沪教版高一数学上册1.1 区间的表示方法和集合相关概念 讲义

第一讲：集合与区间的概念及其表示法

知识点一、区间的概念

设 a ，b 是实数，且 a ＜b ，满足 a ≤x ≤b 的实数 x 的全体，叫做闭区间， 记作 [a ，b ]，即，[,]{|}a b x a x b =≤≤。如图：

a ，

b 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示．

全体实数也可用区间表示为(－∞，＋∞)，符号“＋∞”读作“正无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，即(,)R =-∞+∞。

知识二、元素与集合：指定对象的全体叫“集合”，简称“集”，用大写英文字母A 、B 、C 等表示，其中的每个对象叫“元素”，用小写英文字母a 、b 、c 表示 1.集合元素的特性：

集合中元素的从属性要明确 反例：大树、好人 集合中元素必须能判定彼此 反例：2，2

集合中元素排列没有顺序 如：{1,2,3}{2,1,3}= 例1、判断下列各组对象能否组成集合： （1）不等式的解； （2）我班中身高较高的同学； （3）直线上所有的点；

320x +>21y x =-

（4）不大于10且不小于1的奇数。

练习1.给出下列说法：

（1）较小的自然数组成一个集合；

（2）集合{1，-2，3，π}与集合{π，-2，3，1}是同一个集合； （3）若∈a R ，则a ?Q ；

（4）已知集合{x ，y ，z }与集合{1，2，3}是同一个集合，则x =1，y =2，z =3 其中正确说法个数是（ ）

例2.集合A 是由元素n 2-n ，n-1和1组成的，其中n ∈Z ，求n 的取值范围。

例3.已知M=｛2,a,b ｝N=｛2a,2,｝且M=N ，求a,b 的值

练习2.已知集合M={a,a+d,a+2d},N={a,aq,aq 2},a≠0,且M 与N 中的元素完全相同，求d 和q 的值。

练习 3.已知集合A={x ，x

y

,1},B={x 2,x+y,0}，若A=B ，则x 2009+y 2010的值为 ，A=B= .

练习4.(1)若-3∈{a-3,2a-1,a 2-4}求实数a 的值； (2)若m

m

+-11 ∈{m},求实数m 的值。

2b

练习5.已知集合M={2，a,b},N={2a,2,b 2}，且M=N,求a,b 的值。

2.集合与元素的关系：若a 属于A ，记作a ∈A ；若b 不属于A ，记作b ?A .

“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写。

[规定]（1）集合中相同元素只写一个代表；如：方程2

(2)0x -=的解集{2}

（2）集合与元素的关系（属于belong to ，不属于not belong to ）

符号：a A ∈，a A ?二者必居其一

3.常见数集及其符号表示

（1）2______ （2

______

（3）0____ （4）0______

（5）______

（6）0______

练习6．0

与集合{0}是什么关系？?与集合{?}呢？

练习7、用符号或填空： （1） （2）

（3）

（4）

4.集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．

列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。 例如，由方程

的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}．

注：（1）有些集合亦可如下表示：

从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100} 所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}

（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素。

N Q ?{}0b {},,a b c *N ∈?{x x <{

}2*

3____1,x x n n =+∈N (){

}2

1,1____y y x

-=()(){}2

1,1____

,x y y x -=

描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。

格式：{x∈A| P（x）}

含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。

例如，不等式的解集可以表示为：或

所有直角三角形的集合可以表示为：

注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。

如：{直角三角形}；{大于104的实数}

（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数} Array 3、文氏图（Venn图示法）：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法，如：“book 中的字母” 构成一个集合

注：何时用列举法？何时用描述法？

（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。

如：集合

（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。

如：集合；集合{1000以内的质数}

注：集合与集合是同一个集合吗？

答：不是。

集合是点集，集合=是数集。

例5、写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：

（1）既是质数又是偶数的整数组成的集合（2）大于10而小于20的合数组成的机荷

例6、用描述法表示下列集合：

（1）被5除余1的正整数所构成的集合

（2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合

（3）函数的图像上所有的点 （4）

例7、用列举法表示下列集合： （1）

（2）

（3）

（3）

练习8、用列举法表示下列集合

①{x ∈N|x 是15的约数} ②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}

③ ④

⑤ ⑥

2

21y x x =-+12345,,,,34567??

????

(){},|5,,x y x y x y +=∈∈N N {}

2

230,x x x x --=∈R {}2

230,x x

x x -+=∈R 12,5x x x ?

?

∈∈??-??N Z

练习9.用适当的方法表示下列集合

（1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A ； （2）被3除余2的自然数全体组成的集合B ； （3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C ； （4）用描述法表示集合{1,1}-D （5）大于3的全体偶数构成的集合E ； （6）在平面α内，线段AB 的垂直平分线F . （7）集合G {15的正约数} （8）集合

H {|25,}x x a x N =<∈

（9）集合I ||||{|,,}a b x x a R b R a b

=

+∈∈ （10）集合J *

{(,)|4,,}x y x y x N y N +=∈∈

5解集：方程、方程组、不等式、或不等式组所有解构成的全体叫该方程（组）或不等式（组）的解集，如2

{|560}{2,3}x x x -+==，{|260}{|3}x x x x +<=<-。 6.集合的分类：①数集、点集；②有限集、无限集。 空集：不含任何元素的集合。记作Φ，如：

例8.集合A ＝{x |x 2＝0}，B ＝{x |y ＝x 2}，C ＝{y |y ＝x 2}，D ＝{(x ，y )|y ＝x 2}相同吗？它们的元素分别是什么？

练习10.下列四个集合中，表示空集的是 [ ] A ．{0} B ．{(x ，y)|y 2＝－x 2，x ∈R ，y ∈R}

D ．{x|2x 2＋3x －2＝0，x ∈N}

C {x||x|5x Z x N}．＝，∈，?

练习11.分别判断下列各组集合是否为同一集合 （1）{|32}A x x =+>，{|32}B y y =+>； （2）{(1,2)}A =，{(2,1)}B =；

（3）2

{(,)|1}M x y y x ==+，2

{|1}N y y x ==+； （4）R ，实数集，{实数}，{实数集}.

课堂练习

1. 下列说法正确的是（ ）

A ．高一（2）班数学成绩非常突出的学生能组成一个集合；

B ．半径为1的圆内的点不能组成一个集合；

C ．由实数a ，a -，||a 所组成的集合中含有5个元素；

D ．集合{,,,}a b c d 与集合{,,,}d a b c 表示同一个集合.

2. 已知{|M x R x =∈≥，a =，b =，c = ） A ．,a b M ∈且c M ?； B ．,a c M ∈且b M ?； C ．,b c M ∈且a M ?；

D ．,,a b c M ∈

3.

Q ，0N ∈Z ，0.7R ∈，3R ∈，其中错误．．

的个数有（ ） A ．4个；

B ．3个；

C ．2个；

D ．1个.

4. 设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合{|,}P Q a b a P b Q +=+∈∈ 若{0,2,5}P =，{1,2,6}Q =，则P Q +中的元素个数是（ ） A ．9；

B ．8；

C ．7；

D ．6.

5. 下列各题中，M 与N 表示同一集合的是（ ）

A ．{1,1}M =-，2

{|10}N x x =-=； B ．{0}M =，N =?；

C ．{(1,1)}M =-，{(1,1)}N =-；

D ．2

{|,}M y y x x R ==∈，2

{(,)|,}N x y y x x R ==∈. 6. 把下列集合用另一种方法表示出来： （1）{|||2,}_______________x x x Z ≤∈=； （2）132537{,,,,,}_______________253749

=；

（3）{直角坐标平面内，不在二、四象限内的点}_______________=； （4）{|x x N ∈，且8

}_______________1Z x

∈=+； （5）8

{

|}1Z x N x

∈∈+_______________=. 7. 已知集合2

{|210,,}A x ax x a R x R =++=∈∈，则 （1）若A 中没有任何元素，求a 的取值范围； （2）若A 中只有一个元素，求a 的取值范围； （3）若A 中至少有一个元素，求a 取值范围； （4）若A 中至多有一个元素，求a 取值范围.

8. 集合A 是由实数构成的集合，且满足条件： 若a A ∈，则

1

1A a

∈-（1,0a a ≠≠） （1）已知2A ∈，求A ； （2）已知3A ∈，求A ；

（3）试由（1），（2）猜想出一般结论，并加以证明.

9、设a ，b 都是非零实数，ab

ab b b a a y ++=可能取值组成的集合是多少？

作业

1、下列各式中错误的是（ ）

A 、{奇数}={|21,}x x k k Z =-∈

B 、{|*,||5}{1,2,3,4}x x N x ∈<=

C 、1

{(,)|}2

x y x y xy +=??

=-? {(2,1),(1,2)}=-- D 、33N --∈

2.设集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N}，试用列举法表示集合A ；

3.将集合{x │-3≤x ≤3，x ∈N}，用列举法表示出来的是（ ） A 、{-3，-2，-1，0，1，2，3} B 、{-2，-1，0，1，2} C 、{0，1，2，3} D 、{1，2，3}

4.下面对集合{1，5，9，13，17}用描述法表示，其中正确的是（ ） A 、{x │x 是小于18的正奇数} B 、{x │x =4k +1，k ∈z 且k <5} C 、{x │x =4t -3，t ∈N 且t ≤5} D 、{x │x =4s -3，s ∈N+且s <6}

5.已知集合A=｛｝，若4，求a 的值

6.已知集合A=｛x|｝,若A 中只有一个元素，求a 的值，并求出这个元素。

2,22

+-+a a a A ∈R a x ax ∈=++,0122

7.已知集合A={x|ax 2+2x+1=0,a ∈R}，(1)若A 中只有一个元素，求a 的值； (2)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围。

8.用描述法表示下列集合

① {1，4，7，10，13} ②{-2，-4，-6，-8，-10}

9.已知-3A ，且A=｛｝（），求的值。

10已知集合A ={a +2，(a +1)2，a 2+3a +3}，且1∈A ，求实数a 的值。

11.求不等式235x ->的解集。

12.用描述法表示下列集合。

（1）{1,4,7,10,13} （2）{2,4,6,8,10}-----

∈1,3,12

+--m m m *N m ∈m

13.已知2

{2,,},{2,2,}M a b N a b ==，且M N =，求,a b 的值。

14.设a ，b, c 都是非零实数，abc

abc c c b b a a y +++=可能取值组成的集合是多少？