高一数学知识点与题型完整归纳总结

集合及集合的应用

【课标解读】

1.掌握集合的有关基本定义概念，运用集合的概念解决问题；

2.掌握集合的包含关系（子集、真子集）；

3.掌握集合的运算(交、并、补)；

4.在解决有关集合问题时，要注意各种思想方法（数形结合、补集思想、分类讨论）的运用.

【知识梳理】

一、集合的有关概念

(一)集合的含义

(二)集合中元素的三个特性

1.元素的确定性：如：世界上最高的山，反例：世界上很高的山；

2.元素的互异性：如：由“HAPPY”的字母组成的集合{H,A,P,Y}；

3.元素的无序性：如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合.

(三)集合的表示

集合的表示方法：列举法与描述法.

常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N，

正整数集：N*或N+，整数集：Z，有理数集Q，实数集R.

1．列举法：{a,b,c,…}

2．描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法.如：{x∈R| x-3>2},{x|x-3>2}.

3．语言描述法：如：{不是直角三角形的三角形}.

4.Venn图.

(四)集合的分类

1.有限集: 含有有限个元素的集合;

2.无限集: 含有无限个元素的集合;

3.空集: 不含任何元素的集合;如：{x|x2=-5｝.

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系——子集

A?有两种可能：（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合.

注意：B

?/B或B?/A.

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A

2.“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5).实例：设A={x|x2-1=0}，B={-1,1}. 则A=B.

元素相同则两集合相等,即：①任何一个集合是它本身的子集：A?A；

②真子集:如果A?B,且A≠B,那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A).

③如果A?B, B?C ,那么A?C.

④如果A?B , 同时B?A ,那么A=B.

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为?

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集. 含有n 个元素的集合，有2n 个子集，21n -个真子集.

三、集合的运算

运算类型

交 集 并 集 补 集

定义

由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A ,B 的交集．记作A I B （读作“A

交B ”），即A I B =｛x |x ∈A ，且x ∈B ｝．

由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A ,B 的并集．记作：A Y B （读作“A 并B ”），即A Y B

={x |x ∈A ，或x ∈B }．

设S 是一个集合，A 是S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集）记作 S A ，即 S A =},|{A x S x x ?∈且.

韦恩图示

性质

A I A=A A I ?=?

A I B=

B I A A I B ?A A I B ?B

A Y A=A A Y ?=A A Y B=

B Y A A Y B ?Ａ A Y B ?B

( U A )I ( U B )= U (A Y B ) ( U A ) Y ( U B )= U (A I B ) A Y ( U A )=U A I ( U A )= ?

【方法归纳】

一、对于集合的问题：要确定属于哪一类集合（数集，点集，或某类图形集），然后再确定处理此类问题的方法.

二、关于集合中的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，然后再进行运算.

三、含参数的集合问题，多根据集合的互异性处理，有时需要用到分类讨论、数形集结合的思想. 四、处理集合问题要多从已知出发，多从特殊点出发来寻找突破口.

课堂精讲练习题

考点一：集合的概念与表示

1. 集合A 中的元素由x =a +2a ∈Z ,b ∈Z )组成，判断下列元素与集合A 的关系. （1）0； （221- ； （332-. 【解题思路】：（1）因为2000?+=，所以A ∈0； （2）因为

2111

21?+=-，所以

A

∈-1

21；

（3312,3,.3232A =--Z 所以

难度分级:B 类

S

A

2. 已知集合A ={y |y =x -1，x ∈R }，B ={(x ,y )|y =x 2-1，x ∈R }，C ={x |y =x +1，y ≥3}，求()A C B U I . 【解题思路】：

∵A ={y |y =x -1，x ∈R }=R 是数集，B ={(x ,y )|y =x 2-1，x ∈R }是点集， C ={x |y=x +1，y ≥3}={x |x ≥2}， ∴()A C B U I =?.

难度分级:A 类

3. 已知集合A ={x |x 2+4ax -4a +3=0}， B ={x |x 2+(a -1)x +a 2=0}，C ={x |x 2+2ax -2a =0}， 其中至少有一个集合不是空集，求实数a 的取值范围. 【解题思路】：

当三个集合全是空集时，所对应的三个方程都没有实数解. 方程都没有实数解，

即 2122

22

3164(43)0(1)40480

a a a a a a ??=--+

解此不等式组，得 3

12

a -

<<- ∴所求实数a 的取值范围为a ≤3

2

-,或a ≥-1. 难度分级:B 类

考点二：集合中元素的特征

4. 集合{3，x ，x 2－2x }中，x 应满足的条件是___________. 【解题思路】：x ≠－1且x ≠0且x ≠3. 难度分级：A 类

5. 设集合{},,P x y x y xy =-+，{}

2222,,0Q x y x y =+-，若P Q =，求,x y 的值及集合P 、Q ． 【解题思路】：∵P Q =且0Q ∈，∴0P ∈．

（1）若0x y +=或0x y -=，则2

2

0x y -=，从而{}

22,0,0Q x y =+，与集合中元素的互异性矛盾，∴

0x y +≠且0x y -≠；

（2）若0xy =，则0x =或0y =．

当0y =时，{},,0P x x =，与集合中元素的互异性矛盾，∴0y ≠； 当0x =时，{,,0}P y y =-，2

2

{,,0}Q y y =-，

由P Q =得22

0y y y y y -=??=-?≠?? ① 或220

y y y y y -=-??=?≠?? ②

由①得1y =-，由②得1y =，

∴{01x y ==-或{

01x y ==，此时{1,1,0}P Q ==-． 难度分级:B 类

6. 设S 是满足下列两个条件的实数所构成的集合： ①1∈S ，②若a S ∈，则1

1S a

∈-， 请解答下列问题：

（1）若2∈S ，则S 中必有另外两个数，求出这两个数； （2）求证：若a S ∈，则1

1S a

-

∈. （3）在集合S 中元素能否只有一个？请说明理由； （4）求证：集合S 中至少有三个不同的元素. 【解题思路】：（1）要求的两个数为11,2

-； （2）∵若1,1a S S a ∈∈-则

，111111S a a

∴=-∈--，∴1,1a S S a ∈-∈若则.

（3）集合S 中的元素不能只有一个.

证明：假设集合S 中只有一个元素，则根据题意知a =11a -,此方程无解，∴a ≠11a

- ∴集合S 中的元素不能只有一个. （4）证明：由（2）知，a S ∈，11S a -∈， 现在证明a ，11a -，1

1a

-三个数互不相等. ①若a =

11a -,此方程无解，∴a ≠1

1a - ②若a =11a -

，此方程无解，∴a ≠1

1a

- ③若

11a -=11a -，此方程无解，∴11a -≠11a

- 综上所述，集合S 中至少有三个不同的元素. 难度分级：C 类

考点二：交集、并集、补集的含义及其运算

7. (2010·南京模拟)已知集合M ＝{x |y 2＝x ＋1}，P ＝{x |y 2＝－2(x －3)}，那么M ∩P ＝ . 【解题思路】：由M ：x ＝y 2－1≥－1，即M ＝{x |x ≥－1}，由P ：x ＝－12

y 2＋3≤3，即P ＝{x |x ≤3}，

所以M ∩P ＝{x |－1≤x ≤3}． 答案: {x |－1≤x ≤3} 难度分级：A 类

8.已知集合A 中有10个元素，集合B 中有6个元素，全集U 中有18个元素，且有A ∩B ≠?，设集合 U (A ∪

B )中有x 个元素，则x 的取值范围是________．

【解题思路】：因为当集合A ∩B 中仅有一个元素时，集合 U (A ∪B )中有3个元素，当A ∩B 中有6个元素时， U (A ∪B )中有8个元素，即3≤x ≤8且x 为整数． 答案:3≤x ≤8且x 为整数. 难度分级：B 类

9.(2010·盐城模拟)设全集U ＝R ，A ＝{x |x －1x ＋m >0}，?U A ＝[－1，－n]，则m 2＋n 2＝________.

【解题思路】：由?U A ＝[－1，－n ]，知A ＝(－∞，－1)∪(－n ，＋∞)，即不等式x －1

x ＋m >0的解集为

(－∞，－1)∪(－n ，＋∞)，所以－n ＝1，－m ＝－1，因此m ＝1，n ＝－1，所以m 2＋n 2＝2. 难度分级：B 类

10.若集合{}

2|10,A x x ax x R =++=∈，集合{}1,2B =，且A B ?，求实数a 的取值范围．

【解题思路】：（1）若A ＝?，则2

40a ?=-<，解得22a -<<； （2） 若1A ∈，则2

110a ++=，解得2a =-，此时{1}A =，适合题意； （3）则2

2210a ++=，解得52a =-

，此时5

{2,}2

A =，不合题意； 综上所述，实数a 的取值范围为[2,2)-． 难度分级：A 类

11.写出阴影部分所表示的集合：

图1

B

U

A C U

B A

图2

【解题思路】：（1）B ∩（ U A ） (2)A ∩B ∩C . 难度分级：B 级

12.（2010辽宁理）已知A ，B 均为集合U ={1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ={3}, U B ∩A ={9}, 则A = .

【解题思路】：因为A ∩B ={3}，所以3∈A ，又因为 U B ∩A ={9}，所以9∈A ,所以A ={3,9}.本题也可以用Venn 图的方法帮助理解. 难度分级：B 类

13.设集合A ={x |x 2+4x =0，x ∈R }，B ={x |x 2+2(a +1)x +a 2-1=0，x ∈R }，若B ?A ，求实数a 的取值范围． 【解题思路】：A ={x |x 2+4x =0，x ∈R }={0，-4},∵ B ?A , ∴ B =?或{0}，{-4}，{0，-4}. ①当B =?时，⊿=[2(a +1)]2-4(a 2-1)<0. ∴ a < -1.

②当B ={0}时，2

02(1)

01a a =-+??=-?,

∴a =-1. ③当B ={-4}时，2

442(1)

161a a --=-+??=-? , ∴此方程组无解. ④当B ={0，-4}时，2

402(1)

01a a -+=-+??=-?

,∴a =1. ∴ a 的取值范围为：a -1或a =1． 难度分级：B 类

14. (2010·盐城模拟)已知集合A ＝{x |x 2＋x －2≤0}，B ＝{x |20}，且满足(A ∪B )∩C ＝?，(A ∪B )∪C ＝R ，求实数b ，c 的值．

【解题思路】：因为A ＝{x |－2≤x ≤1}，B ＝{x |13或x <－2}，

则不等式x 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x >3或x <－2}，即方程x 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为－2和3， 则b ＝－(3－2)＝－1，c ＝3×(－2)＝－6. 难度分级：B 类

15.已知全集U =R ，集合A ={x |x 2-x -6<0}， B ={x |x 2+2x -8>0}，C ={x |x 2-4ax +3a 2<0}，

(1)试求a 的取值范围，使A ∩B ?C ； (2)试求a 的取值范围，使U U C A C B C ?I .

【解题思路】： U =R ，A =（-2，3），B =（-∞，-4）∪（2，+∞），故A ∩B =（2，3），

U C A =（-∞，-2]∪[3，+∞），U C B =[-4，2]，()()U U C A C B I =[-4，-2]，

∵x 2-4ax +3a 2<0即(x -3a )(x -a )<0，

∴当a <0时，C =（3a ，a ）； 当a =0时，C =?； 当a >0时，C =（a ，3a ）.

(1) 要使A ∩B ?C ，结合数轴知， 0233a a a >??

≤??≥?

解得 1≤a ≤2；

(2) 类似地，要使U U C A C B C ?I ，必有 0

342

a a a

<-??>-?

解得 423a -<<-.

难度分级：B 类

【课堂训练】

1. 若集合},,{c b a M =中元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是 三角形. 【解题思路】：根据集合中元素的互异性，a 、b 和c 互不相等，所以△ABC 一定不是等腰三角形. 答案：等腰 难度分级：A 类

2. 设集合I ={1，2，3}，A ?I ,若把集合M ∪A =I 的集合M 叫做集合A 的配集，则A ={1，2}的配集有 个. 【解题思路】：A 的配集中一定含有元素3,余下两个元素1，2可以全不含、仅有一个、两个都有. 答案：4 难度分级：B 类

3. 三个元素的集合{1，a ，b

a

}，也可表示为{0，a 2，a +b }，求a 2011+ b 2012的值． 【解题思路】：依题意得0=a b

,

则b =0.所以12=a , 则1±=a .由互异性知1-=a . 所以 a 2011+ b 2012=-1. 难度分级：B 类

4. 设集合A ={5，log 2（a +3）}，集合B ={a ，b }.若A ∩B ={2}，则A ∪B =______________. 【解题思路】：∵A ∩B ={2}，∴log 2（a +3）=2.∴a =1.∴b =2. ∴A ={5，2}，B ={1，2}.∴A ∪B ={1，2，5}. 答案：{1，2，5}. 难度分级：A 类

3.设A ={x |1＜x ＜2}，B ={x |x ＞a }，若A B ，则a 的取值范围是___________________. 【解题思路】：A B 说明A 是B 的真子集，利用数轴（如下图）可知a ≤1.

a 1 2

答案：a ≤1. 难度分级：A 类

5. (2010·苏州模拟)已知全集U ＝R ，M ＝{x |y ＝x －1}，P ＝{x |12

log y x =，y ∈M }，

则( U M )∩( U P )＝________________.

【解题思路】：∵M 是y ＝x －1的定义域，即M ＝{x |x ≥1}，∴ U M ＝{x |x <1}． ∵P 是值域为M 时，12

log y x =的定义域，则P ＝{x |012

}，

∴( U M )∩( U P )＝{x |x ≤0或1

2

答案：{x |x ≤0或1

2

难度分级：A 类

6.已知集合A ={x |x 2-1=0 }，B ={x |x 2-2ax +b =0}，A ∪B =A ，求a ，b 的值或a ,b 所满足的条件． 【解题思路】：∵A ={x |x 2-1=0 }={1，-1}, A ∪B =A ， ∴ B ?A .

①当B =?时 , ⊿=4a 2-4b <0,即20a b -<; ②当B ={-1}时，a =-1，b =1;

③当B ={1 }时，2a =1+1=2，即a =b =1;

④当B ={-1，1}时，B =A ={-1，1 }，此时a =0，b =-1.

综上所述a ,b 满足的条件为：a 2-b <0或a =-1，b =1 或a =0，b =-1或a =-1，b =1. 难度分级：B 类

7.(2010·扬州模拟)设A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}． (1)若A ∪B ＝A ∩B ，求实数a 的值；

(2)若A ∩B ≠?，且A ∩C ＝?，求实数a 的值； (3)若A ∩B ＝A ∩C ≠?，求实数a 的值．

【解题思路】：(1)因为A ∪B ＝A ∩B ，所以A ＝B ，又因为B ＝{2,3}， 则a ＝5且a 2－19＝6同时成立，所以a ＝5.

(2)因为B ＝{2,3}，C ＝{－4,2}，且A ∩B ≠?，A ∩C ＝?，则只有3∈A ，即a 2－3a －10＝0， 即a ＝5或a ＝－2，由(1)可知，当a ＝5时，A ＝B ＝{2,3}，此时A ∩C ≠?，与已知矛盾， 所以a ＝5舍去，故a ＝－2.

(3)因为B ＝{2,3}，C ＝{－4,2}，且A ∩B ＝A ∩C ≠?，此时只有2∈A ， 即a 2－2a －15＝0，得a ＝5或a ＝－3， 由(1)可知，当a ＝5时不合题意，故a ＝－3. 难度分级：B 类

【课后检测】

1. 已知集合A ={(x ,y )|x 2－y 2－y =4}，B ={(x ,y )|x 2－xy －2y 2=0}，C ={(x ,y )|x －2y =0}，D ={(x ,y )|x +y =0}. (1)判断B 、C 、D 间的关系； (2)求A ∩B .

【解题思路】：（1）B =C ∪D ; （2）A ∩B ={(3

4

,38),(－2, －1),(4，－4)}. 难度分级：B 类

2. 已知全集U =A B U 中有m 个元素，()(

)U U

A B U 痧中有n 个元素．若A B I 非空，则A B I 的元素个数

为 .

【解题思路】： 因为[()()]U U

U A B A B =I U 痧?，所以A B I 共有m n -个元素.

难度分级：A 类

3. 已知数集 A ={a 2，a +1，-3}，数集B ={a -3,a -2，a 2+1}，若A ∩B ={-3}，求a 的值． 【解题思路】：∵A ∩B ={-3}， ∴-3∈A, -3∈B.

当a -3=-3,即a = 0时，B ={-3，-2，1}， A ={0，1，-3}不满足题意； 当a -2=-3,即a =-1时，B ={-4，-3，2}， A ={1，0，-3}满足题意. ∴a =-1. 难度分级：A 类

4. 已知集合A ={2，5}，B ={x |x 2+px +q =0，x ∈R }. （1）若B ={5}，求p ，q 的值．

（2）若A ∩B = B ，求实数p ，q 满足的条件．

【解题思路】：（1）∵A ∩B ={5}，∴方程x 2+px +q =0有两个相等的实根5， ∴5+5=-p ,5?5=q,∴p =-10，q =25. （2） ∵A ∩B = B ,∴B ?A.

当B =?时，⊿=p 2-4q <0，即 p 2<4q ；当B ={2}时，可求得p =-4，q =4； 当B ={5}时，p =-10，q =25；当B ={2，5}时，可求得p =-7，q =10； 综上所述：实数p ，q 满足的条件为p 2<4q 或44p q =-??=?或1025p q =-??=?或7

10p q =-??=?

.

难度分级：B 类

5. 已知A ={x |x 2－px +15=0}，B ={x |x 2－ax －b =0}，且A ∪B ={2,3,5}，A ∩B ={3}，求p ,a ,b 的值. 【解题思路】：p =8, a =5 ,b =－

6. 难度分级：B 类

6. 设A ={x |x 2+4x =0}，B={x |x 2+2(a +1)x +a 2－1=0,a ∈R }. (1)若A ∩B =B ，求实数a 的值. (2)若A ∪B =B ,求实数a 的值.

【解题思路】：(1)a =1或a ≤－1； (2)a =1. 难度分级：B 类

7. 某校有A 、B 两个课外科技制作小组，50名学生中报名参加A 组的人数是全体学生人数的3

5

，报名参加B 组的人数比报名参加A 组的人数多3人，两组都没有报名的人数是同时报名的人数的1

3

还多1人，求同时报名参加A 、B 两组人数及两组都没有报名的人数.

【解题思路】：同时报名参加A 、B 组的人数为21人，两组都没有报名的人数为8人. 难度分级：B 类

8. 已知全集{}

|10U x N x *=∈<，且{}1,9U A B =I e，{}6,8U U

A B =I

痧，

A B =I {}2,4，求集合A 和B .

【解题思路】：如图：

由图可知，

{}2,3,4,5,7A =，{}1,2,4,9B =.

难度分级：B 类

9. 已知集合A ={x ∈R |ax 2+2x +1=0，a ∈R }只有一个元素，则a 的值为__________________. 【解题思路】：若a =0，则x =－2

1

. 若a ≠则，Δ=4－4a =0，得a =1. 答案：a =0或a =1. 难度分级：B 类

10. 设集合P ={0，a ，2b }，Q ={0，a 2，b 2}，已知P =Q ，求a ,b 的值.

【解题思路】：∵P =Q ，∴2

2

,

2a a b b

?=??=??

①或2

2

,2.

a b b a ?=??=??②

解①得a =0（舍）或a =1，b =0（舍）或b =2.

解②得0,0,a b =??=?(舍去)，或334,

2.

a b ?=??=??

所以a =1，b =2或者3

4,a =32.b =

难度分级：B 类

11. 设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -?且1k A +?，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个. 【解题思路】：

本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力，属于创新题型.什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与k 相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k 相邻的元素.

故不含“孤立元”的集合有{}{}{}{}{}{}1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8，共6个.

难度分级：C 类

12. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 . 【解题思路】：

设两者都喜欢的有x 人，则只喜爱篮球的有(15)x -人，只喜爱乒乓球的有(10)x -人，由此可得

(15)(10)830x x x -+-++=，解得3x =，所以1512x -=.即所求人数为12人 .

难度分级：B 类

A B

U

192435687

第二讲 函数的图象及基本性质

【课标解读】

1． 理解函数概念；

2． 了解构成函数的三个要素； 3． 会求一些简单函数的定义域与值域； 4． 理解函数图象的意义；

5． 能正确画出一些常见函数的图象；

6． 会利用函数的图象求一些简单函数的值域、判断函数值的变化趋势； 7． 理解函数单调性概念；

8． 掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性； 9． 会证明一些较复杂的函数在某个区间上的单调性； 10． 能利用函数的单调性解决一些简单的问题； 11． 了解函数奇偶性的含义； 12． 熟练掌握判断函数奇偶性的方法； 13． 熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质； 14． 能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题.

【知识梳理】

1． 函数的定义：设,A B 是两个非空数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集

合B 中都有惟一的元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，记为(),y f x x A =∈．其中输入值x 组成的集合A 叫做函数()y f x =的定义域，所有输出值y 的取值集合叫做函数()y f x =的值域.

2． 函数的图象：将函数()f x 自变量的一个值0x 作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面

上的一个点00(,())x f x ，当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，所有这些点组成的图形就是函数

()y f x =的图象．

3． 函数()y f x =的图象与其定义域、值域的对应关系：函数()y f x =的图象在x 轴上的射影构成的集合

对应着函数的定义域，在y 轴上的射影构成的集合对应着函数的值域．

4． 用列表来表示两个变量之间的函数关系的方法叫列表法，其优点是函数的输入值与输出值一目了然；用

等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫解析法（这个等式通常叫函数的解析表达式，简称解析式），其优点是函数关系清楚，容易从自变量求出其对应的函数值，便于用解析式研究函数的性质；用图象来表示两个变量之间的函数关系的方法叫图象法，其优点是能直观地反映函数值随自变量变化的趋势．

5． 单调增函数的定义： 一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ?．

如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()y f x =在区间

I 上是单调增 函数，I 称为()y f x =的单调增区间．

注意：⑴“任意”、“都有”等关键词；

⑵单调性、单调区间是有区别的；

6． 单调减函数的定义： 一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ?．