高三一轮复习平面向量知识点整理

平面向量知识点整理

1、概念

(1)向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量.

有向线段的三要素:起点、方向、长度. (2)单位向量:长度等于1个单位的向量.

(3)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.

提醒:

①相等向量一定就是共线向量,但共线向量不一定相等;

②两个向量平行与两条直线平行就是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合;

③平行向量无传递性！(因为有零向量)

④三点A 、B 、C 共线 AC AB 、

共线

(4)相等向量:长度相等且方向相同的向量.

(5)相反向量:长度相等方向相反的向量。a 的相反向量就是-a

(6)向量表示:几何表示法AB ;字母a 表示;坐标表示:a ＝ｘｉ＋ｙj ＝(ｘ,ｙ)、

(7)向量的模:设OA a =u u u r r ,则有向线段OA uu u r 的长度叫做向量a r

的长度或模,记作:||a r 、

( 22222

2

||,||a x y a a x y =+==+r r r 。) (8)零向量:长度为0的向量。a ＝O ?｜a ｜＝O 、

【例题】1、下列命题:(1)若a b =r r

,则a b =r r 。(2)两个向量相等的充要条件就是它

们的起点相同,终点相同。(3)若AB DC =u u u r u u u r

,则ABCD 就是平行四边形。(4)若ABCD 就

是平行四边形,则AB DC =u u u r u u u r 。(5)若,a b b c ==r r r r ,则a c =r r 。(6)若//,//a b b c r r r r ,则//a c r r

。其

中正确的就是_______

(答:(4)(5))

2、已知,a b r r 均为单位向量,它们的夹角为60o

,那么|3|a b +u u r r ＝_____

(答:13);

2、向量加法运算:

⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+r r r

r r r .

⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+r r r r ;②结合律:()()

a b c a b c ++=++r r r r r

r ;

b

r a

r

C

B

A

a b C C -=A -AB =B u u u

r u u u r u u u r r r

③00a a a +=+=r r r r r

.

⑸坐标运算:设()11,a x y =r ,()22,b x y =r ,则()1212,a b x x y y +=++r

r . 3、向量减法运算:

⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.

⑵坐标运算:设()11,a x y =r ,()22,b x y =r ,则()1212,a b x x y y -=--r

r .

设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1212,x x y y AB =--u u u r

. 【例题】

(1)①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ___;②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u r

____;

③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r

_____ (答:①AD u u u r ;②CB uu u r ;③0r );

(2)若正方形ABCD 的边长为1,,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ,则||a b c ++r r r

＝_____

(答:);

(3)已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-=u u r u u r u u r

,则合力123F F F F =++u r u u r u u r u u r

的终点坐标就是

(答:(9,1))

4、向量数乘运算:

⑴实数λ与向量a r 的积就是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λr

.

①a a λλ=r r ;

②当0λ>时,a λr

的方向与a r 的方向相同;

当0λ<时,a λr

的方向与a r 的方向相反;当0λ=时,0a λ=r r .

⑵运算律:①()()a a λμλμ=r r ;②()a a a λμλμ+=+r r r

;③()

a b a b λλλ+=+r r r r .

⑶坐标运算:设(),a x y =r ,则()(),,a x y x y λλλλ==r

.

【例题】(1)若M(-3,-2),N(6,-1),且1MP MN 3

--→

--→

=-,则点P 的坐标为_______

(答:7

(6,)3

--);

5、向量共线定理:向量()

0a a ≠r

r r 与b r 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ=r r .

设()11,a x y =r

,()22,b x y =r ,(0b ≠r r )

22()(||||)a b a b ??=r r r r 。 【例题】 (1)若向量(,1),(4,)a x b x ==r r

,当x ＝_____时a r 与b r 共线且方向相同

(答:2);

(2)已知(1,1),(4,)a b x ==r r ,2u a b =+r r r ,2v a b =+r r r ,且//u v r r

,则x ＝______

(答:4);

6、向量垂直:0||||a b a b a b a b ⊥??=?+=-r r r r r r r r

12120x x y y ?+=、

【例题】(1)已知(1,2),(3,)OA OB m =-=u u u r

u u u r

,若OA OB ⊥u u u r u u u r

,则m =

(答:

32

); (2)以原点O 与A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,90B ∠=?,则点B 的坐标就是________

(答:(1,3)或(3,－1));

(3)已知(,),n a b =r 向量n m ⊥r u r ,且n m =r u r

,则m u r 的坐标就是________

(答:(,)(,)b a b a --或)

7、平面向量的数量积:

⑴()

cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤o

o r r r r r r r r .零向量与任一向量的数量积为0.

⑵性质:设a r 与b r 都就是非零向量,则①0a b a b ⊥??=r r r r .②当a r

与b r 同向时,a b a b ?=r r r r ;当a r

与b r 反向时,a b a b ?=-r r r r ;22a a a a ?==r r r r 或a a a =?r r r .③

a b a b ?≤r r r r .

⑶运算律:①a b b a ?=?r r r r ;②()()()a b a b a b λλλ?=?=?r r r r r r

;③()

a b c a c b c +?=?+?r r r r r r r .

⑷坐标运算:设两个非零向量()11,a x y =r ,()22,b x y =r ,则1212a b x x y y ?=+r

r .

若(),a x y =r

,则222a x y =+r ,或22a x y =+r .

设()11,a x y =r

,()22,b x y =r ,则a ⊥b ?a ·b ＝0?x 1x 2＋y 1y 2＝0、

则a ∥b ?a ＝λb (b ≠0)?x 1y 2＝ x 2y 1、

设a r

、b r 都就是非零向量,()11,a x y =r ,()22,b x y =r ,θ就是a r 与b r 的夹角,则

12122222

1122cos a b

a b x y x y θ?==++r r r r ;(注||||||a b a b ?≤r r r r ) 【例题】

(1)△ABC 中,3||=?→

?AB ,4||=?→

?AC ,5||=?→

?BC ,则=?BC AB _________

(答:－9);

(2)已知11(1,),(0,),,22

a b c a kb d a b ==-=+=-r

r r r r u r r r ,c r 与d u r

的夹角为

4

π

,则k 等于____ (答:1);

(3)已知2,5,3a b a b ===-r r r r g ,则a b +r r

等于____ (答23(4)已知,a b r r

就是两个非零向量,且a b a b ==-r r r r ,则与a a b +r r 的夹角为____

(答:30o )

(5)已知)2,(λλ=→

a ,)2,3(λ=→

b ,如果→a 与→

b 的夹角为锐角,则λ的取值范围就

是______ (答:4

3

λ<-或0λ>且13λ≠);

(6)已知向量a ＝(sinx,cosx), b ＝(sinx,sinx), c ＝(－1,0)。(1)若x ＝3

π

,求向

量a 、c 的夹角; (答:150°);

8、b 在a 上的投影:即||cos b θr

,它就是一个实数,但不一定大于0。

【例题】已知3||=→

a ,5||=→

b ,且12=?→→b a ,则向量→a 在向量→

b 上的投影为

______ (答:5

12

)

平面向量高考经典试题

一、选择题

1.已知向量(5,6)a =-r

,(6,5)b =r ,则a r 与b r

A.垂直

B.不垂直也不平行

C.平行且同向

D.平行且反向

2、已知向量(1

)(1)n n ==-，，，a b ,若2-a b 与b 垂直,则=a ( ) A.1

2

C.2

D.4

3、若向量,a b r r 满足||||1a b ==r r ,,a b r r 的夹角为60°,则a a a b ?+?r r r r

=______;

4、在ABC △中,已知D 就是AB 边上一点,若123

AD DB CD CA CB λ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

，

,则λ=( )