2,1(n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组,()t x 为非齐线性方程的一个特解,则非齐线性方程的所有解可表___.
二． 计算（30分） １． 求通解y y y 2'1''2 += ２． 求特解x x e xe y y y -=+-'2''，()()11'1==y y ３． 设二阶非齐线性方程的三个特解为 x x y x x y x y cos ,sin ,321+=+== 求其通解 ４． 求解方程()()o y x y x xy =+++-2'12'' ()0≠x ５． 求方程2233'4'''''x xy y x y x =-+的通解 ６． 求方程0'''=--y xy y 的解、 三．设可导函数()x φ满足()()1sin 2cos 0+=+?x tdt t x x x φφ，求()x φ 四．证明题（20分） 1.若函数()()()t x t x t x n ,,,21 为n 阶齐线性方程的n 个线性相关解，则它们的伏朗斯基行列式()0=t w 2．试证n 阶非齐线性方程存在且最多存在n+1个线性无关解。
高等数学第七章微分方程试题及复习资料
第七章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程， 通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α -=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性 非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
常微分方程第五章微分方程组总结
一．线性微分方程组的一般理论 1. 线性微分方程组一般形式为： 1111122112211222221122()()()(),()()()(), 1 , ()()()(),n n n n n n n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++??'=++++??????'=++++? （） 记： 1112121 22212111222()()()()()()()()()()()()(), , ()n n n n nn n n n a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t f t x x f t x x f t x x f t x x ??????=?????? '????????????'??????'===????????????'?????? 非齐次线性方程组表示为： ()() x A t x f t '=+ 齐次线性方程组表示为： ()x A t x '= 2.齐次线性方程组的一般理论 (1)定理 (叠加原理) 如果12(),(),,()n x t x t x t ? 是齐次方程组()x A t x '= 的k 个 解，则它们的线性组合1212()()()n n c x t c x t c x t ++?+ 也是齐次方程组的解，这里 12,,,n c c c ?是任意常数 (2)向量函数线性相关性 定义在区间],[b a 上的函数12(),(),,()n x t x t x t ? ，如果存在不全为零的常数
常微分方程第4章习题答案
习 题 4—1 1．求解下列微分方程 1） 22242x px p y ++= )(dx dy p = 解 利用微分法得 0)1)( 2(=++dx dp p x 当 10dp dx +=时，得p x c =-+ 从而可得原方程的以P 为参数的参数形式通解 22 242y p px x p x c ?=++?=-+? 或消参数P ，得通解 )2(2 122x cx c y -+= 当 20x p +=时，则消去P ，得特解 2x y -= 2）2()y pxlnx xp =+； ??? ? ?=dx dy p 解 利用微分法得 (2)0dp lnx xp x p dx ??++= ??? 当0=+p dx dp x 时，得 c px = 从而可得原方程以p 为参数的参数形式通解： 2 ()y pxln xp px c ?=+?=? 或消p 得通解 2y Clnx C =+ 当20lnx xp +=时，消去p 得特解 21()4 y lnx =- 3）() 21p p x y ++= ??? ??=cx dy p 解 利用微分法，得 x dx p p p - =+++22 11 两边积分得 () c x P P P =+++2211
由此得原方程以P 为参数形式的通解： 21(p p x y ++= ，() .11222c x p p p =+++ 或消去P 得通解 222)(C C X y =-+ 1． 用参数法求解下列微分方程 1）45222=?? ? ??+dx dy y 解 将方程化为 2215 42=??? ??+dx dy y 令2sin y t = 2cos 5 dy t dx = 由此可推出 1 515(2sin )22cos 2 cos 5dx dy d t dt t t ===从而得 c t x +=25 因此方程的通解为 52x t c = + ，2sin y t = 消去参数t ，得通解 22sin ()5 y x C =- 对于方程除了上述通解，还有2±=y ， 0=dx dy ，显然 2=y 和2-=y 是方程的两个解。 2）223()1dy x dx -= 解：令u x csc =， u dx dy cot 31-= 又令tan 2 u t = 则t t u x 21sin 12+==
第五章常微分方程习题
第五章 常微分方程 §1 常微分方程的基本概念与分离变量法 1. xy dx dy 2＝,并求满足初始条件：0,1x y ==的特解. 2．2(1)0y dx x dy ++=，并求满足初始条件：0,1x y ==的特解. 3．(1)(1)0x ydx y xdy ++-= 4．(ln ln )0x x y dy ydx --= 5． x y dy e dx -= 答案 1．通解2 x y ce =；特解2 x y e = 2．通解1ln 1y c x = ++；另有解0y =；特解11ln 1y x = ++ 3．ln ;0x y xy c y -+== 4．1ln y cy x += 5．y x e e c =+ §2 一阶线性微分方程 1．（1）（ ）是微分方程。 （A ） （B ） （C ） （D ） （2）（ ）不是微分方程。 （A ） （B ） （C ） （D ）
2.求微分方程的通解 ；（2）。 （1） 3.求微分方程的特解 （1）；（2） 4．解下列微分方程 ；（2）； （1） 答案1．(1)B；(2)C 2.(1)y=cx;(2)y4-x4=C。 3.(1)2/x3;(2)。 4．(1)； (2)y=Csinx； §3 二阶常系数线性微分方程 1.求下列微分方程的通解 ；（2）； （1） （3） （5） 2.求微分方程的特解 3.求下列微分方程的通解
（1） ； （2） ； （3） ； （4） 。 4．求方程2100y y y '''++=满足初始条件0 2x y ==和01x y ='=的特解 5．求方程221y y y x '''+-=+的一个特解 6．求方程22x y y y xe '''+-=的一个特解 7．求方程32(41)x y y y x e '''-+=-的一个特解 答案 1.(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) 。 2. 3.(1) ； (2) ； (3) ； (4) 。
常微分方程第四章考试卷1
常微分方程第四章测验试卷（1） 班级 姓名 学号 得分 一、 填空（30分） 1、如果),...,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的n 个线性无关解，则这 一齐线性方程的所有解可表为————————————————。 2、形如————————————————的方程称为欧拉 方程。 3、如果),...,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x i 为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为————————————。 4、设0)(1≠t x 是二阶齐线性方程021=+'+''x a x a x 的一个解，则方程的通解可表为—————————————————————。 5、微分方程t x x 3 sin 1 = +''的基本解组为——————————。 6、函数组t t t e e e 2,,-的伏朗基行列式为—————————。 7、若),...,2,1)((n i t x i =b t a ≤≤上线性相关，则伏朗基行列式满足——————。 8、解线性方程的常用方法有————、————、————、————。 9、n 阶齐线性方程的线性无关解的最大个数为————。 二、 计算（50分） 1、 求32254+=-'+''-'''t x x x x 的通解。 2、 求方程0)()(32='+'-''x x x x
3已知。的解，试求方程的通解是0sin 2=+'+''= x x x t t x t 4、求方程t t x x t x t ln 22=+'-''的通解。 5、的解。求方程1)0()0()0()0(,2)4(='''=''='==+x x x x e x x t 三、 证明题（20分） 1、 ),...,2,1)((n i t x i =是齐次线性方程组的n 个解，则有：当 )()......,(1t x t x n 在[a,b]上线性无关时，伏朗斯基行列式w(t)≠0, t ],[b a ∈. 2、若()(1,2)i x t i =是非齐次线性方程43sin x x x x ''''''++=的2个解，则 有：当12lim ()()n x t x t →∞ -存在。
常微分方程第1章教案
第一章 绪论 定义：指含有未知量的等式. 代数方程：2210x x -+ = 1=，3121x x x --=+ 超越方程：sin cos 1x x +=，221x e x x =+- 以上都是一元方程，一般形式可以写成()0F x = 二元方程2210x y +-=的一般形式可以写成(,)0F x y =，同理三元方程22210 x y z ++-=等等 根据对未知量施加的运算不同进行方程的分类，高等数学的运算主要是微分和积分运算 一、引例 例1：已知一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点(,)M x y 处的切线的斜率为2x ，求这曲线的方程. 解：设所求曲线的方程为()y f x =，由题意 1d 2(1)d 2(2)x y x x y =?=???=? 由（1）得2d y x x =?，即2y x C =+ （3） 把条件“1x =时，2y =，”代入上式（3）得221 C =+，1C ∴= 把1C =代入式（3），得所求曲线方程：21y x =+ 例2：列车在平直道路上以20m/s （相当于72km/h ）的速度行驶，当制动时列车获得加速度20.4m /s -.问开始制动后需要多长时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解：设列车在开始制动后t s 时行驶了s m.根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数()s s t =应满足关系式 00 220d 0.4(4) d d 20(5)d 0*t t t s t s v t s ===?=-???==???=??（） 把式（4）两端积分一次，得1d 0.4d s v t C t = =-+ （6）
【免费下载】常微分方程教程丁同仁李承治第二版第四章 奇解
第四章 奇解习题4-11．求解下列微分方程：（通解）特解）（特解）解：221222)(222222222 2)(2101.(42202..0)1)(2(0)2()2(2222);(,242).1(C Cx y x x C x y C x p b x x x x y x p x p a x p x p x p x x p p p x px y p x px p y x C x dx dp dx dp dx dp dx dp dx dp dx dp p dx dy ++-=?++-+=?+-=?-=?=+-=+-=?-=?=+=++?=+++?+++=++= =++=+-224ln 4ln 2ln 22ln 2ln 2ln 222ln )(ln 0x .)]([ln 2ln 02ln ..0))(2(ln 22)1(ln ln );(,)(ln ).2(222C x C y x x x y p p x b y x x x y p xp x xp x a p x xp x p x xp x p x x p p xp x px y x C x C x C dx dp x x x x x x x x x dx dp dx dp dx dp dx dy +=?+=?=?=+-=+-=?-+-=?-=?-=?=+=++?++++==+=（特解）解：dy dq q y q y y dy dq q y dy dx p y p p y q y q y q x q y x y p y xp 3222222cos 2)sin (cos 222cos 12cos 123sec tan ,tan ,,tan .cos tan 22).3(-++=+===+=+=-令解：y y y y x q q y b y C x y C q y q y q a y y q y q y q y y q y y y y t y y y y y q y C dy dq dy dq q y dy dq dy dq q y dy dq dy dq q y q y y dy dq 32323232sin 2cos 231313322323232 2sin sin sin tan 0tan .sin cos tan 0tan .0 )(tan tan (0)tan ()tan (tan 0tan tan 23212cos sin cos sin cos sin cos 3cos 21cos cos cos sin cos 2=+=+=?=?=?=-+=?=?-=?=+=-+?=+-+?=-++?-（通解） 2．用参数法求解下列微分方程：、接口不严等问题，合电气设备进行调试工作案。高中资料试卷保护装置调
第七章微分方程
第七章 微分方程 教学目的： 1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。 2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。 4． 会用降阶法解下列微分方程： ()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。 教学重点： 1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 2、可降阶的高阶微分方程() ()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 3、二阶常系数齐次线性微分方程； 4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程； 教学难点： 1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 2、线性微分方程解的性质及解的结构定理； 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。 4、欧拉方程 §12. 1 微分方程的基本概念 函数是客观事物的部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程. 例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程. 解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程) x dx dy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件: x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2) 把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解) ?=xdx y 2, 即y =x 2 +C , (3)
常微分方程第一章初等积分法
第一章 初等积分法 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的，在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等.这些方程都是要把研究的问题中的已知量和未知量之间的关系找出来，列出包含一个未知量或几个未知量的一个或者多个方程式，然后求取方程（组）的解.这里，方程（组）的解为常数. 然而在实际生活中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题.比如：求物体在一定条件下运动的规律（比如某物体做匀速直线运动，速度为5，求其位移变化的规律）；求满足一定条件（比如在某曲线任意点处的斜率为该点横坐标的2倍）的曲线的方程等等. 物体运动规律、曲线方程在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数.也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求出一个或者几个未知的函数. 在数学上，解决上述问题也需要建立方程，不过建立的是含有未知函数自变量、未知函数及未知函数的导数的方程（比如上述两个问题建立的方程为： 5=dt ds ，x dx dy 2=） ，这类方程就叫做微分方程. 本章主要介绍微分方程的基本概念及几类简单的微分方程的解法. 1.1 微分方程的基本概念 300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现.而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为：微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系.而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一
常微分方程考研讲义第四章 高阶微分方程
第四章高阶微分方程 [教学目标] 1. 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与 结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。 2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。 3.熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。 4.掌握高阶方程的应用。 [教学重难点]重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。难点是待 定系数法求特解。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 16学时 [教学内容]线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性 方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。[考核目标] 1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。 2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。 3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。 4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。 §4.1线性微分方程的一般理论 4.1.1引言 讨论n阶线性微分方程
1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （4.1） 其中()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数 如果()0f t ≡，则方程（4.1）变为： 1111()() ()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （4.2） 称它为n 阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为n 阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫对应于方程（4.1）的齐线性方程。 定理1 如果()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数，则对于任一 []0,t a b ∈ (1)(1) 000 ,,,n x x x - ，方程（4.1）存在唯一解()x t ?=，定义于区间a t b ≤≤上，且满足初始条件： 1(1)(1)0000001 ()()(),,,n n n d t d t t x x x dt dt ???---=== （4.3） 从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 连续的整个区间a t b ≤≤上有定义。 4.1.2 齐线性方程的解的性质与结构 讨论齐线性方程 1111()() ()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （4.2） 定理2（叠加原理）如果12(),(),,()k x t x t x t 是方程（4.2）的k 个解，则它们的线性组合1122()()()k k c x t c x t c x t +++ 也是（4.2）的解，这里12,,,k c c c 是任意常数。 特别地，当k n =时，即方程（4.2）有解 1122()()()n n x c x t c x t c x t =+++ （4.4） 它含有n 个任意常数。在什么条件下，表达式（4.4）能够成为n 阶齐线性方程（4.2）的通解？为了讨论的需要，引进函数线性相关与线性无关及伏朗斯基()Wronsky 行列式等概念。 设12(),(),,()k x t x t x t 是定义在区间a t b ≤≤上的函数，如果存在不全为零的常数 12,,,k c c c ，使得恒等式 1122()()()0k k c x t c x t c x t +++≡
常微分方程第五章测试题及参考答案
常微分方程第五章测试题 班级__________姓名__________学号________得分__________ 一、 填空（３０分） 1、 在用皮卡逐步逼近法求方程组η=+=')(),()(0t x x f x t A x 的近似解时，若取η?=)(0t ，则=)(t k ?（ ）。 2、 如果)(t A 是n n ?矩阵，)(t f 是n 维列向量，则它们在b t a ≤≤上满足（ ）时，方程组)()(t f x t A x +='满足初始 条件η=)(0t x 的解在b t a ≤≤上存在唯一。 3、 若)(),(),(21t f t a t a 是[b a ,]上的连续函数，)(),(21t x t x 是方程0)()(21=+'+''x t a x t a x 的两个线性无关解，则的通解为 ( )。 4、 若)(t Φ和)(t ψ都是x t A x )(='的基解矩阵，则)(t Φ与)(t ψ具有关系（ ）。 5、 若A 是n n ?常数矩阵，则矩阵指数exPA=( )。 6、若A 矩阵具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,21，她们对应的特征值分别为n λλλ ,,21，那么矩阵)(t Φ=（ ）是常系数线性方程组Ax x ='的一个基解矩阵。 7、 若)(t Φ是x t A x )(=' 的基解矩阵，则)()(t f x t A x +='满足的解=)(t ?（ ）。 8、 若)(t Φ是x t A x )(=' 的基解矩阵，则向量函数=)(t ?（ ）是)()(t f x t A x +='的满足初始条件 0)(0=t ?的解；向量函数=)(t ?（ ）是)()(t f x t A x +='的满足初始条件η?=)(0t 的解。
常微分方程第四章考试卷4
常微分方程第四章测验试卷（4） 班级 姓名 学号 得分 一． 填空（30分） 1．———————————————————称为n 阶齐线性微分方程。 2．函数组e e e t t t 2,,-的伏朗斯基行列式为———————————。 3．若()()n i t x i ,......2,1=为n 阶齐线性方程的解，则它们线性无关的充要条件——————————————————。 4．若()()n i t x i ,......2,1=为n 阶齐线性方程的解，则()t w 为其伏朗斯基行列式，则()t w 满足一阶线性方程——————————————。 5．设()01≠t x 是二阶齐线性方程021=+'+''x a x a x 的一个解，则方程的通解可表示为——————————————————————。 6．形如———————————————————称为欧拉方程。 7．解线性方程的常用方法有———————————`—————————————`————————————————`——————————————————。 8．．若()()n i t x i ,......2,1=为齐线性方程的n 个线性无关的解，则这一齐线性微分方程的所有解可表示为——————————————————。 二． 计算（70分） 1. 求方程t x x cos 1 = +''的通解，已知它对应的齐线性方程的基本解组为t t sin ,cos 。
2．2t x x t ='-'' 0≠t 3．求方程t t x dt x d 2sin 422=+的通解，已知它对应的齐线性方程的基本解 组为t t 2sin ,2cos 4． 求033=-+''-'''x x x x 的解。 5．求0532 22 =++y dx dy x dx y d x 的解。
常微分方程第5章答案
习题 1.给定方程组 x = x x= （*） a)试验证u(t)= ,v(t)= 分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)= , v(0)= 的解. b)试验证w(t)＝c u(t)+c v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)= 的解，其中是任意常数. 解：a) u(0)= = u (t)= = u(t) 又 v(0)= = v (t)= = = v(t) 因此 u(t),v(t)分别是给定初值问题的解. & b) w(0)= u(0)+ u(0)= + = w (t)= u (t)+ v (t) = + = = = w(t) 因此 w(t)是给定方程初值问题的解. 2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题： a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2 b) x +x=te ,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0 ; c) x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1 解：a）令 x ＝x, x = x , 得 即 又 x ＝x(1)=7 x (1)= x (1)=-2 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： x ＝ x(1)＝ 其中 x＝ . b) 令＝x ＝＝＝则得： / 且 (0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2, (0)= (0)=0 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： = x(0)= , 其中 x= . c) 令w ＝x， w ＝，w ＝y，w ＝y ，则原初值问题可化为： 且 即 w w(0)= 其中 w＝ 3. 试用逐步逼近法求方程组 】
常微分课后答案第一章
第一章 绪论 §1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型 §1.2 基本概念 习题1.2 1．指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否线性的： （1） y x dx dy -=24； （2）0122 2 2=+??? ??-xy dx dy dx y d ； （3）0322 =-+? ? ? ??y dx dy x dx dy ； （4）x xy dx dy dx y d x sin 352 2=+-； （5） 02cos =++x y dx dy ； （6）x e dx y d y =+??? ? ??22sin ． 解 （1）一阶线性微分方程； （2）二阶非线性微分方程； （3）一阶非线性微分方程； （4）二阶线性微分方程； （5）一阶非线性微分方程； （6）二阶非线性微分方程． 2．试验证下面函数均为方程02 2 2=+y dx y d ω的解，这里0>ω是常数． （1）x y ωcos =； （2）11(cos C x C y ω=是任意常数)； （3）x y ωsin =； （4）22(sin C x C y ω=是任意常数)； （5）2121,(sin cos C C x C x C y ωω+=是任意常数)； （6）B A B x A y ,()sin(+=ω是任意常数)．
解 （1）y x dx y d x dx dy 2222cos ,sin ωωωωω-=-=-=，所以02 2 2=+y dx y d ω，故x y ωcos =为方程的解． （2）y x C y x C y 2 2 11cos , sin ωωωωω-=-=''-='，所以0222=+y dx y d ω，故 x C y ωcos 1=为方程的解． （3）y x dx y d x dx dy 2 222sin ,cos ωωωωω-=-==，所以022 2=+y dx y d ω，故x y ωsin =为方程的解． （4）y x C y x C y 2 2 22sin , cos ωωωωω-=-=''='，所以022 2=+y dx y d ω，故x C y ωsin 2=为方程的解． （5）y x C x C y x C x C y 2222121sin cos , cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-='， 所以022 2=+y dx y d ω，故x C x C y ωωsin cos 21+=为方程的解． （6）y B x A y B x A y 2 2 )sin(, )cos(ωωωωω-=+-=''+='，故02 2 2=+y dx y d ω，因此)sin(B x A y +=ω为方程的解． 3．验证下列各函数是相应微分方程的解： （1）x x y sin = ，x y y x cos =+'； （2）212x C y -+=，x xy y x 2)1(2 =+'-（C 是任意常数）； （3）x Ce y =，02=+'-''y y y （C 是任意常数）； （4）x e y =，x x x e ye y e y 2212-=-+'-； （5）x y sin =，0cos sin sin 22 2 =-+-+'x x x y y y ； （6）x y 1- =，12 22++='xy y x y x ； （7）12 +=x y ，x y x y y 2)1(2 2 ++-='；
常微分方程第四章知识总结
一n 阶线性微分方程的一般理论 1. n 线性微方程，它的一般形式为： ++--111)(n n n n dt x d t a dt x d …)()()(1t f t a dt dx t a n n =++- 齐次线性方程 ++--111)(n n n n dt x d t a dt x d …0)()(1=++-t a dt dx t a n n 非齐次线性方程:()0f t ≠ 2. n 阶线性齐次方程的一般理论 (1)定理2(叠加原理) 如果)(,),(),(1t x t x t x k i ?是方程(4.2)的k 个解，则它们的线性组合)()()(2211t x c t x c t x c n n +?++也是方程(4.2)的解，这里 12,,,n c c c ?是任意常数 (2)函数线性相关性 定义在区间],[b a 上的函数)()(),(21t x t x t x k ?，如果存在不全为零的常数 k c c c ,,,21?使得 0)()()(2211≡+?++t x c t x c t x c k k 在],[b a 上恒成立，我们称这些函数是线性相关的，否则称这些函数线性无关。 (3)Wronsky 行列式 由定义在],[b a 上k 个k-1次可微的函数)()(),(21t x t x t x k ?所作成的行列式 ) ()()()()()()() () ()]()(),([) 1()1(2)1(1212121t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x W k k k k k k k ---?? ? ? ? '? ''?≡ ? 称为这些函数的Wronskiy 行列式，也写作W(t).