重庆市巴蜀中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷含答案

巴蜀中学2019-2020学年高一下学期期中考试

数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）

1. 22

cos 15sin 15?-?=（ ） A.12 B.12-

D.2. 等差数列{} n a 的首项为1，523a a =+，则3a =（ ）

A.2

B.3

C.4

D.5

3. 对于实数a ，b ，c ，下列命题中正确的是（ ）

A.若 a b >，则22ac bc >

B.若22

ac bc >，则 a b > C.若0a b <<，则11a b < D.若0a b <<，则b a a b

< 4. 在ABC 中，若 cos a b C =，则ABC 的形状是（ ）

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰或直角三角形

5. 当1x >时，不等式11

x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.(],2-∞

B.[)2,+∞

C.[)3,+∞

D.(],3-∞ 6. 等比数列{} n a 的前n 项和为n S ，若63:3:1S S =，则93:S S =（ ）

A.4:1

B.6:1

C.7:1

D.9:1

7. 在数列{} n a 中，13a =，且有133n n n

a a a +=+，则2020a =（ ） A.12020 B.32020 C.20203 D.20201

2

8. 若将函数()sin 2y x ?=+的图像向左平移12π个单位，所得函数图像关于原点成中心对称，则sin 2?= （ ） A.12- B.12 C.3- D.3 9. 已知数列{} n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）

A.若11a =，34a =，则57a =

B.若13

0a a +>，则240a a +> C.若21 a a >，则32 a a >

D.若21 0a a >>，则1322a a a +> 10. 设(),1A a ，()2,1B -，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影

相同，则a =（ ）

A.12-

B.12

C.-2

D.2

11. 如图所示，为了测量A 、B 处岛屿的距离，有一艘观测船在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15?、

北偏东45?方向，再往正东方向行驶10海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60?方向，则A 、B 两岛屿的距离为（ ）海里.

A.56

B. 106

C. 102

D.202

12. ABC 中，若::3:2AC AB CM MB ==，60AMB ∠=?，则sin CAB ∠=（ ）

A.1154

B.35

C.5311

D.

5314 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13. 求111112233420192020

++++=????____________. 14. 已知等差数列{} n a 的前n 项和为n S ，若1100OB a OA a OC =+，且,,A B C 三点共线（该直线不过原点

O ），则100S =____________.

15. 已知,a b 为单位向量，且12

a b ?=，若c a b λμ=+.且22λμ+=，则c 的最小值为____________. 16. 设2020a b +=，0b >，则当a =____________时，12020a a b

+取得最小值. 三、解答题（本大题共6小题，17题10分.其余各题每题12分.共70分）

17. 已知 2a =，4b =，a 与b 的夹角为60?. （1）计算()a a b ?+的值；

（2）若()

0a a kb ?-=，求实数k 的值.

18. 已知函数()2sin sin 2f x x x x π?

?=+ ???. （1）求()f x 的最小正周期；

（2）求函数()f x 在区间0,2π??????

上的取值范围. 19. ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c a B b

--=. （1）求sin sin C A

的值； （2）若1cos 4B =

，ABC 的周长为5，求b 的长. 20. 已知数列{} n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，()1135432n n n n S a a S n --=-+≥.

（1）求数列{} n a 的通项公式；

（2）若n n b na =，求数列{} n b 的前n 项和n T .

21. ,,A B C 是ABC 的三个内角，已知向量()sin sin ,sin sin m A C B A =+-，

()sin ,sin sin n B A C =--，且//m n .

（1）求角C 的大小；

（2）若向量()0,1s =-，2cos ,2cos 2B t A ?

?= ???

，试求s t +的取值范围. 22. 数列{} n a 中，1a x =，()1412n n a a n n -+=-≥.

（1）若2x =，求n a 及2

n S . （2）对任意正整数n ，()()22

1228n n a a +-+-≥恒成立，求实数x 的取值范围. 高2022届高一下半期数学考试答案

选择题：

1-5：CBBAD 6-10：CBCDA 11-12：AD

填空题：

13. 20192020 14. 50 15. 1 16. 20202019

a =- 11.【解析】

10

sin30sin45

AD

=

??

52

AD

?=，

()()

22

2

:52102252102cos60 ADB x=+-????50200100150

=+-=，

56

x

∴=.

12.【解析】

()

()

sin602

sin sin

sin603

sin sin

AM BM

BM

B

AM CM CM

C

θ

θ

θ

θ

?

=?

?-

?

?==

?

?+

?

=

??

，

31

cos sin3tan23

22tan

3

313tan

cos sin

θθθ

θ

θ

θθ

--

?==?=

+

+

，

2

2tan53

sin2

1tan

θ

θ

θ

∴==

+

.

15.【解析】

12a b ?=60AOB =?∠?， 则22c a b a b μ

λμλ=+=+?，

,,C A B '∴三点共线，min 1

O l c d OA →∴===. 16.【解析】

由已知有：0a <，0b >， 222202*********a a a b a b a b a a b

++=++ 22120202020a b a b ≥-

+?221140392202020202020

=-+?=， 当且仅当22020a b a b

=时，等号成立. 即222

202020192020a a b ?=-=. 解答题：

17.【解析】

（1）()2424cos 608a a b a a b ?+=+?=+???=

（2）()0a a kb ?-=，即2

424cos 60440a ka b k k -?=-????=-=，1k ∴=.

18.【解析】 （1）()2sin 3sin 2f x x x x π?

?=++ ???

2sin 3cos x x x =

1cos 2222x x -=+

1sin 262x π??=-+ ??

?， T π∴=.

（2）50,2,2666x x ππππ????∈?-∈-??????

??， 1sin 2,162x π????∴-∈- ????

???， ()30,2f x ??∴∈????

. 19.【解析】

（1）cos 2cos 22sin sin cos sin A C c a C A B b B

---== cos sin 2cos sin 2sin cos sin cos A B C B C B A B ?-=-

()()sin 2sin sin 2sin A B B C C A +=+=??

sin 2sin C A

∴=. （2）由（1）得2c a =，

22222251cos 244a c b a b B ac a +--===

2242b a b a ??==，

551ABC C a b c a a =++=?==，

2b ∴=.

20.【解析】

（1）()()()1111354323542n n n n n n n n S a a S n S S a a n ----?=-+≥-=-≥，

()()11354222n n n n n a a a n a a n --=-≥=≥?，

{}n a ∴是以1 2a =为首项，2q =为公比的等比数列，

{}n a ∴的通项公式为： 2n n a =.

（2）2n n b n =?，

1231222322n

n T n ∴=?+?+?++? ①

()231

21222122n n n T n n +=?+?++-?+? ②

②-①得：()

1112212222

21n n n n n T n n +++-=-+?=-+?+-

()1122n n +=-?+.

21.【解析】

（1）//m n ()()()() sin sin sin sin sin sin sin A C A C B A B ?+-=--，

222sin sin sin sin sin C A B A B =+-?，

222cos 231c a b ab C C π??=+-=

?=. （2）2cos ,2cos 12B s t A ?

?+=- ???

， 2222cos 2cos 12B A s t ??=+-+ ??∴? 22cos cos A B =+

222cos cos 3A A π?? ??=+?

-

1cos 2214A A =+

11sin 226A π??=-- ??

?. 由27023666

A A ππππ<

?， 21524

s t

∴≤+<5s t ?≤+<. 22.【解析】

（1）()()()121241243453n n n n n n a a n n a a n a a n n ----+=-≥??+=≥?+=-≥???. ①135,,,a a a 是等差数列，首项为12a =，公差为4； ∴n 为奇数时，12422

n n a n -=+?=. ②246 ,,,a a a 是等差数列，首项为2

7a x =-，公差为4； ∴n 为偶数时，514212n n a n ??=+-?=+ ???

. 综上，2,21,n n n a n n ?=?+?为奇数为偶数

.

()()221124544322n n n n n S S S n n n n --=+=+

?++?=+奇偶.

（2）同（1）方法得：2223n n x n a n x n +-?=?+-?

，为奇数，为偶数. ①n 为奇数时，()()22

1228n n a a +-+-≥即为 ()()222522228n x n x +--++--≥???????? ()222141742x x n n -+≥--?对任意正整数n 恒成立，

n 为奇数时，()2max 424n n ??--=-??，

2214174x x ∴-+≥

-x ?≤

x ≥②n 为偶数时，()()2

21228n n a a +-+-≥即为 ()()22222328n x n x +-++--≥???????? ()2226342x x n n ?--≥--对任意正整数n 恒成立，

n 为偶数时，()x 2ma 4224n n ??--=-??，

222632426210x x x x x R ∴--≥-+≥??-∈，

综上：x ≤

x ≥