高考文科圆锥曲线大题

年高考文科圆锥曲线大题

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1. （新课标Ⅰ文数）

在直角坐标系xOy 中，直线():0l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线C ：()

220y px p =>于点P M ，关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .

（I ）求OH

ON ；

（II ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.

2. （新课标Ⅱ文数）

已知A 是椭圆E ：22

143

x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.

（I ）当AM AN =时，求AMN ?的面积

(II)当2AM AN =时，证明：32k <<.

3. （新课标Ⅲ文数）

已知抛物线2

2C y x =：的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12l l ，分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点.

（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ P ；

（Ⅱ）若PQF ?的面积是ABF ?的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.

4. （2016年北京文数）

已知椭圆C ：22

221x y a b

+=过点2,00,1A B （），（）两点. （I ）求椭圆C 的方程及离心率；

（II ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴

交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.

5. （2016年山东文数）

已知椭圆:C ()22

2210x y a b a b

+=>>的长轴长为4，焦距为22. （I ）求椭圆C 的方程；

(Ⅱ)过动点()(0)0M m m >，的直线交x 轴与点N ，交C 于点A P ， (P 在第一象限)，

且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B .

(i)设直线PM QM 、的斜率分别为'k k 、，证明

'k k

为定值. (ii)求直线AB 的斜率的最小值.

6. （2016年上海文数）

双曲线2

2

21(0)y x b b -=>的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A 、B 两点.

（1）若l 的倾斜角为2

π ，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设3,b = 若l 的斜率存在，且|AB |=4，求l 的斜率.

7. （2016年四川文数）

已知椭圆E ： ()22

2210x y a b a b

+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点1(3)2P ，在椭圆E 上。

(Ⅰ)求椭圆E 的方程；

(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为12

的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A B ，，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C D ，，

证明： MA MB MC MD =g g

8. （2016年天津文数）

设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA e OA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.

（Ⅰ）求椭圆的方程；学.科.网

（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，

与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MAO MOA ∠=∠，求直线的l 斜率.

9. （2016年浙江文数）

如图，设抛物线2

2(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于1.AF - （I ）求p 的值；

（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交

于点N AN ，与x 轴交于点.M 求M 的横坐标的取值范围.

答案

1. （Ⅰ）由已知得),0(t M ，),2(2

t p

t P . 又N 为M 关于点P 的对称点，故),(2

t p t N ，ON 的方程为x t

p y =，代入px y 22=整理得022

2=-x t px ，解得01=x ，p t x 2

22=，因此)2,2(2

t p

t H . 所以N 为OH 的中点，即2|

|||=ON OH . （Ⅱ）直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点.理由如下：

直线MH 的方程为x t

p t y 2=-，即)(2t y p t x -=.代入px y 22=得04422=+-t ty y ，解得t y y 221==，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.

2. 【答案】（Ⅰ）

14449

；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN ?的面

积；（Ⅱ）设()11,M x y ，，将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去y ，用k 表示1x ，从而表示||AM ，同理用k 表示||AN ，再由2AM AN =求k . 试题解析：（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >.

由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为

4

π， 又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.

将2x y =-代入22

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x y +=得27120y y -=， 解得0y =或127y =，所以1127

y =. 因此AMN ?的面积11212144227749AMN S ?=???=. （2）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22

143

x y +=得 2222(34)1616120k x k x k +++-=. 由2121612(2)34k x k -?-=+得2122(34)34k x k

-=+，故2212121||1|2|34k AM k x k +=++=+. 由题设，直线AN 的方程为1(2)y x k

=-+，故同理可得22121||43k k AN k +=+. 由2||||AM AN =得2223443k k k

=++，即3246380k k k -+-=. 设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22'()121233(21)0f t t t t =-+=-≥， 所以()f t 在(0,)+∞单调递增，又(3)153260,(2)60f f =-<=>， 因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k 在(3,2)内，所以32k <<. 考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.

3. 解：（Ⅰ）由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且

22111(,),(,),(,),(,),(,)222222

a b a b A a B b P a Q b R +---. 记过B A ,学科&网两点的直线为l ，则l 的方程为

0)(2=++-ab y b a x . .....3分

（Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .

记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则

222111k b a

ab a ab a b a a b a k =-=-==--=+-=. 所以FQ AR ∥. ......5分

（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2

,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=??. 由题设可得

221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E .

当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得

)1(12≠-=+x x y b a . 而y b a =+2

，学科&网所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，

所求轨迹方程为12-=x y . ....12分

4. 解：（I ）由题意得，2a =，1b =．

所以椭圆C 的方程为2

214

x y +=． 又223c a b =-=， 所以离心率32

c e a ==． （II ）设()00,x y P （00x <，00y <），则220044x y +=．

又()2,0A ，()0,1B ，所以，

直线PA 的方程为()0022

y y x x =--． 令0x =，得0022y y x M =--，从而002112

y y x M BM =-=+-．