数列极限的描述性定义 对于数列
数列极限的描述性定义对于数列{x n}，如果当n无限增大时，x n无
限接近于某一常数a，那么就称数列{x n}收敛于a,或称常数a为数列
{x n}的极限，记作
x n=a或x n→a(n→+∞)
lim
n→+∞
数列极限的分析定义对于数列{x n}，如果存在常数a，对于任意给定
的正数ε（无论多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式
x n?a<ε都成立，那么就称数列
x n收敛于a，或称常数a为数列x n的极限，记作
x n=a或x n→a(n→+∞)
lim
n→+∞
注：①从几何意义上看，“当n>N时，有x n?a<ε”表示：所有下
标大于N的项x n都落在邻域U（a,ε）之外，至多只含有数列x n的
有限项。
②在数列极限的定义中，若满足条件的常数a确实不存在，则称
数列x n不收敛，或称数列x n为发散数列，也称数列极限
lim n→+∞x n不存在。
数列极限的唯一性若数列x n收敛，则其极限是唯一的。
收敛数列的有界性若数列x n收敛，则数列x n是有界的。
数列的有界性仅仅是数列收敛的必要条件，而非充分条件。
收敛数列的保号性设lim n→+∞x n=a，若a>0(或a<0),则存在正整数
N，当n>N时，都有x n>0(或x n<0).
推论 1 若lim n→+∞x n=a，且数列x n从某一项起有x n≥0（或
x n≤0），则a≥0（或a≤0）.
收敛数列与其子数列的关系数列x n收敛于a的充分条件是其任一
子数列也收敛于a。
数列极限的四则运算法则对于数列x n和y n，若lim n→+∞x n=a，
}（y n≠0，b≠0）
lim n→+∞y n=b，,则数列{x n±y n}，{x n?y n}和{x n
y n
都收敛，且有
①
②
③
特殊地，对于常数k，有
设函数f x在[a,+∞）上有定义。如果存在常数A,对于任意给
定的正数ε(无论多么小)，总存在正实数M（M≥a），使得当x>M时，
有f x?A<ε成立，则称常数A为函数f x当x趋于+∞时的极
限，记作lim n→+∞f x=A或f x→A(x→+∞)
即lim
f x=A??ε>0,?M>0,使得当x>M时，有f x?A<ε
n→+∞
设函数f x在点x0的某个去心邻域内有定义。如果存在常数A，
对于任意给定的正数ε(无论多么小)，总存在正数δ，使得当
0 f x当即lim f x=A? n→+∞ ?ε>0,?M>0,使得当x>M时，有f x?A<εx趋于x0时的极限，记作 f x=A或f x→A(x→x0) lim n→x0 即lim f x=A??ε>0,?δ>0,使得当0< x?x0<δ时，有 f x ?A <ε n→x0 （只要求函数f x在x0的某一去心邻域内有定义，而一般不考虑它在点x0处是否有定义，或者取什么值） 如果当x从左侧（右侧）趋于x0时，函数f x无限趋近于常数A，则称常数A为函数f x在x→x0时的左极限（右极限），记为 lim x→x ?f(x)=A(lim x→x0+f(x)=A或f(x0+)=A). 即 左极限和右极限统称为单侧极限。函数f x在x→x0时的极限存在的充要条件是其左右极限都存在而且相等，即 f x存在，则该极限是唯一的。函数极限的唯一性若极限lim x→x f x存在，那么函数f x在局部范函数极限的局部有界性若lim x→x 围内就是有界的，即存在常数M和δ>0，使得当0 <δ时， 有 f（x）≤M f x=A，且A>0（或A<0）,那么就函数极限的局部保号性若lim x→x 存在常数δ>0，使得当0 f x=A,那么A≥0(或A≤0)。 海涅定理设函数f x在点x0的某个去心邻域内有定义，则 f x存在的充要条件是对任何含于上述x0的去心邻域内，且lim x→x 以x0为极限的数列{x n},极限lim n→+∞f x都存在且相等。 函数极限的四则运算法则 x趋于x0时的极限，记作 lim f x=A或f x→A(x→x0) n→x0 即lim f x=A??ε>0,?δ> n→x0 0,使得当0< x?x0<δ时，有 f x ?A <ε（只要求函数f x在x0的某一去心邻域内有定义，而一般不考虑它在点x0处是否有定义，或者取什么值）如果当x从左侧（右侧）趋于x0时，函数f x无限趋近于常数A，则称常数A为函数f x在x→x0时的左极限（右极限），记为lim x→x ?f(x)= A(lim x→x +f(x)=A或f(x0+)=A). 即 左极限和右极限统称为单侧极限。函数f x在x→x0时的极限存在的 充要条件是其左右极限都存在而且相等，即 f x存在，则该极限是唯一的。函数极限的唯一性若极限lim n→x f x存在，那么函数f x在局部范函数极限的局部有界性若lim n→x 围内就是有界的，即存在常数M和δ>0，使得当0 <δ时， 有 f（x）≤M f x=A，且A>0（或A<0），那么函数极限的局部保号性若lim n→x 就存在常数δ>0，使得当0 数列极限四则运算法则的证明 设limAn=A,limBn=B,则有 法则1:lim(A n+B n)=A+B 法则2:lim(An-Bn)=A-B 法则3:lim(An ? Bn)=AB 法则4:lim(An/Bn)=A/B. 法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数) (n T+R的符号就先省略了，反正都知道怎么回事.) 首先必须知道极限的定义： 如果数列｛Xn｝和常数A有以下关系：对于？￡> 0(不论它多么小)，总存在正数N,使得对于满足n > N的一切Xn,不等式|Xn-A| v &都成立， 则称常数A是数列｛Xn｝的极限，记作limXn=A. 根据这个定义，首先容易证明：引理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身) 法则1的证明： ?/ limAn=A,二对任意正数 &存在正整数N?,使n > N?时恒有|An-A| v&①(极限定义)同理对同一正数&存在正整数N?,使n>N?时恒有|Bn-B| v 设N=max｛N ?,N?｝，由上可知当n > N时①②两式全都成立. 此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)| < |An-A|+|Bn-B| v & + & =2 &. 由于&是任意正数，所以2&也是任意正数. 即:对任意正数2 &存在正整数N,使n > N时恒有|(An+Bn)-(A+B)| v 2 &. 由极限定义可知，lim(An+Bn)=A+B. 即:对任意正数C&存在正整数N,使n > N时恒有|C ? An-CA|v C&. 由极限定义可知，lim(C ? An)=C?A若C=0的话更好证) 法则2的证明： lim(A n-B n) =limA n+lim(-B n)(法则1) =limAn+(-1)limBn (引理2) =A-B. 为了证明法则3,再证明1个引理. 引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An ? Bn)=0. 证明：?/ limAn=0,二对任意正数 &存在正整数N?,使n>N?时恒有|An-0| v &③(极限定义)同理对同一 ●知识梳理 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限. 注：a 不一定是｛a n ｝中的项. 2.几个常用的极限：①∞→n lim C =C （C 为常数）;②∞→n lim n 1 =0;③∞ →n lim q n =0（|q |＜1）. 3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞ →n lim a n =a , ∞ →n lim b n =b 时，∞ →n lim （a n ±b n ）=a ±b ; ∞ →n lim （a n ·b n ）=a ·b ; ∞ →n lim n n b a =b a （b ≠0）. 特别提示 （1）a n 、b n 的极限都存在时才能用四则运算法则； （2）可推广到有限多个. 1.下列极限正确的个数是 ①∞→n lim αn 1 =0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞ →n lim n n n n 3232+-=－1 ④∞ →n lim C =C （C 为常数） A.2 B.3 C.4 D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B 2. ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21 +n ）］等于 A.0 B.1 C.2 D.3 解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－2 1 +n ）］ =∞→n lim ［n ×32×43×54×…×2 1 ++n n ］ =∞→n lim 22+n n =2. 答案:C 3.下列四个命题中正确的是 A.若∞ →n lim a n 2＝A 2，则∞ →n lim a n ＝A B.若a n ＞0，∞ →n lim a n ＝A ，则A ＞0 C.若∞ →n lim a n ＝A ，则∞ →n lim a n 2＝A 2 第二章 数列极限 引言: 在第一章中我们已经指出，数学分析课程研究的对象是定义在实数集上的函数，那么数学分析用什么方法研究实数集上的函数呢？从本质上来说，这个方法就是极限。极限思想和方法贯穿于数学分析课程的始终，几乎所有的概念都离不开极限，是我们数学分析课程的基础。 §１ 数列极限的概念 教学内容：数列极限的概念，应用定义证明简单数列的极限，无穷小数列。 教学要求：使学生逐步建立起数列极限的N ε-定义的清晰概念。深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小 数列等有关概念。会应用数列极限的N ε-定义证明数列的有关命题，并能运用N ε-语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。 教学重点：数列极限的概念。 教学难点：数列极限的N ε-定义及其应用。 教学方法：讲授为主。 教学学时：2学时。 一、数列概念： １．数列的定义： 简单的说，数列就是“一列数”，是有一定的规律，有一定次序性的“一列数”。 若函数f 的定义域为全体正整数集合N +，则称:f N R +→或+∈N n n f ),(为数列。 若记()n f n a =，则数列n n n f ,2,1),(=就可写作为：12,,,, n a a a ，简记为{}n a ，其中n a 称为 该数列的通项。 ２．数列的例子： （1）(1)111:1,,,, 234n n ??---???? ； （2）11111:2,1,1,1,435 n ? ?+ +++???? （3）{}2 :1,4,9,16,25, n ； （4）{}1 1(1) :2,0,2,0,2, n ++- 二、数列极限的概念： １．引言： 对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）： 第１天截下 12，第２天截下2111222?=，第３天截下23111222?=，…，第n 天截下1111 222 n n -?=，… 得到一个数列：? ?? ?? ?n 21： 231111 ,,,,,2222n 不难看出，数列12n ?? ? ??? 的通项12n 随着n 的无限增大而无限地接近于零。 一般地说，对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限。不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列。 数列极限的证明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限求极限我会 |Xn+1-A|<|Xn-A|/A 以此类推，改变数列下标可得 |Xn-A|<|Xn-1-A|/A ; |Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A; …… |X2-A|<|X1-A|/A; 向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n) 2 只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。 用数学归纳法： ①证明{x(n)}单调增加。 x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1); 设x(k+1)>x(k)，则 x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。 ②证明{x(n)}有上界。 x(1)=1<4， 设x(k)<4，则 x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。 3 当0 当0 构造函数f(x)=x*a^x(0 令t=1/a，则：t>1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1) 则： lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，对于数列n*a^n，其极限为0 4 用数列极限的定义证明 3.根据数列极限的定义证明： (1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞ (2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞ (3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0 n→∞ (4)lim0.999…9=1 n→∞ n个9 数列极限的证明 数列极限的证明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限 求极限我会 |Xn+1-A|以此类推，改变数列下标可得 |Xn-A||Xn-1-A|…… |X2-A|向上迭代，可以得到|Xn+1-A|2 只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。 用数学归纳法： ①证明{x(n)}单调增加。 x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1); 设x(k+1)>x(k)，则 x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。 ②证明{x(n)}有上界。 x(1)=1设x(k)x(k+1)=√[2+3x(k)]3 当0 当0 构造函数f(x)=x*a^x(0 令t=1/a，则：t>1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1) 则： lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，对于数列n*a^n，其极限为0 4 用数列极限的定义证明 3.根据数列极限的定义证明： (1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞ (2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞ (3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0 n→∞ (4)lim0.999…9=1 n→∞ n个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。Lim就省略不打了。。。n/(n^2+1)=0 √(n^2+4)/n=1 sin(1/n)=0 数列极限四则运算法则 的证明 https://www.360docs.net/doc/f07288727.html,work Information Technology Company.2020YEAR 数列极限四则运算法则的证明 设limAn=A,limBn=B,则有 法则1:lim(An+Bn)=A+B 法则2:lim(An-Bn)=A-B 法则3:lim(An·Bn)=AB 法则4:lim(An/Bn)=A/B. 法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数) (n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.) 首先必须知道极限的定义: 如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使 得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立, 则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A. 根据这个定义,首先容易证明: 引理1: limC=C. (即常数列的极限等于其本身) 法则1的证明: ∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义) 同理对同一正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|Bn-B|＜ε.② 设N=max{N?,N?},由上可知当n＞N时①②两式全都成立. 此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε. 由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数. 即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε. 由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B. 为了证明法则2,先证明1个引理. 引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数) 证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义) ①式两端同乘|C|,得: |C·An-CA|＜Cε. 由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数. 即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n＞N时恒有|C·An-CA|＜Cε. 由极限定义可知,lim(C·An)=C·A. (若C=0的话更好证) 法则2的证明: lim(An-Bn) =limAn+lim(-Bn) (法则1) =limAn+(-1)limBn (引理2) =A-B. 为了证明法则3,再证明1个引理. 第二章 数列极限 §1 数列极限概念 教学目的与要求： 使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点，难点： 数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容： 一、课题引入 1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰， 日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，321，……，n 21 ，…… 或简记作数列：? ?????n 21 分析：1°、? ?? ???n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0； 2 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得： 对数列{}n a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，a n 能无限接近常数a ，则称 该数为收敛数列，a 为它的极限。 例如：? ?? ???n 1， a=0； ??? ? ??-+n n )1(3， a=3; {}2 n ， a 不存在，数列不收敛； {}n )1(-， a 不存在，数列不收敛； 2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对? ?? ? ??-+n n )1(()3以3为极限，对ε= 10 1 3)1(3--+ =-n a a n n =10 11π n 只需取N=10，即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义 定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在 某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有 a a n -＜ε 则称数列{}n a 收敛于a ，a 为它的极限。记作 a a n n =∞ →lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明 （1）若数列{}n a 没有极限，则称该数列为发散数列。 （2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞ →lim ? ε ?＞0，?N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．． 湖南师范大学附属中学高一数学教案：数列极限的定义1 教材：数列极限的定义 目的：要求学生首先从实例（感性）去认识数列极限的含义，体验什么叫无限地“趋近”，然后初步学会 用N -ε语言来说明数列的极限，从而使学生在学习数学中的“有限”到“无限”来一个飞跃。 过程： 一、 实例：1?当n 无限增大时，圆的内接正n 边形周长无限趋近于圆周长 2?在双曲线1=xy 中，当+∞→x 时曲线与x 轴的距离无限趋近于0 二、 提出课题：数列的极限 考察下面的极限 1? 数列1： ,10 1,,101,101,10132n ①“项”随n 的增大而减少 ②但都大于0 ③当n 无限增大时，相应的项n 10 1可以“无限趋近于”常数0 2? 数列2： ,1 ,,43,32,21+n n ①“项”随n 的增大而增大 ②但都小于1 ③当n 无限增大时，相应的项1+n n 可以“无限趋近于”常数1 3? 数列3： ,)1(,,31,21,1n n --- ①“项”的正负交错地排列，并且随n 的增大其绝对值减小 ②当n 无限增大时，相应的项n n )1(-可以“无限趋近于”常数 引导观察并小结，最后抽象出定义： 一般地，当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个数a （即a a n -无限地接近于0），那么就说数列{}n a 以a 为极限，或者说a 是数列{}n a 的极限。 （由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限） 数列1的极限为0，数列2的极限为1，数列3的极限为0 三、 例一 （课本上例一）略 注意：首先考察数列是递增、递减还是摆动数列；再看这个数列当n 无限增大时是否可以“无 限趋近于”某一个数。 练习：（共四个小题，见课本） 四、 有些数列为必存在极限，例如：n a a n n n =?-=或2 2)1(都没有极限。 例二 下列数列中哪些有极限？哪些没有？如果有，极限是几？ §３ 数列极限存在的条件 教学目的：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具。 教学要求：（１）掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限；（２）初步理解Cauchy 准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy 准则判断某些数列的敛散性。 教学重点：单调有界定理、Cauchy 收敛准则及其应用。 教学难点：相关定理的应用。 教学方法：讲练结合。 教学程序： 引言 在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）。这是极限理论的两基本问题。在实际应用中，解决了数列{}n a 极限的存在性问题之后，即使极限值的计算较为困难，但由于当n 充分大时，n a 能充分接近其极限a ，故可用n a 作为a 的近似值。 本节将重点讨论极限的存在性问题。 为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断。 从收敛数列的有界性可知：若{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列；但反之不一定对，即{}n a 有界不足以保证{}n a 收敛。例如{} (1)n -。但直观看来，若{}n a 有界，又{}n a 随n 的增大（减少）而增大（减少），它就有可能与其上界（或下界）非常接近，从而有可能存在极限（或收敛）。 为了说明这一点，先给出具有上述特征的数列一个名称——单调数列。 一、 单调数列 定义 若数列{}n a 的各项满足不等式11()n n n a a a a ++≤≥，则称{}n a 为递增（递减）数列。递增和递减数列统称为单调数列． 例如：1n ??????为递减数列；{} 2n 为递增数列；(1)n n ??-????不是单调数列。 二、 单调有界定理 〔问题〕 （1）单调数列一定收敛吗？；（2）收敛数列一定单调吗？ 一个数列{}n a ，如果仅是单调的或有界的，不足以保证其收敛，但若既单调又有界，就可以了。此即下面的极限存在的判断方法。 定理（单调有界定理） 在实数系中，有界且单调数列必有极限。 三、 应用 例1、用数列极限定义证明：22lim 07 n n n →∞+=- (1)(2)(3)(4)222222222224|0|77712 n n n n n n n n n n n n n n ε>++-=<<=<=<------时 上面的系列式子要想成立，需要第一个等号和不等号（1）、（2）、（3）均成立方可。第一个等号成立的条件是n>2；不等号（1）成立的条件是2 导读： 极限是研究函数最基本的方法，它描述的是当自变量变化时函数的变化趋势.要由数列极限的定义自然地过渡到函数极限的定义,关键在于搞清楚数列也是函数这一点.数列可看作一个定义域为自然数集的函数,其解析表达式为an=f(n).关键词： 极限，数列，函数极限概念是数学分析中 最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题. 数列极限的ε-N定义是极限理论的重点与核心. 数列极限 1．定义 设有数列{an}与常数A，如果对于任意给定的正数ε（不论它有多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε都成立，那么就称常数A是数列{ an }的极限，或者称数列{an}收敛于A，记作 读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”。数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列. 上述定义的几何意义是： 对于任何一个以A为中心，ε为半径的开区间（A-ε,A+ε），总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项（N项）. 对于正整数N 应该注意两点： 其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的 N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可. 2．性质 收敛数列有如下性质： （1）极限唯一性； （2）若数列{an}收敛，则{an}为有界数列； （3）若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A； （4）保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0； （5）保序性，即若，且A 第二章 数列极限 §1 数列极限概念 教学目的与要求： 使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点，难点： 数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容： 一、课题引入 1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰， 日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，32 1，……，n 21 ，…… 或简记作数列：? ?????n 21 分析：1°、? ?? ???n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0； 2 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得： 对数列{}n a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，n 能无限接近常数a 该数为收敛数列，a 为它的极限。 例如：? ?? ???n 1， a=0； ??? ? ??-+n n )1(3， a=3; {}2 n ， a 不存在，数列不收敛； {}n )1(-， a 不存在，数列不收敛； 2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对??? ? ??-+n n )1(()3以3为极限，对ε =10 1 3)1(3--+ =-n a a n n =10 11 n 只需取N=10，即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义 定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在 某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有 a a n -＜ε 则称数列{}n a 收敛于a ，a 为它的极限。记作 a a n n =∞ →lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明 （1）若数列{}n a 没有极限，则称该数列为发散数列。 （2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞ →lim ? ε ?＞0，?N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．．的，由“任意性”可知，不等式a a n -＜ε，可用a n -替 “＜”号也可用“≤”号来代替（为什么？）（4）上述定义中N 的双重性：N 是仅依赖．．于ε的自然数，有时记作N=N （ε）（这并非说明N 是ε的函数，是即：N 是对应确定．．．．的！但N 又不是唯一．．．． 的，只要存在一个N ，就会存在无穷多 导读：极限是研究函数最基本的方法，它描述的是当自变量变化时函数的变化趋势.要由数列极限的定义自然地过渡到函数极限的定义,关键在于搞清楚数列也是函数这一点.数列可看作一个定义域为自然数集的函数,其解析表达式为an=f(n). 关键词：极限，数列，函数极限概念是数学分析中 最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题. 数列极限的ε-N定义是极限理论的重点与核心. 数列极限1．定义 设有数列{an}与常数A，如果对于任意给定的正数ε（不论它有多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε都成立，那么就称常数A是数列{ an }的极限，或者称数列{an}收敛于A，记作 读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”。数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列. 上述定义的几何意义是：对于任何一个以A为中心，ε为半径的开区间（A-ε,A+ε），总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项（N项）. 对于正整数N 应该注意两点：其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可. 2．性质 收敛数列有如下性质： （1）极限唯一性； （2）若数列{an}收敛，则{an}为有界数列； （3）若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A； （4）保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0； （5）保序性，即若，且A 用定义证明函数极限方法总结: 用定义来证明函数极限式lim ()x a f x c →=，方法与用定义证明数列极限式类似，只是细节 不同。 方法1：从不等式()f x c ε-<中直接解出(或找出其充分条件)()x a h ε-<，从而得()h δε=。 方法2：将()f x c -放大成() x a ?-，解() x a ?ε-<，得()x a h ε-<，从而得 ()h δε=。 部分放大法：当 ()f x c -不易放大时，限定10x a δ<-<，得 ()()f x c x a ?-≤-，解()x a ?ε-<，得：()x a h ε-<，取{}1min ,()h δδε=。 用定义来证明函数极限式lim ()x f x c →∞ =，方法： 方法1：从不等式()f x c ε-<中直接解出(或找出其充分条件)()x h ε>，从而得 ()A h ε=。 方法2：将()f x c -放大成() x a ?-，解() x a ?ε-<，得()x h ε>，从而得 ()A h ε=。 部分放大法：当()f x c -不易放大时，限定1x A >，得() ()f x c x a ?-≤-，解 ()x a ?ε-<，得：()x h ε>，取{}1max ,()A A h ε=。 平行地，可以写出证明其它四种形式的极限的方法。 例1 证明：2 lim(23)7x x →+=。 证明：0ε?>，要使： (23)722x x ε+-=-<，只要 22x ε-<，即022 x ε <-< ， 取2 εδ= ，即可。 例2 证明：22 112 lim 213 x x x x →-=--。 分析：因为，22 11212 213213321 x x x x x x x --+-=-=--++放大时，只有限制 数列极限的描述性定义对于数列{x n}，如果当n无限增大时，x n无 限接近于某一常数a，那么就称数列{x n}收敛于a,或称常数a为数列 {x n}的极限，记作 x n=a或x n→a(n→+∞) lim n→+∞ 数列极限的分析定义对于数列{x n}，如果存在常数a，对于任意给定 的正数ε（无论多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式 x n?a<ε都成立，那么就称数列 x n收敛于a，或称常数a为数列x n的极限，记作 x n=a或x n→a(n→+∞) lim n→+∞ 注：①从几何意义上看，“当n>N时，有x n?a<ε”表示：所有下 标大于N的项x n都落在邻域U（a,ε）之外，至多只含有数列x n的 有限项。 ②在数列极限的定义中，若满足条件的常数a确实不存在，则称 数列x n不收敛，或称数列x n为发散数列，也称数列极限 lim n→+∞x n不存在。 数列极限的唯一性若数列x n收敛，则其极限是唯一的。 收敛数列的有界性若数列x n收敛，则数列x n是有界的。 数列的有界性仅仅是数列收敛的必要条件，而非充分条件。 收敛数列的保号性设lim n→+∞x n=a，若a>0(或a<0),则存在正整数 N，当n>N时，都有x n>0(或x n<0). 推论 1 若lim n→+∞x n=a，且数列x n从某一项起有x n≥0（或 x n≤0），则a≥0（或a≤0）. 收敛数列与其子数列的关系数列x n收敛于a的充分条件是其任一 子数列也收敛于a。 数列极限的四则运算法则对于数列x n和y n，若lim n→+∞x n=a， }（y n≠0，b≠0） lim n→+∞y n=b，,则数列{x n±y n}，{x n?y n}和{x n y n 都收敛，且有 ① ② ③ 特殊地，对于常数k，有 设函数f x在[a,+∞）上有定义。如果存在常数A,对于任意给 定的正数ε(无论多么小)，总存在正实数M（M≥a），使得当x>M时， 有f x?A<ε成立，则称常数A为函数f x当x趋于+∞时的极 限，记作lim n→+∞f x=A或f x→A(x→+∞) 即lim f x=A??ε>0,?M>0,使得当x>M时，有f x?A<ε n→+∞ 设函数f x在点x0的某个去心邻域内有定义。如果存在常数A， 对于任意给定的正数ε(无论多么小)，总存在正数δ，使得当 0 用定义证明二重极限 用定义证明二重极限利用极限存在准则证明： (1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0; (2)证明数列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。 1)用夹逼准则: x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0 且lnx1),lnx/x^2故(Inx/x^2)的极限为0 2)用单调有界数列收敛: 分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a x0>√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2且Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2>√a,√a为数列下界,则极限存在. 设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A. 对原始两边求极限得A=[A+(a/A)]/2.解得A=√a 同理可求x0综上,数列极限存在,且为√ (一)时函数的极限： 以时和为例引入. 介绍符号: 的意义, 的直观意义. 定义( 和. ) 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义. 例1验证例2验证例3验证证…… (二)时函数的极限： 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“ ”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例4 验证例5 验证例6验证证由= 为使需有为使需有于是, 倘限制, 就有 例7验证例8验证( 类似有(三)单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义. 例9验证证考虑使的 2.单侧极限与双侧极限的关系: Th类似有: 例10证明: 极限不存在. 例11设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有 = §2 函数极限的性质(3学时) 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 教学方法：讲练结合。 一、组织教学： 我们引进了六种极限: , .以下以极限为例讨论性质. 均给出证明或简证. 二、讲授新课： (一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出. 1.唯一性: §2.3 数列极限存在的条件 教案内容：第二章 数列极限 ——§2.3 数列极限存在的条件 教案目标：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具. 教案要求：(1) 掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限； (2) 初步理解Cauchy 准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy 准则判断某些数列的敛散性. 教案重点：单调有界定理、Cauchy 收敛准则及其应用. 教案难点：相关定理的应用. 教案方法：讲练结合. 教案过程： 引言 在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）.这是极限理论的两基本问题.在实际应用中，解决了数列{}n a 极限的存在性问题之后，即使极限值的计算较为困难，但由于当n 充分大时，n a 能充分接近其极限a ，故可用n a 作为a 的近似值. 本节将重点讨论极限的存在性问题. 为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断. 从收敛数列的有界性可知：若{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列；但反之不一定对，即{}n a 有界不足以保证{}n a 收敛.例如{}(1)n -.但直观看来，若{}n a 有界，又{}n a 随n 的增大（减少）而增大（减少），它就有可能与其上界（或下界）非常接近，从而有可能存在极限（或收敛）. 为了说明这一点，先给出具有上述特征的数列一个名称——单调数列. 一、单调数列 定义 若数列{}n a 的各项满足不等式11()n n n a a a a ++≤≥，则称{}n a 为递增（递减）数列.递增和递减数列统称为单调数列． 例如：1n ??????为递减数列；{} 2 n 为递增数列；(1)n n ??-???? 不是单调数列. 或 数列极限地分析定义对于数列，如果存在常数，对于任意给定地正数（无论多么小），总存在正整数，使得当>时，不等式都成立，那么就称数列收敛于，或称常数为数列地极限，记作文档来自于网络搜索 或 注：①从几何意义上看，“当>时，有”表示：所有下标大于地项都落在邻域（）之外，至多只含有数列地有限项.文档来自于网络搜索 ②在数列极限地定义中，若满足条件地常数确实不存在，则称数列不收敛，或称数列为发散数列，也称数列极限不存在.文档来自于网络搜索 数列极限地唯一性若数列收敛，则其极限是唯一地. 收敛数列地有界性若数列收敛，则数列是有界地.数列地有界性仅仅是数列收敛地必要条件，而非充分条件.收敛数列地保号性设，若>(或<),则存在正整数，当>时，都有>(或<).文档来自于网络搜索 推论若，且数列从某一项起有（或），则（或）.文档来自于网络搜索 收敛数列与其子数列地关系数列收敛于地充分条件是其任一子数列也收敛于. 数列极限地四则运算法则对于数列和，若 ，，,则数列{}，{}和（，）都收敛，且有文档来自于网络搜索 ① ② ③ 特殊地，对于常数，有 设函数在[,）上有定义.如果存在常数,对于任意给定地正数(无论多么小)，总存在正实数（），使得当>时，有成立，则称常数为函数当趋于时地极限，记作或文档来自于网络搜索 即使得当时，有 设函数在点地某个去心邻域内有定义.如果存在常数，对于任意给定地正数(无论多么小)，总存在正数，使得当 时，有成立，则称常数为函数文档来自于网络搜索 当即使得当时，有 趋于时地极限，记作文档来自于网络搜索 或 即 使得当 时，有 （只要求函数在地某一去心邻域内有定义，而一般不考虑它在点处是否有定义，或者取什么值） 如果当从左侧（右侧）趋于时，函数无限趋近于常数，则称常数为函数 在时地左极限（右极限），记为 ( 或)).文档来自于网络搜索 即 左极限和右极限统称为单侧极限.函数在时地极限存在地充要条件是其左右极限都存在而且相等，即 函数极限地唯一性若极限 存在，则该极限是唯一地. 函数极限地局部有界性若 存在，那么函数 在局部范围内就是有界地，即存在常数和，使得当 时，有（）文档来自于网络搜索 函数极限地局部保号性若 ，且>（或<）,那么就存在常数，使得当 时，有()>(或者()<).文档来自于网络搜索 推论如果地某一去心邻域内有 或且,那么(或).文档来自于网络搜索 海涅定理设函数在点 地某个去心邻域内有定义，则 数列极限四则运算法则的证明 设 limAn=A,limBn=B, 则有 法则 1:lim(A n+B n)=A+B 法则 2:lim(An-Bn)=A-B 法则 3:lim(An ? Bn)=AB 法则 4:lim(An/Bn)=A/B. 法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数) (n T + g的符号就先省略了，反正都知道怎么回事.) 首先必须知道极限的定义： 如果数列｛Xn｝和常数A有以下关系：对于？￡>0(不论它多么小)，总存在正数 N,使得对于满足n > N的一切Xn,不等式|Xn-A| 即:对任意正数2 ￡ ,存在正整数N,使n > N时恒有|(An+Bn)-(A+B)| v 2 ￡. 由极限定义可知，lim(An+Bn)=A+B. 为了证明法则2,先证明1个引理. 引理 2:若 limAn=A,贝U lim(C ? An)=C(C?是常数) 证明:vlimAn=A, 二对任意正数e ,存在正整数N,使n > N时恒有|An-A| Ve .(极限定义) ①式两端同乘|C|,得：|C ? -CA| v C e. 由于e是任意正数，所以C e也是任意正数. 即:对任意正数 C e ,存在正整数N,使n > N时恒有|C -C A n V C e. 由极限定义可知，lim(C ?AAn=O0的话更好证) 法则2的证明： lim(A n-B n) =limAn+lim(-Bn)( 法则 1) =limAn+(-1)limBn ( 引理 2) =A-B. 为了证明法则3,再证明1个引理. 引理 3:若 limAn=O,limBn=0, 贝U lim(An ? Bn)=0. 证明:vlimAn=0, 二对任意正数e ,存在正整数N ?,使n > N ?时恒有|An-0| Ve .(极限定义) 同理对同一正数 e ,存在正整数N?,使n > N?时恒有|Bn-0| Ve .④ 设N=max{N ?,N?},由上可知当n > N时③④两式全都成立.数列极限四则运算法则的证明
高中数学复习――数列的极限
数列极限的概念(经典课件)
数列极限的证明
数列极限的证明
数列极限四则运算法则的证明
数学分析-数列极限
湖南师范大学附属中学高一数学 数列极限的定义1教案
数学分析9数列极限存在的条件
用极限定义证明极限
函数与数列极限的定义区别
数学分析数列极限分析解析
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