平面解析几何单元测试卷

《平面解析几何初步》单元测试卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．

1.（原创）已知点(3,1)A -，(1,23)B -，则直线AB 的倾斜角为（ ） A ．

6

π

B ．

3

π

C ．

56 D ．23

π 1. 【答案】D ，【解析】因为直线AB 的斜率为3AB k =-，所以直线AB 的倾斜角为23

π

，选D. 2.（原创）若直线1

0x

my 经过圆C ：22220x y x y +-+=的圆心，则实数m 的值为

（ ）

A ．0

B ．2

C ．-2

D ．-1

2.【答案】C ，【解析】因为圆C ：22220x y x y +-+=的圆心为（1，-1），所以直线

1

0x my 过点（1，-1），所以2m

，选C.

2．（原创）圆2

2(2)1x

y +-=的圆心到直线10x x +-=的距离为（ ）

A ．

22

B ．1

C ．2

D ．22

2.【答案】A,【解析】直线的直角方程为10x x +-=，所以圆心(0,2)到直线的距离为

12

22

=，选A. 3.（原创）若关于x 、y 的方程组

40

(21)30ax y a x y 无实数解，则实数a 的值为（ ）

A ．13

B ．1

C ． -13

D ．-1

3.【答案】A ，【解析】由已知得直线40ax y 与直线(21)30a x y 平行，所以

12a a ，解得1

3

a =，选A.

4.（原创）当a 为任意实数时，直线(1)10a x y a 恒过定点M ，则以M 为圆心，半径为

1的圆的方程为（ ） A ．2

2

20x y x y ++-=

B ．22

20x y x y +-+=

C ．2

2

2440x y x y ++--= D ．2

2

2440x y x y +-+-= 4.【答案】D ，【解析】直线的方程(1)1

0a

x y a 可变形为()()110a x x y -+++=，

令1010x x y -=??++=?，解得12x y =??=-?，即定点M （1，-2），所以圆的方程为()()22121x y -++=，即22

2440x y x y +-+-=，选D.

5.（原创）已知直线1l 与直线2:l 4310x y --=垂直，且与圆C ：22

20x y x ++=相切，则直线1

l 的方程是( )

A.3480x y ++=

B.3480x y ++=或3420x y +-=

C.3480x y -+=

D.3480x y -+=或3420x y --=

5.【答案】B ，【解析】由于直线1l 与直线2:l 4310x y --=垂直，于是可设直线1l 的方程为

340x y m ++=，由圆C ：2220x y x ++=的圆心坐标为（-1,0），半径为1，所以|3|

15

m ，解得2m 或8m ，选B.

6.（原创）与圆1C ：2

2

4x y +=和圆2C ：2

2

8690x y x y +-++=都相切的直线共有（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

6.【答案】C ，【解析】圆2C 的方程化为标准式为2

2

(4)(3)16x y -++=，所以两圆心间的距离

为22

435d =+=，且12122||56r r d r r =-<=<+=，所以两圆相交，故与两圆都相切的直线

共有3条，选C.

7.(原创)若两平行直线和圆都没有公共点，则称这两条平行线和圆“相离”.已知直线

1:20l x y m -+=，22:210l x y m -++=和圆22240x y x ++-=相离，则实数m 的取值范围

是（ ）

A ．7m >或3m <-

B ．36m -≤≤-或67m ≤≤

C ．6m >

或6m <- D ．7m ≥或3m ≤-

7.【答案】A ，【解析】因为两条平行直线和圆相离时，有2

2(1)552(1)1

55m

m ??-+>?

?

??-++?>??

，解得3m <-或7m >，选A .

7.(原创)两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”． 已知直线

1:20l x y m -+=，22:210l x y m -++=和圆22240x y x ++-=相切，则实数m 的取值范围

是（ ）

A ．7m >或3m <-

B ．36m -≤≤-或67m ≤≤

C ．6m >

或6m <- D ．7m ≥或3m ≤-

7.【解析】因为当两平行直线和圆相交时，有2

2(1)552(1)1

55m

m ??-+

?

??-++?

2(1)552(1)1

55m

m ??-+>?

?

??-++?>??

，解得3m <-或7m >，故当两平行直线和圆相切时，把以上两种情况下求得的a 的范围取并集后，再取此并集的补集，即得所求，所求的

m 的最后范围是36m -≤≤-或67m ≤≤.故选B.

8.（原创）已知动点(,)A a b 在直线436

0x

y 上，则22

2a b a 的最小值为（ ）

A.4

B.3

C.2

D.1 8.【答案】B ，【解析】因为2

2

2

2

2

2

2

2(1)

1(1)

1a

b

a a b

a b

，其中

2

2(1)a b 表示直线上的动点(,)A a b 到定点B （-1,0）的距离，其最小值为点B （-1,0）到直

线

22b a +可以看成是原点到直线4360x y 的距离，即

2

2

min

(1)a b =

2

2

4(1)306

234

?-+?-=+，所以22

2a b a 的最小值为3，故选B.

9.过圆224x y +=外一点(4,2)P 作圆的两条切线，切点分别为,A B ，则ABP ?的外接圆方程是（ ）

A ．22(2)(1)5x y -+-=

B ．22(2)4x y +-=

C ．22(2)(1)5x y +++=

D ．22(4)(2)1x y -+-=

9.【答案】A ，【解析】根据题意，过圆224x y +=外一点(4,2)P 作圆的两条切线，切点分别为

,A B ，设直线PA ：y-2=k(x-4),利用圆心到直线的距离为半径2，可知圆心与点P 的中点为圆心

（2,1），半径为OP 距离的一半，即为5，故选A.

9.已知直线l :

y x m =+()m ∈R ,若以点(2,0)M 为圆心的圆与直线l 相切于点P ,且P 在y 轴上,

则该圆的方程为（ ） A ．2

2

(2)8x y -+= B ．22

(2)8x y ++= C ．2

2

(2)8x y +-=

D ．2

2

(2)8x y ++=

9.【答案】A ，【解析】 由题意(0,)P m ,又直线l 与圆相切于点P ,MP l ⊥,且直线的倾斜角为

45,所以点P 的坐标为(0,2),||22MP =，于是所求圆的方程为22(2)8x y -+=，故选A.

9.若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则b 的取值范围是（ ） A.[122-，122+] B.[12-，3] C.[-1，122+] D.[122-，3];

9.【答案】D ，【解析】由曲线234y x x =--可知其图像不以（2，3）为圆心，半径为2的半圆，故直线y x b =+与之有公共

点介于图中两直线之间，求得直线与半圆相切时221-=b ，直线过点（0，3）时有一个交点.故选D.

9.（原创）已知圆22:21C x y x +-=，直线:(1)1l y k x =-+，则直线l 与圆C 的位置关系是（ ） A ．一定相离

B ．一定相切

C ．相交且一定不过圆心

D ．相交且可能过圆心

9.【答案】C ，【解析】圆的标准方程为22

(1)2x y -+=，圆心为(1,0)，半径为

2.直线

:(1)1l y k x =-+恒过定点(1,1)，圆心到定点(1,1)的距离12d =<，所以定点(1,1)在圆内，所

以直线和圆相交.定点(1,1)和圆心(1,0)都在直线1x =上，且直线的斜率k 存在，所以直线一定不过圆心，选C.

10.设,m n R ∈，若直线:10l mx ny +-=与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且坐标原点O 到直线l 的距离为3，则AOB ?面积的最小值为（ ） A.

1

2

B. 2

C. 3

D.4 10.【答案】C ，【解析】原点O 到直线l 的距离2

2

2

2

001

13m n d m n

m n

?+?-=

=

=++，

2213m n ∴+=，在直线l 的方程中，令0y =可得1x m =，即直线l 与x 轴交于点1,0A m ??

???

，令

x =可得

1

y n

=

，即直线

l

与y 轴交于点

10,B n ?? ???

，

221111113222AOB S OA OB m n m n m n

?∴=

?=??=≥=?+，当且仅当m n =时上式取等号，由于2213m n +=

，故当221

6

m n ==时，AOB ?面积取最小值3. 10.（原创）在平面直角坐标系xOy 中，若直线x +y -c =0与圆2252

x y +=交于A ，B 两点，且

5

4

OA OB

，则实数c 的值为（ ） A ．

52 B ．

52

C ．

5

4 D ．54

10.【答案】D ，【解析】由54OA OB 可知：1cos 2AOB ，所以23AOB ，因此圆心O 到直线x +y -c =0的距离为104，即10

42

c =

，解得52c ，选B. 11.(原创)已知12,l l 分别为平面内的两条相交直线，交点为A ，动点P 、Q 分别在12,l l 上运动，且|PQ |=2，则过A 、P 、Q 三点的动圆形成的面积为( )

A.

2

B ．

C ．2

D ．4

11.【答案】D ，【解析】以A 为原点，1l 、2l 分别为x 轴和y 轴建立直角坐标系，过A 、P 、Q 三点的动圆即为以PQ 为直径的圆，设圆心（即PQ 中点）的坐标为(,)x y ，则P 、Q 的坐标分别为

(2,0)x 和(0,2)y ，由|PQ |=2可得：2

2

1x y ，因此过A 、P 、Q 三点的动圆的圆心的轨迹是以

原点为圆心、1为半径的圆，且动圆的半径为1，因此动圆形成的区域为半径为2、圆心为原点的圆及其内部（圆域），其面积为4，选D.

12.(原创)已知直线30ax y 与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点00(,)P x y 在直线

20x y

上，且P A =PB ，则0x 的取值范围为( )

A ．(1,0)(0,2)-

B ．(1,2)-

C ．[)1,0-

D ．0,2

12.【答案】A ，【解析】圆22280x y x ++-=的标准方程为2

2

(1)9x y ，所以圆心坐标为

（-1,0），半径为3，由直线3

0ax

y

与圆相交可得，

2|3|

31

a a ，解得3

4a

或0a .由点P 在20x y 上可得：002y x -①；又由P A =PB 可知，点P 落在与直线30

ax y 垂直且过圆心的直线上，所以001

(1)y x a

-②.结合①，②可知，0121x a ，当

34

a 或0a 时，可得0(1,0)(0,2)x ∈-，故选A.

二、填空题（本大题共4各小题，每小题5分，共20分）

13.（原创）若直线l 的倾斜角为135?，在x 轴上的截距为1-，则直线l 的一般式方程为 . 13.【答案】10x y ++=，【解析】直线的斜率为tan1351k ==-，所以满足条件的直线方程为

(1)y x =-+，即10x y ++=.

14.（原创）直线210x

y 与直线04=++b y ax 关于点(2,1)P 对称，则a b

_______.

14.【答案】0，【解析】由于两直线关于点(2,1)P 对称，两直线平行，故

1

4

2

a ，解得2a ；由直线210x y 上的点A （-1,0）关于点(2,1)P 的对称点（5,2）在直线

04=++b y ax 上，所以280a b

，解得2b

.故a b

0.

15.（原创）已知(2,1)A ，⊙O ：2

2

1x y +=，由直线:l 30x y -+=上一点P 向⊙O 引切线PQ ，切点为Q ，若PQ PA =，则P 点坐标是 ．

15.【答案】(0,3)，【解析】设(,3)P a a +，则由PQ PA =可得：2

2

PQ PA =即

2221PO PA -=，将点的坐标代入可解得0a =，故点P 点坐标为(0,3).

15.过直线x y l 2:=上一点P 作圆()()218:2

2

=-+-y x C 的切线21,l l ，若21,l l 关于直线l 对称，

则点P 到圆心C 的距离为 .

15.【答案】35，【解析】数形结合可知，当21,l l 关于直线l 对称时，点P 和圆心C 的连线垂直于直线x y l 2:=，所以点P 到圆心(8,1)C 的距离为即为圆心(8,1)C 到直线x y l 2:=的距离，利用点到直线的距离公式算得结果为35.

15.已知直线:340l x y m ++=平分圆2

2

2

2

1410740x y x y m n +-++--=的面积，且直线l 与

圆22

2450x y x y n +--+-=相切，则m n += .

15.【答案】3，【解析】根据题意，由于直线:340l x y m ++=平分圆

22221410740x y x y m n +-++--=的面积，即可知圆心（7，-5）在直线:340l x y m ++=上，即

m=1-.同时利用直线l 与圆2

2

2450x y x y n +--+-=相切，可得圆心（1，2）到直线l 的距离等于圆的半径，即d =

2

2

10234

n ==+，4n ∴=，所以m n +=3.

15.（原创）直线1l 过点(2,0)-且倾斜角为30，直线2l 过点(2,0)且与直线1l 垂直，则直线1l 与直线

2l 的交点坐标为 ．

15.【答案】(1,3)，【解析】直线1l 的斜率为13

tan 303

k ==

，因为直线2l 与直线1l 垂直，所以21

1

3k k =-

=-.所以直线1l 的方程为3(2)3y x =+，直线2l 的方程为3(2)y x =--，两式联立解得1

3

x y =???=??，即直线1l 与直线2l 的交点坐标为(1,3).

16.（原创）数学家欧拉在1765年发现如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线

上，且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半.这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知三角形ABC 的顶点A （-2，0），B （0，4），且三角形ABC 的欧拉线的方程为20x y +-=，则顶点C 的坐标为 .

16.【答案】(4,0)，【解析】设点C 的坐标为,a b ，则三角形ABC 的重心为24(,

)2

2

a b G ，由

欧拉线20x y +-=过重心得: 24

202

2a b 即40a b ①.又边AB 的垂直平分线方

程为1

2

(1)2

y

x ，即13

2

2

y x ，联立20x y +-=解得三角形的外心坐标为(1,1)H ，所以AH CH ，即2210

(1)(1)a b ②.联立①②，解得

4

a b （舍去）或4

a b .故点C 的坐标为（4,0）. 16.（原创）设圆2

2

(1)1x y +-=的切线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点,A B ，当AB 取最小值时，切线l 在y 轴上的截距为 . 16.

35

2

+，解析：设直线l 与坐标轴的交点分别为(,0)A a ，(0,)B b ，显然1a >，2b >．则直

线l ：1x y a b +=，依题意：22

1|1|

111

b a b -=+，即22211121a b b b +=-+，所以22b a b =-，所以22222b AB a b b b =+=+-，设2

()2x f x x x =+-，则222

22[(2)1]'()2(2)(2)x x f x x x x ---=+=-- 322222(441)2(1)(31)(2)(2)x x x x x x x x -+---+==--(2)x >.设'()0f x =，则11x =，2

35

2x -=，335

2

x +=

，又2x >，故当3(2,)x x ∈时，()f x 单调递减；当3(,)x x ∈+∞时，()f x 单调递增；所以当352b +=，2522b

a b ==+-时，AB 有最小值．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题10分）（原创）已知圆C 过两点M (2，0)和N （0，4），且圆心在直线30

x y 上.

⑴求圆C 的方程；

⑵已知过点(2,5)的直线l 被圆C 截得的弦长为4，求直线l 的方程.

17.【解析】⑴由题可知，圆心C 落在线段MN 的垂直平分线上，且直线MN 垂直平分线方程为

230x y ，于是解方程组

3

023

x y x y

，可得圆心C 的坐标为（1,2），且圆的半径为

r

MC=5，所以圆C 的方程为22

(1)(2)5x y -+-=.

⑵因为圆心C 的坐标为（1,2），半径为5，所以圆心到直线的距离为2221d r .当直线l

的斜率不存在时，其方程为2x

，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为

5(2)y k x ，即520kx y k ，由2

|3|11

k d

k ，解得4

3

k

，此时方程为45

(2)3

y x ，即437

0x y

.综上可得，直线l 的方程为20x 或437

0x y

.

18.已知圆M:0842

2

=+--+m y x y x 与x 轴相切。 ⑴求m 的值；

⑵求圆M 在y 轴上截得的弦长；

⑶若点P 是直线3480x y ++=上的动点，过点P 作直线PA PB 、与圆M 相切，A B 、为切点，求四边形PAMB 面积的最小值.

18.【解析】⑴令0y =，有2

40x x m -+=，由题意知，1640,4m m =-=∴=

即m 的值为4.

⑵设

M 与y 轴交于12(0,),(0,)E y F y ，令0x =有2840y y -+=（*），则12,y y 是（*）式

的两个根，则12||641643y y -=-=，所以M 在y 轴上截得的弦长为43.

⑶由数形结合知：21

2244162

PAMB PAM S S MB PB PB PM ==?

?==-,PM 的最小值等于点M 到直线3480x y ++=的距离,即min 6168

6,5

PM ++==4361685PAMB S ∴=-=,即四边形PAMB

的面积的最小值为85.

18. （本小题12分）（原创）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M :2

2

860x y x +-+=，过点

(0,2)P 且斜率为k 的直线与圆M 相交于不同的两点,A B ，线段AB 的中点为N .

⑴求k 的取值范围； ⑵若//ON MP ，求k 的值.

18.解：⑴方法1：圆的方程可化为2

2

(4)10x y -+=，直线可设为2+=kx y ，即

20kx y -+=，圆心M 到直线的距离为2

|42|1

k d k +=

+，依题意10d <，即

22(42)10(1)k k +<+，

解之得：133

k -<<

. 方法2：由?

?

?

228602

x y x y kx +-+==+可得：22

(1)4(2)100k x k x ++-+=，依题意

22[4(2)]40(1)0k k ?=--+>，解之得：1

33

k -<<．

⑵方法1：因为//ON MP ，且MP 斜率为12-，故直线ON ：1

2y x =-，由???1

22

y x y kx =-=+可得

42(,)2121N k k -++，又N 是AB 中点，所以MN AB ⊥，即2

1214421

k k k +=---+，解之得：

43

k =-．

方法2：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1212

(,)22x x y y N ++，由???228602

x y x y kx +-+==+可得：

22(1)4(2)100k x k x ++-+=，所以122

4(2)1k x x k -+=-

+，又//ON MP ，且MP 斜率为1

2

-，所以

12

121222y y x x +=-+，即121212y y x x +=-+，也就是1212()412k x x x x ++=-+，所以22

4(2)()4

114(2)21

k k k k k --++=---+，解之得：43k =-．

方法3：点N 的坐标同时满足21214

y kx y x y x k ?

?=+?

?

=-??

?=-?-?，解此方程组，消去,x y 可得43k =-．

19.（本小题12分）（原创）设O 为坐标原点，已知直线:2l x =，(1,0)F ，M 是直线l 上的点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆D 交于,P Q 两点. ⑴若6PQ =

，求圆D 的方程；

⑵若M 是直线l 上的动点，求证：点P 在定圆上，并求该定圆的方程。

19.【解析】⑴设(2,)M t ，则圆D 的方程：2

2

2(1)()124

t t x y -+-=+，直线PQ 的方程：

220x ty +-=， 6PQ ∴=，2

2

22

22

22(1)(

)64

4t t t +-∴+-=+， 24t ∴=，2t ∴=±.∴圆D 的方

程：22(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y -++=.

⑵解法1：设00(,)P x y ，由①知：22

2000

0(1)()124220

t t x y x ty ?-+-=+

???+-=?，即：2200000020220x y x ty x ty ?+--=??

+-=??，消去t 得：2200x y +=2，∴点P 在定圆22x y +=2上.

解法2：设00(,)P x y ，则直线FP 的斜率为0

01

FP y k x =

-，∵FP ⊥OM ，∴直线OM 的斜率为00

1OM x k y -=-

，∴直线OM 的方程为：001x y x y -=-，点M 的坐标为002(1)

(2,)x M y --，

∵MP ⊥OP ，∴0OP MP ?=，∴000002(1)

(2)[]0x x x y y y ?

--++

= ，∴2200x y +=2,∴点P 在定圆22x y +=2上．

20.（本小题12分）（原创）某小区有一块三角形空地，如图△ABC ，其中AC=180米，BC=90米，∠C=90?，开发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场所，在△ABC 内的P 点处有一服务站（其大小可忽略不计），开发商打算在AC 边上选一点D ，然后过点P 和点D 画一分界线与边AB 相交于点E ，在△ADE 区域内绿化，在四边形BCDE 区域内修建运动场所．现已知点P 处的服务站与AC 距离为10米，与BC 距离为100米．设DC=d 米，试问d 取何值时，运动场所面积最大？

20.【解析】以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴建

立直角坐标系，则(0,0)C ，(0,180)A ，(90,0)B ，(10,100)P ，

(0,)D d ．DE 直线方程：100

100(10)10

d y x --=

---①，AB 所在直线方程为2180x y +=-②，解①、②组成的方程组得，

101800120E d x d -=-，∵直线DE 经过点B 时2252d =，∴225

02d <<，

11101800

||(180)22120

ADE

E d S

AD x d d -=?=?-?

-=2(180)5120d d -?-， 设15

120(,120)2

d t -=∈，2(60)5ADE

t S

t +=?=3600

5(120)t t

?++，

3600

120t t

+

≥（当且仅当60t =，即4k =时取等号），此时12060d t =-=，∴当d =60时，绿化面积最小，从而运动区域面积最大．

20.已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P 点作圆

M 的切线,PA PB ，切点为,A B 。

⑴若?=∠60APB ，试求点P 的坐标；

⑵若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于,C D 两点，当2=

CD 时，求直线CD 的方

程；

⑶经过,,A P M 三点的圆是否经过异于点M 的定点，若经过，请求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由.

20.解：⑴设(2,)P m m ，由题可知2MP =，所以2

2

(2)(2)4m m +-=，解之得：40,5

m m ==, 故所求点P 的坐标为(0,0)P 或84(,)55

P ．

E

D

C B

A

P

(O)

y x

E

D

C B

A

P

⑵设直线CD 的方程为：1(2)y k x -=-，易知k 存在，由题知圆心M 到直线CD 的距离为

22，所以2

21221k k --=+，解得，1k =-或17k =-，故所求直线CD 的方程为：30x y +-=或790x y +-=．

⑶设(2,)P m m ，MP 的中点(,

1)2

m

Q m +，因为PA 是圆M 的切线，所以经过,,A P M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，故其方程为：2222

()(1)(1)22

m m x m y m -+--=+-，化简

得：0)22(222

=-+--+y x m y y x ，此式是关于m 的恒等式，故

2

220

220

x y y x

y ，解得

02x y =??

=?或???

????=

=

525

4y x 所以经过,,A P M 三点的圆必过异于点M 的定点)52,54(. 20.（本小题12分）（原创）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在x 轴上、半径为2的圆C 位于

y 轴右侧，且与直线320x y -+=相切.

⑴求圆C 的方程；

⑵在圆C 上，是否存在点(,)M m n ，使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同的两点

,A B ，且OAB ?的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ?的面积；若不存在，请说

明理由．

20.【解析】⑴设圆心是()00,0(0)x x >，它到直线320x y -+=的距离是02213

x d +==+，解

得02x =或06x =-（舍去），∴所求圆C 的方程是()2

224x y -+=. （2）

点(,)M m n 在圆C 上，∴()2

224m n -+=，()2

22424n m m m =--=-且04m ≤≤， 又

原点到直线:1l mx ny +=的距离22

1114h m

m n =

=

<+，解得1

44m <≤.而

2

21AB h =-，∴2

2

24111111244424

OAB

S AB h h h m m m ?????=?=-=-=--+ ? ????? ，

11

1164m

≤<，∴当

1142m =，即12

m =时取得最大值1

2，此时点M 的坐标是17(,)22与17(,)22-，面积的最

大值是

12

. 21.（原创）若圆C 经过坐标原点和点)0,6(，且与直线1=y 相切, 从圆C 外一点),(b a P 向该圆引切线PT ,T 为切点， ⑴求圆C 的方程；

⑵已知点)2,2(-Q ，且PQ PT =， 试判断点P 是否总在某一定直线l 上，若是，求出l 的方程；若不是，请说明理由；

⑶若⑵中直线l 与x 轴的交点为F ,点N M ,是直线6=x 上两动点，且以N M ,为直径的圆E 过点

F ，圆E 是否过定点？证明你的结论.

21．【解析】⑴设圆心),(n m C 由题易得3=m ，半径291n n r +=

-=，得4-=n ，

5=r ，所以圆C 的方程为25)4()3(22=++-y x .

⑵由题可得CT PT ⊥，所以

25)4()3(222

2-++-=-=b a CT

PC PT ，

22)2()2(++-=b a PQ ，所以25)4()3(22-++-b a 22)2()2(++-=b a ，整理得

042=+-b a ，所以点P 总在直线042=+-y x 上.

⑶)0,4(-F ，由题可设点),6(1y M ，),6(2y N ,则圆心)2

,

6(2

1y y E +，半径221y y r -=.从而圆

E

的

方程为

4

)()2()6(2

212212

y y y y y x -=

+-+-，

整

理

得

036)(1221212

2

=+++--+y y y y y x y x ，又点F 在圆E 上，故0=?→

→FN FM ，得10021-=y y ，

所以064)(12212

2

=-+--+y y y x y x .令0=y 得064122

=--x x ，所以16=x 或4-=x ，

所以圆E 过定点)0,16(和)0,4(-.

22.（改编）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(1)1C x y ++=，圆222:(3)(4)1C x y -+-=．

⑴若过点1(1,0)C -的直线l 被圆2C 截得的弦长为65

，求直线l 的方程；

⑵如图1，若圆D 是以1为半径，圆心在圆3C ：

22(+1)9x y +=上移动的动圆，过圆D 上任意一点P 分别作圆1C 的两条切线,PE PF ，切点分别为,E F ，求11C E C F 的取值范围；

⑶若动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长，如图2所示，则动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

22.【解析】⑴设直线l 的方程为(1)y k x =+，即

D

P F

C 1 E O x

y αα

1C

第22题图2

x

y O

C 才

1

l 2l

2C

0kx y k -+=．因为直线l 被圆2C 截得的弦长为65

，而圆2C 的半径为1，所以圆心2(3 4)C ，

到l ：0kx y k -+=的距离为

24445

1k k -=+．化简，得21225120k k -+=，解得43k =或34

k =．所以直线l 的方程为

4340x y -+=或3430x y -+=.

⑵动圆D 是圆心在定圆22(+1)9x y +=上移动，半径为1的圆.设12EC F α∠=，则在1Rt PC E ?中，11

1

1

cos C E PC PC α==

，有22

1

2cos 22cos 1=

1PC αα=--，

则11112

1

2cos 2cos 2=

1C E C F C E C F PC αα?==-.由圆的几何

性质得，111DC r PC DC r -≤≤+，即124PC ≤≤，2

1416PC ≤≤，则11C E C F ?的最大值为1-2

，

最小值为7-8.故1171,82C E C F ??

?∈--????

.

⑶设圆心( )C x y ，，由题意，得12CC CC =，即2222(1)(3)(4)x y x y ++=-+-.化简得

30x y +-=，即动圆圆心C 在定直线30x y +-=上运动.设(3)C m m -，，则动圆C 的半径为

222

111(1)(3)CC m m +=+++-．于是

动

圆

C

的

方

程

为

2222()(3)1(1)(3)x m y m m m -+-+=+++-．整理，得22622(1)0x y y m x y +----+=．由22

10 620x y x y y -+=??+--=?

，

，得31223 222x y ?=+??

?=+?，；

或31223 2 2.2

x y ?=-???=-?，

所以定点的坐标为()

3312 2222--，，()

3312 222

2

++，．