圆和圆的位置关系说课稿Word版
课题：《圆和圆的位置关系》
教材：北师大版九年级下册第三章第六节
授课老师：席海玲九龙中学
一、教学目标
根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构，心理特征，制定如下教学目标。
（一）知识目标：
1、了解圆与圆之间的几种位置关系。
2、了解两圆的位置关系与两圆圆心距d，半径R和r的数量关系之间的联系。
（2）能力目标：模似“日食”活动，经历观察、抽象类比、交流、想象、应用等过程，学会提炼圆与圆的位置关系，培养学生分类的数学思想。
（三）情感目标
1、通过本节探索，体验数学活动充满着探索与创造。
2、经历探究过程，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维。
三、教材处理与教材教法。
1、引课更直观，模拟“日食”活动，用电脑演示两圆
在平面内的动态过程，动中取
静，清楚展示两圆的位置变化。
2、通过学生动手“移圆”活动，探索两圆的不同交点个数及位置关系，使学生更深入了解两圆的位置关系。
3、自己设计例题及练习，使知识反馈更快，更直接，弥补了教材中的例题和习题的不足。
4、在教学中增加外离、内含、相交中蕴涵的数量关系的探索，使知识体系更趋于完整，完善学生的认知结构。
四、教学过程设计
议一议
观察五种位置关系下的交点个数，你能根据“交点个数”对这五种位置进行分类吗？请讨论。
出示图片
比眼力，比速度，说出两圆的位置关系。
在上图中抽离出五种情况的几何图形，
观察思考这些图形是轴对称图形吗？
相切时，切点与对称轴有什么位置关系？
回顾：
直线与圆的位置关系和数量关系的联系。相离 d>r
相切 d=r
相交 d 猜想： 两圆位置关系与哪些量有关？圆心距d，两圆半径R、r（R>r）。 探索： 半径不等的两圆位置关系与d、R、r（R>r）三个量之间的关系。 在学生探索的基础上展示电脑的动画过程。重点引导学生理解相交时d、R、r三条线段所构成的三角形，从而得到关系。 ①外离d>R+r ②外切d＝R+r ③相交R-r ④内切 d ＝R－r ⑤内含 d 板书设计 五、教学评价 整个教学过程中，通过对学生参与数学活动的程度，自信心，合作交流的意识以及独立思考的习惯和发现问题解决问题能力进行评价，并对学生中出现的独特的想法或结论给予鼓励性评价，所有这一切都是以激励学生学习兴趣为前提，促进学生思维发展为目的的。 。 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!） 圆与圆的位置关系教案 【教学目标】 1．能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 2．通过圆与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想． 3．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯． 【教学重难点】 教学重点：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 教学难点：用坐标法判断两圆的位置关系． 【教学过程】 ㈠复习导入、展示目标 问题：如何利用代数与几何方法判别直线与圆的位置关系？ 前面我们运用直线与圆的方程，研究了直线与圆的位置关系，这节课我们用圆的方程，讨论圆与圆的位置关系． ㈡检查预习、交流展示 1.圆与圆的位置关系有哪几种呢？ 2．如何判断圆与圆之间的位置关系呢？ ㈢合作探究、精讲精练 探究一：用圆的方程怎样判断圆与圆之间的位置关系？ 例1.已知圆 C 1：01322 2 =++++y x y x ，圆C 2 ： 02342 2 =++++y x y x ，是 判断圆C 1 与圆C 2 的位置关系. 解析：方法一，判断圆与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据连心线的长与两半径长的和或两半径长的差的绝对值的大小关系，判断圆与圆的位置关系. 解:(法一) 圆C 1 的方程配方,得4 923)1(2 2 = +?? ? ??++y x . 圆心的坐标是??? ??- -23,1,半径长2 3 1 =r . 圆C 2 的方程配方,得4 1723)2(2 2 = +? ? ? ??++y x . 圆心的坐标是?? ? ??--23,2,半径长 2 172= r . 连心线的距离为1, 217321+= +r r ,2 3 1721-=-r r . 因为 2 17 312317+<<-, 所以两圆相交. (法二) 方程 01322 2 =++++y x y x 与02342 2 =++++ y x y x 相减,得 2 1 = x 把2 1= x 代入01322 2=++++y x y x ,得 011242 =++y y 因为根的判别式016144>-=?,所以方程011242 =++y y 有两个实数根,因此两 圆相交. 点评:巩固用方程判断圆与圆位置关系的两种方法. 变式2 2 2 2 (1)(2)(2)1(2)(5)16x y x y ++-=-+-=与的位置关系 解：根据题意得，两圆的半径分别为1214r r ==和，两圆的圆心距 5.d == 因为 12d r r =+，所以两圆外切． ㈣反馈测试 导学案当堂检测 ㈤总结反思、共同提高 判断两圆的位置关系的方法: (1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定； (2)依据连心线的长与两半径长的和12r r +或两半径的差的绝对值的大小关系． 【板书设计】 一．圆与圆的位置关系 （1）相离，无交点 （2）外切，一个交点 （3）相交，两个交点； 一对一授课教案 学员姓名：____何锦莹____ 年级：_____9_____ 所授科目：___数学__________ 上课时间：____ 年月日_ ___时分至__ __时_ __分共 ___小时 一、圆的定义： 1. 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随 之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径． 2 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O ⊙”，读作“圆O”． 3 同圆、同心圆、等圆： 圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆. 注意：同圆或等圆的半径相等． 1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． 2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． 3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB． 5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 8. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1?的圆心 角，我们也称这样的弧为1?的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． 2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 一、圆的对称性 1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线． 2. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 3. 圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合． 二、垂径定理 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2. 推论1：⑴平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ⑵弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑶平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 3. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 练习题； 教学目标 重点、难点考点及考试要求1、了解圆与圆的五种位置关系； 2、经历探索两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系间的内在联系的过程，并运用相关结论解决问题； 1、位置关系与对应数量关系的运用 2、两圆的位置关系对应数量关系的探索 1、圆与圆的五种位置关系 2、两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系 教学内容 第一课时圆与圆的位置关系知识点梳理 课前检测 1、⊙ O的半径是 6，圆心到直线l的距离为 3，则直线l与⊙ O的位置关系是（） A．相交B．相切C．相离D．无法确定 2、如图 1，AB与⊙ O切于点 B， AO＝6 ㎝， AB＝ 4 ㎝，则⊙ O的半径为（） A、4 5 ㎝ B、25 ㎝ C、2 13㎝ D、13 ㎝ 3、如图 2，已知⊙ 0 的直径 AB与弦 AC的夹角为 35°，过 C点的切线 PC与 AB的 延长线交于点 P，则么∠ P 等于（） A．150B．200C．250D．300 图 1图2图3 4、如图 3，AB与⊙ O切于点 C， OA=OB，若⊙ O的直径为 8cm，AB=10cm，那么 OA的长是（） A．41B．40 C. 14 D. 60 5、已知：如图，△ ABC中， AC＝BC，以 BC为直径的⊙ O交 AB于点 D，过点 D 作 DE⊥ AC于点 E，交 BC的延长线于点 F． 求证：（ 1） AD＝BD；（2）DF是⊙ O的切线． 知识梳理 （一）两圆位置关系的定义 注：（ 1）找到分类的标准： ①公共点的个数； ②一个圆上的点是在另一个圆的内部还是外部 （2）两圆相切是指两圆外切与内切 （3）两圆同心是内含的一种特殊情况 （二）两圆位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系之间的联系：两圆的半径分别为R、r ，圆心距为 d，那么 两圆外离 d ＞ R＋r 两圆外切 d =R＋r 两圆相交R－ r＜ d ＜ R＋ r （ R≥ r ） 两圆内切 d =R－r （R ＞ r ） 两圆内含 d ＜ R－r （R ＞ r ） （三） . 借助数轴进一步理解两圆位置关系与量关系之间的联系 与圆有关的位置关系（讲义）?知识点睛 1.点与圆的位置关系 d表示__________的距离，r表示___________． ①点在圆外?_____________； ②点在圆上?_____________； ③点在圆内?_____________． 三点定圆定理：_________________________________． 注：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 2.直线与圆的位置关系 d表示__________________的距离，r表示__________． ①直线与圆相交?____________； ②直线与圆相切?____________； ③直线与圆相离?____________． 切线的判定定理：__________________________________ __________________________________________________； 切线的性质定理：__________________________________．*切线长定理：______________________________________ __________________________________________________．注：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆 的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．*3. 圆与圆的位置关系 d表示__________的距离，R表示________，r表示 _________． ①圆与圆外离?_________________； ②圆与圆外切?_________________； ③圆与圆内切?_________________； ④圆与圆内含?_________________； ⑤圆与圆相交?_________________． 4.圆内接正多边形 _______________________________叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的_________. 正多边形的中心：___________________________________； 正多边形的半径：___________________________________； A 第11讲与圆有关的位置关系 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初三，基础偏上 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先学习与圆有 关的三类位置关系：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系，重点掌握各种与圆位置关系的判断方法，其次学习切线的有关性质与判定以及切线长定理及应用，能够结合已知题意证明相关切线，最后掌握圆的外接三角形与三角形内切圆概念。本节课的重点是三类位置关系的判断方法以及切线的性质与判定定理，属于中考重点内容，也是难点之一，希望同学们能够好好学习，扎实基础。 知识梳理 讲解用时：25分钟 与圆有关的位置关系 （1）点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有3种，设⊙Ｏ的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有： ⊙点P在圆外⊙ｄ＞r ⊙点P在圆上⊙d=r ⊙点P在圆内⊙ｄ＜r 注意： 点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆 心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系。 （2）直线与圆的位置关系 直线和圆的3种位置关系： ⊙相离：一条直线和圆没有公共点； ⊙相切：一条直线和圆只有一个公共点，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点； ⊙相交：一条直线和圆有两个公共点，这条直线叫圆的割线； 判断直线和圆的位置关系： ⊙直线l和⊙Ｏ相交⊙ｄ＜r ⊙直线l和⊙Ｏ相切⊙d=r ⊙直线l和⊙Ｏ相离⊙ｄ＞r （3）圆与圆的位置关系 ⊙外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部； ⊙外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部； ⊙相交：两个圆有两个公共点； ⊙内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部； ⊙内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部。 判断圆和圆的位置关系： ⊙两圆外离⊙ｄ＞R+r； ⊙两圆外切⊙d=R+r； ⊙两圆相交⊙Ｒ﹣r＜d＜R+r（R≥ｒ）； ⊙两圆内切⊙d=R﹣r（R＞r）； ⊙两圆内含⊙ｄ＜R﹣r（R＞r）． 点、直线、圆与圆的位置关系—知识讲解（提高） 审稿： 【学习目标】 1.理解并掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的各种位置关系； 2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练 掌握以上内容解决一些实际问题； 3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位 置关系与d、r1、r2数量关系的等价条件并灵活应用它们解题． 【要点梳理】 要点一、点和圆的位置关系 1．点和圆的三种位置关系： 由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有 2．三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 要点诠释： （1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系； （2）不在同一直线上的三个点确定一个圆. 要点二、直线和圆的位置关系 1．直线和圆的三种位置关系： (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 2．直线与圆的位置关系的判定和性质． 直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 精心整理第三讲直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 第一部分知识梳理 一.直线与圆的位置关系 1.直线与圆的三种位置关系 如图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，得出直线和圆的三种位置关系： （1）直线l和⊙O相离?d r > 此时：直线和圆没有公共点． （2）直线l和⊙O相切?d r = . （1）如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线. 证明直线是圆的切线的两种情况: （1）当不能说明直线与圆是否有公共点时，应当用“圆心到直线的距离等于半径 长”来判定直线与圆相切. （2）当已知直线与圆有公共点时，应当用判定定理，即“经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”，简单地说，就是“联半径，证垂直”. 二.圆与圆的位置关系 1.圆与圆的五种位置关系 在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种:外离、外切、相交、内切、 （ （ （ （ （ 2. 注：当两圆相切时分为两种情况：外切和内切. 3.相交两圆的性质 相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦． 注：当两圆相交时分为两种情况：圆心在公共弦的同侧和圆心在公共弦的两侧. 第二部分例题精讲 例1如图，已知Rt ABC ?中，∠C=90°，AC=3，BC=4 （1）圆心为点C、半径长R为2的圆与直线AB有怎样的位置关系？ （2）圆心为点C、半径长R为4的圆与直线AB有怎样的位置关系？ （3）如果以点C为圆心的圆与直线AB有公共点，求⊙C的半径R的取值范围. . 已知Rt ABC ?中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，以B为圆心作⊙B. （1）若⊙B与斜边AC只有唯一一个公共点，求⊙B的半径长R的取值范围. （2）若⊙B与斜边AC没有公共点，求⊙B的半径长R的取值范围. 例2已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且 一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定 1、设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表： 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： 二、切线的性质及判定 1． 切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2． 切线的判定： 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3． 切线长和切线长定理： ⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． ⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． ①切线的判定定理 设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线． _A _ l _ l _A _ l 上 ②切线的性质定理及其推论 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 三、三角形内切圆 1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形． 3．直角三角形的内切圆半径与三边关系 （1） （2） 图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ?中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++； 图（2）中，90C ∠=?，则()1 2 r a b c =+- 四、典例分析：切线的性质及判定 _ O _F _E _ D _ C _ B _ A _ C _ B _ A _ C _ B _ A _c _ b _a _c _ b _a _T _A 直线与圆、圆与圆的位置关系—知识讲解（提高） 【学习目标】 1.理解并掌握直线与圆、圆与圆的各种位置关系； 2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练 掌握以上内容解决一些实际问题； 3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位 置关系与d、r1、r2之间的等价条件并灵活应用它们解题． 【要点梳理】 要点一、点和圆的位置关系 1．点和圆的三种位置关系： 由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有 2．三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 要点诠释： （1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系； （2）不在同一直线上的三个点确定一个圆. 要点二、直线和圆的位置关系 1．直线和圆的三种位置关系： (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 2．直线与圆的位置关系的判定和性质． 直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 《圆》 内容简介：1、圆的相关概念；2、垂径定理；3、圆心角、圆周角定理；4、与圆有关的位置关系； 5、切线及切线长定理； 6、弧长及扇形面积。 【知识要点1】 圆的概念 集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 例1 已知：如图，OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB上的点，且AC＝BD．求证：AD＝BC． 例2 如图，在⊙O中，AB，CD为⊙O的两条直径，AE＝BF，求证四边形CEDF 是平行四边形． 点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外； 【知识要点3】 直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r +； 外切（图2）?有一个交点?d R r =+； 相交（图3）?有两个交点?R r d R r -<<+； 内切（图4）?有一个交点?d R r =-； 内含（图5）?无交点?d R r <-； r R d 图3r R d r R d 图4 r R d 图5 r R d o C B A 24．2．1 点和圆的位置关系（第六课时） 一．学习目标： 1、掌握点和圆的三种位置关系及数量间的关系， 2、通过探求点和圆三种位置关系，渗透数形结合、分类讨论等数学思想 二．学习重点、难点： 重点：点和圆的三种位置关系； 难点：点和圆的三种位置关系及数量间的关系； 教学过程 一、预习检测： 1、圆的定义是 2、放暑假了,爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞掷飞镖比赛。他们把靶子钉在一面墙上，规则是谁掷出落点离红心越近，谁就胜。如下图中A 、B 、C 三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点，就这一轮来讲，很显然，_____的成绩好。 若把靶子看作以O 点为圆心的圆，你能得出点和圆有几种位置关系吗？ 二、合作探究： （一）自学指导： 阅读课本P92 并完成以下各题 点和圆的位置关系：若设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，那点和圆的位置关系可表示成怎样的数量关系？ ?d ＞r ； ?d=r ?d ＜r （二）交流展示，精讲解惑 例：如图，在ABC ?中，?=∠90ACB ，?=∠30A ，AB CD ⊥，cm AC 3=，以点C 为圆心，3cm 为半径画⊙C ，请判断A 、B 、D 与⊙C 的位置关系，并说明理由. （三）当堂训练 1、已知⊙O 的半径为5cm ，有一点P 到圆心O 的距离为3cm ，求点P 与圆有何位置关系？ 2、⊙O 的半径为10cm ，A 、B 、C 三点到圆心的距离分别为8cm 、10cm 、12cm ，则点A 、B 、C 与 ⊙O 的位置关系是：点A 在 ；点B 在 ； 点C 在 ； 3、若⊙A 的半径为5，圆心A 的坐标为（3，4），点P 的坐标（5，8），则点P 的位置为（ ） A ．⊙A B ．⊙A 上 C ．⊙A 外 D ．不确定 4、⊙O 的直径18cm ，根据下列点P 到圆心O 的距离，判断点P 和圆O 的位置关系． （1）PO ＝8cm （2）PO ＝9cm （3）PO ＝20cm 5、已知⊙O 的半径为5cm ，P 为一点，当cm OP 5=时，点P 在 ；当OP 时， 点P 在圆；当cm OP 5>时，点P 在 . 6、正方形ABCD 的边长为2cm ，以A 为圆心2cm 为半径作⊙A ，则点B 在⊙A ；点C 在⊙A ；点D 在⊙A 。 课后反思： 高三第一轮复习数学---点与圆、直线与圆、 圆与圆的位置关系 一、教学目标：通过练习掌握基本知识,并能综合运用所学知识正确解题 二、教学重点：综合运用所学知识正确解题 三、教学过程： （一）主要知识： 1、 若圆(x-a)2+(y-b) 2=r 2，那么点(x 0,y 0)在 ()()()()()()?? ???>-+-?<-+-?=-+-?2 2020220202 2020r b y a x r b y a x r b y a x 圆外圆内圆上 2、直线与圆的位置关系 直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交。有两种判断方法： （1） 代数法（判别式法）?? ?????相离相切相交000 （2） 几何法，圆心到直线的距离?? ????>?=?<相离相切相交r d r d r d 一般宜用几何法。 3、弦长与切线方程，切线长的求法 （1）弦长求法一般采用几何法：弦心距d ，圆半径r ，弦长l ，则2222r l d =?? ? ??+ （2）改写圆方程写出圆的切线方程：(x 0,y 0)为切点的圆的切线方程，分别以x 0x, y 0y,2 ,200y y x x ++改写圆方程中的x 2，y 2,x,y （3） 切线长()()22020002020r b y a x F Ey Dx y x d --+-=++++= 4、圆与圆的位置关系 相离?+>2121r r O O 外切?+=2121r r O O 相交?+<<-212121r r O O r r 内切?-=2121r r O O 内含?-<2121r r O O 5、圆系方程 （1）以(a,b)为圆心的圆系方程：()()()022 2≠=-+-r r b y a x 。 （2）过两圆0:111221=++++F y E x D y x C 和0:222222=++++F y E x D y x C 的交点的圆系方程：()022********=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ但不含C 2 1-=λ时，()()()0:212121=-+-+-F F y E E x D D l 为两圆公共弦所在直线方程 其中当两圆相切时，L 为过两圆公共切点所在直线的方程。 （二）例题分析： 例1、已知圆x 2+y 2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P,Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值。 解法一设P(x 1,y 1), Q(x 2,y 2)，由OP ⊥OQ, 得: k OP k OQ = -1即y 1x 1 y 2x 2 = -1即x 1x 2+y 1y 2=0 ① 另一方面(x 1,y 1),(x 2,y 2)是方程组??? x+2y-3=0 x 2+y 2+x-6y+m=0 的实数解， 即x 1,x 2是5x 2+10x+4m-27=0 ② 的两个实数根，∴x 1+x 2=-2,x 1x 2=4m-275 ③ 又P,Q 在直线x+2y-3=0上，∴y 1y 2=14 (3-x 1)(3-x 2)= 14 [9-3(x 1+x 2)+x 1x 2] 将③代入得y 1y 2= m+125 ④ 将③④代入①知：m=3. 代入方程②检验?＞０成立． ∴m=3 解法二将3=x+2y 代入圆的方程知：x 2+y 2+13 (x+2y)(x-6y)+ m 9 (x+2y)2=0, 整理得：(12+m)x 2+4(m-3)x y+(4m-27)y 2=0由于x ≠0可得(4m-27)( y x )2+4(m-3) y x +12+m=0，∴k OP , k OQ 是上方程的两根, 由k OP k OQ = -1知: m+124m-27 =-1, 解得:m=3. 检验知m=3为所求. 【思维点拨】这是用韦达定理解题的典型题，在以后的圆锥曲线中也有同类型题，注意?＞０的检验 练习（变式1）：若直线ax+by=1与圆x 2+y 2=1相交，则点P(a,b)的位置是（ ） A 、在圆上 B 、在圆外 C 、在圆内 D 、都有可能 变式2、过点（2，1）的直线中，被x 2+y 2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程是（ A ） A 、3x-y-5=0 B 、 3x+y-7=0 C 、 x+3y-5=0 D 、x-3y+1=0 例2、已知圆C ：,25)2()1(22=-+-y x 直线 )(047)1()12(:R m m y m x m l ∈=--+++. （1） 证明不论m 取什么实数，直线与圆恒交于两点； （2） 求直线被圆C 截得的弦最小时的方程. 解 （１）l 的方程为（x+y-4）+m(2x+y-7)=0 ∵m ∈R ∴x+y-4=0,且2x+y-7=0,得x=3, y=1 如何讲解直线与圆位置关系 【摘要】我觉得在整个数学教学过程中，既要体现学生的主体地位，更要强调教师的主导地位，所以尽量恰当的利用多媒体课件并采用“启发式”问题教学法，科学地教会学生清晰的思维和严谨的推理模式。 【关键词】直线与圆位置关系 一、巧妙提问题，创情景引入 问题1“轮船的航线和台风的问题” 问题2直线与圆有哪些位置关系？请学生例举生活中具有直线与圆位置关系的事物。 问题3从“形”上来看，可以用哪些数学量来判断直线与圆的位置关系？ 问题4三种位置关系下，直线与圆的公共点个数分别在发生哪些改变？ 问题5我们现在已学习了直线的方程和圆的方程，怎样根据这两个方程来判断直线与圆的位置关系？ 设计意图。通过上述问题，把学生的思维从生活中引进数学，激发学生学习的好奇心和探究意识。问 题是数学的心脏，是学生思维和兴趣的开始抓住了学生的注意力，此时再深入问题，进入第二环节. 二、自己建构知识，探究发现问题 （学生活动）学生对于以上问题1，在图形的情境下，很容易想到初中熟悉的知识，然后对问题1到4给出答案，问题5从“形”的研究变成了“数”的研究，学生可能一时回答不出来。 （教师活动）学生解决的问题3就是判断直线与圆位置关系的“几何法”，即通过圆心到直线的距离与半径的大小进行比较来判断位置关系，让学生画出三种位置关系的图示，同桌之间总结对应的圆心到直线的距离与半径的大小关系。 （学生活动）完成直线与圆三种位置关系与公共点个数的表格。为了引导学生解决问题5，先让学生思考求直线与圆的公共点的求法，进一步提出：问题6求直线和圆的公共点坐标，并判断它们的位置关系。 （学生活动）通过观察，从两直线的交点坐标的求解是联立方程组得到的这一思想出发，可初步得到求直线与圆的交点的坐标也可转化为求的解。 （教师活动）在引导学生解决问题6同时，诱导学生对于方程组的解的个数与交点的个数，及直线与圆的位置关系的进一步的思考。再提出：问题7 方程 考点26 圆的方程 [玩前必备] 1．圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径． 2. 圆的标准方程 (1) 以(a ，b )为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． (2) 特殊的，以(0，0)为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2． 3. 圆的一般方程 方程 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为????x ＋D 22 ＋????y ＋E 22 ＝D 2＋E 2 －4F 4 . (1) 当 D 2＋ E 2－4 F >0 时，方程表示以????－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2 为半径的圆； (2) 当D 2＋E 2－4F ＝0时，该方程表示一个点????－D 2，－E 2； (3) 当D 2＋E 2－4F ＜0时，该方程不表示任何图形． 4. 直线与圆的位置关系的判断方法 设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)，圆为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，d 为圆心(a ，b )到直线l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. 5. (1) 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含． (2) 判断两圆位置关系的方法 设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 2 2(r 2>0)．圆心距O 1O 2＝d ，则 6．(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则(l 2)2＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： 设直线与圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]. 注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题． [玩转典例] 题型一 求圆的方程 例1 （2020·河南濮阳.高三期末）若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4 [玩转跟踪] 1． (1)圆心在y 轴上且经过点(3，1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0 (2) 已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为______________． 题型二 判断直线与圆的位置关系 例2 （2020·福建高三期末）若直线 :1(0)l y kx k =+<与圆2 2:4230C x x y y ++-+=相切，则直线l 与圆2 2:(2)3D x y -+=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定 [玩转跟踪] 1．（2020·包头市田家炳中学高三期中）直线y ＝x ﹣1与圆x 2+y 2＝1的位置关系为（ ） A ．相切 B ．相离 C ．直线过圆心 D ．相交但直线不过圆心 题型三 直线与圆相交弦长问题 例3 在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． [玩转跟踪] 1．（2020·河南濮阳）斜率为1的直线l 被圆x 2+y 2＝4x 截得的弦长为4，则l 的方程为（ ） A ．y ＝x ﹣3 B ．y ＝x +3 C ．y ＝x ﹣2 D ．y ＝x +2 5.6 圆与圆的位置关系 学习目标 1.了解圆与圆的5种位置关系。 2.经历探索两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系间的内在联系的过程，并运用相关结论解决问题。 知识详解 1.定义： （1）如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离。 外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。（图（1）） 内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含（图（5））。两圆同心是两圆内含的一个特例。（图（6）） （2）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切 外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。这个唯一的公共点叫做切点。（图（2）） 内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。这个唯一的公共点叫做切点。（图（4）） （3）两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交。（图（3）） 注意： （1）两圆外离与内含时，两圆都无公共点，但同时要考虑内部和外部的因素。两圆外切与内切也有这样的比较。 （2）两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一。 （3）两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离（外离和内含）；相交；相切（外切和内切）。 从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交。除以上关系外，还有一种关系：“不在同一直线上的三个点确定一个圆”判断出这两个圆是同一个圆。即重合；在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系。 2. 两圆位置关系的数量特征 圆 目录 圆的定义及相关概念 垂经定理及其推论 圆周角与圆心角 圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 圆内接四边形 会用切线, 能证切线 切线长定理 三角形的内切圆 了解弦切角与圆幂定理（选学） 圆与圆的位置关系 圆的有关计算 一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到 直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。 考点5 点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d， 则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d＞r；②点在圆上?d=r；③点在圆内? d＜r； 【典型例题】 例1 在⊿ABC中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD是直径，? = ∠84 EOD，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。 M A B C D O E B C 圆与圆的位置关系 【教学目标：】 1、 知道圆与圆之间的五种位置关系. 2、 经历探索两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系间的内在联系的过程，并能运用相 关结论解决有关问题. 3、 在动手实践的过程中体会分类的思想，增强探究的意识和能力. 【教学重点、难点：】 知道圆与圆之间的五种位置关系及两圆半径、圆心距的数量关系间的内在联系 【教学过程：】 一、创设情境 导入新课 1、导入：我们已研究过点与圆、直线与圆的位置关系。 直线与圆的有几种位置关系？有几种判定方法？（板书：公共点个数、d 与r 的数量关系） 过渡：那么圆与圆又有怎样的位置关系呢？（板书课题） 2、操作与思考：（1）画⊙O 1 （2）拿出透明纸上的⊙O 2，放在同一平面内，让 ⊙O 2 从⊙O 1的外部逐渐向⊙ O 1移动. （3）在移动过程中，⊙O 1与⊙O 2的位置关系发生了怎样的变化？你能描述这种 变化吗？ 3、多媒体展示5种位置关系的图片 【设计意图：通过情境，唤醒旧知，为用类比迁移的办法研究圆与圆的位置关系作铺垫】 二、探索新知： 1、问题：你能把上述位置归类吗？你为什么这样归类？ 2、归纳： 1）两圆位置关系的五种情况归纳为三类： 相离 、 相切 、 相交 . （1）两圆相离包括外离和内含 （2）两圆相切包括外切和内切； 2）给出五种情况具体的描述性定义 (1）外离： （2）外切： （3）相交： （4）内切： （5）内含： （同心圆是特例） 【设计意图：通过公共点的个数说明两圆的位置关系，形象直观】 3、介绍连心线（过两圆圆心的直线）.问：上述图形有何特征？（轴对称图形） 4、观察并思考：两圆的切点与连心线有什么关系？ （如果两圆相切，那么切点一定在连心线上） 教学目标 重点、难点 考点及考试要求高中数学-圆与圆的位置关系教案
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1、 了解圆与圆的五种位置关系； 2、经历探索两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系间的内在联系的 过程，并运用相关结论解决问题； 1、位置关系与对应数量关系的运用 2、两圆的位置关系对应数量关系的探索 1、圆与圆的五种位置关系 2、两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系
教
第一课时
学
内
容
圆与圆的位置关系知识点梳理
课前检测 1、⊙O 的半径是 6，圆心到直线 l 的距离为 3，则直线 l 与⊙O 的位置关系是（ A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 2、如图 1，AB 与⊙O 切于点 B，AO＝6 ㎝，AB＝4 ㎝，则⊙O 的半径为（ ） A、4 5 ㎝ B、2 5 ㎝ C、2 13 ㎝ D、 13 ㎝ ）
3、如图 2，已知⊙0 的直径 AB 与弦 AC 的夹角为 35°，过 C 点的切线 PC 与 AB 的 延长线交于点 P，则么∠P 等于（ ） 0 0 A．15 B．20 C．250 D．300
O A C B
图1 图2 图3 4、如图 3，AB 与⊙O 切于点 C，OA=OB，若⊙O 的直径为 8cm，AB=10cm，那么 OA 的长是（ A． 41 B． 40
）
C. 14
D. 60
点
A D E B O C F
5、已知：如图，△ABC 中，AC＝BC，以 BC 为直径的⊙O 交 AB 于 D，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，交 BC 的延长线于点 F． 求证： （1）AD＝BD； （2）DF 是⊙O 的切线．