欧拉法,改进欧拉法,斐波那契法原理及流程图

1欧拉法求微分方程

方法说明

欧拉(EUler)法是解常微分方程初值问题

ydx

= (4.1)

最简单的数值方法，其具体做法是，将区间［a, b ］进行N 等

分:

式

Iy (X + 方)=I y(X) + )dt

[Λ(^O ) = 7O

(4.2) 再对式(4 J)右端积分用矩形公式计算.则有

t y(x+册=I yO)+ ?∕(x Jo))+?(/),(4. 3)

在式(4. 3)右端取X =心，舍去余项。则得

Λ = Λ÷?r

(?>Λ) 作为Wl)的近似值。

步长 N .并将式(4.1)写成等价的积分形

在式(4. 3)右端取X=XI-y∞ = ?vι,舍去余项，则得

yι = 7ι + V 71)

作为yE）的近似值.

一般地，在式（4. 3）右端取舍去余项，则得

‰ι = Λ +?r(兀,儿),“ IU…，“一1 (4. 4)

作为班和】）的近似值.式（4. 4）为欧拉法计算公式.

过点的积分曲线就是初值问题式（4. 1）的解.

欧拉法的儿何意义是，过点4（心几）引斜率为5沟）的积分曲线的切线，此切线与直线XFl的交点为J?C?M）,再过点引以J f OWL）为斜率的切线与直线2乃的交点为▲（乃宀），依此类推，从A-I（Vl>Λ-1）出发，作以Jr（VlJλ-I）为斜率的切线，此切线与直线X=兀交点为4（耳，儿）.于是便得到过点A O A L- A ftI A fc的一条折线，见图4.1.过（心儿）的积分曲线则用此折线来代替.因此，这种方法亦称折线法.

图4.1

例：用欧拉法求微分方程y, = y,y(0) =1,h = 0.1,区间为_ y _欧拉法流程图如下：

欧拉法程序如下：

clear；

clc；

xl=0;

x2=l;

h=0.1;

x0=0;

yθ=i;

N=(X2?xl)/h；%要计算的次数

X(I)=X0；y(i)=yθ;

for n=l：N

x(n+l)=x(n)+h;

y (n+l)=y (n )+h * (y (n )-2 *x (n )∕y (n ))； end

X=X

Y=y

2改进欧拉法求微分方程

方法说明

由于欧拉法采用矩形公式计算积分产生较大截断误差.改进欧拉法(乂称改进折线法)是采取梯形公式來计算式(4. 3)右端积分，则有

Xτ+Λ) = Xx)+?/(XXX)÷∕(z+?y(^+?))]+^(∕)

2 (5. 1)

在式(5.1)右端取X = Xθ,舍去余项，则得

^ι = Λ+∣[∕?>Λ)÷∕(^ι,Λ)]

将乃作为巩小的近似值.

在式(5.1)右端再取兀=丙丿(引=必，舍去余项，则得

乃F+紳(W)+畑”)]

将乃作为班乃)的近似值.

一般地，在式(5.1)右端取X=Zy(XJ=儿，舍去余项.则得

儿+】=儿 + 芬了E必)+?∕(S必J],gQi,…，”一1(5 2)

将7s+1作为?y氐J的近似值.

式(5. 2)为改进欧拉法计算公式.

流程图如下：

例：用改进欧拉法求微分方程y? = y-^,y(O) =1,11 =0.1,区间为E,1J y

改进欧拉法程序如下：

clear；

clc；

xl=0;

x2=l;

h=0.1;

x0=0;

yo=i;

P(I)=o；

N=(x2-xl)∕h;

X(I)=X0；

y(i)=yθ;

for n=l：N

x(n+l)=x(n)+h;

y(n+l)=y(n)+h*(y(n)-2*x(n)∕y(n));

p(n+l)=y(n)+h*(y(n+l)-2*x(n)∕y(n+l));

y(n+l)=(y(n+l)+p(n+l))∕2;

end

X=X

Y=y

3斐波那契法求极值

方法说明

斐波那契法原理类似于黄金分割法，只是搜索区间的缩短率不再采用黄金分割数0.618o如图7.1所示，只要在［a, b］内取两点xl, x2,并计算岀f(xl),f(x2),通过比较,可将区间［a, b］缩短为［a, x2］或［xl,b］。因为新的区间内包含一个已经计算过函数值的点，所以再从其中取一个试点，乂可将这个新区间再缩短一次，不断地重复这个过程，直至最终的区间长度缩短到满足预先给定的精确度为止。