六年级上册数学知识点梳理及典型题

第一单元 分数乘法

一、分数乘法

（一）分数乘法的意义：

1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。

例如： 98×5表示求5个98的和是多少？ 2、分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。

例如： 98×

7

5表示求98的

7

5是多少？

（二）分数乘法的计算法则：

1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分）

2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。

3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。

注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算.

（三）规律：（乘法中比较大小时）

一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。

一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。

一个数（0除外）乘1，积等于这个数。

●典型题：

（四）分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。

●典型题：

（五）整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。

二、分数乘法的解决问题

（已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是多少）

1、画线段图：

（1）两个量的关系：画两条线段图。

（2）部分和整体的关系：画一条线段图。

2、找单位“1”：

在分率句中分率的前面； 或“占”、“是”、“比”的后面 3、求一个数的几倍：一个数×几倍；

求一个数的几分之几是多少：一个数×几分之几 4、写数量关系式技巧： （1）“的”相当于“×”

“占”、“是”、“比”相当于“ ÷ ” （2）分率前是“的”：

单位“1”的量×分率=分率对应量

（3）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（分率）=分率对应量 ●典型题： 看图列式计算。

解决问题。

1、甲乙两地相距420千米，一辆汽车行驶了全程的

7

5，行驶了多少千米？

2、一个果园占地20公顷，其中的

52种苹果树，4

1

种梨树，苹果树和梨树各种了多少公顷？ 3、某鞋店进来皮鞋600双。第一周卖出总数的

51，第二周卖出总数的8

3

。 ⑴两周一共卖出总数的几分之几？

⑵两周一共卖出多少双？

⑶还剩多少双？

4、六年级同学给灾区的小朋友捐款。六一班捐了500元，六二班捐的是六一班的

5

4

，六三班捐的是六二班的

8

9

。六三班捐款多少元？ 5、一件西服原价180元，现在的价格比原来降低了

5

1

，现在的价格是多少元？ 6、希望小学三年级有学生216人，四年级人数比三年级多

9

2

，四年级有学生多少人？

第二单元位置与方向 课前回顾：

（1）、用方位词描述物体的大体的位置。 （2）、路程、时间、速度之间的关系。 （3）、画角时注意事项。 概念整理：

（1）、位置是相对的，要指出一个物体的位置，必须以另一个物体为参照物。以谁为参照物，就以谁为观测点。

（2）、东偏北30度，也可以说成北偏东60度，但在生活中一般先说与物体所在方向离得较近（夹角较小）的方位。

（3）、主方向。例如“北偏西”中“北”定为主方向

（4）、确定一个物体的准确位置，只知道方向或距离是不可以的，要同时知道这两个条件才行。 （5）、A 在B 的某个方向，B 在A 的相反方向。

（6）、观测点转换。从一个地点到另一个地点，中间要经过一个或多个地点，那么观测点也依次转换。

例题：

1、描述方向时以（）为主方向，用东偏北（南）或西偏北（南）多少度来描述。

2、确定物体位置的两个要素（）和（）。

3、商店在超市的南偏西40度，也可说（）偏（）（）度。

4、小明家在学校的西偏南，那么学校在小明家的（）。

在平面图上画出物体位置的方法：

1、确定观测点。

2、画出主方向。

3、并用量角器测量出被观测物体所在的方向（角度）；

4、绘制平面图时，要根据实际距离确定好单位长度，即线段代表多长距离。

5、画出物体的距离，标上名称。

例题：

1、游乐园在公园的东偏南30度，画出游乐园的位置。

注：描述物体的位置与观测点有关，观测点不同，物体位置的描述就不同。两地的位置具有相对性，方向

相反（其夹角度数不变），距离相同。如：游乐园在公园的东偏南30度600米处，那么公园就

在游乐场的南偏东30度600米处。

描述物体移动路线的方法及画法：

描述路线图时，要先按行走路线确定每一个观测点，然后以每一个观测点为参照物，再描述到下一个目标所行走的方向和路程。以谁为观测点就以谁为中心画出方向标，然后判断出另一点所在的方向和距离。

绘制路线图的步骤：

1、画出↑北，确定方向标和单位长度比例尺

2、确定起点的位置。

3、根据描述，从起点出发，找好方向和距离，一段一段地画。画每一段都要以每一段新的起点为观

测点

4、以谁为观测点，就以谁为中心画出“十字”方向标，然后判断下一点的方向和距离。

5、标出数据、名称、角度。(绘制的路线图只有一条线，所作的线是首尾相连的)

例题：

“1路公共汽车从起点站向西偏北40°行驶3km后向西行驶＿4km，最后向南偏西30°行驶3km到达终点站。”

（1）根据上面的描述，把公共汽车行驶的路线图画完整。

（2）根据路线图，说一说公共汽车沿原路返回时所行驶的方向和程。

第三单元 分数除法

倒数：

1、倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数。 强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。（要说清谁是谁的倒数）

2、求倒数的方法：

（1）、求分数的倒数：交换分子分母的位置。

（2）、求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。 （3）、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。 （4）、求小数的倒数：把小数化为分数，再求倒数。

3、1的倒数是1； 0没有倒数。 因为1×1=1；0乘任何数都得0， （分母不能为0）

4、对于任意数a(a ≠0)，它的倒数为

a 1;分数

b a 的倒数是a

b 。 5、真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1。 典型题：

1、(1)、（ ）的两个数互为倒数。

(2)、

6

5的倒数是（ ）；1.7的倒数是 （ ）；4

1

1

的倒数是；（ ）；1的倒数是（ ）；0（ ）倒数。

(3)、（ ）×31=6×（ ）=（ ）×32

=1×（ ）=a ×( )=1

(4)、5的倒数与10的倒数比较，（ ）的倒数大于（ ）的倒数。

(5)、当a=（ ）时，a 的倒数与a 的值相等。真分数的倒数（ ）1；假分数的倒数（ ）1；带分数的倒数（ ）1。 分数除法的意义和计算法则：

1、分数除法的意义：分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。

2、分数除法的计算法则： 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。

3、 规律（分数除法比较大小时）：

（1）、当除数大于1，商小于被除数； （2）、当除数小于1（不等于 ０），商大于被除数；

（3）、当除数等于1，商等于被除数；

4、 分数乘除混合运算顺序：从左到右依次计算。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。 典型题：

1、填空：（1）2÷

65

的意义是（ ）。

（2）根据7

2×3=

7

6写出两道除法算式（ ）

（ ）

（3） 3÷

32 3 31÷85 31

58÷1 58

2、计算： 30÷

125

25

21÷

14

3

6

7÷

9

4÷28

5

8÷

7

8×14

3、一张长方形纸的面积是4平方分米，宽是

14

9分米。这张纸的长是多少分米？

4、仓库里有一批稻谷，第一次取出240千克，正好占总数的6

1。第二次取出总数的

5

3，第二次取出了

多少千克？

分数除法解决问题

1、已知单位“1”的几分之几是多少，单位“1”的量是要求的问题。就用除法。数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：

（1）、分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量

（2）、分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1 +-分率）=分率对应量 2、解法：（建议：最好用方程解答）

（1）、方程：根据数量关系式设未知量为X ，用方程解答。 （2）、算术（用除法）： 分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的 3、和（差）倍问题

4、工程问题

5、求一个数是另一个数的几分之几：就是 一个数÷另一个数 。

6、求一个数比另一个数多（少）几分之几：

①求多几分之几：大数÷小数–1 或(大数-小数)÷比后面的数

②求少几分之几：1 - 小数÷大数或(大数-小数)÷比后面的数。 典型题： 1、填空

（1）、“男生占全班人数的95

”，把（ ）看作单位“1”，数量关系式：（ ）×95

=（ ）。

（2）、“男生比女生多

3

1

”，把（ ）看作单位“1”，数量关系式：（ ）×（1 3

1

）=（ ）。 （3）、甲数是8，乙数是10，甲数是乙数的（ ），乙数是甲数的（ ），甲数比乙数少（ ），乙数比甲数多（ ）。

2、美术班有男生20人，是女生人数的65

。女生有多少人？

3、一台彩电，现价1800元，比原来降低了61

。原来的售价是多少元？

第四单元 比和比的应用

（一）、比的意义

1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。

2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的

商，叫做比值。

例如: 15 ：10 = 15÷10 =

2

3

（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示） 1 5 ∶ 1

3

0 =

2

前项比号后项比值

3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例：路程

÷速度=时间。

4、区分比和比值

比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。

5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。

6、比和除法、分数的联系：

比: 前项比号“：”后项比值

除法: 被除数除号“÷”除数商

分数: 分子分数线“—”分母分数值

7、比和除法、分数的区别：

除法是一种运算，

分数是一个数，

比表示两个数的关系。

8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。

（注：体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。）（二）、比的基本性质

1、根据比、除法、分数的关系：

商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。

分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0除外），分数值不变。

比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。

2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。

3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。

4、化简比：

①用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。

②两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。 ③两个小数的比：向右移动小数点的位置，先化成整数比再化简。 用求比值的方法。注意: 最后结果要写成比的形式。 如：15∶10 = 15÷10 = = 3∶2

5．按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。

如：已知两个量之比为a ：b ，则设这两个量分别为 a b 6、 路程一定，速度比和时间比成反比。

（如：路程相同，速度比是4 ：5，时间比则为5 ：4） 工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。

（如：工作总量相同，工作时间比是3 ：2，工作效率比则是2 ：3） 附： 一、填空.

1．一辆汽车6小时行了360千米，这辆汽车行驶的路程和时间的比是（ ），比值是（ ），比值表示（ ）；这辆汽车行驶的时间和路程的比是（ ），比值是（ ），比值表示（ ）。 考查目的：比的意义；求比值和化简比。

2．晨晨看一本书，已看页数与剩下页数之比是5:3。已看页数是剩下页数的 ；剩下页数是已看页数的 ；已看页数占全书的 ；剩下页数占全书的 。 考查目的：比的意义和比的应用。

3．

4

3

= 9÷（ ） =（ ）: 16 =（ ）（填小数）。 考查目的：比与分数、除法之间的关系。

4．一个比的后项是2，比值是2，前项是( )；假如这个比的前项是2，比值是2，后项是（ ）。 考查目的：比的前项、后项与比值之间的关系。 5．化简比，求比值。

（1）、把0.75 ：

5

2

化成最简整数比是（ ），比值是（ ）； （2）、把

8

1

小时：25分化成最简整数比是（ ），比值是（ ）。 考查目的：利用比的基本性质化简比；求比值。 二、选择。

1．甲、乙、丙三位同学分别调制了一杯蜂蜜水。甲调制时用了30毫升的蜂蜜，150毫升水；乙调制时用了4小杯蜂蜜，16小杯水；丙调制时用的水是蜂蜜的6倍。（ ）调制的蜂蜜水最甜。 A.甲 B.乙 C.丙 D.无法判断 考查目的：利用比的意义解决实际问题。

2．一个比的前项是8，如果前项增加到16，要使比值不变，后项应该（ ）。 A.增加16 B.乘以3 C.增加8 D.除以 考查目的：比的基本性质的灵活运用。

3．一项工程，甲队单独做要8天完成，乙队单独做要10天完成。甲乙两队的工作效率之比是（ ）。 A.8:10 B.5:4 C. 10:8 D.4:5

考查目的：将比的意义与简单的工程问题相结合。

4．一个三角形三个内角的度数之比是11:6:5，按角分类，这是一个（ ）三角形。 A.锐角 B.直角 C.钝角 D.无法判断 考查目的：比的应用，结合三角形的有关知识。

5．已知甲:乙=3:4，乙:丙=3:2，那么甲、乙、丙三个数的大小关系是（ ）。 A.甲＞乙＞丙 B.丙＞乙＞甲 C.乙＞甲＞丙 D.甲=乙=丙 考查目的：比的基本性质。 三、解答。

1．大齿轮有100个齿，每分钟转25转；小齿轮有25个齿，每分钟转100转。 （1）、写出大齿轮和小齿轮齿数的比，并求出比值； （2）、写出大齿轮和小齿轮每分钟转数的比，并求出比值；

（3）、比较上面两题的结果，说说你的发现。

考查目的：比的意义；求比值。

2．一个长方形，它的长和宽的比是3:2，如果长增加2米，这个新长方形的周长是24米，求新长方形的长与宽的比。

考查目的：比的基本性质；比的应用；长方形中与周长有关的计算。

3．如图。用120 cm的铁丝做一个长方体的框架。长、宽、高的比是3:2:1。

（1）、这个长方体的体积是多少？

（2）、要在长方体框架的表面贴上彩纸，至少需要准备多少平方厘米的彩纸？（接头处不计）

考查目的：比的应用；长方体的体积和表面积计算。

4．成年人的足长与身高的比大约是1:7。某小区发生了一起盗窃事件，在犯罪现场留下了一个长24厘米的足印。经过周密侦察，锁定了四名犯罪嫌疑人，下表是这四名犯罪嫌疑人的身高记录。请你根据以上信息计算说明：这四人中，谁的嫌疑最大？

A 、165cm

B 、167cm C、168cm D 、163cm

考查目的：利用比的知识解决实际问题。

5．盒子里有三种颜色的球，黄球个数与红球个数的比是2:3，红球个数与白球个数的比是4:5。已知三种颜色的球共175个，红球有多少个？

第五单元圆

一、圆的认识

1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形，.

2、圆的特征：外形美观，易滚动。

3、圆心O：圆中心的点叫做圆心。

圆心一般用字母O表示。

圆多次对折之后，折痕的相交于圆的中心即圆心。

圆心确定圆的位置。

4、半径r：

连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 在同一个圆里，有无数条半径，且所有的半径都相等。 半径确定圆的大小。 5、直径d:

通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。 直径是一个圆内最长的线段。

在同一个圆里，有无数条直径，且所有的直径都相等。 直径是圆内最长的线段。

同圆或等圆内直径是半径的2倍：d=2r 或 r=d ÷2=

2

1d 6、圆是轴对称图形

轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕

所在的直线叫做对称轴。

有一条对称轴的图形：半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角 有二条对称轴的图形：长方形 有三条对称轴的图形：等边三角形 有四条对称轴的图形：正方形 有无条对称轴的图形：圆，圆环 7、画圆

（1）圆规两脚间的距离是圆的半径。 （

2

）

画

圆

步

骤

：

定

半

径

、

定

圆

心

、

旋

转

一

周

。

典型题：

●填空。

1．圆中心的一点叫做（），用字母（）表示，它到圆上任意一点的距离都（）。

2．（）叫做半径，用字母（）表示。

3．（）叫做直径，用字母（）表示。

4．在一个圆里，有（）条半径、有（）条直径。

5．（）确定圆的位置，（）确定圆的大小。

6．在一个直径是8分米的圆里，半径是（）厘米。

7．画圆时，圆规两脚间的距离是圆的()。

8．在同一圆内，所有的（）都相等，所有的（）也相等。（）的长度等于（）长度的2倍。

●判断。

1．直径都是半径的2倍。（）

2．同一个圆中，半径都相等。（）

3．在连接圆上任意两点的线段中，直径最长。（）

4．画一个直径是4厘米的圆，圆规两脚应叉开4厘米。（）

●选择题。

1．圆是平面上的（）。

①直线图形②曲线图形③无法确定

2．圆中两端都在圆上的线段。（）

①一定是圆的半径②一定是圆的直径③无法确定

3．圆的直径有（）条。

①1②2③无数

●按要求画圆。1．半径是2厘米。

2．直径是3厘米。

二、圆的周长C

1、围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，周长用字母C表示。

2、圆的周长总是直径的三倍多一些。

圆周率：圆的周长与直径的比值是一个固定值，叫做圆周率，用字母π表示。

即：圆周率π==周长÷直径≈3.14

所以, 圆的周长(C)=直径(d)×圆周率(π)

圆周长公式：C=πd C=2πr

[注：圆周率π是一个无限不循环小数，3.14是近似值。]

3、周长的变化的规律：半径扩大多少倍直径也扩大多少倍，周长扩

大的倍数与半径、直径扩大的倍数相同。

如果r1∶r2 =d1∶d2 =C1∶C2

4、半圆周长=圆周长一半+直径=2πr÷2+d=πr+d

5、典型题：

●选择：

（1）圆周率是一个（）。

A.有限小数

B.无限小数

（2）求车轮滚动一周前进的距离，是求车轮的（）。

A.半径

B.直径

C.周长

（3）圆的周长是直径的（）倍。

A.3.14

B.π

C.3

●判断：

（1）大圆的周长一定比半圆的周长大。（）

（2）半径不相等的两个圆，周长一定不相等。（）

●解决问题：

一张圆形桌面的半径是0.5m，这张圆形桌面的周长是多少？如果直径是1.2m呢?

已知圆的周长是12.56cm，求半径和直径。

三、圆的面积S

1、圆面积公式的推导（附图）

如图把一个圆沿直径等分成若干份，剪开拼成长方形，份数越多拼成的图像越接近长方形。

长方形的宽= 圆的半径

长方形的长= 圆的周长的一半

长方形面积= 长×宽

即：长方形的面积= 长×宽

圆的面积= 圆的周长的一半（πr）×圆的半径（r）：

即：S圆= πr ×r = πr

典型题

●将一只羊拴在草地的木桩上，绳子的长度是4米。这只羊最多可

以吃到多少平方米的草？

●一个圆形茶几桌面的直径是1m，它的面积是多少平方米？

●一个圆的周长是12.56m，它的面积是多少平方米？

2、长方形、正方形，圆：

在面积相等的情况下，圆的周长最短，而长方形的周长最长；

在周长相等的情况下，圆的面积则最大，而长方形的面积则最小。

周长相同时，圆面积最大，利用这一特点，篮子、盘子做成圆形。

典型题

●用三根同样长的铁丝分别围成一个长方形、一个正方形、和一

个圆，其中（）面积最小，（）面积最大。

●从一个长8分米，宽5分米的长方形木板上锯下一个最大的圆，这个圆的面积是（）

●用12.56m的绳子分别围成一个正方形和一个圆，求出正方形和圆的面积是多少？

3、圆面积的变化的规律

半径扩大多少倍直径、周长也同时扩大多少倍，圆面积扩大的倍数是半径、直径扩大的倍数的平方倍。

即: 如果：r1∶r2 = d1∶d2 = C1∶C2 = 2∶3

则：S1∶S2= 4∶9

典型题：

●圆的半径扩大2倍，直径就扩大（）倍，周长就扩大（）倍，面积就扩大（）倍。

●大圆半径是小圆半径的4倍，大圆周长是小圆周长的（）倍，小圆面积是大圆面积的（）。

●大圆半径是小圆半径的3倍，大圆面积是84.78平方厘米，则小圆面积为（）平方厘米。

●大圆半径是小圆半径的2倍，大圆面积比小圆面积多12平方厘米，小圆面积是（）平方厘米。

4、环形面积