浅谈微分方程的起源与发展史

浅谈微分方程的起源与发展史

摘要:微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。虽然这些特殊的技术只适用于相对较少的情况下，但是他们可以解决许多微分方程在力学和几何中的问题，所以，他们的研究具有非常重要的现实意义。这些特殊的方法和问题，将有助于我们解决很多问题。

引言：很多的科学问题是需要人们根据事物的变化率来确定事物的特征。比如，我们可以

试着用已知的速度或加速度来计算粒子的位置，又比如，一些放射性物质可能是已知的衰变率，这就要求我们在一个给定的时间内确定材料的总量。通过这些例子，我们可以发现，如果知道自变量、未知函数以及函数的导数（或者微分）组成的关系式，得到的就是微分方程。最后再通过微分方程求出未知函数。

关键字：微分方程起源发展史

一、微分方程的思想萌芽

微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式。微分方程理论的发展是跟随着微积分理论的建立发展起来的，一般地，客观世界的时间要服从一定的客观规律，这种连接，用数学语言表达，即是抽象为微分方程，一旦获得或研究的解决方案是明确的空气动力学行为，变量之间的规律是一目了然的。例如在物体运动中，唯一的计算就与瞬间速度之间有着紧密的联系，其结果往往形成一个微分方程，一旦求出解或研究清楚气动力学行为，就明确的掌握了物体的运动规律。

1.1微分方程的起源：微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布

尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。

1.2微分方程在实际问题中的应用：运用微分方程理论解决一些实际问题，即根

据生物学，物理学，化学，几何学等学科的实际问题及相关知识建立微分方程，讨论该方程解的性质，并由所得的解或解的性质反过来解释该实际过程。物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系描述的,但是在实际问题中往往不能直接写出反映运动规律的函数,却比较容易建立这些变量与他们的导数之间的关系式,即微分方程。只有一个自变量的微分方程称为常微分方程,简称微分方程。

例1 传染病模型

传染病（瘟疫）经常在全世界各地流行，假设传染病传播期间其他地区的总

x，在t时的健康人数为)(t y，染病人数不变，为常数n，最开始的染病人数为

人数为)

(t

x。

因为总人数为常数n

所以可得到式子 n t y t x =+)()( ① 假设单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比，且比例常数为k ，称k 为传染系数，于是即可得到式子

0)0(),()()(x x t x t ky dt t dx == ②

由①和②可得 0)0(),(x x x n kx dt

dx =-= ③ 这个模型就是SI 模型，即易感染者模型和已感染者模型。

对于无免疫的传染性疾病如痢疾、伤风等等，病人在治愈以后还会有再次被感染的危险。所以我们可以假设单位时间内的治愈率为μ，那么方程②就应该修改为

0)0(),()()()(x x t x t x t ky dt t dx =-=μ ④ 由①和④可得 0)0(),1()(x x x n kx x x n kx dt dx =--=--=σ

μ， μσk = ⑤ 这个模型称为SIS 模型，

μ1就是这个传染病的平均传染期，μσk =为整个传染期内每个病人有下接触的平均人数（平均接触数）。

对于很强免疫性的传染性疾病例如天花、流感等等，病人治愈以后不会有再被传染的机会。我们就可以假设在时刻t 的治愈后的免疫人数为)(t r ，称为移出者，且治愈率为常数l ，

所以可得 )()(t lx dt

t dr = ⑥ n t r t y t x =++)()()( ⑦ dt

t dr t x t ky dt t dx )()()()(-= ⑧ 根据⑥、⑦和⑧可得 ???????-==-==-=000)0(,)0(,x n y y kxy dt

dy x x lx kxy dt dx ⑨ 这个模型称为SIR 模型，

综上所述三个类型的传染病模型③、⑤和⑨均为微分方程

微分方程就是根据此种生物类型的实际问题和其他的物理、几何、化学等的实际问题所受到的启发。

二、微分方程的推导

1.1术语和记号

当我们用微分方程处理问题时，习惯性地用y 替代)(x f ，用y '替代)(x f '，更高阶的导数可以记为y ''、y '''①等。当然其他字母，如u ,v ,z 等等都可以用来代替y .微分方程的阶，意思

是出现在其中的导数的最高阶数。例如，y y ='是一阶，微分方程)sin(3

y x y x y ''+='就是一个二阶方程。 1.2 微分方程的推导

三、微分方程有哪些类型

微分方程的类型：①常微分方程（自变量的个数 1个）；②偏微分方程（自变量的个数2或2个以上）

1.1 常微分方程（自变量的个数只有1个）： )(22t f cy dt

dy b dt y d =++ 0)(2=++y dt

dy t dt dy 上述两个常微分方程（自变量：t 未知函数：y ）

常微分方程的发展阶段：

①发展初期就是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解，属于“求通解”时代。莱布尼茨（Leibniz ）曾经专门有研究利用变量变换解决一阶微分方程的求解问题。

②早期的常微分方程的求解热潮被刘维尔（Liouville ）于1841年证明里卡帝方程不存在一般的初等解而中断。再加上柯西（Cauchy ）初值问题的提出，常微分方程从“求通解”转向了“求定解”时代。

首先是对常微分方程定解问题包括初值和边值问题的解的存在性、唯一性等解的性质的研究；

其次，是针对线性微分方程，特别是二阶线性微分方程，通过专门定义一些特殊函数以求解特殊方程，比如贝塞尔（Bessel ）函数、勒让德（Legendre ）多项式等，这就促成了微分方程与复变函数论结合产生微分方程解析理论。

最后，因为天文计算的需要促进了常微分方程摄动理论以及小参数、幂级数等近视方法的研究。

③19世纪末，天体力学中的太阳系稳定性问题需要研究常微分方程解的大范围形态，从而使常微分方程的研究从“求定解问题”转为“求所有解”的新时代。

首先，庞加莱创立了定性理论和方法研究常微分方程解的大范围性态。因为希尔伯特（Hilbert ）提出20世纪23个数学问题中关于极限环个数的第16问题，大大促进了定性理论的发展。

然后，就是李雅普诺夫（Lyapunov ）提出的运动稳定性理论，用于解决方程解的初值扰动不影响原方程解得趋势问题，在工程技术、天文、以及物理中得到广泛应用，先后在前苏联，美国都受到了很大的重视。

最后，20世纪初，伯克霍夫（Birkhoff ）在动力系统方面开创了一个新的领域，因为拓扑方法的渗入，20世纪50年代后经阿诺的（Arnold ）、斯梅尔（Smale ）等数学界的加入和参与，从而得到了蓬勃发展。

④20世纪六七十年代以后，常微分方程由于计算机技术的发展从而迎来了一个新的时期，从“求所有解”转化为“求特殊解”的一个时代，还发现了具有新性质的特殊的解和方程。在20世纪60年代洛伦兹发现了成为Lorenz 方程的常微分方程，对初值敏感的特性导致了混沌现象发现引起了科学界的巨大震动，斯梅尔称之为“利用牛顿的定律推翻了牛顿决定论”。

常微分方程的研究还跟其他领域和学科相结合，从而出现各种新的研究分支，比如说时标微分方程、脉动微分方程、分支理论、控制论、泛函微分方程、种群生态学、广义微分方程等。

例2 化学动力模型

1972年，化学家Schlogt 提出了分子反省的化学动力学模型。设想一个化学反应体系内部包含三种化学成分A 、B 和x ，A 、B 是反应物，x 为中间产物，进行这样一组化学反应：

1k k B x , 2323k k A x x +

即B 类的一个分子反应后变为x 类的一个分子；A 类得一个分子与x 类的两个分子反应后变成3个x 类分子，相应的反应率分别为0k 和2k ；同时假定反应是可逆的，相应的反应率分别为1k 和3k ，此处0k 、2k 、1k 、3k 均为正常数；A 、B 、x 分别代表A 类、B 类和x 类的分子数。

既定反应过程不涉及任何热效应，所有成分组成一个理想溶液，反应动力学满足质量作用定律，于是有反应引起的各组成成分浓度的变化速率为

232301,

,.

A B x A B v k Ax k x v k B k x v v v =-+=-+=--

当反映的条件是固定时，所有速率系数都是恒定的，设除了由于化学反应以外各成分的浓度还是可以通过和外界环境的交换而变化，其中成分i 与外界的交换速率为i w ，于是各成分浓度的变化方程为 ,,.A A B B x x dA v w dt

dB v w dt

dx v w dt

=+=+=+ 如果只有成分A 和成分B 可以和外界交换，并通过交换而维持它们在体系中的浓度恒定，成分x 并不能和外界交换，它的浓度完全决定与体系内部的动力学，所以就有方程

0,0,0.x dA dB w dt dt

=== 在这种情况下体系的状态仅有单个变量x 来表征，并且有 323210dx k x k Ax k x k B dt

=-+-+ ① 这就是Schlogt 单分子化学动力学模型。

考虑有两个中间变量的化学反应体系

1232,

2,.

k k

k A x x x y y y E +??→+??→??→ 但这些发行步骤的总结果是

k

A E ??

→ 其中A 和E 是反应物和产物，假定他们的浓度可由外界控制为恒定，x 和y 是两种反应中的中间产物，他们的浓度可以自由发展，逆反应过程可以完全忽略（自催化），则有反应方程 1223,.dx k Ax k xy dt dy k xy k y dt

?=-????=-?? ② 这是一类双分子化学动力学模型。

现设一开放的体系中进行着下面一系列化学反应

1,k A x ??→ 2,k

B x y D +??→+ 323,k x y x +??→4.k

x E ??→ 假定反应过程是恒定和均匀的，产物D ，E 一经产生即可除去，反应物浓度很高，无扩散，此时对x 和y 的反应动力学方程为 21243223(),.dx k A k B k x k x y dt dy k Bx k x y dt

?=-++????=-?? 化简上述式子可得：

22(1),.dx A B x x y dt dy Bx x y dt

?=-++????=-?? ③

此式子是3分子化学动力学模型。

终上所述①、②和③分子的化学反应模型均为常微分方程。

1.2偏微分方程：偏微分方程是微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对应几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程（自变量的个数为2个或2个以上）。

0222222=??+??+??z

T y T x T 上述微分方程的自变量：x 、y 、z 未知函数：T

因为上述微分方程的自变量个数为3，所以该微分方程为偏微分方程。

t T x

T ??=??422 此微分方程的自变量：x 、t 未知函数：T

因为此微分方程的自变量个数为2，所以该微分方程为偏微分方程。

1.2.1 偏微分方程为题的来源

偏微分方程是由最初研究直接来源于几何和物理的问题最后发展到一个独立的数学分支，它的内容比较庞大复杂，方法多种多样。偏微分方程所讨论的问题也不仅仅是来源于几何、化学、物理、生物、力学等学科的问题，而且再解答这些问题是运用到了现代数学的许多工具。近几十年来，在这个领域研究的工作，特别是对非线性方程的理论、运用以及计算方法的研究都能起到了极大的推动作用，十分活跃。

自然界中的各种运输现象，比如分子扩散过程和热传导过程等等，都是可以用票无形偏微分方程的。自然界中各种稳定的物理现象，比如浓度分布、稳定的温度分布、无旋稳定恒电流场、静电场等与时间无关的自然现象，那么这就可以建立位势方程这样的数学模型了，这就是纯正的数学中椭圆型微分方程进入稳定的物理现象的中间桥梁。自然界是一个特别大的系统，所以必然现象不过只是他其中的一个子系统。然而波动系统、运输现象和稳定的物理现象又是必然现象的下一层次的三个子系统。与之相对应的用来描述必然现象的数学模型的经典数学，它们分别是双曲型、抛物型以及椭圆型偏微分方程这三个字系统。所以，同样是自然界中的必然现象，但还是存在着层次上的差别。我们最后在建立数学模型的时候，应该建立那种模型，这就需要我们具体问题具体分析了。

1.2.2偏微分方程的发展过程

在十八世纪，欧拉在他的著作中最早的提出了弦振动的而解方程而后不就，法国数学家

达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。在1747年的时候，达朗贝尔又在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中有明确的说出弦的震动所满足的偏微分方程，并且还给出了其通解。而且还提议说证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。就这样由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。所以说，达朗贝尔那次所发表的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》就被看作为偏微分方程论的开端。不仅如此，丹尼尔·贝努利也有研究数学物理方面的问题，并且还提出了了解弹性系振动问题的一般方法，这对偏微分方程的发展也起了比较大的作用。还有拉格朗日也有讨论一阶偏微分方程，更加丰富了这门学科的内容。

偏微分方程是在十九世纪得到了迅速的发展，因为那时候有许多的数学物理问题的研究都多了起来，而且也有许多的数学家对那些问题的解决都做出了贡献。现在我们就谈一谈这其中的一位，他就是法国的数学家傅里叶，在他年轻的时候，他就是一个很出色的数学学者。他在对热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，并且他在文章中提出了三维空间的热方程，而且他还解决它特殊条件下的热传导问题，也就是满足边界条件和初始条件的偏微分方程的求解。这种热方程就是一种偏微分方程。他的研究对于偏微分方程的发展有着非常大的影响。

1.2.3 偏微分方程的发展趋势

随着物理学研究现象的广度和深度的拓展，偏微分方程的运用范围就更加的广泛。我们从数学自身的角度看，可以发现偏微分方程的求解促使着数学在函数论、常微分方程、微分几何、变分法、代数、级数展开的方面进行发展。由此可见，偏微分方程就变成了数学的中心。

20世纪很多数学家和物理学家在关于数学物理方程的研究有着前所未有的发展，这些发展有着如下的特点以及趋势：

1.在很多大自然科学以及工程技术中所提及的数学问题大多都是非线性偏微分方程，即使是有部分的线性偏微分方程的问题，但是由于最后研究的深入，我们还是要考虑非线性偏微分方程的问题，而且研究非线性偏微分方程难度很大，但是对线性偏微分方程的已有结论很有启示。

2.实践中的问题大多数都是由多种因素相互影响、相互作用的。所以有很多数学模型都是由非线性偏微分方程组成的。比如说：电磁流体力学方程组、反应扩散方程组、辐射流体方程组、流体力学方程组等等，这在数学上称之为双曲-抛物线方程组。

3.偏微分方程现在不仅仅只是描述力学、物理等的数学模型，而且还能描述生物学、化学、农业、医学以及环保领域，甚至还在经济等社会科学领域都能不断的提出一些重要的偏微分方程。

4.随着科技的不断发展，偏微分方程也在不断的发展、进步和完善。

例3马尔萨斯模型(偏微分方程在人口问题中的应用)

人口问题是大家都很感兴趣的问题(这里所说的人口是广义的，并不一定限于人，可以是任何一个与人有类似性质的生命群体)。对人口的发展进行研究最先所采用的大多是常微分方程模型。设想()p t 表示t 时刻的人口总数，0p 为初始时刻0t 时人口总数，a 表示人口净增长率。

马尔萨斯模型只在群体总数不太大时才合理。因为当生物群体总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间、有限的自然资源及食物等原因，就要进行生存竞争。

而马尔萨斯模型仅考虑了群体总数的自然线性增长项()ap t ，没有考虑生存竞争对群体总数增长的抵消作用。因此在群体总数大了以后，马尔萨斯模型就不再能预见群体发展趋势，这时就要采用威尔霍斯特模型： 200()()(),:.

dp t ap t ap t dt t t p p ?=-???==? 其中，a 称为生命系数，而且a 比a 要小很多。2

()ap t 就是考虑到生存竞争而引入的竞争项。当群体总数()p t 不太大时，由于a 比a 小很多，则可以略去上面方程中右端的第二项而回到马尔萨斯模型。但是当群体总数增大到一定的程度时，上面方程中右端的第二项所产生的影响就不能忽略。

不论是马尔萨斯模型还是维尔霍斯特模型，它们都是将生物群体中的每一个个体视为同等地位来对待，这个则只适用于低等动物。对于人类群体来说，必须考虑不同个体之间的差别，特别是年龄因素的影响。人口的数量不仅和时间有关，还应该和年龄有关，而且人口的出生、死亡等都和年龄有关。不考虑年龄因素就不能正确的把握人口的发展动态。这时，就必须给出用偏微分方程描述的人口模型： (,)(,)()(,),(0,0)p t x p t x d x p t x t x A t x

??+=-≥≤≤?? ⑴ 00:(),(0)t p p x x A ==≤≤ ⑵

1

20:(,0)()(,),(0)x p t b p t d t ?ξξξ==≥? ⑶ 其中，(,)p t x 表示任意时刻t 按年龄x 的人口分布密度，()d x 表示年龄为x 的人口死亡率，()b x 表示年龄为()x a x A ≤≤的人的生育率，a 表示可以生育的最低年龄，A 表示人的最大年龄。

对于上述偏微分方程模型成立如下结论：

定理1：对偏微分方程的处置问题⑴—⑶，如果下列条件成立：

A.在区间[]0,A 上，0()0p x ≥且适当光滑；

B.在区间[]0,A 上，()0d x ≥且适当光滑，并且当0x A →-时，()d x →+∞及