倒立摆控制系统的设计

自动控制理论课程设计倒立摆系统的控制器设计

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二O一三

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指导教师签名：年月日

重庆大学本科学生课程设计任务书

目录

一、倒立摆控制系统概述 (2)

二、数学模型的建立 (3)

三、系统开环响应分析 (4)

四、根轨迹法控制器设计 (5)

4.1根轨迹分析 (5)

4.2系统根轨迹设计 (6)

4.3校正后系统性能分析 (8)

4.4系统控制器的调整 (8)

五、频域法控制器设计 (10)

5.1频域法分析 (10)

5.2串联校正器的选择与设计 (10)

5.3系统的仿真 (13)

六、PID控制器设计 (14)

七、总结及心得体会 (16)

八、参考教材 (16)

一、倒立摆控制系统概述

倒立摆装置被公认为自动控制理论中的典型实验设备，也是控制理论教学和科研中控对象，运用控制手段可使之具有良好的稳定性。通过对倒立摆系统的研究，不仅可以解决控制中的理论问题，还能将控制理论所涉及的三个基础学科：力学、数学和电学（含计算机）有机的结合起来，在倒立摆系统中进行综合应用。在多种控制理论与方法的研究和应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的试验问题，将其理论和方法得到有效的经验，倒立摆为此提供一个从控制理论通往实践的桥梁。

在稳定性控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性。倒立摆系统作为一个控制装置，结构简单、价格低廉，便于模拟和数字实现多种不同的控制方法，作为一个被控对象，它是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的快速系统，只有采用行之有效的控制策略，才能使其稳定。倒立摆系统可以用多种理论和方法来实现其稳定控制，如PID、自适应、状态反馈、智能控制、模糊控制及人工神经元网络等多种理论和方法，都能在倒立摆系统控制上得到实现，而且当一种新的控制理论和方法提出以后，在不能用理论加以严格证明时，可以考虑通过倒立摆装置来验证其正确性和实用性。

倒立摆的种类：悬挂式、直线、环形、平面倒立摆等。一级、二级、三级、四级乃至多级倒立摆。

倒立摆控制系统的组成：倒立摆系统由倒立摆本体，电控箱以及控制平台（包括运动控制卡和PC机）三大部分组成。

本次课程设计利用单级倒立摆，主要设计PC机内控制函数，减小超调量和调节时间！

二、数学模型的建立

系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学等学科的知识和数学手段建立起系统内部变量、输入变量以及输出变量之间的数学关系。

图 1 直线一级倒立摆系统

?M 小车质量1.096 Kg

?m 摆杆质量0.109 Kg

? b 小车摩擦系数0.1N/m/sec

?l 摆杆转动轴心到质心长度0.25m

?I 摆杆惯量0.0034 kg·m2

? F 加在小车上的力

?x 小车位置

?φ摆杆与垂直向上方向的夹角

?θ摆杆与垂直向下方向的夹角

图2小车及摆杆受力分析---------- N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量

小车水平方向的合力： –

摆杆水平方向的合力：

摆杆水平方向的运动方程：

摆杆力矩平衡方程：

摆杆垂直方向的合力：

摆杆垂直方向的运动方程：

用u 来代表被控对象的输入力F，线性化后，两个运动方程如下(其中 )：如果令进行拉普拉斯变换，得到摆杆角度和小车加速度之间的传递函数：

把实际参数带入可得系统的实际模型为：

三、系统开环响应分析

我们已经得到系统的实际模型，下面对其进行单位阶跃响应分析，在MATLAB

中输入以下程序：

M = 0.5;

m = 0.2;

b = 0.1;

I= 0.006;

g = 9.8;

l = 0.3;

q = (M+m )*( I+m*l^2)-(m*l)^2;

num = [m*l/q 0 0];

den = [1 b*(I+m*l^2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0];

t = 0 : 0.05 : 5;

impulse( num , den , t );

axis ( [ 0 1 0 60 ]);

可以得到小车位置与加速度实际模型的单位阶跃响应如图3：

图 3 系统的单位阶跃响应曲线

由图可知，在进行校正之前，小车的单位阶跃响应是发散的，倒立摆系统不稳定！

四、根轨迹法控制器设计

4.1 根轨迹分析

上面已经得到系统被控对象的传递函数：

在MATLAB中输入以下程序：

clear all;

clc;

num =[0.02725 ];

den =[0.0102125 0 -0.26705]; rlocus (num,den)；

运行程序后便得到控制系统开环传递函数的根轨迹图。由图4我们知道系统有两个开环极点：

可以看出一个极点位于右半平面，并且有一条根轨迹起始于该极点，并沿着实轴

向左跑到位于原点的零点处，这意味着无论增益如何变化，这条根轨迹总是位于

右半平面，即系统总是不稳定的。

4.2 系统根轨迹设计

开环传递函数为：

根轨迹设计的要求为：

最大超调亮：

调整时间：(2%误差带)

1）根据要求的性能指标，计算出校正后闭环主导极点的坐标。

由,计算出考虑到非主导极点和闭环零点的影

图 4 系统根轨迹图

响，设计时的取值应留有余量。取，。，再由得。

期望闭环主导极点,为校正的开环

传递函数

。

2）画出未校正系统的根轨迹图及标明

观察发现为校正系统的根轨迹并不经过期望的闭环主导极点，如果想要校正后的

根轨迹经过该点，需要增加校正网络。

3）计算超前校正网络应提供的超前相角。

。。。。

4）计算角、和：

。

故校正网络的传递函数为：

该校正网络使校正后的开环传递函数满足了希望极点是根轨迹上的点的相角条件。

5）为了使校正后的传递函数满足幅值条件，应当串入一个，开环传递函数为：

由幅值条件即可求得。在MATLAB里面键入以下程序：s=-9+7.22*i

f1=abs(s+5.246)

f2=abs(s+24.54)

f3=abs(0.0102125*s^2-0.26705)

solve('k*f1*0.02725/(f2*f3)=1')；

解得

6）于是系统的校正网络传递函数为：

4.3 校正后系统性能分析

在Simulink中进行系统仿真，得到校正后系统单位阶跃响应为：

图 5校正后系统的单位阶跃响应

计算超调量：满足要求

计算调节时间：不满足要求

计算结果表明，校正后系统的超调亮满足要求，但是调节时间不满足要求，并且稳态误差过大。

4.4 系统控制器的调整

调整至220，进行仿真，得到系统单位阶跃响应如图6 所示：

图6调整增益后的系统单位阶跃响应同时进行零极点调整，最后得出满足条件的零极点及增益为：

满足条件的控制器单位阶跃响应为：

图 6满足条件的单位阶跃响应

超调量：满足要求

调节时间：0.28s 满足要求

稳态误差：17%

以上结果均满足设计要求。

五、频域法控制器设计

5.1 频域法分析

一级倒立摆实际模型的开环传递函数为：

在MATLAB中输入以下程序：

clear all;

clc;

num = [0.02725];

den =[0.0102125 0 -0.26705];

G = tf(num,den);

figure;

margin(G);

grid on;

得到校正前系统的bode图为：

图7 未校正系统的bode图

由图可以看出，系统的bode图不经过0dB线，系统不稳定，需要增加串联校正环节。

5.2 串联校正器的选择与设计

系统开环传递函数：

频域法设计要求：

系统的静态位置误差常数为：10

相位裕量为：。

增益裕量等于或者大于10分贝

控制器设计：

1）对比bode图和系统频域设计的要求，我们可以看出，只需要给系统增加一个超前校正装置即可使校正后的系统满足频域设计要求。设超前校正装置为：

设计要求校正后的静态位置误差常数为10，所以：

解得 K=98

2）将K带入校正前的开环传递函数，利用MATLAB画出系统的bode图，从图中获取校正前系统的相角裕量为：。

3）计算超前校正装置应提供的最大相角：

。。。

式中为性能指标要求的相角裕量，为原系统的相角裕量，增加。。是为了补偿因增加超前校正装置使开环截止频率右移而造成的相位下降4）计算超前校正装置参数。

5）确定系统校正后的截止频率。

截止频率就是对应期望相角裕量的频率。即在校正前的对数幅频特性bode图中，对数幅频特性时，对应的频率就是系统超前校正后的截止频率，求得如图示：

图8 校正前系统bode图求

6）计算超前校正装置的例外一个参数T。

7）确定校正装置的传递函数：

8) 画出校正后系统的bode图，在MATLAB中输入以下程序：

clear all;

num1=[0.11 1];

num2=[2.6705]

num=conv(num1,num2);

den1=[0.011 1];

den2=[0.0102125 0 -0.267005];

den=conv(den1,den2));

G=tf(num,den);

figure;

Margin;

grid on ;

图 10 校正后系统的bode图

由图可以看出，校正后系统的复制频率特性过0db线，幅值裕量和相角裕量都满足条件要求。

5.3 系统的仿真

在Simulink中进行校正后系统的仿真，如图所示：

图 11 校正后系统的单位阶跃响应

由图可以看出，校正后系统的稳态误差为：11% 超调亮和调节时间都满足要求。

因此频域法超前校正成功。

六、PID控制器设计

PID控制器是比例-微分-积分控制器的简称。在生产过程自动化的发展历程中，从20世纪40年代之前至今，PID控制是久用不衰、生命力最强的基本控制规律。它原理简单，使用方便，适用性强，广泛应用于生产过程的各个领域，PID控制的控制品质对被控对象特性的变化不敏感，因此在自动控制系统中，首先想到的基本控制规律就是PID控制。

控制器中微分控制作用可以减小响应过程中的动态偏差，缩短调节时间，积分作用的特点是消除稳态误差，但将使响应曲线的动态偏差和调节时间增大，故此采用PID控制。PID 控制并不需要对系统进行精确的分析，因此采用实验的方法对系统进行控制器参数的设置。

系统的实际模型：

PID控制器设计的基本要求：

最大超调亮：

调整时间：(2%误差带)

在 Simulink 中建立如图所示的直线一级倒立摆模型：

图12 Simulink构建PID 控制MATLAB 仿真模型

在初始值下进行仿真，得到系统的单位阶跃响应：

图 13 ，，系统的单位阶跃响应

通过仿真图像我们可以看出，在，，的的情况下，系统响应不收敛，通过不断调整PID参数，最后我们的到满足条件的响应曲线，如下图所示：此时，，

图 14 满足条件的PID控制单位阶跃响应

此时系统的稳态误差: 0,超调量：14.6%,调节时间：1.25s。满足PID控制器的设计要求。

七、总结及心得体会

通过这次课程设计，是我对自动控制原理这门课程有了更深刻的理解，将抽象的控制理论运用到实际中去，使我对理论知识的运用能力有了很大的提高，通过观察实际的控制效果，也强化了我对自动控制原理理论知识的掌握。

在实际的操作过程中，我认识到，理论上可行的东西在实际的模拟过程中并不一定行得通，要综合考虑所有的误差一级影响然后做正确的判断；同时，在实际操作当中，当结果不满意时，并不一定是理论出了问题，有可能只是一个简单的操作错误，而这次的课程设计正好锻炼了我的耐心，是我能够不厌其烦的试验，最后得出切实可行的结果。

这次的课程设计业很好的锻炼了我的观察以及学习能力，在实际的操作过程当中，有些数据的变化对结果的影响并不能够用公式表达出来，有可能只是很小的相关性，这就要求我们在试验的过程当中仔细观察，掌握规律。

八、参考教材

[1] 自动控制原理谢昭莉 2012年版

[2]直线倒立摆安装与使用手册R1.0：p39-45

[3]固高MATLAB实时控制软件用户手册：p9-15