2015广东高考数学(理科)试题及答案解析版

绝密★启用前 试卷类型：A

2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1.若集合{}}{|(4)(1)0,|(4)(1)0M x x x N x x x =++==--=，则M N ?=

}{A.

1,4

}{B.

1,4--

}{C.

D.?

【答案】D

【解析】{}{}1,40)1)(4(--==++=x x x M ，{}

{}4,10)1)(4(==--=x x x N Φ=?∴N M

2.若复数(32)z i i =-（i 是虚数单位），则z =

A.23i -

B.23i +

C.32i +

D.32i -

【答案】A

【解析】23)23(+=-=i i i z ，

i z 32-=∴

3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是

2A.1y x =+

1

B.y x x

=+

1C.22x x

y =+

D.x y x e =+

【答案】D

【解析】A 和C 选项为偶函数，B 选项为奇函数， D 选项为非奇非偶函数

4. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰好有1个白球，1个红球的概率为

5A.

21

10B.

21

11C.

21

D.1

【答案】B

【解析】2110

2

15

15110==C C C P

5. 平行于直线2++1=0x y 且与圆225x y +=相切的直线的方程是

A.250250x y x y ++=+-=或

B.250250x y x y ++=+-=或

C.250250x y x y -+=--=或

D.250250x y x y -+=--=或

【答案】A

【解析】设所求直线为02=++c y x ，因为圆心坐标为（0，0），则由直线与圆相切可得

55

1

22

==

+=

c c

d ，解得5±=c ，所求直线方程为052052=-+=++y x y x 或

6. 若变量,x y 满足约束条件458

1302x y x y +≥??

≤≤??≤≤?

，则32z x y =+的最小值为

A.4

23B.

5

C.6 31

D.

5

【答案】B

【解析】如图所示，阴影部分为可行域，虚线表示目标

函数32z x y =+，则当目标函数过点（1，

85

）， 32z x y =+取最小值为

235

7. 已知双曲线22

22:1x y C a b

-=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 的方程为

22

A.

143

x y -= 22

B.

1916

x y -= 22

C.

1169

x y -= 22

D.

134

x y -= 【答案】C

【解析】由双曲线右焦点为)0,5(2F ，则c=5，44

5

=∴==

a a c e 92

2

2

=-=∴a c b ，所以双曲线方程为

19

162

2=-y x 8. 若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值

A.3至多等于

B.4至多等于

C.5等于

D.5

大于

【答案】

B

【解析】当3=n 时，正三角形的三个顶点符合条件；当4=n 时，正四面体的四个顶点符合条件

故可排除A ，C ，D 四个选项，故答案选B

二、填空题：本大题 共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9-13题）

9. 在4

x （-1）的展开式中，x 的系数为 .

【答案】6 【解析】()

()

()2

44

44

11r r r

r

r

r

x

C x C

---=-，则当2=r 时，x 的系数为()612

42

=-C

10. 在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += . 【答案】10

【解析】由等差数列性质得，255576543==++++a a a a a a ，解得55=a ，所以102582==+a a a 11. 设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，1sin 2B =，6

C π

=，则b= . 【答案】1

【解析】6

56,21sin π

π或=∴=

B B ，又6π=

C ，故6π=B ，所以 32π=A

由正弦定理得，B

b

A a sin sin =，所以1=b 12. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言。（用数字作答） 【答案】1560

13. 已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，()30E X =，()20D X =，则p = . 【答案】

3

1

【解析】()30==np X E ，()20)1(=-=p np X D ，解得3

1=p （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题），

14. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线l 的极坐标方程为2sin()24π

ρθ-=，点A 的极坐标为

7(22,

)4

A π

，则点A 到直线l 的距离为 . 【答案】

2

2

5 【解析】2)cos 2

2sin 22(

2)4

sin(2=-=-

θθρπ

θρ 1cos sin =-∴θρθρ

即直线l 的直角坐标方程为011=+-=-y x x y ，即，点A 的直角坐标为（2，-2）

A 到直线的距离为2

2

52

1

22=

++=

d 15. (几何证明选讲选做题)如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =,EC 是圆O 的切线，切点为C ，1BC =，过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD = . 【答案】8

【解析】

图1

如图所示，连结O ，C 两点，则CD OC ⊥,AC OD ⊥ ?=∠+∠∴90ACD CDO ?=∠+∠∠=∠90CAB CBA CBA ACD ， ,CAB CDO ∠=∠∴

则，所以BC

OC

AB OD =,所以8=OD

三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m =（22，-2

2

），n =（sin x ，cos x ），x ∈（0，π2）.

（1）若m ⊥n ，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为，求x 的值. 【解析】

17.（本小题满分12分）

某工厂36名工人的年龄数据如下表： 工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 1 40 2 44 3 40 4 41 5 33 6 40 7 45 8 42 9 43

10 36 11 44 12 38 13 39 14 33 15 45 16 39 17 38 18

36

19 27 20 43 21 41 22 37 23 34 24 42 25 37 26 44 27

42

28 34 29 39 30 43 31 38 32 42 33 53 34 37 35 49 36

39

（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里采用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；

（2）计算（1）中样本的均值x 和方差2

s ；

（3）36名工人中年龄在x s -与x s +之间有着多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01%）？ 【解析】 （1）

由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为2，6，10，14，18，22，26，30，34的年龄数据

为样本。

则样本的年龄数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37

（2） 由（1）中的样本年龄数据可得，

()403743443736433640449

1

=++++++++=

x 则有

()()()()()()()()()???

?

??-+-+-+-+-+-+-+-+-=

240372404324044240372403624043240362404024044912s =

9

100

（3）

由题意知年龄在??

?

???+-

910040910040，之间，即年龄在[]4337，之间， 由（1）中容量为9的样本中年龄在[]4337，之间的有5人， 所以在36人中年龄在[]4337，

之间的有209

5

36=?（人）， 则所占百分比为

55.56%100%36

20

≈? 18.（本小题满分14分）

如图2，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD=PC=4，AB ＝6， BC=3，点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且AF ＝2FB ，CG ＝2GB ， （1）证明：PE ⊥FG；

（2）求二面角P-AD-C 的正切值； （3）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值. 【解析】

（1）证明：PC PD = 为等腰三角形PDC ?∴ E 为CD 边的中点，所以，DC PE ⊥

ABCD PDC 平面平面⊥ ，DC ABCD PDC =?平面平面，且PDC PE 平面? ∴PE ABCD ⊥平面

ABCD FG 平面? ，FG PE ⊥∴ （2） 由长方形ABCD 知，DC AD ⊥

ABCD PDC 平面平面⊥ ，DC ABCD PDC =?平面平面，且ABCD AD 平面? PDC AD 平面⊥∴

PDC PD 平面? ，AD PD ⊥∴

CAD DC PDA PC AD PD AD DC 平面，平面，且，由??⊥⊥

C A

D P PDC --∠∴即为二面角

由长方形ABCD 得6==AB DC ，E 为CD 边的中点，则32

1

==

DC DE 7343422=-=∴⊥==PE DC PE DE PD ，，，

3

7

tan =

=

∠∴DE PE PDC 即二面角C AD P --的正切值为3

7

（3） 如图，连结A,C

GB CG FB AF 22==， BC

BG

AB BF =∴

，AC FG // PAC ∠∴为直线PA 与直线FG 所成角.

由长方形ABCD 中36==BC AB ，得

533622=+=AC

由（2）知PD AD ⊥，43===PD BC AD ， 54322=+=∴AP 由题意知4=PC

255

92cos 222=

??-+=∠∴AC AP PC AC AP PAC 所以，直线PA 与直线FG 所成角的余弦值为

25

5

9 19.（本小题满分14分）

设1a >，函数2

()(1)x

f x x e a =+-. （1）求()f x 的单调区间；

（2）证明：()f x 在()+∞∞-,上仅有一个零点；

（3）若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m a 的切线与直线OP 平行（O 是坐

标原点），证明： 【解析】 （1）

222()(1)()=2(1)(1)()0()R

x x x x

f x x e a

f x xe x e x e x R f x f x =+-'∴++=+'∈≥∴时，恒成立的单调递增区间为

（2）由（1）可知()f x 在R 上为单调递增函数

()=(+)(1)

1()0

()(,)a

a

a

x a f a a e a

e

a e

a f a f x =-=+->∴>∴-∞+∞当时，1在上仅有一个零点

（3）令点P 为00(,)x y

020002()P ()=(1)02

=-1,p(-1,-)

2-2

OP 1M(m,n)OP 2()(1)x op m y f x x f x x e x a e

a

e k a e

f m m e a e

='∴+=∴∴==-

-'∴=+=-

曲线在点处的切线与轴平行直线斜率为在点处的切线与直线平行

33221,(1)a m a e e

≤-

-+≤-要证明m 即证 32(1)(1)1()1()1()0,0

()+()(0)0101

m m m m m m m m e g m e m g m e g m m g m g m g e m e m +≤++≤=--'∴=-'==∴∞∞∴≥=∴--≥∴≥-需证明需证明设令在(-,0)上单调递减，在(0，)

上单调递增

命题得证.

20.（本小题满分14分）

已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B. （1）求圆1C 的圆心坐标；

（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；

（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由. 【解析】

（1）由题意知：圆1C 方程为：22(3)4x y -+= ∴圆1C 的圆心坐标为（3,0）

（2）由图可知，令22221111111(,),||,||(3)M x y OM x y C M x y =+=-+

222112222211112211||||||3(3)39

()24

OC OM C M x y x y x y =+∴=++-+∴-+=

∵直线L 与圆1C 交于A 、B 两点 ∴直线L 与圆1C 的距离：02d ≤<

221122111220(3)493

0(3)()442

5

33

39

5

C ()(,3]

24

3

x y x x x x y x ∴≤-+<∴≤-+--<∴<≤∴-+=

∈轨迹的方程为：

（3）∵直线L ：223

9(4)()124

y k x x y =--+=与曲线仅有个交点

联立方程：22

(4)

5(,3]393()24y k x x x y =-??

∈?-+=??

， 得：2222(1)(83)160k x k x k +-++=，5

(,3]13

在区间有且仅有个解

222

24=(83)-64+1=3

k k k k ?+=±当（）0时，

此时，125

(,3]53

x =

∈，仅有一个交点，符合题意。 22220()(1)(83)16x k x k x k ?≠=+-++当时，令g

则有：5()(3)03

g g ≤ 解得：2525

[,]77

k ∈-

∴k 的取值范围为：2525[,]77k ∈-或4

3

k =±

21.（本小题满分14分）

数列{}n a 满足：*

121

224,2

n n n a a na n N -++++=-

. （1）求3a 的值；

（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ； （3）令11111

1

,(1)(2)23n n n T b a b a n n n

-==

+++++ ，证明：数列{}n a 的前n 项和n S 满足22ln n S n <+.

【解析】

（1）由题意知：121

2

242n n n a a na -+++

+=-

121

1232

321322=22=4232

=32+3=4232223

3=4(4)2241=

4n a a n a a a a a ++-

++-++---=

当时，当时，

（2）

121

121224232+(+1)42n n n n n

n a a na n a a na n a -+++++=-

+∴++

+=-

1123

(+1)22243

212

n n n

n

n

n n n a n n n +-++=

-+--=

+= ∈≥

11

1

()21()

2

n

n n n a a +-∴=∴= ∴{}n a 是首相为1，公比为

1

2

的等边数列 ∴1111()1122()212212

n

n n n T ---==-=-- （3）由（2）得：1

122

n n T -=-

1111

(2)(1)22n n S n -∴=-++

已知不等式：111

ln(1)23n n

+<+

设()ln(1),01x

f x x x x

=+->+

2

1()0,()()1()ln(1)(0)0

1ln(1)()11=,

1

ln(1)ln(1)ln ln ln(1)ln 2ln1ln 1111ln(1)231111

ln 231

1111(2)(1)2(1222n n x f x f x x

x

f x x f x x

x x x n n n n n n

n

n n n n S n -'∴=>∞+∴=+->=+∴+>∞++=+-+--++-=+>+++

+∴>+++

+∴=-++<+在0,+单调递增

在0,+上恒成立

令1

)2(1ln 2)22ln 2

n

+<+=+