2019-2020学年广东省广州市天河区高二(上)期末数学试卷

2019-2020学年广东省广州市天河区高二（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．（5分）数列12-，14，18-，1

16，?的一个通项公式是( )

A ．1

2

n -

B ．(1)2n

n -

C ．1

(1)2n n +-

D ．1(1)2

n

n --

2．（5分）某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了五个伙伴，第二天六只蜜蜂飞出去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是( ) A ．65只

B ．56只

C ．55只

D ．66只

3．（5分）已知命题:p x R ?∈，20lnx x +-=，命题:q x R ?∈，22x x …，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p q ∧

B ．p q ?∧

C ．p q ∧?

D ．p q ?∧?

4．（5分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为(

) A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

5．（5分）ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，

若sin sin 2

A C

a b A +=，

则cos (B = )

A ．12

-

B ．

12

C ．

D 6．（5分）直线1l ，2l 互相平行的一个充分条件是( ) A ．1l ，2l 都平行于同一平面 B ．1l ，2l 与同一平面所成的角相等

C ．1l ，2l 都垂直于同一平面

D ．1l 平行于2l 所在的平面

7．（5分）如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得B 处的灯塔在海轮的正北方向20海里处，海轮按西偏南15?的方向航行了10分钟后到达C 处，此时测得灯塔在海轮的北偏东30?的方向，则海轮的速度为( )

A ．22海里/分

B ．2海里/分

C ．3海里/分

D ．2海里/分

8．（5分）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：)cm ，则该柱体的体积（单位：3)cm 是(

)

A ．158

B ．162

C ．182

D ．324

9．（5分）过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，若||4AF =，||2||BC BF =，且||||AF BF >，则此抛物线的方程为( ) A ．2y x =

B ．22y x =

C ．24y x =

D ．28y x =

10．（5分）四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，且1AB BC ==，点E 是AC 的中

点，异面直线AD 与BE 所成角为θ

，且cos θ=( ) A ．13

B ．

23

C ．4

3

D ．83

11．（5分）以下几种说法

①命题“0a ?>，函数2()21f x ax x =+-只有-一个零点”为真命题 ②命题“已知x ，y R ∈，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”是真命题

③“22x x ax +…在[1x ∈，2]恒成立”等价于“对于[1x ∈，2]，有2(2)()min max x x ax +…” ④ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a b >”是“cos2cos2A B <”的充要条件．

其中说法正确的序号为( ) A ．①③

B ．①④

C ．②③

D ．②④

12．（5分）已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为

24

7

的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若2121

()0F F F A F A +=u u u u r u u u u r u u u r g ，则此双曲线的标准方程可能为( )

A ．2

2112

y x -=

B ．22

134x y -=

C ．22

1169x y -=

D ．22

1916

x y -=

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）

13．（5分）双曲线22

1412

x y -=的焦点到渐近线的距离为 ．

14．（5分）在ABC ?中，1AB =

，AC =4

B π

∠=，则C ∠= ．

15．（5分）已知三棱锥A BCD -每条棱长都为1，点E ，G 分别是AB ，DC 的中点，则GE AC =u u u r u u u r

g ．

16．（5分）已知数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈，

且23

n n b π

=，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则2020S = ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知等差数列{}n a 中，526a a -=，且1a ，6a ，21a 依次成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=

，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若3

35

n S =，求n 的值． 18．（12分）已知ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin b a C c A =+．

（1）求A ；

（2）若22a =，求ABC ?面积的最大值．

19．（12分）已知m 为实数，命题p ：方程22

1214

x y m m -=--表示双曲线；命题q ：函数

21

()()4

f x l

g mx x m =-+的定义域为R ．

（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；

（2）若命题p 与命题q 有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围．

20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到点(1,0)F 的距离和它到直线1x =-的距离相等，记点P 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；

（2）设点A 在曲线C 上，x 轴上一点B （在点F 右侧）满足||||AF FB =，若平行于AB 的直线与曲线C 相切于点D ，试判断直线AD 是否过点(1,0)F ？并说明理由．

21．（12分）如图1，在矩形ABCD 中，35AB =，25BC =，点E 、P 分别在线段DC 、BC 上，且5DE =，15

2

DP =

”，现将AED ?沿AE 折到AED '?的位置，连结CD '，BD '，如图2．

（1）证明：AE D P '⊥；

（2）记平面AD E '与平面BCD '的交线为l ．若二面角B AE D '--为23

π

，求l 与平面D CE '所成角的正弦值．

22．（12分）已知椭圆22:236C x y +=． （1）求椭圆C 的短轴长和离心率；

（2）过点(2,0)的直线l 与椭圆C 相交于两点M ，N ，设MN 的中点为T ，点(4,0)P ，判断||TP 与||TM 的大小，并证明你的结论．

2019-2020学年广东省广州市天河区高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．（5分）数列12-，14，18-，1

16，?的一个通项公式是( )

A ．1

2

n -

B ．(1)2n

n -

C ．1

(1)2n n

+- D ．1(1)2

n

n --

【解答】解：所给的数列每一项的分子都是1，分母等于2n ，每一项的符号为(1)n -，

故此数列的一个通项公式是(1)2

n

n -．

故选：B ．

2．（5分）某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了五个伙伴，第二天六只蜜蜂飞出去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是( ) A ．65只

B ．56只

C ．55只

D ．66只

【解答】解：设第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，根据题意得 数列{}n a 成等比数列，它的首项为6，公比6q = 所以{}n a 的通项公式：为6n n a =

到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有666a =只蜜蜂． 故选：D ．

3．（5分）已知命题:p x R ?∈，20lnx x +-=，命题:q x R ?∈，22x x …，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p q ∧

B ．p q ?∧

C ．p q ∧?

D ．p q ?∧?

【解答】解：对于命题:p y lnx =Q 与2y x =-在坐标系中有交点，如图所示； 即0x R ?∈，使002lnx x =-，∴命题p 正确，p ?是假命题； 对于命题q ：当3x =时，3223<，∴命题q 错误，q ?是真命题；

p q ∴∧是假命题，p q ?∧是假命题；p q ∧?是真命题，p q ?∧?是假命题；

综上，为真命题的是C ． 故选：C ．

4．（5分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为(

) A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

【解答】解：n S Q 为等差数列{}n a 的前n 项和，4524a a +=，648S =， ∴111342465

6482

a d a d a d +++=????+=??， 解得12a =-，4d =， {}n a ∴的公差为4．

故选：C ．

5．（5分）ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，

若sin sin 2

A C

a b A +=，

则cos (B = )

A ．12

-

B ．

12

C ．3

D 3 【解答】解：Q sin sin 2

A C

a b A +=， sin

cos

sin 2

2

B

B

a a

b A π-∴==， 又Q 由正弦定理sin sin a b

A B

=

，可得：sin sin a B b A =， cos

sin 2B B ∴=，可得：22cos sin 2B B =，可得：21cos 1cos 2

B B +=-， 22cos cos 10B B ∴+-=，

∴解得：1

cos 2

B =

，或1-， (0,)B π∈Q ，

1

cos 2

B ∴=

． 故选：B ．

6．（5分）直线1l ，2l 互相平行的一个充分条件是( ) A ．1l ，2l 都平行于同一平面 B ．1l ，2l 与同一平面所成的角相等

C ．1l ，2l 都垂直于同一平面

D ．1l 平行于2l 所在的平面

【解答】解：对选项A ，1l 与2l 还可能相交或成异面直线，故A 错． 对于1:B l 与2l 还可能为相交或异面直线，故B 错． 对于选项C ，根据直线与平面垂直的性质定理，C 正确． 另外，对于选项D ，1l 与2l 不一定平行，故D 错． 故选：C ．

7．（5分）如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得B 处的灯塔在海轮的正北方向20海里处，海轮按西偏南15?的方向航行了10分钟后到达C 处，此时测得灯塔在海轮的北偏东30?的方向，则海轮的速度为( )

A ．22/分

B ．2海里/分

C 3/分

D 2海里/分

【解答】解：ABC ?中，20AB =，90301545ACB ∠=?-?-?=?， 18045(9015)30B ∠=?-?-?+?=?，

由正弦定理得，

sin30sin 45AC AB

=

??， 1

20sin 302102sin 452AB AC ??

=

=

=?

g