概率论与数理统计-重要公式

概率论与数理统计-重要公式

一、随机事件与概率

公式名称 公式表达式

德摩根公式

B A B A ，B A B A

古典概型

()m A P A n

包含的基本事件数基本事件总数

几何概型

()

()()A P A

，其中μ为几何度量（长度、面积、体积）

求逆公式

)(1)(A P A P

加法公式

P(A ∪B)= P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

当P(AB)＝0（A 、B 互斥）时，P(A ∪B)=P(A)+P(B) 减法公式

P(A-B)=P(A)-P(AB)，B A 时P(A-B)=P(A)-P(B)

条件概率公式

乘法公式

)

()()(A P AB P A B P

()()()()P ABC P A P B A P C AB

全概率公式 1()()()n

i i i P A P B P A B 从原因计算结果

贝叶斯公式 （

逆概率公式）

1

()()

()()()

i i i n

i

i

i P B P A B P B A P B P A B

从结果找原因

两个事件 相互独立

()()()P AB P A P B ；()()P B A P B ；)()(A B P A B P ；

一般正态分布的概

率计算公式

分布函数

对离散型随机变量

对连续型随机变量

分布函数与密度函数的重要关系：

4、随机变量函数Y=g(X)的分布

离散型：()(),1,2,j i

i j g x y P Y y p i

L ，

连续型： ①分布函数法，

②公式法()(())()(())Y X f y f h y h y x h y 单调 h(y)是g(x)的反函数

三、多维随机变量及其分布

1、离散型二维随机变量及其分布

分布律：(,),,1,2,i j ij P X x Y y p i j L 联合分布函数(,)i i ij

x x y y

F X Y p

边缘分布律：()i i ij j

p P X x p ()j j ij i

p P Y y p

条件分布律：(),1,2,ij i j j

p P X x Y y i p L ，(),1,2,ij j i i p P Y y X x j p

L

联合密

度函数

2、连续型二维随机变量及其分布 ①分布函数及性质

x

dt

t f x X P x F )()()( x

k k X P x X P x F )

()()()()('

x f x F

x

dt

t f x X P x F )()()()

,(y x f 0

),( y x f 1

),(

dxdy y x f )

(

)()(

a a X P a X P )

(

1)()(

a a X P a X P )

(

)(

)(

a b b X a P

分布函数：

x y

dudv v u f y x F ),(),(

性质：2(,)

(,)1,

(,),F x y F f x y x y

((,))(,)G

P x y G f x y dxdy

②边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：

x

X dvdu v u f x F ),()( 密度函数：

dv v x f x f X ),()(

y

Y dudv v u f y F ),()(

du y u f y f Y ),()(

③条件概率密度

y x f y x f x y f X X Y ,)()

,()(， x y f y x f y x f Y Y X ,)

(),()( 3、随机变量的独立性

随机变量X 、Y 相互独立(,)()()X Y F x y F x F y ，

连续型：(,)()()X Y f x y f x f y 离散型：..ij i j p p p ，

4、二维随机变量和函数的分布(卷积公式)

离散型：()(,)i j k

k i j x y z P Z z P X x Y y 注意部分可加性

连续型：()(,)(,)Z f z f x z x dx f z y y dy

四、随机变量的数字特征

1、数学期望

①定义：离散型

1

)(k k k p x X E ，连续型

dx

x xf X E )()(

②性质：(),E C C )()]([X E X E E ，)()(X CE CX E ，)()()(Y E X E Y X E

b X aE b aX E )()( ，当X 、Y 相互独立时：)()()(Y E X E XY E (正对逆错)

随机变量g(X)的数学期望

2、方差 ①定义：

②性质：0)( C D ，)()(2

X D a b aX D ，),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D 当X 、Y 相互独立时：)()()(Y D X D Y X D

3、协方差与相关系数

①协方差：(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y ，当X 、Y 相互独立时：0),( Y X Cov

②相关系数： ()()XY D X D Y ，当X 、Y 相互独立时：0 XY (X,Y 不相关)

③协方差和相关系数的性质：)(),(X D X X Cov ，),(),(X Y Cov Y X Cov

),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov ，),(),(Y X abCov d bY c aX Cov

Cov(x,a)=0(a 为常数)，),(2)()()(22Y X abCov Y D b X D a bY aX D

1),(0 y x F }

,{),(y Y x X P y x F }{}{},{j Y P i X P j Y i X P k

k

k p x g X g E )())((

4分布 数学期望E （X ） 方差D （X ）

0-1分布 ),1(p b p p(1-p) 二项分布 ),(p n b np

np(1-p)

泊松分布 )( P

均匀分布 ),(b a U

2

b

a 12

)(2

a b 正态分布 ),(2

N

2

指数分布

)( e

1

2

1

五、大数定律与中心极限定理

1、切比雪夫不等式

若,)(,)(2

X D X E 对于任意0 有2

)

(})({

X D X E X P

2、大数定律：

①切比雪夫大数定律：若n X X 1相互独立，

2)

(,)(i i i i X D X E 且C i 2

，则：

n

i i

P

n

i i n X E n

X n

1

1

)(),(1

1

②伯努利大数定律：设n A 是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则0 ，有：lim 1A n n P p n

③辛钦大数定律：若1,,n X X L 独立同分布，且 )(i X E ，则

n P

n

i i

X

n 1

1

3、★中心极限定理

①列维—林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量(1,2,)i X i L ，均值为 ，方差为

02

，当n 充分大时有：1

((0,1)~n

n k k Y X n n N

②棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：随机变量),(~p n B X ，则对任意x 有：

2

2

lim {}()(1)2t x n P x dt x np p

③近似计算：1

()n

k k P a X b n n

六、数理统计的基本概念

1、总体和样本的分布函数

设总体X ～F(x)，则样本的联合分布函数)(),(121k n

k n x F x x x F

2、统计量

样本均值：

n

i i X n

X 1

1，样本方差：

n

i i

n

i i X n X n X X n S 1

22

122

)(11)(11 样本标准差：

n

i i X X n S 1

2)(11 ，样本k 阶原点距： 2,1,11

k X n A n

i k i k

样本k 阶中心距：1

1(),1,2,3n

k k i i B X X k n L

3、三大抽样分布

(1)2

分布（卡方分布）：设随机变量X ～B(0,1)(1,2,,)i n L 且相互独立，则称统计量

222212n X X X 服从自由度为n 的2

分布，记为)(~22n

性质：①n n D n n E 2)]([,)]([2

2 ②设)(~),(~22n Y m X 且相互独立，

则)(~2

n m Y X

(2)

t

分布：设随机变量)(~),1,0(~2

n Y N X ，且X 与Y 独立，则称统计量：n

Y X T

服

从自由度为n 的t 分布，记为)(~n t T 。

性质：①()0(1),()(2)2n E T n D T n n

②2

2

lim ()()2x n n f x x

(3)

F

分布：设随机变量22

~(),~()X m Y n ，且X 与Y 独立，则称统计量(,)X m

F m n Y n

服从第一自由度为m ，第二自由度为n 的F 分布，记为~(,)F F m n ，性质：设~(,)F F m n ，则1~(,)F n m F 。

七、参数估计

1.参数估计

①定义：用12(,,,)n X X X

L 估计总体参数 ，称12(,,,)n X X X

L 为 的估计量，相应的

12(,,,)n x x x

L 为总体 的估计值。 2.点估计中的极大似然估计

设12,,n X X X L 取自X 的样本，设~(,)X f x 或~(,)X P x ， 求法步骤： ①似然函数：11

()(,)()()(,)()n

n

i i i i i L f x L P x 连续型或离散型

②取对数：1

ln ()ln (,)n

i i L f x 或1

ln ()ln (,)n

i i i L p x

③解方程：1ln ln 0,,0k

L L L ，解得：111212(,,,)(,,,)

n k k n x x x x x x

L L L L

估计量

的评价

标准 无偏

性 设12(,,,)n x x x L 为未知参数 的估计量。若E( ）= ，则称

为 的无偏估计量。

有效

性 设1112(,,,)n x x x

L 和2212(,,,)n x x x

L 是未知参数 的两个无偏估计量。若12()()D D

，则称12

比有效。

一致性

设n

是 的一串估计量，如0 ，有lim (||)0n n P 则称n

为 的一致估

计量（或相合估计量）。

正态总体中，样本均值X 是 的无偏估计量 修正样本方差2S 是2 的无偏估计量

八、假设检验

基

本思想

假设检验的统计思想是小概率原理。

小概率事件的概率就是显著性水平α，常取α=0.05，0.01或0.10。 条件 估计 参数 枢轴量

枢轴量

分布 置信水平为1 的置信区间

已知2 /X Z n

(0,1)N

22,x z x z n n

未知2

/X T S n

(1)t n

22(1),(1)S S x t n x t n n n

未知 2 2

2

2

(1)n S

2

(1)n

22

2

2122(1)(1),(1)(1)n S n S n n

未知

2

2

21n

i i X

2()n

221122

122()(),()()n n i i i i X X n n

基本步骤①提出原假设H0；②选择检验统计量

1

(,,)

n

g X X

L；③对于α查表找分位数λ，

使

1

((,,))

n

P g X X W

L，从而定出拒绝域W；

④由样本观测值计算统计量实测值

1

(,,)

n

g x x

L；并作出判断：当实测值落入W时拒绝H0，否则认为接受H0。

第一类错误：当H0为真时，而样本值却落入了拒绝域，应当否定H0。“弃真错误”

P{拒绝H0|H0为真}=

第二类错误：当H1为真时，而样本值却落入了接受域，应接受H0。“取伪错误”

P{接受H0|H1为真}=

2.单正态总体均值和方差的假设检验