天津市一中-学年高一上学期期末考试数学试卷
天津一中2０15－２016-1高一年级数学学科期末考试试卷
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)、第Ⅱ卷（非选择题)两部分,共100分，考试用时90分钟。第Ⅰ卷第1页，第Ⅱ卷第2页至第3页。考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
一.选择题:(每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
１． 22(1tan 15)cos 15+??的值等于（ )
A ?
B ．1 Ｃ.－
1
2
? Ｄ．
12
2． 已知(,3)a x =,(3,1)b =, 且a b ⊥, 则x 等于 ( ) Ａ．-9 ?? B.９ ? Ｃ.－1
D ．1
3.要得到函数3cos(2)4
y x π
=-的图象,可以将函数3sin 2y x =的图象( )
A.沿x 轴向左平移π
８个单位
B ．沿x 轴向右平移＼f(π，8)个单位
C ．沿x 轴向左平移π
4个单位
D.沿x 轴向右平移π
4个单位
４.已知sin(
)sin 3
π
αα++=
，则7sin()6
π
α+的值是( )
A ． C.4
5 ?? D ．4
5
-
5.已知函数()()x x x x f cos cos sin +=,则下列说法正确的为( ) A.函数()x f 的最小正周期为2π
B ．函数()x f
C.函数()x f 的图象关于直线8
x π
=-对称
D ．将()x f 图像向右平移8
π
个单位长度，再向下平移
2
1
个单位长度后会得到一个奇函数图像
6.已知向量b a
,的夹角为60°,且2,1==b a ,则=+b a 2（ )
A.3 B ．5 ?C ．22 Ｄ．32
７．在△AB Ｃ中，若2sin sin cos 2
A
B C ?=，则此三角形为( ) Ａ．等边三角形 ?? ? ?Ｂ.等腰三角形 C ．直角三角形
?
D ．等腰直角三角形
8.将函数sin(2)y x ?=+的图象沿x 轴向左平移8
π
个单位后，得到一个偶函数的图象，则?的
一个可能取值为（ ）
Ａ.＼f (3π，4) B.错误! C ．0 ? D ．－错误! ９.在ABC △中，AB AC AB AC +=-，21AB AC ==，,E F ，为BC 的三等分点,则AE AF
?=( )
A
?
????
１0．已知函数sin()10,
()2
log (0,1)0
a x x f x x a a x π?
-≠>?，且，的图像上关于y 轴对称的点至少有3对,则实数a 的取值范围是（
) A ．?
?
?B ．????
?Ｃ.????
?? Ｄ．? ?
天津一中2０15—20１6—1高一年级
数学学科期末考试试卷答题纸
第Ⅱ卷
二．填空题:（本大题共6小题,每小题４分,共24分）
１1.函数2sin(
)6
3
x y ππ
=-(09x ≤≤)的最大值与最小值之和为 ．23- １2.设a 3(,sin )2α=，b 1
(cos ,)3
α=，且a b ∥，则锐角α为 ．045
１3.已知sin co 43s θθ+=
,??
?
??∈40πθ，，则sin cos θθ-的值为 ．23-
14.若a b ， 均为非零向量,且(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，则a b ， 的夹角为 ．3
π
1５．函数()cos()f x A x ω?=+(00A ω>>，）的部分图象如图所示，则 (1)(2)(3)(2011)(2012)f f f f f +++
++的值为 .
16.给出下列五个命题:
①函数2sin(2)3y x π=-的一条对称轴是512
x π
=；
②函数tan y x =的图象关于点(
2
π
,0）对称；
③正弦函数在第一象限为增函数；
④若12sin(2)sin(2)44
x x ππ
-=-，则12x x k π-=，其中k ∈Z ；
()sin 2|sin |,[0,2](1,3).
f x x x x y k k π=+∈=⑤函数的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围为
以上五个命题中正确的有 （填写所有正确命题的序号)①② 三．解答题:本大题共4小题，共4６分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分1０分）已知1
tan()43
πα+=．
(Ⅰ)求tan α的值；
（Ⅱ）求2232sin sin()sin(
)sin (
)2
2
π
π
απααα---++的值． 解析:(1)∵tan 错误!＝错误!=错误!，∴ｔan α＝-错误!. (２)原式=２sin ２α－s ｉn αcos α+co ｓ２α
＝＼f （2sin 2α-sin αc ｏs α＋cos 2α，sin 2α+cos 2α)=错误! ＝错误!=错误!．
18．（本小题满分１2分）已知函数()2sin()2cos 6
f x x x π
=+-.
(Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间； （Ⅱ)若6()5f x =
,求cos(2)3
x π
-的值． 解析：（1）ｆ(x )＝2s ｉｎ错误!-２cos x
=2sin x ｃｏs 错误!+２co ｓ x s ｉn 错误!-２c ｏs ｘ =错误!s ｉn x －c ｏs x =２ｓin 错误!． 由-π2＋2k π≤x －π
6≤＼f （π,2)+2ｋπ ，k ∈Z , 得－错误!+２ｋπ≤x ≤错误!π+２ｋπ,k ∈Z ，
所以f (x )的单调增区间为［－π
３＋2k π,错误!π+２k π］（k ∈Z ）.
（2)由(1)知f (x )=2sin 错误!,即ｓin 错误!＝错误!. ∴co ｓ错误!=1-2ｓin 2错误!＝错误!.
19.（本小题满分12分)已知函数21cos 2()sin sin()4
2sin(
)
2
x f x x a x x π
π
+=
+++
-
（Ⅰ)求函数()y f x =的单调递增区间； (Ⅱ)当5[0,]12
x π
∈时,函数()y f x =
的最小值为1+a 的值.
【答案】（Ⅰ）()32,22,24224k k k k k ππππππππ?
???
---+? ???∈??
?
Z ；(Ⅱ)
1a =± 【解析】
试题分析:首先利用恒等变换化简
,)
2()sin()4
f x a x π
=
++，（Ⅰ）由
4x π+2k π∈［2π-,2k π()2k π-∈Z ］得2x k π∈［34π-，2k π()4
k π
+∈Z ］，
sin()cos 02x x π-=≠,据此求出函数的单调性;(Ⅱ)当5120x π??
∈????
，时,2,443x πππ+??∈????,
当4
4
x π
π
+
=
时，函数()y f x =取得最小值,由此即可求出结果.
试题解析:21cos 2()sin sin()42sin()2
x f x x a x x π
π+=
+++-
)4sin(cos sin )4sin(sin cos 2cos 2222ππ+++=+++=x a x x x a x x x
)
4sin()2()4
sin()4
sin(222π
π
π
+
+=+++
=x a x a x
（Ⅰ）由4x π+
2k π∈［2π
-
,2k π()2
k π
-
∈Z ］得
2x k π∈［34π-,2k π()4
k π+∈Z ］ ∵sin(
)cos 02
x x π
-=≠
∴()2
x k k z π
π≠+
∈
∴ 函数()y f x =的单调递增区间是 ()32,22,24224k k k k k ππππππππ?
???
-
--+? ???∈??
?Z . (Ⅱ)当5120x π??
∈????，时, 2,443x πππ
+??
∈??
??
∴当4
4
x π
π
+
=
时,函数()y f x =
取得最小值为22
)1a += ∴由已知得21=1+
, ∴
1a =±. 考点:１．三角恒等变化；2．函数()sin y A x ω?=+的性质；3．三角函数的最值． 【方法点睛】本题主要考查了三角函数()()sin ,0y A x ω?ω=+>在特定区间上的最值问
题,在解决这类问题时，一般先根据[],x a b ∈的取值范围，求出[],a x b ω?ω?ω?+++∈的取值范围，然后再作出三角函数在[],a b ω?ω?++上的大致图象,根据数形结合，即可求出三角函数()sin y A x ω?=+在特定区间上的最值.
2０.(本小题满分12分）
已知向量(cos sin ,sin )a x x x ωωω=-，(cos sin )b x x x ωωω=--,设函数()f x a b λ=?+()x ∈R 的图象关于直线x π=对称，其中ωλ，为常数,且1
(,1)2
ω∈.
(Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期;
（Ⅱ）若()y f x =的图象经过点(,0)4π,求函数()f x 在区间3[0,]5
π
上的取值范围．
解:(1)因为f (ｘ）＝sin 2ωx -cos ２ωx +2错误!ｓin ωｘ·co ｓωｘ+λ =－cos2ωx ＋错误!ｓi ｎ２ωx ＋λ ＝２sin(2ωx －错误!)+λ.
由直线x =π是ｙ＝f (ｘ)图象的一条对称轴， 可得si ｎ(2ωπ-π
６）＝±1,
所以2ωπ－错误!＝k π＋错误!(k ∈Ｚ), 即ω＝错误!＋错误!(ｋ∈Z )．
又ω∈(＼f(1,2)，1)，k ∈Z ，所以k =１，故ω=错误!. 所以ｆ(x ）的最小正周期是6π
5.
(２)由y =f （x )的图象过点(π
4,０)，得f (＼ｆ（π,4)）＝0， 即λ＝－2sin(错误!×错误!－错误!) =-2ｓi ｎ错误!＝－错误!, 即λ=－ 2.
故f （x )=2ｓｉn(错误!x －错误!）-错误!, 由0≤x ≤错误!,有-错误!≤错误!x -错误!≤错误!， 所以-错误!≤sin(错误!x -错误!）≤1,
得-1-错误!≤２s ｉn （错误!x -错误!)－错误!≤2－错误!，
故函数ｆ(ｘ)在[０，＼ｆ(3π,5)]上的取值范围为[－1－错误!,2－
错误!].