离散数学深刻复习资料
《离散数学》习题与解答
第一篇数理逻辑
第一章命题逻辑
1-1（1）指出下列语句哪些是命题，哪些不是命题，如果是命题指出他的真值
a)离散数学是计算机科学系的一门必修棵
b)∏> 2 吗？
c)明天我去看电影
d)请勿随地吐痰
e)不存在最大质数
f)如果我掌握了英语，法语，那么学习其他欧洲的语言就容易多了
g)9+5<12
h)x<3
i)月球上有水
j)我正在说假话
[解]
a)不是命题
b)是命题,真值视具体情况而定
c)不是命题
d)是命题,真值为t
e)是命题,真值为t
f)是命题,真值为f
g)不是命题
h)是命题, 真值视具体情况而定
i)不是命题
1-2(1)用P表示命题“天下雪”,(又表示命题“我将去镇上”,R表示命题“我有时间”.以符号形式写出下列命题:
(a)如果天不下雪和我有时间,那么我将去镇上.
(b)我将去镇上，仅当我有时间.
(c)天不下雪
(d)天下雪,那么我不去镇上
[解]
a)(┐P∧R)→Q
b)Q→R
c)┐P
d)P→┐Q
1-2(2)将下面这段陈述中所出现的原子命题符号化,并指出他们的真值,然后将这段陈述中的每一命题符号化 2 是有理数是不对的.2是偶素数.2或4是素数.如果2是素数则3也是素数.2是素数当且仅当3也是素数.
[解]:陈述中出现5个原子命题，将他们符号化为:
P: 2 是有理数其真值为F
Q:2是素数其真值为T
R:2是偶数其真值为T
S:3是素数其真值为T
U:4是素数其真值为F
陈述中各命题符号化为:
┐P;Q∧R;Q∨U;Q→S;Q＜＝＞S
1-2(3)将下列命题符号化
a)如果3+3=6,则雪是白色的.
b)如果3+3≠6,则雪是白色的
c)如果3+3=6,则雪不是白色的.
d)如果3+3≠6,则雪不是白色的
e)王强身体很好，成绩也很好.
f)四边形ABCD是平行四边形,仅当其对边平行
[解]:设P:3+3=6 Q:雪是白色的
R:王强成绩很好S:王强身体很好
U: 四边形ABCD是平行四边形V: 四边形ABCD的对边是平行的于是:
a)可表示为:P→Q
b)可表示为: ┐P→Q
c)可表示为: P→┐Q
d)可表示为：┐P→┐Q
e)可表示为：S∧R
f)可表示为:U＜＝＞V
1-3(1)判别下列公式中哪些是合式公式,那些不是合式公式
a) (Q→R∧S)
b) (P＜＝＞(R→S))
c) ((┐P→Q)→(Q→P)))
d) (RS→T)
e)((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)))
[解]:
a)不是合式公式(若规定运算符优先级后也可以作为合式公式)
b)是合式公式
c)不是合式公式(括号不配对)
d)不是合式公式
e)是合式公式
1-3(2)对下列各式用指定的公式进行代换:
a) (((A→B)→B)→A),用（A→C）代换A，用（（B∧C）→A代换B。
b)((A→B)∨(B→A),用B代换A,A代换B.
[解]:a)((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C))
b)((B→A)∨(A→B))
1-3(3)用符号形式写出下列命题
a)假如上午不下雨,我去看电影;否则就在家里读书或看报.
b)我今天进城,除非下雨.
c)仅当你走,我将留下.
[解]a)设P:上午天下雨. Q:我去看电影
R:我在家读书S:我在家看报
原命题可译为:(┐P→Q)∧(P→(R∨S))
b)设:P:我今天进城Q:天下雨
原命题可译为:┐Q→P
c)设:P:你走Q:我留下
原命题可译为:Q→P
１－３(4)称┐P→┐Q为条件命题P→Q的反换式
Q→P为条件命题P→Q的逆换式
┐Q→┐P为条件命题P→Q的逆反式
试写出如下条件命题的反换式，逆换式，逆反式。
（a）如果他有勇气，则他将得胜。
（b）如果天下雨，我不去。
[解]（a）设P：他有勇气，Q：他将得胜
原条件命题可译为：P→Q
反换式：┐P→┐Q，表示：如果他没有勇气，则他将不能获胜。
逆换式：Q→P，表示：如果他将得胜，则他有勇气。
逆反式：┐Q→┐P，表示：如果他不获胜，则他没有勇气。
（b）设P：天下雨，Q：我去
原条件命题可译为：P→┐Q
反换式：┐P→Q，表示：如果如果天不下雨，则我去。
逆换式：Q→P，表示：如果我不去，则天下雨。
逆反式：┐Q→┐P，表示：如果我去，则天不下雨。
1-4（1）试求下列各命题公式的真值表并解释其结果
（a）（P→Q）∧（Q→P）；
（b）（P∧Q）→P；
（c）Q→（P∨Q）；
（d）（P→Q）＜＝＞（┐P∨Q）；
（e）（┐P∨Q）∧（┐（┐P∧┐Q））；
（f）┐（P→Q）∧Q∧R 。
[解] （a）从真值表1-1中可看出：（P→Q）∧（Q→P）＜＝＞（P＜＝＞Q）
(b) 从真值表1-2中可看出：（P∧Q）→P是永真式
(c) 从真值表1-3中可看出：Q→（P∨Q）是永真式
(d) 从真值表1-4中可看出：（P→Q）＜＝＞（┐P∨Q）是永真式
(e) 从真值表1-5中可看出：（┐P∨Q）∧（┐（┐P∧┐Q））
＜＝＞┐P∨Q
＜＝＞P→Q
＜＝＞┐（P∧┐Q）
(f) 从真值表1-6中可看出：┐（P→Q）∧Q∧R是永真式
表1-1
表1-2
表1-3
表1-4
表1-5
表1-6 1-4（2）用真值表判断下列各组公式是否等价：（a）P→(Q→R)与（P∧Q）→R
（b）（P→Q）→R与（P∧Q）→R
[解]由表1-7可知P→(Q→R) ＜＝＞（P∧Q）→R 而（P→Q）→R＜≠＞（P∧Q）→R
表1-7
1-4（3）试以真值表证明下列命题：
（a）合取运算的结合律
（b）德摩根定律
[解] （a）如表1-8，（P∧Q）∧R＜＝＞
（b）如表1-9，┐（P∧Q）＜＝＞┐P∨┐Q
┐（P∨Q）＜＝＞┐P∧┐Q
表1-8
表1-9
2-4（4）证明下列等价式：
（a）A→（B→A）＜＝＞┐A→（A→┐B）；
(b)（A∨B）→C＜＝＞（A→C）∧（B→C）；
(c) ┐（A＜＝＞B）＜＝＞（A∧┐B）∨（┐A∧B）；
(d) （（（A∧B）∧C）→D）∧（C→（A∨（B∨D）））＜＝＞（C∧（A＜＝＞B））→D
[证]（a）A→（B→A）＜＝＞┐A∨（┐B ∨A）
＜＝＞（┐B ∨A）∨┐A
＜＝＞（A∨┐B）∨┐A
＜＝＞A∨（┐B∨┐A）
＜＝＞A∨（┐A∨┐B）
＜＝＞A∨（A→┐B）
＜＝＞┐A→（A→┐B）
（b）（A→C）∧（B→C）＜＝＞（┐A∨C）∧（┐B∨C）
＜＝＞（┐A∧┐B）∨C
＜＝＞┐（A∨B）∨C
＜＝＞（A∨B）C
（c）┐（A＜＝＞B）＜＝＞┐（（A→B）∧（B→A））
＜＝＞┐（（┐A∨B）∧（┐B∨A））
＜＝＞┐（┐A∨B）∨┐（┐B∨A））
＜＝＞（A∧┐B）∨（B∧┐A））（d）（（（A∧B）∧C）→D）∧（C→（A∨（B∨D）））
＜＝＞（（┐（A∧B∧C）∨D）∧（┐C∨（A∨B∨D）））
＜＝＞（┐A∨┐B∨┐C∨D）（┐C∨A∨B∨D）
＜＝＞（┐C∨D）∨（（┐A∨┐B）∧（A∨B））
＜＝＞（┐C∨D）∨（（A∧┐B）∨（B∧┐A））
＜＝＞（┐C∨D）∨┐（（┐A∨B）∧（┐B∨A））
＜＝＞（┐C∨┐（（┐A∨B）∧（┐B∨A）））∨D
＜＝＞┐（C∧（┐A∨B）∧（┐B∨A））∨D
＜＝＞┐（C∧（A→B）∧（B→A））∨D
＜＝＞┐（C∧（A＜＝＞B））∨D
＜＝＞（C∧（A＜＝＞B））→D
1-4（5）判断下列命题公式的类型（永真；永假；非永真，也非永假）：（a）（（P→Q）∧P）→Q；
（b）┐（P→(P ∨Q)）∧R；
（c）P ∧(((P ∨Q) ∧┐P) →Q).
[解] （a）（（P→Q）∧P）→Q
＜＝＞（（┐P∨Q）∧P）→Q
＜＝＞┐（（┐P∨Q）∧P）∨Q
＜＝＞（┐（┐P∨Q）∨┐P）∨Q
＜＝＞（（P∧┐Q）∨┐P）∨Q
＜＝＞（（P∨┐P）∧（┐Q∨┐P））∨Q
＜＝＞（┐Q∨┐P）∨Q
＜＝＞T∨┐P
＜＝＞T
∴（a）为永真式
（b）┐（P→(P ∨Q)）∧R
＜＝＞┐（┐P∨P ∨Q）∧R
＜＝＞（P∧┐P ∧┐Q）∧R
＜＝＞F∧R
＜＝＞F
∴（b ）为永假式
（c）P ∧(((P ∨Q) ∧┐P) →Q)
＜＝＞P ∧(┐((P ∨Q) ∧┐P) ∨Q)
＜＝＞P ∧(┐((P∧┐P )∨(Q ∧┐P)) ∨Q)
＜＝＞P ∧(┐(F∨(Q ∧┐P)) ∨Q)
＜＝＞P ∧(┐Q ∨P ∨Q)
＜＝＞P∧T
＜＝＞P
∴（c ）为非永真式，也非永假式
1-4.(6)化简如下语句：“情况并非如此：若他不来，则我不去”。
[解]：首先符号化上述语句。
设P：他来。Q：我去
则原句：┐（┐P→┐Q）
然后化简上述命题公式
┐（┐P→┐Q）
＜＝＞┐（┐┐Q→┐┐P）
＜＝＞┐（Q→P）
＜＝＞┐（┐Q∨P）
＜＝＞Q ∧┐P
即：我去了，但他未来。
1—4（7）（a）如果A∨C＜＝＞B∨C，是否有A＜＝＞B？
如果A∧C＜＝＞B∧C，是否有A＜＝＞B？
如果┐A＜＝＞┐B，是否有A＜＝＞B？
[解]（a）不能说必有A＜＝＞B，因为当A∨C＜＝＞B∨C时，有可能某种指派使C为T，但A、B的值并不相同
（b）不能说必有A＜＝＞B，因为当A∧C＜＝＞B∧C时，有可能某种指派
使C为F，但A、B的值并不相同
（c）结论正确。因为（A→B）＜＝＞（┐B→┐A），所以┐B→┐A为永真式时，A→B也是永真式。即┐B＝＞┐A时，必有A＝＞B。同理┐A＝＞┐B时，B＝＞A。所以┐B＜＝＞┐A时，必有A＜＝＞B
1—5（1）试证下列各式为永真式：
（a）（P ∧（P→Q））→Q；
（b）┐P→（P→Q）；
（c）（（P→Q）∧（Q→R））→（P→R）；
（d）（（P∧Q）∨（Q∧R）∨（R∧P））＜＝＞（（P∨Q）∧（Q∨R）∧（R∨P））[解]（a）（P ∧（P→Q））→Q
＜＝＞（P ∧（┐P∨Q））→Q
＜＝＞（P ∧┐P）∨（P∧Q））→Q
＜＝＞（P ∧Q）→Q
＜＝＞┐（P ∧Q）∨Q
＜＝＞┐P∨┐Q∨Q
＜＝＞┐P∨T
＜＝＞T
（b）┐P→（P→Q）
＜＝＞P∨（┐P∨Q）
＜＝＞P∨┐P∨Q
＜＝＞T∨Q
＜＝＞T
（c）当本条件命题的后件为F时，必有P：T；R：F考察条件的前件（P→Q）∧（Q →R）。当Q：F时，因P→Q：F；当Q：T时，因Q→R：F。所以前件必为F。
故（P→Q）∧（Q→R）＝＞P→R
因此（（P→Q）∧（Q→R））→（P→R）是永真式
（d）（P∧Ｑ）∨（Ｑ∧R）∨（R∧P）
＜＝＞（Ｑ∧（P∨R））∨（R∧P）
＜＝＞（Ｑ∨（R∧P））∧（（P∨R）∨（R∧P））
＜＝＞（Ｑ∨R）∧（Ｑ∨P）∧（P∨R）
＜＝＞（P∨Ｑ）∧（Ｑ∨R）∧（R∨P）
∴（P∧Ｑ）∨（Ｑ∧R）∨（R∧P）＜＝＞（P∨Q）∧（Q∨R）∧（R∨P）1-5（2）不构造真值表证明下列蕴涵式：
（a）（P→Q）＝＞P→（P∧Q）;
(b) （P→Q）→Q＝＞P∨Q；
（c）（Q→（P ∧┐P））→（R→（R→（P ∧┐P）））＝＞R→Ｑ
[证] （a）解法1
设P→Q为T，则
（1）P为T，Q为T 因而P→（P∧Q）为T
或（2）P为F 则必有P→（P∧Q）为T
所以（a）成立。
解法2
设P→（P∧Q）为F
则P为T，Ｑ为F 所以P→Q为F
所以（a）成立。
解法3
（P→Q）→（P→（P∧Q））
＜＝＞┐（┐P∨Q）∨（┐P∨（P∧Q））
＜＝＞┐（┐P∨Q）∨（（┐P∨P）∧（┐P∨Q））
＜＝＞┐（┐P∨Q）∨（┐P∨Q）
＜＝＞T
所以（a）成立。
(b) 设P∨Q为F，则P为F，Q为F
则P→Q为T，所以（P→Q）→Q为F
所以（b）成立。
（c）（Q→（P ∧┐P））→（R→（R→（P ∧┐P）））
＜＝＞┐（┐Q∨F）∨（┐R∨（┐R∨F））
＜＝＞┐（┐Q）∨（┐R∨┐R）
＜＝＞┐（┐Q）∨┐R
＜＝＞┐Q→┐R
＜＝＞R→Ｑ
所以（Q→（P ∧┐P））→（R→（R→（P ∧┐P）））＜＝＞R→Ｑ
当然有（Q→（P ∧┐P））→（R→（R→（P ∧┐P）））＝＞R→Ｑ1-5（3）试证明P＜＝＞Q，Q逻辑蕴含P。
[证]本题要求证明：(P＜＝＞Q)∧Ｑ＝＞Ｐ
设(P＜＝＞Q)∧Ｑ为Ｔ，则Ｑ为Ｔ且(P＜＝＞Q)为Ｔ
所以Ｐ必为Ｔ，因而蕴含式成立。
１－５（４）逻辑推证下列各式：
（a）Ｐ＝＞（┐P→Ｃ）；
（b）┐Ａ∧Ｂ∧Ｃ＝＞Ｃ；
（c）Ｃ＝＞Ａ∨Ｂ∨┐Ｂ；
（d）┐（Ａ∧Ｂ）＝＞┐Ａ∨┐Ｂ；
（e）┐Ａ→（Ｂ∨Ｃ），Ｄ∨Ｅ，（Ｄ∨Ｅ）→┐Ａ＝＞Ｂ∨Ｃ；
（f）（Ａ∧Ｂ）→Ｃ，┐Ｄ，┐Ｃ∨Ｄ＝＞┐Ａ∨┐Ｂ。［证］（a）若Ｐ为Ｔ，则┐P为Ｆ，故┐P→Ｃ必为Ｔ。所以（a）成立。
（b）若Ｃ为Ｆ，则┐Ａ∧Ｂ∧Ｃ必为Ｆ。故（b）成立。
（c）因为Ａ∨Ｂ∨┐Ｂ＜＝＞Ｔ。故Ｃ＝＞Ａ∨Ｂ∨┐Ｂ。
（d）设┐Ａ∨┐Ｂ为Ｆ，则Ａ为Ｔ且Ｂ为Ｔ
所以Ａ∧Ｂ为Ｔ，┐（Ａ∧Ｂ）为Ｆ。故（d）成立。
（e）设┐Ａ→（Ｂ∨Ｃ），Ｄ∨Ｅ，（Ｄ∨Ｅ）→┐Ａ均为Ｔ则因Ｄ∨Ｅ为Ｔ及（Ｄ∨Ｅ）→┐Ａ为Ｔ，而可得┐Ａ为Ｔ
又因┐Ａ→（Ｂ∨Ｃ）为Ｔ故得Ｂ∨Ｃ为Ｔ，故（e）成立。
（f）设（Ａ∧Ｂ）→Ｃ，┐Ｄ，┐Ｃ∨Ｄ均为Ｔ，
则Ｄ为Ｆ，由┐Ｃ∨Ｄ为Ｔ，可知Ｃ为Ｆ。
再由（Ａ∧Ｂ）→Ｃ为Ｔ可得Ａ∧Ｂ为Ｆ，
因而必有┐（Ａ∧Ｂ）为Ｔ，也即Ａ∨┐Ｂ为Ｔ，
故（f）成立。
１－６（１）把下列各式用只含∨和┐的等价式表达，并要尽可能简单：（a）（P∧Ｑ）∧┐P；
（b）（Ｐ→（Ｑ∨┐Ｒ））∧┐P∧Ｑ；
（c）┐P∧┐Ｑ∧（┐Ｒ→Ｐ）。
［解］（a）（P∧Ｑ）∧┐P
＜＝＞（P∧┐P）∧Ｑ
＜＝＞Ｆ∧Ｑ
＜＝＞┐（Ｔ∨┐Ｑ）
（b）（Ｐ→（Ｑ∨┐Ｒ））∧┐P∧Ｑ
＜＝＞（┐Ｐ∨Ｑ∨┐Ｒ）∧（┐P∧Ｑ）
＜＝＞（┐Ｐ∧┐P∧Ｑ）∨（Ｑ∧┐P∧Ｑ）∨（┐Ｒ∧┐P∧Ｑ）
＜＝＞（┐P∧Ｑ）∨（┐P∧Ｑ）∨（┐P∧Ｑ∧┐Ｒ）
＜＝＞（┐P∧Ｑ）∨（┐P∧Ｑ∧┐Ｒ）
＜＝＞（┐P∧Ｑ）∧（Ｔ∧┐Ｒ）
＜＝＞（┐P∧Ｑ）∧Ｔ
＜＝＞┐P∧Ｑ
＜＝＞┐（P∨┐Ｑ）
（c）┐P∧┐Ｑ∧（┐Ｒ→Ｐ）
＜＝＞┐P∧┐Ｑ∧（Ｒ∨Ｐ）
＜＝＞（┐P∧┐Ｑ∧Ｒ）∨（┐P∧┐Ｑ∧Ｐ）
＜＝＞（┐P∧┐Ｑ∧Ｒ）∨Ｆ
＜＝＞┐P∧┐Ｑ∧Ｒ
＜＝＞┐（P∨Ｑ∨┐Ｒ）
１－６（２）对下列各式仅用“或非”（↓）表示：
（a）┐P；
（b）P∨Ｑ；
（c）P∧Ｑ；
［解］：（a）┐P＜＝＞┐（P ∨P）＜＝＞P ↓P
（b）P∨Ｑ＜＝＞┐（┐（P∨Ｑ））＜＝＞┐（P↓Ｑ）
＜＝＞（P↓Ｑ）↓（P↓Ｑ）（c）P∧Ｑ＜＝＞┐（┐P∨┐Ｑ）＜＝＞┐P↓┐Ｑ
＜＝＞（P ↓P）↓（Ｑ↓Ｑ）１－６（３）对下列各式仅用“与非”（↑）表示：
（a）┐P；
（b）P∨Ｑ；
（c）P∧Ｑ；
［解］：（a）┐P＜＝＞┐（P ∧P）＜＝＞P↑P
（b）P∨Ｑ＜＝＞┐（┐P∧┐Ｑ）＜＝＞┐P↑┐Ｑ
＜＝＞（P↑P）↑（Ｑ↑Ｑ）（c）P∧Ｑ＜＝＞┐（┐（P∧Ｑ））＜＝＞┐（P↑Ｑ）
＜＝＞（P↑Ｑ）↑（P↑Ｑ）
１－６（４）把P→（┐P→Q）分别表示成只含“↑”和只含“↓”的等价公式。［解］P→（┐P→Q）＜＝＞┐P∨（P∨Q）＜＝＞Ｔ∨Q＜＝＞Ｔ
＜＝＞┐P∨P＜＝＞（┐P↑┐P）↑（P↑P）
＜＝＞P↑（P↑P）。
P→（┐P→Q）＜＝＞┐P∨P
＜＝＞（┐P↓P）↓（┐P↓P）
＜＝＞（（P↓P）↓P）↓（（P↓P）↓P）。
１－６（５）把P↑Ｑ表示成只含“↓”的等价公式，把P↓Ｑ表示成只含“↑”的等价公式。
［解］P↑Ｑ＜＝＞┐（P∧Ｑ）＜＝＞┐P∨┐Ｑ＜＝＞（P ↓P）∨（Ｑ↓Ｑ）＜＝＞［（P ↓P）↓（Ｑ↓Ｑ）］↓［（P ↓P）↓（Ｑ↓Ｑ）］。
P↓Ｑ＜＝＞┐（P∨Ｑ）＜＝＞┐P∧┐Ｑ＜＝＞（P↑P）∧（Ｑ↑Ｑ）＜＝＞［（P↑P）↑（Ｑ↑Ｑ）］↑［（P↑P）↑（Ｑ↑Ｑ）］。
１－６（６）证明｛∨｝，｛∧｝和｛→｝不是最小联结词组。
［证］（反证法）若｛∨｝，｛∧｝，｛→｝均是最小联结词组，则
否定（┐）命题连接词可分别仅用∨，∧，→表示，即
┐P＜＝＞（P∨…）
┐P＜＝＞（P∧…）
┐P＜＝＞P→（P→（P→…）…）
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二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。
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《离散数学》试题及答案 一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 命题公式Q Q P →∨)(为 ( ) (A) 矛盾式 (B) 可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式 2．设P 表示“天下大雨”， Q 表示“他在室内运动”，则命题“除非天下大雨，否则他不在室内运动”符号化为（ ）。 (A)． P Q →； (B)．P Q ∧； (C)．P Q ?→?； (D)．P Q ?∨． 3.设集合A ={{1,2,3}, {4,5}, {6,7,8}}，则下式为真的是( ) (A) 1A (B) {1,2, 3}A (C) {{4,5}}A (D) A 4. 设A ＝{1,2},B ={a ,b ,c },C ={c ,d }, 则A ×(B C )= ( ) (A) {<1,c >,<2,c >} (B) {
离散数学考试题详细答案
离散数学考试题(后附详细答案) 一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分） 1.用命题逻辑把下列命题符号化 a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。 设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看报”，命题符号化为：（PQ）(PRS) b)我今天进城，除非下雨。 设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题符号化为：Q→P或P→Q c)仅当你走，我将留下。 设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为：Q→P 2.用谓词逻辑把下列命题符号化 a)有些实数不是有理数 设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，命题符号化为： x(R(x) Q(x)) 或x(R(x) →Q(x)) b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。 设R(x)表示“x是实数”，E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为： x(R(x) E(x,0) →y(R(y) E(f(x,y),1)))) c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b. 设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“x∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为：F(f)a(A(a)→b(B(b) E(f(a),b) c(S(c) E(f(a),c) →E(a,b)))) 二、简答题（共6道题，共32分） 1.求命题公式(P→(Q→R))(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。 （5分） (P→(Q→R))(R→(Q→P))（PQR）(PQR) (（PQR）→(PQR)) ((PQR) →（PQR）). (（PQR）(PQR)) ((PQR) （PQR）) (PQR)(PQR) 这是主合取范式 公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为 （PQR（PQR（PQR（PQR（PQR（PQR 2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分） a)xy(x+y=4) b)yx (x+y=4) a) T b) F 3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。（4分） x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x)) x(F(x)→G(x))→(yF(y)→zG(z)) x(F(x)→G(x))→yz(F(y)→G(z)) xyz((F(x)→G(x))→(F(y)→G(z))) 4.判断下面命题的真假，并说明原因。（每小题2分，共4分）
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案
离散数学答案屈婉玲版 第二版高等教育出版社课后答案 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s: 6能被2整除1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式
（5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ?(?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q)
离散数学期末试题及答案完整版
离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ).
(完整版)离散数学试卷及答案
离散数学试题（A卷答案） 一、（10分）求(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))的主析取范式 解：(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))??(?( P∨Q))∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q)∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨?Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨(R∧?R))∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R) ? M∧1M ? m∨3m∨4m∨5m∨6m∨7m 2 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解设设P：王教授是苏州人；Q：王教授是上海人；R：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P∧Q 乙：?Q∧P 丙：?Q∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为：
((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则由定理4.19知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?'R 。由定理4.15和由定理4.16得sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。 综上可知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 四、（15分）集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e }上的二元关系R 为R ＝{，，，，，，，，
离散数学试题及解答
离散数学 2^m*n 一、选择题（2*10） 1．令P：今天下雨了，Q：我没带伞，则命题“虽然今天下雨了，但是我没带伞”可符号化为（）。 （A）P→?Q （B）P∨?Q （C）P∧Q （D）P∧?Q 2．下列命题公式为永真蕴含式的是（）。 （A）Q→（P∧Q）（B）P→（P∧Q） （C）（P∧Q）→P （D）（P∨Q）→Q 3、命题“存在一些人是大学生”的否定是(A)，而命题“所有的人都是要死的”的否定 是（）。 （A）所有人都不是大学生，有些人不会死 （B）所有人不都是大学生，所有人都不会死 （C）存在一些人不是大学生，有些人不会死 （D）所有人都不是大学生，所有人都不会死 4、永真式的否定是（）。
（A）永真式（B）永假式（C）可满足式（D）以上均有可能 5、以下选项中正确的是（）。 （A）0= ? （B）0 ? （C）0∈? （D）0?? 6、以下哪个不是集合A上的等价关系的性质？（） ）。 （A）2 （B）4 （C）3 （D）5 10．连通图G是一棵树，当且仅当G中（）。 （A）有些边不是割边（B）每条边都是割边 （C）无割边集（D）每条边都不是割边
二、填空题（2*10） 1、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是________。 2、设全体域D是正整数集合，则命题?x?y(xy=y)的真值是______。 3、令R(x):x是实数，Q(x):x是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为 4 5 6、设 7 8 (1)若A去，则C和D中要去1个人； (2)B和C不能都去； (3)若C去，则D留下 五、（15分）设A={1,2,3},写出下列图示关系的关系矩阵，并讨论它们的性质：
离散数学试卷及答案一
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)在每小题列出的四个选项中只有 一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1.一个连通的无向图G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条( ) A.汉密尔顿回路 B.欧拉回路 C.汉密尔顿通路 D.初级回路 2.设G是连通简单平面图，G中有11个顶点5个面，则G中的边是( ) A.10 B.12 C.16 D.14 3.在布尔代数L中，表达式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是( ) A.b∧(a∨c) B.(a∧b)∨(a’∧b) C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c) D.(b∨c)∧(a∨c) 4.设i是虚数，·是复数乘法运算，则G=<{1,-1,i,-i},·>是群，下列是G的子群是( ) A.<{1},·> B.〈{-1},·〉 C.〈{i},·〉 D.〈{-i},·〉 5.设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交 运算，下列系统中是代数系统的有( ) A.〈Z，+，/〉 B.〈Z，/〉 C.〈Z，-，/〉 D.〈P(A)，∩〉 6.下列各代数系统中不含有零元素的是( ) A.〈Q，*〉Q是全体有理数集，*是数的乘法运算 B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合，*是矩阵乘法运算 C.〈Z，ο〉，Z是整数集，ο定义为xοxy=xy,?x,y∈Z D.〈Z，+〉，Z是整数集，+是数的加法运算 7.设A={1,2,3}，A上二元关系R的关系图如下： R具有的性质是 A.自反性 B.对称性 C.传递性 D.反自反性 8.设A={a,b,c}，A上二元关系R={〈a,a〉，〈b,b〉,〈a,c〉}，则关系R的对称闭包S(R)是( ) A.R∪I A B.R C.R∪{〈c,a〉} D.R∩I A 9.设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系，要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，〈c,a〉，〈b,a〉}∪R为X上的 等价关系，R应取( ) A.｛〈c,a〉，〈a,c〉｝ B.{〈c,b〉，〈b,a〉} C.{〈c,a〉，〈b,a〉} D.{〈a,c〉，〈c,b〉} 10.下列式子正确的是( ) A. ?∈? B.??? C.{?}?? D.{?}∈? 11.设解释R如下：论域D为实数集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x 常熟理工学院20 ～20 学年第学期 《离散数学》考试试卷（试卷库01卷） 试题总分： 100 分考试时限：120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、单项选择题（每题2分，共20分） 1.下列表达式正确的有( ) （A）（B）（C）（D） 2.设P：2×2=5，Q：雪是黑的，R：2×4=8，S：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为 真。 （A）（B）（C）（D） 3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={ 1．n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。 2．设〈L，≤〉为有界格，a为L中任意元素，如果存在元素b∈L,使，则称b是a 的补元。 3．设*，Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。 4．设T是一棵树，则T是一个连通且的图。 5．一个公式的等价式称作该公式的主合取范式是指它仅由组成。 6．量词否定等价式? ("x)P(x) ?，? ($x)P(x) ?。 7．二叉树有5个度为2的结点，则它的叶子结点数为。 8．设 试卷二十三试题与答案 一、单项选择题：（每小题1分，本大题共10分） 1．命题公式)(P Q P ∨→是（ ）。 A 、 矛盾式； B 、可满足式； C 、重言式； D 、等价式。 2．下列各式中哪个不成立（ ）。 A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨?； B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨?； C 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∧??∧?； D 、Q x xP Q x P x ∧??∧?)())((。 3．谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中的 x 是（ ）。 A 、自由变元； B 、约束变元； C 、既是自由变元又是约束变元； D 、既不是自由变元又不是约束变元。 4．在0 Φ之间应填入（ ）符号。 A 、= ； B 、?； C 、∈； D 、?。 5．设< A ， > 是偏序集，A B ?，下面结论正确的是（ ）。 A 、 B 的极大元B b ∈且唯一； B 、B 的极大元A b ∈且不唯一； C 、B 的上界B b ∈且不唯一； D 、B 的上确界A b ∈且唯一。 6．在自然数集N 上，下列（ ）运算是可结合的。 （对任意N b a ∈,） A 、b a b a -=*； B 、),max(b a b a =*； C 、b a b a 5+=*； D 、b a b a -=*。 7．Q 为有理数集N ，Q 上定义运算*为a*b = a + b – ab ,则 精品文档 离散数学 10.设仃限集丸 B. |A|■申 p|p |p(AxB)| = 带伞”可符号化为( ) (C ) P A Q (D ) P A Q 2 ?下列命题公式为永真蕴含式的是( ) (A ) C H( P A Q ) ( B ) P -( P A Q ) (C ) (P A Q — P ( D (P V Q)— Q 3、 命题“存在一些人是大学生”的否定是(A)，而命题“所有的人都是要死 的”的否定是( )。 (A) 所有人都不是大学生，有些人不会死 (B) 所有人不都是大学生，所有人都不会死 (C) 存在一些人不是大学生，有些人不会死 (D) 所有人都不是大学生，所有人都不会死 4、 永真式的否定是()。 (A )永真式 (B )永假式 (C )可满足式 (D )以上均有可能 5、以下选项中正确的是()。 (A ) 0= ? (B ) 0 ? (C 0€ ? (D ) 0?? 6、以下哪个不是集合A 上的等价关系的性质？( ) (A )自反性 (B )有限性 (C )对称性 (D ) 传递性 7、集合 A={1,2,…;10}上的关系 R={ 一、判断正误20% （每小题2分） 1、设A.B. C是任意三个集合。 （1）若A∈B且B?C，则A?C。（） （2）若A?B且B∈C，则A?C。（） （3）若A?B且B∈C，则A?C。（） （4）A) ( ) ( ) (C A B A C B ⊕ = ⊕。（） （5）(A–B)?C=(A?C)-(B?C)。（） 2、可能有某种关系，既不是自反的，也不是反自反的。（） ３、若两图结点数相同，边数相等，度数相同的结点数目相等，则两图是同构的。（） ４、一个图是平面图，当且仅当它包含与Ｋ 3， 3 或Ｋ 5 在２度结点内同构的子图。（） ５、代数系统中一个元素的左逆元并一定等于该元素的右逆元。（） ６、群是每个元素都有逆元的半群。（） 二、8% 将谓词公式)) , ( ) ( ) ( ) (( )) , ( ) ( )( (z y Q z y P y y x Q x P x? ∧ ? → → ?化为前束析取范式与前束合取范式。 三、8% 设集合Ａ＝{a,b,c,d}上的关系Ｒ＝{ 五、10% 证明：若图Ｇ是不连通的，则Ｇ的补图G 是连通的。 六、10% 证明：循环群的任何子群必定也是循环群。 七、12% 用ＣＰ规则证明： １．F A F E D D C B A →?→∨∧→∨,。 ２．?∨??∨?(()()())()()((x P x x Q x P x )()x Q x 。 八、10% 用推理规则证明下式： 前提: ))()()(()),()()(())()()(((y W y M y y W y M y x S x F x ?∧?→?→∧? 结论：?→?)()((x F x S ))(x 九、13% 若集合Ｘ＝｛（１，２），（３，４），（５，６），……｝ }|,,,{12212211y x y x y x y x R +=+>><><<= 1、证明R 是X 上的等价关系。 2、求出X 关于R 的商集。 一、 填空 20%（每小题2分） 离散数学试题与答案试卷一 一、填空 20% （每小题2分） 1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+ x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =?B A 。 2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。 3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则 )()))(((S R P R Q P ?∨→?∧→∨?的真值= 。 4．公式P R S R P ?∨∧∨∧)()(的主合取范式为 。 5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ?→? 在I 下真值为 。 6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为 则 R 2 = 。 8．图的补图为 。 二、选择 20% （每小题 2分） 1、下列是真命题的有（ ） A ． }}{{}{a a ?； B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ； C ． }},{{ΦΦ∈Φ； D ． }}{{}{Φ∈Φ。 2、下列集合中相等的有（ ） A B C ?；B．{Φ，3，4}；C．{4，Φ，3，3}；D．{3，4}。 A．{4，3}Φ 3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（）个。 A．23 ；B．32 ；C．332?；D．223?。 4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（） Rο是自反的； A．若R，S 是自反的，则S Rο是反自反的； B．若R，S 是反自反的，则S Rο是对称的； C．若R，S 是对称的，则S Rο是传递的。 D．若R，S 是传递的，则S 5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下 t s t s p A R= ∧ =则P（A）/ R=（） < > ∈ s (| || |} {t ) , ( | , A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}} 7、下列函数是双射的为（） A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N?N, f (n) = 离散数学试题(A卷答案） 一、证明题（10分） 1) (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)? (A∧(P?Q))→C。 证明: (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C) ?(?P∨?Q∨?A∨C)∧(?A∨P∨Q∨C) ?(?P∨?Q∨?A∨C)∧(?A∨P∨Q∨C) ?((?P∨?Q∨?A)∧(?A∨P∨Q))∨C ??((P∧Q∧A)∨(A∧?P∧?Q))∨C ??( A∧((P∧Q)∨(?P∧?Q)))∨C ??( A∧(P?Q))∨C ?(A∧(P?Q))→C 2) ?(P↑Q)??P↓?Q。 证明：?(P↑Q)??(?(P∧Q))??(?P∨?Q))??P↓?Q。 二、分别用真值表法和公式法求(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值（15分）。 证明： 公式法：因为(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R)) ?(?P∨Q∨R)∧(?P∨(Q∧R)∨(?Q∧?R)) ?(?P∨Q∨R)∧(((?P∨Q)∧(?P∨R))∨(?Q∧?R)) ?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?Q)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨R∨?Q)∧(?P∨R∨?R) ?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R) ? M∧5M∧6M 4 ? m∨1m∨2m∨3m∨7m 所以，公式(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。 真值表法： 式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。 三、推理证明题（10分） 1）?P∨Q，?Q∨R，R→S P→S。 证明：(1)P附加前提 一、填空 20% （每小题2分） 1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =?B A 。 2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。 3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则 )()))(((S R P R Q P ?∨→?∧→∨?的真值= 。 4．公式P R S R P ?∨∧∨∧)()(的主合取范式为 。 5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ?→? 在I 下真值为 。 6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为 则 R 2 = 。 7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为 则 R= 。 8．图的补图为 。 9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下： 那么代数系统的幺元是 ，有逆元的元素为 ，它们的逆元分别为 。 10．下图所示的偏序集中，是格的为 。 二、选择 20% （每小题 2分） 1、下列是真命题的有（ ） A ． }}{{}{a a ? ； B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ； C ． }},{{ΦΦ∈Φ； D ． }}{{}{Φ∈Φ。 2、下列集合中相等的有（ ） A ．{4，3}Φ?； B ．{Φ，3，4}； C ．{4，Φ，3，3}； D ． {3，4}。 3、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ ）个。 A．23 ；B．32 ；C．332?；D．223?。 4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（） R 是自反的； A．若R，S 是自反的，则S R 是反自反的； B．若R，S 是反自反的，则S R 是对称的； C．若R，S 是对称的，则S R 是传递的。 D．若R，S 是传递的，则S 5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下 t s p R= t s ∈ =则P（A）/ R=（） < > ∧ A ) (| || |} ( , {t , | s A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}} 6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“?”的哈斯图为（） 7、下列函数是双射的为（） A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N?N, f (n) = 离散数学试题(B卷答案1） 一、证明题（10分） 1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R 证明: 左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R) ?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∧R ?T∧R(置换)?R 2) ?x (A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x) 证明：?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x)) ??x?A(x)∨?xB(x) ???xA(x)∨?xB(x) ??xA(x)→?xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）。 证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) ?（?P∧(?Q∨?R)）∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨(P∧Q∧R) ?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题（10分） 1）C∨D， (C∨D)→?E，?E→(A∧?B)， (A∧?B)→(R∨S)?R∨S 证明：(1) (C∨D)→?E P (2) ?E→(A∧?B) P (3) (C∨D)→(A∧?B) T(1)(2)，I (4) (A∧?B)→(R∨S) P (5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4)， I (6) C∨D P (7) R∨S T(5)，I 2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x))，?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 证明(1)?xP(x) P 一、填空 20% 1、 P ：你努力，Q ：你失败。“除非你努力，否则你将失败”的翻译为 ；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为 。 2、论域D={1，2}，指定谓词P 则公式),(x y yP x ??真值为 。 2、 设S={a 1 ，a 2 ，…，a 8}，B i 是S 的子集，则由B 31所表达的子集是 。 3、 设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=，则R= （列举法）。 R 的关系矩阵M R = 。 5、设A={1，2，3}，则A 上既不是对称的又不是反对称的关系R= ； A 上既是对称的又是反对称的关系R= 。 6、设代数系统，其中A={a ，b ，c}, 则幺元是 ；是否有幂等 性 ；是否有对称性 。 7、4阶群必是 群或 群。 8、下面偏序格是分配格的是 。 9、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ，欧拉图的充要条件是 。 10、公式R Q P Q P P ?∧∨?∧∧?∨)(())(( 的根树表示为 。 二、选择 20% （每小题2分） 1、在下述公式中是重言式为（ ） A ．)()(Q P Q P ∨→∧； B ．))()(()(P Q Q P Q P →∧→??； C ．Q Q P ∧→?)(； D ．)(Q P P ∨→ 。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。 A ．0； B ．1； C ．2； D ．3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则 S 2 有（ ）个元素。 A ．3； B ．6； C ．7； D ．8 。 4、 设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有（ ）个分块。 A ．4； B ．5； C ．6； D ．9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ，S 上关系R 的关系图为 离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝_____{3}______________; ρ(A) - ρ(B)＝____{{3}，{1，3}，{2,3},{1,2,3}}__________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = ___2^(n^2)________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是____A1 = {(a,1), (b,1)}, A2 = {(a,2), (b,2)}, A3 = {(a,1), (b,2)}, A4 = {(a,2), (b,1)},_________ _____________, 其中双射的是______A3, A4__________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取式是____P∧?Q∧R (m5)____. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为___12______，分枝点数为_______3_________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝______{4}______; A?B＝____{1,2,3,4}_________;A－B＝______{1,2}_______ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______自反性____________, _________对称性_________, _________传递性_____________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有_____（1,0,0）__________， ______(1,0,1)________, ________(1,1,0)________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2= ___{(1,3),(2,2),(3,1)}____,R2?R1 =_____{(2,4), (3,3), (4,2)}_____, R12=_______{(2,2), (3,3)}_________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = ______2^(m*n)___________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = _____{x | -1 ≤x < 0, x ∈R}_______ , B-A = ______{x | 1 < x < 2, x ∈R}_____ , A∩B = ______{x | 0 ≤x ≤1, x ∈R}__________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ ________{(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)}_________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束式是_____?y?x(P(y)→Q(x))________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加__21___条边才能把G变成完全图。 16. 设谓词的定义域为{a, b},将表达式?xR(x)→?xS(x)中量词消除，写成与之对应的命题公式是________(R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b))______________________.离散数学题库
离散数学试卷二十三试题与答案
的幺元为（ ）。 A 、a ； B 、b ； C 、1； D 、0。 8．给定下列序列，（ ）可以构成无向简单图的结点度数序列。 A 、（1，1，2，2，3）； B 、（1，1，2，2，2）； C 、（0，1，3，3，3）； D 、（1，3，4，4，5）。 9．设G 是简单有向图，可达矩阵P(G)刻划下列 （ ）关系。 A 、点与边； B 、边与点； C 、点与点； D 、边与边。 10．一颗树有两个2度结点，1个3度结点和3个4度结点，则1度结点数为（ ）。 A 、5； B 、7； C 、9； D 、8。
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