2021届上海市闵行区七宝中学高三上学期期中考试数学试题 (1)

2020-2021年七宝中学高三期中考数学试卷

一、填空题

1.已知全集U R =，集合{}

12A x x =->，则U C A =_________.

2.若函数2()(4)4,(5)f x x x =-+≥，则1

(5)f

-=_________.

3. ()

2

14732lim

n n n

→∞

+++

+-=_________.

4.已知数列{}n a 为等差数列，且191,25a a ==-，则5a =_________.

5.设函数2

()41f x x mx =-+在(],2-∞上是减函数，则实数的取值范围是_________.

6.已知222a b +=，则a b +的取值范围是_________.

7.若函数()2sin sin 2f x x x =-在区间[]0,a 上的零点个数为3个，则实数a 的取值范围是_________.

8.已知两变量x 、y 之间的关系为lg()lg lg y x y x -=-，则以x 为自变量的函数y 的最小值是_________.

9.已知函数()x

f x a b =-（0a >且1,a b R ≠∈），()1

g x x =+若对任意实数x 均有()()0f x g x ?≤，则

14

a b

+的最小值为_________. 10.设函数()sin()(0,0)6

f x A x A π

ωω=-

>>，[]0,2x π∈若()f x 恰有4个零点，则下述结论中：①

0()()f x f x ≥恒成立，则0x 的值有且仅有2个；②存在0ω>，使得()f x 在80,19π??

????

上单调递增；③方

程1

()2

f x A =

一定有4个实数根，其中真命题的序号为_________.

11.函数11

()22

f x x =-

≤≤的图像绕着原点旋转弧度θ(0)θπ≤≤，若得到的图像仍是函数图像，则θ可取值的集合为_________.

12.对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得

[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________.

二、选择题

13.下列各组不等式中，解集完全相同的是（ ）

A.2611x x x x +<++与26x x <+

B.2

(2)(1)

0x x x x

-+<与(2)(1)0x x -+< C.

(2)(1)01x x x +->-与20x +> D.22

321

11

x x x x x x -+>-+-+与321x x ->+ 14.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 为递增数列”的（ ）

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D. 既不充分也不必要条件

15.已知集合,M P 都是非空集合，若命题“M 中的元素都是P 中的元素”是假命题,则下列说法必定为真命题的是（ ）

A.M P =?

B.M 中至多有一个元素不属于P

C.P 中有不属于M 的元素

D. M 中有不属于P 的元素

16.单调递增的数列{}n a 中共有N 项，且对任意,,(1),i j k i j k N ≤<<≤i j a a +，j k a a +和k i a a +中至少有一个是{}n a 中的项，则N 的最大值为（ ）

A.9

B.8

C.7

D.6 三、解答题

17.如图，已知长方体1111ABCD A B C D -中，AB ，BC =1AA =.

（1）求异面直线1AB 与1BC 所成角的大小； （2）求点C 到平面1ABD 的距离.

18.已知在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且(cos 2cos )(2)cos c B A a b C -=-.

（1）求

a

b

的值； （2）若3

cos ,24

C c ==，求ABC ?的面积.

19. 某供应商为华为公司提供芯片，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片次品率p 与日产量x （万

枚）间的关系为：1

,04,62,4,3x x

p x ?<≤??-=??>??

，已知每生产1枚合格芯片供应商可盈利30元，每出现1件次品

亏损15元.

（1）将日盈利额y （万元）表示为日常量x （万枚）的函数；

（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？（注：次品率=

100%?次品数

产品总数

）.

20.已知双曲线22

22:1x y C a b

-=

过点M ，且右焦点为(2,0)F .

（1）求双曲线C 的方程；

（2）过点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，交y 轴于点P ，若PA mAF =，PB nBF =，求证：m n +为定值.

（3）在（2）的条件下，若点Q 是点P 关于原点O 的对称点，求证：三角形QAB 的面积

2310

QAB S ?>

；

21.若实数列{}n a 满足条件212,1,2,n n n a a a n +++≥=，则称{}n a 是一个“凸数列”.

（1）判断数列2

n a n n =-+和3()2

n n b =是否为“凸数列”?

（2）若{}n a 是一个“凸数列”，证明：对正整数,,k m n ，当1k m n ≤<<时， 有

n m m k

a a a a n m m k

--≥

--； （3）若{}n a 是一个“凸数列”证明：对1i n ≤≤，有111(1)i n i

i

a a a n

n

++≤-+.

2020-2021年七宝中学高三期中考数学试卷

一、填空题

1.已知全集U R =，集合{}

12A x x =->，则U C A =_________.

[]1,3U C A =-.

2.若函数2

()(4)4,(5)f x x x =-+≥，则1

(5)f

-=_________.

1(5)5f -=.

3. ()

2

14732lim

n n n

→∞

+++

+-=_________.

2(132)

32lim 2

n x n n →∞+-=

. 4.已知数列{}n a 为等差数列，且191,25a a ==-，则5a =_________.

()5191

122

a a a =

+=-.

5.设函数2

()41f x x mx =-+在(],2-∞上是减函数，则实数的取值范围是_________.

1m ≥.

6.已知222a b +=，则a b +的取值范围是_________.

[]222sin 2,24a b ?

?+==+∈- ??

?πθθθ.

7.若函数()2sin sin 2f x x x =-在区间[]0,a 上的零点个数为3个，则实数a 的取值范围是_________.

23πa π≤<.

8.已知两变量x 、y 之间的关系为lg()lg lg y x y x -=-，则以x 为自变量的函数y 的最小值是_________. 4.

9.已知函数()x

f x a b =-（0a >且1,a b R ≠∈），()1

g x x =+若对任意实数x 均有()()0f x g x ?≤，则

14

a b

+的最小值为_________. 最小值为4.

10.设函数()sin()(0,0)6

f x A x A π

ωω=-

>>，[]0,2x π∈，

若()f x 恰有4个零点，则下述结论中：①0()()f x f x ≥恒成立，则0x 的值有且仅有2个；②存在0ω>，使得()f x 在80,19π??

????

上单调递增；③方程1()2f x A =一定有4个实数根，其中真命题的序号为_______. ①②③.

11.函数211

()1,22

f x x x =--

≤≤的图像绕着原点旋转弧度θ(0)θπ≤≤，若得到的图像仍是函数图像，则θ可取值的集合为_________.

【解析】20,,3

3πππ????

??

??????

12.对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得

[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________.

1,12?? ???

. 【变式1】2020-2021年上海市普陀区0.5模12题.

对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在上的最大值，若正数a 满足[][]0,,22a a a M M =?，则a

的值为_________.

34

πa =

或98πa =.

【变式2】2019-2020年上海市七宝中学高三下三模第11题.

用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值，若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M ≥，则a 的最大值为 .

a 的最大值为

1312

π. 二、选择题

13.下列各组不等式中，解集完全相同的是（ D ）

A.2611x x x x +<++与26x x <+

B.2

(2)(1)

0x x x x -+<与(2)(1)0x x -+< C.

(2)(1)01x x x +->-与20x +> D.22

321

11

x x x x x x -+>-+-+与321x x ->+ 14.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 为递增数列”的（ D ）

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

15.已知集合,M P 都是非空集合，若命题“M 中的元素都是P 中的元素”是假命题,则下列说法必定为真命题的是（ D ）

A.M P =?

B.M 中至多有一个元素不属于P

C.P 中有不属于M 的元素

D.M 中有不属于P 的元素

16.单调递增的数列{}n a 中共有N 项，且对任意,,(1),i j k i j k N ≤<<≤i j a a +，j k a a +和k i a a +中至少有一个是{}n a 中的项，则N 的最大值为（ ）

A.9

B.8

C.7

D.6 【解析】本题为2016年清华大学自招与领军计划试题.

法一：假设0a b c d <<<<是{}n a 中大于0的最大的4项，对于,,b c d 来说， 因为,b d d c d d +>+>，所以b d +和c d +都不是{}n a 中的项， 又由题意得,b c b d ++和c d +中至少有一个是{}n a 中的项， 所以b c +是{}n a 中的项，且b c c +>，所以b c d +=，

对于,,a c d 来说，因为,a d d c d d +>+>，所以a d +和c d +都不是{}n a

中的项，又由题意得,b c b d ++和c d +中至少有一个是{}n a 中的项， 所以a c +是{}n a 中的项，且a c c +>，所以a c d +=， 所以a d =，矛盾，所以{}n a 中大于0的最多有3项，

同理，{}n a 中小于0的最多有3项，加上0，故N 的最大值为7， 此时存在数列{}:3,2,1,0,1,2,3n a ---满足题意，故选C.

法二：假设存在三项1,,m N N a a a -为正，则1,N N m N a a a a -++都不是{}n a 中的项， 所以1m N a a -+是{}n a 中的项，且11m N N a a a --+>， 所以1m N N a a a -=-，所以数列{}n a 中最多有3个正项，

同理数列{}n a 中最多有3个负项，加上0，故N 的最大值为7， 此时存在数列{}:3,2,1,0,1,2,3n a ---满足题意，故选C.

三、解答题

17.如图，已知长方体1111ABCD A B C D -

中，AB

，BC =

1AA =.

（1）求异面直线1AB 与1BC 所成角的大小； （2）求点C 到平面1ABD 的距离.

【解析】（1）连接111,AD B D ，则1

1AD BC ∥， 所以11B AD ∠即为所求角，或其补角，

1AB =

=，

13AD =

=，

11B D =

=

在11B AD ?中，由余弦定理得22211111111cos 2AB AD B D B AD AB AD +-∠==

所以114πB AD ∠=

，即异面直线1AB

与1BC 所成角的大小为4

π

； （2）1111322ABD S AB AD ?=

?==， B 1

D 1

A 1D C 1

C

B

A

1122ABC S AB BC ?=

?==，1DD =， 设点C 到平面1ABD 的距离为h ，由等体积法，得11C ABD D ABC V V --=，

即1111

33

ABD ABC S S h DD ???=

?，所以h =

所以点C 到平面1ABD 18.已知在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且(cos 2cos )(2)cos c B A a b C -=-.

（1）求

a

b

的值； （2）若3

cos ,24

C c =

=，求ABC ?的面积. 【解析】（1）由已知及正弦定理得sin (cos 2cos )(2sin sin )cos C B A A B C -=-，

得sin()2sin()B C A C +=+，

因为A B C π++=，所以sin 2sin A B =，

由正弦定理得

2a

b

=； （2）因为3cos ,2,24a

C c b

=

==，

由余弦定理得

222324a b c ab +-=，即222(2)43

44

b b b +-=，解得b =，

所以2a b ==sin C ==

所以11sin 22ABC S ab C ?=

=?=.

20. 某供应商为华为公司提供芯片，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片次品率

p 与日产量x （万

枚）间的关系为：1

,04,62,4,3x x

p x ?<≤??-=??>??

，已知每生产1枚合格芯片供应商可盈利30元，每出现1件次品

亏损15元.

（3）将日盈利额y （万元）表示为日常量x （万枚）的函数；

（4）为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？（注：次品率=

100%?次品数

产品总数

）.

【解析】（1）当4x >时，23p =

，所以12

3015033y x x =??-??=， 当04x <≤时，1

6p x

=

-， 所以21115(921301566)6x x y x x x x x -?

?=-??-

??= ?---??， 所以()

21592,04

(6)0,4x x x y x x ?-?<≤=?-?

>?

；

（2）当04x <≤时，22)

15(96x x y x

-=-，

令[)62,6t x =-∈，则()215962(6)18

15(152)t t y t t

t

??---??

=

=--

，

所以15(1545y ≤-=万元， 当且仅当18

2t t

=

，即3,3t x ==时取等号，

所以为使日盈利额最大，日产量应为3万枚.

20.已知双曲线22

22:1x y C a b

-=

过点M ，且右焦点为(2,0)F .

（1）求双曲线C 的方程；

（2）过点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，交y 轴于点P ，若PA mAF =，PB nBF =，求证：m n +为定值.

（3）在（2）的条件下，若点Q 是点P 关于原点O 的对称点，求证：三角形QAB 的面积

2310

QAB S ?>

； 【解析】（1）由题意得

2

292

1,2c a b

-==，又222c a b =+，解得223,1a b ==， 所以双曲线C 的方程为2

213

x y -=； （2）法一：设()()1122,,,,(0,)A x y B x y P t ，

由PA mAF =得11211m x m

t y m ?=??+??=

?+?

，又点A 在双曲线上，

所以2

221131m t m m ??

?+????-= ?

+??

，整理得226330m m t ---=， 同理，由PB nBF =，得2

2

6330n n t ---=，

因为,A B 两点不重合，所以m n ≠，

所以,m n 是方程22

6330x x t ---=的两根，

所以6m n +=，为定值；

法二：设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得直线l 的斜率存在，

所以设直线:(2)l y k x =-，所以(0,2)P k -，

由22

1

3(2)x y y k x ?-=???=-?

，得2222(31)121230k x k x k --++=，

所以2212122212123

,3131

k k x x x x k k ++==--，

由PA mAF =，PB nBF =得1122(2),(2)x m x x n x =-=-，

所以1212211212(2)(2)

22(2)(2)

x x x x x x m n x x x x -+-+=

+=---- 221212222

12122()2242(123)6

642()4(31)241231

x x x x k x x x x k k k +--+-====-++--++-， 所以6m n +=，为定值；

（3）在（2）法二的基础上，得(0,2)Q k ，

12121

22

QAB QPB QPA S S S PQ x x k x x ???=-=

?-=-， 所以()

()2

2

2221212124()44QAB

S k x x k x x x x ???=-=+-??

()2

2242222222212123144(4812)(31)444313131k k k k k k k k k k ????+-+-=?-?= ?--????-??

()

()

2222

2

2

2

2

1212

(1)

448

3131k k k k

k

k

++==--，

因为直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，

所以2212122212123

0,03131

k k x x x x k k ++==

--＞＞， 所以2

31

0t k =-＞， 所以()

()

222

2222111(1)48(1)(4)334848931QAB

t t k k t t S t t k ?++??

+ ?+++??===-

2

22

24854484519215139998t t t t t t ++????

==++=+- ? ???

??， 因为0t ＞，所以1

0t

＞，

所以()

2

2

2

1921519251633989

83QAB

S t ?????

=+--=

? ?

????

＞， 所以23

2.31310

QAB S ?>

≈>，证毕. 21.若实数列{}n a 满足条件212,1,2,

n n n a a a n +++≥=，则称{}n a 是一个“凸数列”.

（1）判断数列2

n a n n =-+和3()2

n

n b =是否为“凸数列”?

（2）若{}n a 是一个“凸数列”，证明：对正整数,,k m n ，当1k m n ≤<<时，

有

n m m k

a a a a n m m k

--≥--；

（3）若{}n a 是一个“凸数列”证明：对1i n ≤≤，有111(1)i n i

i

a a a n n

++≤-+

. 【解析】（1）因为22

2

212(2)(2)2(1)2(1)n n n a a a n n n n n n +++-=-+-+++++-+

20=-＜，所以数列2

n a n n =-+不为“凸数列”，

因为+2

1

233339221322224n

n n n

n n n b b b ++????

??????+-=+-=+- ? ?

? ? ?????

??????

13042n

??

=≥ ???，所以数列3()2

n n b =为“凸数列”；

（2）由题意得112(2,3,

)k k k a a a k -++≥=，所以11k k k k a a a a +--≥-，

而()()()()11211()n m n n n n m m m m a a a a a a a a n m a a ---++-=-+++

+-≥--，

所以

1m

m m n a a a a n m

+-≥--，

又()()()()11211()k m k m m m m k m m a a a a a a a a m k a a ---+--=-+++

+-≤--，

所以

1m k

m m a a a a m k --≤--，故n m m k a a a a n m m k

--≥--，证毕；

（3）①当1i =时，111(1)i n i

i a a a n

n ++≤-+

即21111

(1)n a a a n n

+≤-+， 由（2）得()1221(1)n a a n a a +-≥--，所以211(1)n na n a a +≤-+，

故2111

1

(1)n a a a n n

+≤-+

，成立； ②当i n =时，111(1)i n i i

a a a n

n

++≤-+

即11n n a a ++≤，显然成立， ③当1i n ＜＜时，由（2）得

1111

n i i a a a a n i i

+++--≥-，

所以1111()()n i i ia ia n i a n i a +++-≥---，

所以111()i n na ia n i a ++≤+-，故111(1)i n i i

a a a n n

++≤-+

成立， 综上所述，对1i n ≤≤，有111(1)i n i i

a a a n n

++≤-+

.