数学软件与数学实验报告

《数学软件与数学实验》报告

任课教师： 学号： 姓名：

成绩：

一、 实验内容：用Mathematica 软件求解下面各题 问题一：

任意拿出黑白两种颜色的棋子共八个排成一个圆圈, 然后在两颗相同的棋子中间放一颗黑色棋子, 在两颗不同颜色的棋子中间放一颗白色棋子,放完后撤掉原来所放的棋子, 再重复上述过程, 各棋子颜色会怎样变化?

同时，对棋子颜色问题进行深入探索 (对棋子数分别对4, 5, 6, 9, 16 颗) 的情况进行讨论, 将得到的结果进行拓广，并给出结论。

问题分析：

由于在两颗同色棋子中放置一颗黑色棋子，两颗不同色的棋子中间放置一颗白色棋子，因此可将黑色棋子用1表示，白色棋子用-1表示。这是因为-1-1=1? ，11=1? ，这代表两颗同色棋子中放一颗黑色棋子；-11=-1? ，这代表两颗不同色的棋子中间放置一颗白色棋子。

设棋子数为123,,,,

,n n a a a a 为初始状态，则当4n =时，有

第一次操作后得到的4枚棋子颗表示为

()()()()

12233441,,,a a a a a a a a 第二次操作后得到的4枚棋子颗表示为

()()()()()()()()

1234233434414112,,,a a a a a a a a a a a a a a a a 分别化简()()()()13243142,,,a a a a a a a a 第三次操作后得到的4枚棋子颗表示为

()()()()()()()()

1324243131424213,,,a a a a a a a a a a a a a a a a 化简为()

1234a a a a 第四次操作后得到的4枚棋子颗表示为()2

1234a a a a ，故这四枚棋子的颜色的赋值都是1，这表明只需操作4次即可将圆周上的棋子全变为黑色。 当n=4时，有 步数 状态（舍掉偶次项）

0 1a 2a 3a 4a 1 12a a 23a a 34a a 41a a

2 13a a

24a a 31a a

42a a 3 1234a a a a 1234a a a a

1234a a a a

1234a a a a

4

()

2

1234a a a a

()

2

1234a a a a

()

2

1234a a a a

()

2

1234a a a a

说明当n=4时，经过4部全变为黑色棋子 Mathematica 程序：

我们假设开始摆放的4颗棋子为1234a a a a 。由于棋子的变化规律性很强,并且为了明确起见,需要将每一轮所放的结果也记录下来。而且有3k k a a = ()1,2,3,4k = 。于是编制了如下程序：

当有4颗棋子进行试验： Mathematica 程序： In[1]: s = {};

x = {a1, a2, a3, a4};

For[i = 1, i <= Length[x], i++, x = Table[

x[[j]] x[[Mod[j, Length[x]] + 1]], {j, 1, Length[x]}] /. {a1^2 -> 1, a2^2 -> 1, a3^2 -> 1, a4^2 -> 1, a1^3 -> a1, a2^3 -> a3, a4^3 -> a4}; s = Append[s, x]]; m = TableForm[s, {1, Length[s]}]; Print["当n=", Length[x], "状态为"]; Print[m];

Print["当n=", Length[x], "时，做多经过", Length[s], "步，可将其棋子全部变为黑色"]

Out[1]: 当n=4状态为

a1a2a2a3a3a4a1a4a1a3a2a4a1a3a2a4

a1a2a3a4a1a2a3a4a1a2a3a4a1a2a3a4

1111

当=4时，做多经过4步，可将其棋子全部变为黑色; 准确结果如图1

图1

经过上述实验可以得知，列表最后一行全都是1，则无论初始状态棋子颜色如何，经过四次操作后，四颗棋子的颜色最终会变成黑色。

当n=5时，有

步数 状态（舍掉偶次项） 0 1a 2a 3a 4a 5a 1 12a a 23a a 34a a 45a a 51a a

2 13a a

24a a 35a a 14a a

25a a 3 1234a a a a 2345a a a a 1345a a a a

1245a a a a 1245a a a a 4 15a a

12a a 23a a 34a a 45a a 5 25a a 13a a

24a a 35a a 14a a

6

1234a a a a

2345a a a a

1345a a a a

1245a a a a

1245a a a a

则出现循环不能全变为黑子

当有5颗棋子进行试验： Mathematica 程序： In[2]: s = {};

x = {a1, a2, a3, a4, a5};

For[i = 1, i <= Length[x], i++, x = Table[

x[[j]] x[[Mod[j, Length[x]] + 1]], {j, 1, Length[x]}] /. {a1^2 -> 1, a2^2 -> 1, a3^2 -> 1, a4^2 -> 1, a5^2 -> 1, a1^3 -> a1, a2^3 -> a3, a4^3 -> a4, a5^3 -> a5}; s = Append[s, x]]; m = TableForm[s, {1, Length[s]}];

Print["当n=", Length[x], "状态为"]; Print[m] 结果为： 当n=5状态为 a1a2a2a3a3a4a4a5a1a5

a1a3a2a4a3a5a1a4a2a5a1a2a3a4a2a3a4a5a1a3a4a5a1a2a4a5a1a2a3a5a1a5a1a2a2a3a3a4a4a5a2a5

a1a3

a2a4a3a5

a1a4

在经过5次像以上的重复操作后, 棋子颜色出现{25a a ，13a a ，24a a ，35a a ，14a a }循环，即使做再多的变换,棋子颜色也不会全变成黑色。

当有5颗棋子进行试验： Mathematica 程序：s = {};

x = {a1, a2, a3, a4, a5, a6}; For[i = 1, i <= Length[x], i++, x = Table[

x[[j]] x[[Mod[j, Length[x]] + 1]], {j, 1, Length[x]}] /. {a1^2 -> 1, a2^2 -> 1, a3^2 -> 1, a4^2 -> 1, a5^2 -> 1, a6^2 -> 1, a1^3 -> a1, a2^3 -> a3, a4^3 -> a4, a5^3 -> a5, a6^3 -> a6}; s = Append[s, x]]; m = TableForm[s, {1, Length[s]}]; Print["当n=", Length[x], "状态为"]; Print[m] 结果为： 当n=6状态为 a1a2a2a3a3a4a4a5a5a6

a1a6a1a3a2a4a3a5a4a6a1a5a2a6a1a2a3a4a2a3a4a5a3a4a5a6a1a4a5a6a1a2a5a6a1a2a3a6

a1a5a2a6a1a3a2a4a3a5a4a6a1a2a5a6a1a2a3a6a1a2a3a4a2a3a4a5a3a4a5a6a1a4a5a6a3a5

a4a6a1a5a2a6

a1a3a2a4

在经过6次像以上的重复操作后, 棋子颜色出现354615261324{,,,,,}a a a a a a a a a a a a 循环，即使做再多的变换,棋子颜色也不会全变成黑色。

当有8颗棋子进行试验： 结果为：

当n=8时，做多经过8步，可将其棋子全部变为黑色;

当n=9时，结果图为

在经过9次像以上的重复操作后, 棋子颜色出现

{}291324354657687918,,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a a a 循环，即使做再多的变换,棋子颜

色也不会全变成黑色。 当n=16时，结果图为

当n=16时，做多经过16步，可将其棋子全部变为黑色;

总而言之,我们对棋子数分别对4, 5, 6,8, 9, 16 颗棋子进行试验后,发现只有4,8,16颗棋子在有限次循环操作后变成全黑色。其他的情况均不能达到这种效

果。于是我们可以得出结论：当棋子数为2n时，至多经过n2次操作即可将其全部变为黑色棋子；当棋子数不为2n次时，则一般不能全变为黑子。

问题二：

围绕着山洞有10个洞, 一只兔子和一只狐狸分别住在洞里, 狐狸总想吃掉兔子, 一天兔子对狐狸说 : 你想吃掉我有一个条件, 先把洞顺序编号,你从最后一个洞出发, 第一次先到第一个洞找我, 第二次隔一个洞找我, 第三次隔两个洞找我, 第四次隔三个洞找我, ...,依次类推, 寻找次数不限; 我躲在一个洞里不动; 只要找到我就可以饱餐了.结果狐狸跑断了腿也没找到兔子, 请问兔子躲在哪个洞里?同时，对山洞个数问题进行深入探索 (山洞数分别对12, 14, 17, 20, 30 等不同情况）将得到的结果进行拓广并给出结论。

问题的分析：

围绕着山洞的10个洞文成一个圈，，兔子和狐狸各占据一个洞，兔子呆在自己的洞里不动，狐狸在编好序号的洞内按照一定的规则找兔子，狐狸首先从最后一个洞出发，第一次先到第一个洞找兔子，第二次隔一个洞找兔子，第三次隔两个洞找兔子，以此类推，寻找次数不限。

将山洞编号，根据狐狸与兔子的约定产生狐狸所到洞的号的序列。最后一个洞的序号是10，隔n 个洞的话就是前面的洞号加n + 1，狐狸首先从最后一个洞( 10 号) 出发，第一次先到第一个洞( 1号) 找，第二次隔一个洞( 1 + 2 = 3 号)，找第二次隔两个洞( 3 + 3 = 6 号) 找，以后狐狸运动到一个新洞的序号与前一次到的洞的序号有关，是前面洞的序号加隔几个洞数所得的数除以10 得到的余

+=，3+3=6，6+4=10，10+5=5，5+6=1,数。刚开始找过的洞号依次是0+1=1,123

1+7=8,8+8=6?

由于在寻找的过程当中需要经过许多次，所以我们利用计算机编程比较方便，对于10 号洞，也可以叫0号洞，这样做可以使程序的编制方便。

编制程序思路如下:

(1)初始值h = 0;开始时找过的洞的集合为t = {0}

(2)用For 循环实现前1000次的序号集;

(3)循环体当中，第i次的洞号h是前一次的洞号加i 除以10 得到的余数，同时将每次产生的序号加入以前的序号集当中。

Mathematica程序和结果如下：

In[2]:h = l = 10;

t = {0};

For[i = 1, i <= 1000, i++, h = Mod[h + i, l]; t = Append[t, h]];

t; m = Union[t]; x = Table[i, {i, 0, l-1}]; p =

Complement[x, m]; Print["兔子可能躲在的洞的号码为", p]

结果为：

兔子可能躲在的洞的号码为{2,4,7,9}

因此兔子可能躲在2号，4号，7号，9号洞中。

当山洞数为12时，只需修改程序中h=l=10的值为12即可，相应的得到的程序和结果为

当山洞数为14时相应的程序和结果为

当山洞数为17时相应的程序和结果为

当山洞数为20时相应的程序和结果为

当山洞数为30时相应的程序和结果为

容易看出狐狸找洞的编号序列为()(1)

2

k k k a Mod N +=,如果0k a =，洞的编号为N ，若0k a ≠ 的话k a 就是洞的编号

当N 为奇数时，令k=N-1就得到0k a =，也就是说寻找N-1次必回到编号为N 的洞中，接下去的序列是跟前面重复的。 所以狐狸可以找到的洞的编号就是12,,

,n a a a ,这个编号数目比洞的数目N 少（有可能不止小1）,也就是说N 为奇数的时候这样的洞是肯定存在的。 当N 为偶数时，令k=2N-1，同样发现洞的编号只可能在()1221,,

,n a a a -这2N-1个

数中产生，这样有可能无解，例如N=4，兔子不管怎么藏都不行的。 按照N 的奇偶性，就可以找出狐狸能找到的所有洞的编号，从而找到兔子可能藏到的洞中。

二、 实验感想

从一个非常有趣的小故事出发，利用数学软件Mathematica 进行了求解，通过运算观察发现其中包含的数学规律性，并加以推广得出结论。这种学习模式是不仅对于我们学习数学软件有重要的帮助，更能通过这种方法加强我们对数学软件的

应用，开阔扩展我们的思维具，还可以强化我们对所学知识的巩固，这种思路在学习中是非常重要的，而且将现实问题数学化也是应用数学方向解决问题的有效途径，因此我们应该多努力学习数学软件并加以应用。