高二数学同步辅导教材(第1讲)

高二数学同步辅导教材（第1讲）

一、本讲进度

6.1 不等式的性质

二、本讲主要内容

不等式的性质

三、学习指导

1．研究现实世界中的量之间的关系，主要有相等和不相等两种关系，相等是局部的，相对的，不等是普遍的，绝对的。因此，在初中及高一已接触到的不等式概念的基础上，有必要对这一部分知识进行归纳、小结、完善。就数学领域来说，不等式与方程、函数、三角等有着密切的联系，如讨论方程解的情况、研究函数的单调性、值域等性质。由此可见，不等式在中学数学的重要地位，是进一步学习数学的基础知识。

依照不同的分类标准可对不等式作不同的分类，如按照不等式对其字母成立范围，分为绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式；按照含示知数项的特点，分为超越不等式、代数不等式，代数不等式又可分为无理不等式、有理不等式，有理不等式又可分为整式不等式、分式不等式等等。

对于条件不等式，主要研究不等式成立的条件，就是所谓“解不等式”，对于绝对值不等式，主要证明不等式对于式子字母的一切允许值一定成立，就是所谓的“证明不等式”，这两个内容是本章的重点，在后面会专门研究它们。

不管是证明不等式还是解不等式，都要有一些工具，这个主要工具是不等式的性质，因此，掌握好不等式的性质是学好本章的关键。

2．不等式的性质包含一个公理、三个基本性质及三个运算性质，还有一些推论：

（1）一个公理：a <=> b ? a-b <

=>

这个公理给出了实数的大小次序与实数的运算之间的对应关系，是两个实数大小比较的依据。根据这个公理，得到比较两个数（或式）大小的一种重要方法——比较法。 （2）三个基本性质： ① a>b ?b

② a>b ，b>c ?a>c ③ a>b ?a+c>b+c

在传递性中，称a>b ，b>c ?a>c ，从左向右是缩小；称a

① a>b ?a+c>b+c ，推论：a>b ，c>d ?a+c>b+d ；a>b ，cb-d

② a>b ，c>0?ac>bc ；a>b ，c<0?ac

??

??

>>>>0d c 0b a ac>bd

特例：a>b>0?a n

>b n

n ∈N ，n>1 （ii ）

d b

c a

d c 00b a >??

??<<>>

特例：a>b ，ab>0?b

1a 1< ③ a>b>0?

n

n

b a > n>1，n ∈N

运算性质主要反映两个以上不等式之间的加、减、乘、除的关系，根据逆运算的性质，减、除可分别化归为加、乘。注重转化思想。

对于乘方性质，可推广为：a>b>0，n 为正有理数，则a n

>b n

。 对于倒数性质，可归纳为“同号倒数反向”。可结合反比例函数y=x

1

在（-∞，0），（0，+∞）上的音调性理解。

3．掌握不等式的性质，主要注意不等式成立的前提条件（如R 或R +

）。不等号方向是否改变及不等号方向之间的关系、条件与结论是“?”还是“?”。

不等式性质的表达形式是以单个字母a 、b 等出现的，实际上a 、b 既可以是数，也可以是式，应学会用整体思想解题。

4．若不等式中不等号是非严格不等号“≥”“≤”，则应注意等号成立的条件是否满足。

在运用运算性质求量的取值范围时，若每一个不等式中都含有变量，则应减少运用运算性质的次数，否则最后结果可能不准确。

可用列表类比的办法比较等式与不等式的性质。

四、典型例题分析

【例1】 若a>b>0，c

2

2

)d b (e )c a (e ->

-。

解题思路分析：

比较不等式两边结构特点，应从a-c 与b-d 的大小比较着手。在利用“同向相加”的运算性质时，要对cb>0进行相加。

∵ c-d>0

∴ a-c>b-d>0 （同向相加） ∴ (a-c)2

>(b-d)2

（乘方性质） ∴

0)c a (1)d b (12

2

>->

- （倒数性质）

∵ e<0 ∴

2

2

)

c a (e )

d b (

e -<

-

【例2】 已知α，β∈),2

(ππ

，求α+β，α-β，βα的取值范围。

解题思路分析：

α+β的范围用不等式同向相加的性质，利用转化思想，α-β的范围也用不等式同向相加的性质，

βα

利用“正数同向相乘”的运算性质。

∵ π<α<π2，π<β<π

2 ∴ π<β+α<π2 ∵

π<β<π

2

∴ 2

π-<β-<π- ∴ 2)(2π<β-+α<π-

，22π<β-α<π- ∵ π<β<π211

∴ π?π<βα<π?π212 ∴

22

21<β

< 【例3】 设f(x)=ax 2

+bx （a ≠0），若1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(2)取值范围。

解题思路分析：

因f(-1)，f(1)的范围已知，故考虑用f(-1)、f(1)表示f(2)。具体途径如下：

途径一：因f(-1)、f(1)、f(2)都与a 、b 有关，参数a 、b 作为中间变量，起桥梁和过渡作用。先用f(1)、f(-1)表示a 、b ，再将a 、b 表达式代入f(2)即可。

由???+=-=-b a )1(f b a )1(f 得???

????---=+=)]1(f )1(f [21b )]

2(f )1(f [21a

∴ f(2)=4a+2b=3f(1)+f(-1) ∵ 6≤3f(1)≤12，1≤f(-1)≤2 ∴ 7≤f(2)≤14

途径二：因f(-1)=a-b 、f(1)=a+b 、f(2)=4a+2b 、f(-1)、f(1)、f(2)都是关于a 、b 的一次表达式，故一定可以用f(-1)、f(1)的线性组合表示f(2)。在这个理论指导下，用待定系数法求解。

设f(2)=αf(1)+βf(-1) ，α、β∈R ∴ 4a+2b=(α+β)a+(α-β)b 由恒等式的知识： ?

??β-α=β

+α=24

∴?

??=β=α13

∴ f(2)=3f(1)+f(-1)

与途径一的结论完全相同。但少了求参数消参数的过程，途径二显得简洁。 注：本题有一种典型的错误解法，就是考虑求出a 、b 的范围。

∵ ???≤≤≤-≤2)1(f 22)1(f 1

∴ ???≤+≤≤-≤4b a 22b a 1

∴ ???

????≤

≤≤≤23b 03a 2

3

∴ ?

??≤≤≤≤3b 2012a 46

∴ f ≤f(2)=4a+2b ≤15

首先看结果，此正确方法得出的结果范围大。其次，从特殊情形着手检验一下：当4a+2b=6时，由

推导过程知，a=2

3

，b=0，但显然不满足原始条件：a-b ≥1，a+b ≥2。那么原因何在呢？从运算角度看，

是对含变量的不等式多次运用了运算性质，造成了式的范围扩大，如此处等号不能取到。从结果看，由f(-1)、f(1)的范围求出a 、b 范围，这两者不是充分必要的关系，是充分不必要的关系。所以前面“学习指导”中强调了在求含变量式子的取值范围时，尽量少用不等式的运算性质。

【例4】 已知0

，C=a 11-，D=a

11+，试比较A 、B 、C 、D 的大小。

解题思路分析：

根据a 的条件及A 、B 、C 、D 表达式特征，首先寻找一个中间变量，以中间变量为标准进行分组，减少比差法的工作量。

∵ 0

1

∴ 0<1-a<1，1+a>1

∴ C>1，B>1，0

其次分别比较B 与C 及A 与D 的大小

∵ B-C=1+a 2

-a

11)a 1)(a 1(a 112---+=

- a 1]43

)21a [(a a 1)1a a (a 22

-+--=-+--=

43)21a (2+-≥4

3

>0恒成立

1-a>0，-a<0 ∴ B-C<0，B

∵ A-D=1-a 2

-a

11)a 1)(a 1(a 112+-+-=

+ a 125

1a )(251a (a a 1)1a a (a 2

++------=

+-+-= 0

5

1a >---

∴ A-D>0，A>D ∴ C>B>A>D

注：因A 、B 、C 、D 均为正实数，C 、D 均为分式形式，也可采用“BD D

A

?>1”的原

理进行。有兴趣的同学可以自行研究。

【例5】 已知x 、y 、a 、b 均为正实数，x+y=1，比较by ax +与b y a x +的大小。

解题思路分析：

直接用比差法不能进行变形化简，注意到：当x 、y 、a 、b 均为正实数时，by ax +及b y a x +也都为正实数。可利用不等式性质：a>b>0?a 2

>b 2

，化无理问题为有理问题，从而便于变形，进一步地，可判断符号。

22222)b a (xy )

ab 2b a (xy ab xy 2byx axy ab xy 2)y 1(by )x 1(ax )

ab xy 2b y a x (by ax )b y a x ()by ax (-=-+=-+=--+-=++-+=+-+

≥0

从而2)by ax (+≥2)b y a x (+

∴ by ax + ≥b y a x + 当且仅当a=b 时等号成立

注：在比较两数（式）大小时，若存在相等情形，则应交代等号成立条件。

巩固练习

（一）选择题

1．若a

A ．a 1b a 1>-

B ．b 1a 1>

C ．|a|>|b|

D ．a 2>b 2

2．下列推导中，错误的是

A ．c-ab

B ．b a 0c b c a c >????

??><

C ．c b

d a 0d c 0b a >?

???>>>> D ．b

a )2n ,N n (

b a n

n b ，x>y ，则下列不等式中正确的是

A ．a-x>b-y

B ．ax

C ．

x

b

y a > D ．x-b>y-a 4．若a 、b 是任意实数，a>b ，则下列不等式正确的是

A ．A 2>b 2

B ．1a b <

C ．lg(a-b)>0

D ．b a )2

1()21(<

5．若a 、b ∈R ，则下列命题为真命题的是

A ．若|a|>b ，则a 2>b 2

B ．若aa 2

C ．若a>|b|，则a 2>b 2

D ．若a>b ，则b a )2

1()21(>

6．x>2是2

x

<1的

A ．充分且必要条件

B ．充分非必要条件

C ．必要非充分条件

D ．既非充分也非必要条件

7．a 、b ∈R ，则b

1

a 1<成立的一个充分非必要条件是

A ．b

B ．a

C ．ab(a-b)>0

D ．a>b 8．已知a 、b 、c ∈R ，那么下列命题为真命题的是

A ．a>b ?ac 2>bc 2

B ．b a c

b c a >?>

C ．b 1a 10ab b a 3>????<>3

D ．b 1a 10ab b a 22

??>>

9．若a 、b ∈R ，且a ≠b ，在①a 2+3ab>2b 2；②a 5+b 5>a 3b 2+a 2b 3；③a 2+b 2

≥2(a-b-1)；④2a

b

b a >+-

这四个式子中，恒成立的有

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

10．a 、b ∈R ，当两个不等式a>b 和b

1

a 1>同时成立时，a 、

b 必须满足的条件是

A ．Ab>0

B ．ab<0

C ．-b>0>-a

D ．-a>0>-b （二）填空题

11．已知a+b>0，b<0，则a 、b 、-a 、-b 的大小关系是__________________。

12．???<<<+<2xy 03y x 1是???<<<<2y 11x 0成立的____________条件。（用充分非必要、必要非充分、充分且必要、

既不充分又不必要填）

13．已知a>b>0，c

c a e -______d

b e -。（用不等号填空） 14．若P=5x 2x +++，Q=4x 3x +++（x ≥-2），则P___Q 。（用不等号填空）

15．已知a 、b 、c 、d 均为正实数，且d c b a <，则d b c a ++______d

c

。（用不等号填空）

（三）解答题

16．已知a>b>c ，比较a 2b+b 2c+c 2a 与ab 2+bc 2+ca 2

的大小。

17．已知A=1200012000log 222211111999++，B=1

20001

2000log 333322221999++，试比较A 与B 的大小。

18．已知-3

19．已知f(x)=ax 2

-c ，-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。

参考答案

（一）选择题

1．A 。 用筛选法，B 、C 、D 均成立；或)b a (a b )b a (a )b a (a a 1b a 1-=---=--=

δ=0b a 1a b <-?，a

1

b a 1<-。

2．B 。 用筛选法，A 、B 、D 均对；或B ，c>0b

1

a 1

b 不同号，故不能保证a>b 。

3．D 。 a>b ?-b>-a ，x+(-b)>y+(-a)，x-b>y-a

4．D 。 利用指数函数单调性，函数y=x )21(在（-∞，+∞）上是减函数，a>b 时b a )21

()21(<。

5．C 。∵|b|≥0，∴a>|b|≥0，∴a 2>|b|2，a 2>b 2

6．B 。2x 0)2x (x 0x

x

21x 2>?>-?<-?<，或x<0。

“x>2”是“x>2，或x<0”的充分非必要条件。

7．A 。0ab

b

a 0a

b a b 0b 1a 1b 1a 1>-?<-?<-?<。C 是不等式成立的充要条件，B 、D 既不是充分条

件又不是必要条件，由A b 1a 1

1

a 1<还可推出b>0>a 。

8．C 。 a 3>b 3

?a>b ，又ab<0，∴a>0，b<0，∴b

1a 1>。

9．A 。 ①2222b 4

17

)b 23a (b 2ab 3a -+=-+=δ，不能判定正或负；

②)b a (b )b 2ah (a b 2a b 3ah b a 223233255---=--+=δ

]

b 43

)2b a [()b a )(b a ()b ab a )(b a ()b a ()b a )(b a (2222223322++-+=+++-=--= (a-b)2>0，a 2+ab+b 2

=(a+0b 4

3)2b 22>+，但a+b 的符号不能判断，δ的符号不能判 断；

③δ=a 2+b 2-2(a-b-1)=a 2+b 2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0，a 2+b 2

≥2(a-b-1)； ④当a ·b<0时，不等式不成立。

10．C 。

0ab

b

a 0a

b a b 0b 1a 1b 1a 1<-?>-?>-?>，∵a>b ，a-b>0，∴ab<0，∴a>0>b ，∴-a<0<-b 。

（二）填空题

11． A>-b>b>-a 。如图画出函数轴：

12． 必要不充分条件 。当取x=2

1

，y=2时，充分性不成立。

13． > 。∵-c>-d>0，a>b>0，∴a-c>b-d>0，∴0c a 1d b 1>->-，∵e<0，∴d

b e

c a e ->

-。 14． < 。P 2

-Q 2

=)10x 7x 27x 2()4x 3x ()5x 2x (222++++=+++-+++

0)12x 7x 10x 7x (2)12x 7x 27x 2(222<++-++=++++-，P 2

，又P 、Q>0，P

c

c a <得ad

d b (d bc ad d c d b c a <+-=-++=δ。

（三）解答题

16．解：δ=a 2b+b 2c+c 2a-(ab 2+bc 2+ca 2

)

=ab(a-b)-c(a 2-b 2)+c 2

(a-b)

=(a-b)[c 2

-c(a+b)+ab] =(a-b)(c-a)(c-b) ∵ a>b>c

∴ a-b>0，c-a<0，c-b<0 ∴ δ>0

∴ a 2b+b 2c+c 2a>ab 2+bc 2ca 2

注：（1）作差后在分组时，凡差式均可作为一组，如a 2b-ab 2，a 2b-bc 2

等，一旦第一组确定，后面的分组应向第一组中公因式靠拢，如本题，当第一组出现a-b 后，后面的两组也应考虑出现公因式a-b ；

（2）对c 2

-c(a+b)+ab 的分解，强调主元思想，即将本式三个字母a 、b 、c 中的c 作为主元，此式为关于c 的二次三项式，再因式分解或配方，思路就清晰了。在处理轮换对称式时，应重视主元思想。

17．解：令x=20001111

，则A=1

x 1x log 21999++，B=1x 1x log 321999++

因A 、B 同底，下比较1

x 1

x 2++与1x 1x 32

++的大小即可。

作差：)

1x )(1x ()1x (x )1x )(1x (1

x 2x 1x x x 1x 1x 1x 1x 3

2232434322++-=++---+++=++-++=δ>0 ∴

01

x 1

x 1x 1

x 322>++>++ ∵ x log 1999在（0，+∞）上是增函数

∴ 1

x 1x log 1

x 1x log 3

21999

2

1999

++>++

∴ A>B 。

18．解：∵ -3

∴ 0<-z(y-x)<16 ∴ 0

注：（1）本题利用转化思想，不断创造条件，利用“正数同向相乘”的性质；

（2）不等式“-3

19．解：∵ ?

??-=-=c a 4)2(f c

a )1(f

∴ ???????

-=-=)]1(f 4)2(f [3

1c )]1(f )2(f [31a ∴ )1(f 3

5

)2(f 38)]1(f 4)2(f [31)]1(f )2(f [319c a 9)3(f -=---?=-=

∵ -4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5

∴ 35≤)1(f 35-≤320，38-≤)2(f 38≤340

∴ -1≤f(3)≤20

20．解：设电子琴的月供应量为x 架，洗衣机月供应量为y 台，则由已知得： ?

??≤+≤+1100y 10x 53000

y 20x 30

设利润为S ，则S=6x+8y

下将6x+8y 表示为30x+30y ，5x+10y 的线性组合即可，方法见前面例题。 S=)y 10x 5(53

)y 20x 30(101+++ ≤300+660=960

当且仅当???=+=+1100y 10x 53000y 20x 30，?

??==90y 40

x 时，S 取得最大值，最大值为960。