数列通项最新常考题型归纳总结很全面

数列通项公式的求法

方法一：公式法

此种方法适用于已知数列类型的题目，通过已知条件求出数列的首项和公差或公比，然后代入通项公式即可。

例1、已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足：244S S =，122+=n n a a 。

（1）求数列{}n a 的通项公式；答案：2n-1

例2、已知递增等比数列{}n a 满足：,28432=++a a a 且23+a 是42,a a 的等差中项，则数列{}n a 的通项公式为_____________。答案：n

变式1、已知数列}{n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，已知16

41-=+a a ，且对于任意的n ∈N*有n S ，2+n S ，1+n S 成等差数列，求数列}{n a 的通项公式。答案：

21-??

? ??

变式2、已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n N ∈*，且

6123

112

,63S a a a -==. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；答案：1

2-=n n a

变式3、已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*

()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，

2334111412,2,11b b b a a S b +==-=.

（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

答案：{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2n

n b =.

方法二：（和项转换法）利用???≥-==-)2()

1(11n S S n S a n n

n 由前n 项和求数列的通项公式

此种方法适用于给出数列{}n a 的前n 项和n S 的递推公式或n S 和n a 的关系式，求数列{}n a 的通项公式的问题。类型一：

例3、已知数列{}n a 的前n 项和为n n S n 212

=，求n a 。答案：2

2-n

变式1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2

2n n +，n ∈N ﹡，数列{b n }满足a n =4log 2b n ＋3，n

∈N ﹡.

（1）求a n ，b n ；

类型二：

例4、若数列{}n a 的前n 项和3

132+=

n n a S ，则{}n a 的通项公式为__()1

-n 2-_________。

变式1、已知数列

{}n a 的前n 项和为n

S ，满足n n a S 22=+（n ∈N *）。

（1）求数列{}n a 的通项公式；答案：n 2

变式2、设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，对于任意正整数n ，都有等式：n

n n S a a 422

=+成立，求{}n a 的通项。答案：2n

变式4、数列{}n a 中，2

a ，前n 项的和n n a n S 2=，求n a 。答案：

()11+n n 类型三：例5、数列

{}

n a 满足1221

12522

n a a a n +

=+，求n

a 。答案：()()

???≥=+2n 21n 141n

变式1、设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++

+-=.

（1）求{}n a 的通项公式；答案：1

-n

变式2、已知数列{}n a 是一个公差大于0的等差数列，521a a a ，，成等比数列，1462=+a a 。

（1）求数列{}n a 的通项公式；答案：2n-1 （2）若数列{}n a 与{}n b 满足等式：)(2

...22224433221*

∈+++++=N n b b b b b a n n n ；求数列{}n b 的通项公式。答案：()()

?≥=+2n 21n 21

变式3、已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足：244S S =，122+=n n a a 。

（1）求数列{}n a 的通项公式；答案：2n-1 （2）若数列{}n b 满足：

)(2

1...332211*∈-=++++N n a b a b a b a b n n n ，求数列{}n b 的通项。答案：=（2n-1）n

21??

方法三：累加法

对于递推公式可以转化为)(1n f a a n n =+—的数列，通常采用累加法求解其通项公式，

例6、已知数列{}n a 中，1,211++==+n a a a n n ，则数列{}n a 的通项公式为__2

2++n n ___。

变式1、已知数列{}n a 满足2

1=a ，11-+=+n a a n n ，求n a .答案：2332+-n n

变式2、在数列{}n a 中，21=a ， )(21*∈+=+N n a a n n n ，则=10a 102 .n

2__

变式3、已知数列{}n a 满足n a a a n n 2,111=-=+，则n a n 的最小值是__1_______。11

-+n

变式4、已知数列{}n a 满足)1(1,111++==+n n a a a n n ，则数列{}n a 的通项公式为____n

1-2____。

方法四：累乘法

对于递推公式可以转化为

)(1

n f a a n

n =+的数列，可以采用累乘法求数列{}n a 的通项公式。

例7、已知数列{}n a 中，)(1,1*11N n a n n a a n n ∈+=

=+，求数列{}n a 的通项公式。答案：n

变式1、已知数列{}n a 满足2

a ，1-11-n n a n n a +=，求n a 。答案：

)1(n 3+n

变式2、已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 1

-n .

变式3、已知数列{}n a 满足：)2(2,111

1≥∈==--n N n a a a n n n 且，则数列{}n a 的通项公式是

____()12

21-??

? ??n n

______。

变式4、设{}n a 是首项为1的正项数列，且0))(1(12

21=+-+++n n n n a a na a n ，则它的通项公式

是=n a n

。

方法五：构造法

构造法就是利用数列的递推关系的变形，通过构造等差、等比数列等方式求解数列通项公式的方法.

类型一：形如μ

λ+=-1n n a a

例8、已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a 则n a =_______321

-+n ______。

变式1、已知数列{}n a 满足*

111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式。答案：12-n

变式2、已知数列{}n a 满足11=a ，且)2(371*

-∈≥=+N n n a a n n ，，求n a 的通项公式。

答案：27

325-1n +

类型二：形如μ

λ+=

--11

n n n a a a

例9、已知{}n a 满足)N*(n 12,311∈+=

=+n n n a a a a 且，则数列{}n a 的通项公式为__5

-n ___。

变式1、已知数列{}n a 满足：1,1

3111=+?=

--a a a a n n n ，求数列{}n a 的通项公式。

231

-n 类型三：一般地n n n q pa a +=+1，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：q q a q p q

a n n n n 11

1+?=++，转化为等差或

pb b n n +=+1进行求解。

例10、已知数列{}n a 中，11a =,1

111

()

22n n n a a ++=+，求n a 。()n

）（+n

变式1、已知数列{}n a 中，11a =,n n n a a )21(31+=+，求n a 。1

121345+-?

??-?n n

2、已知数列{}n a 满足)2(1)2(2111≥-+==-n a a a n

n n ，，求数列{}n a 的通项公式。

122+-?n n n

课后巩固

1、已知公差不为0的等差数列{}n a ，满足：314137,,,a a a a =成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S 。答案：

2、已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =++，n ∈*N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；答案：

41212n n a n n n =?=?

+≥∈?*

N ，．

3、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1=－7，S 3=－15．（1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并求S n 的最小值．答案；所以{a n }的通项公式为a n =2n –9．（2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16．所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．

4、已知数列{a n }的首项11a =，前n 项和S n 满足121n n S a +=-，*n N ∈. （1）求数列{a n }通项公式a n ；答案13n n a -=.

5、已知数列{a n }满足a 1=1，na n +1=2(n +1)a n ，设b n =

a n

．

⑴求b 1，b 2，b 3；

⑵判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； ⑶求{a n }的通项公式．a n =n ·2n -1．答案：（1）b 1=1，b 2=2，b 3=4．

（2）所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．（3）a n =n ·2n -1．

6、数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=2a n+1-a n +2. （1）设b n =a n+1-a n ，证明{b n }是等差数列；（1）求数列{a n }的通项公式.

答案：（1）所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列；（2）a n =n 2

-2n +2

7、正项数列｛a n ｝满足错误！未找到引用源。-（2n-1）a n -2n=0.

（1）求数列｛a n ｝的通项公式a n ；答案：2n =n a 。

8、已知数{}n a 中，112311

1,23()2

n n n a a a a na a n N *++=+++???+=

∈，求n a 。

答案：n

n 1

9、已知数列{}n a 和{}n b 满足1211==b a ，，n n a a 21=+，)(11

...21121*+∈-=+++

N n b b n

b b n n 。（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

答案：n b a n n n ==;2

(完整版)数列题型及解题方法归纳总结

知识框架 111111(2)(2)(1)( 1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=?? ←???-=≥?? =+-??-?=+=+??+=++=+??两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1) 11(1)() n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+???? ? ???????????????? ??? ???????????? ???? ????????????? ?????? ? ?? ?? ?? ?? ??? ???????? 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他??????? ? ? 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法 1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数）例1、已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1）即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2 n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a = ，121 41 n n a a n +=+-，求n a . 解：由已知可知)12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1） 2 43 4)1211(211--= --+=n n n a a n ★ 说明只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。 (3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数）例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有132n n a a -=+，求n a . 解法一：由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1）因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4 ∴a n+1-a n =4·3n-1 ∵a n+1=3a n +2 ∴3a n +2-a n =4·3n-1 即 a n =2·3n-1 -1 解法二：上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2 ，把n-1个等式累加得： ∴an=2·3n-1-1 (4)递推式为a n+1=p a n +q n （p ，q 为常数） )(3211-+-= -n n n n b b b b 由上题的解法，得：n n b )32(23-= ∴n n n n n b a )31(2)21(32-== (5)递推式为21n n n a pa qa ++=+

等比数列常考题型归纳总结很全面

等比数列及其前n 项和教学目标： 1、熟练掌握等比数列定义；通项公式；中项；前n 项和；性质。 2、能熟练的使用公式求等比数列的基本量，证明数列是等比数列，解决与等比数列有关的简单问题。知识回顾： 1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示。用递推公式表示为)2(1≥=-n q a a n n 或q a a n n =+1。注意：等比数列的公比和首项都不为零。（证明数列是等比数列的关键） 2．通项公式：等比数列的通项为：11-=n n q a a 。推广：m n m n q a a -= 3．中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项；其中ab G =2。 4．等比数列的前n 项和公式 ?? ? ??≠--==)1(1)1()1(11q q q a q na S n n 5．等比数列项的性质（1）在等比数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则q p n m a a a a =；特别的，若m ，p ，q N +∈且q p m +=2，则q p m a a a =2 。（2）除特殊情况外，,...,,232n n n n n S S S S S --也成等比数列。n q q ='。（其中特殊情况是当q=-1且n 为偶数时候此时n S =0，但是当n 为奇数是是成立的）。 4、证明等比数列的方法（1）证： q a a n n =+1（常数）；（2）证：112 ·+-=n n n a a a （2≥n ）. 考点分析

数列求通项的四种方法

五种通项求法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

例3（例2的变型）已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。例4（例1和例2的结合）已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

三、累乘法例5 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。例6 已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==+++ +-≥，，求{}n a 的通项公式。

四、数学归纳法例7 已知数列{}n a 满足11228(1)8(21)(23)9 n n n a a a n n ++=+=++，，求数列{}n a 的通项公式。五、不动点法当f(x)=x 时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。典型例子：d ca b aa a n n n ++= +1用不动点的方法，即使d cx b ax x ++=令此方程的两个根为x 1，x 2， ①若x 1=x 2 则有p x a x a n n +-=-+1 1111 其中P 可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。注：如果有能力，可以将p 的表达式记住 d a c p += 2 ②若x 1≠x 2则有 2 12111x a x a q x a x a n n n n --=--++ 其中q 可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。

数列题型及解题方法归纳总结

累加累积归纳猜想证明掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 (1)观察法。(2)由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 ⑴递推式为a n+i =3+d 及a n+i =qa n (d ，q 为常数) 例1、已知｛a n ｝满足a n+i =a n +2，而且a i =1。求a n 。例1、解 ■/ a n+i -a n =2为常数 ??? ｛a n ｝是首项为1，公差为2的等差数列 /? a n =1+2 (n-1 ) 即 a n =2n-1 1 例2、已知｛a n ｝满足a n 1 a n ，而a 1 2，求a n =? 佥 1 2 解■/^ = +是常数 .■-傀｝是以2为首顶，公比为扌的等比数把n-1个等式累加得： .' ? an=2 ? 3n-1-1 ji i ? / ] — 3 ⑷ 递推式为a n+1=p a n +q n (p ，q 为常数) s 1 1 【例即己知何沖.衍二右札+ 吧求％略解在如十冷)*的两边乘以丹得 2 严‘ *珞1 = ~〔2怙血)+1.令亠=2n 召则也€%乜于是可得 2 2 n b n 1 n 1 n b n 1 b n (b n b n 1)由上题的解法，得：b n 3 2(—) ? a . n 3(—) 2(—) 3 3 2 2 3 ★说明对于递推式辺曲=+屮，可两边除以中叫得蹲= Q 計/斗引辅助财如(%=芒.徼十氣+护用 (5) 递推式为 a n 2 pa n 1 qa n 知识框架数列的概念数列的分类数列的通项公式数列的递推关系函数角度理解 (2)递推式为 a n+1=a n +f (n ) 1 2 例3、已知｛a n ｝中 a 1 a n 1 a n 1 ，求 a n . 4n 2 1 等差数列的疋义 a n a n 1 d(n 2) 等差数列的通项公式 a n a 1 (n 1)d 等差数列等差数列的求和公式 S n (a 1 a n ) na 1 n(n 1)d 2 2 等差数列的性质 a n a m a p a q (m n p q) 两个基本数列等比数列的定义 a n 1 q(n 2) 等比数列的通项公式 a n n 1 a 1q 数列等比数列 a 1 a n q 3(1 q ) (q 1) 等比数列的求和公式 S n 1 q 1 q / n a 1(q 1) 等比数列的性质 S n S m a p a q (m n p q) 公式法分组求和错位相减求和裂项求和倒序相加求和解：由已知可知a n 1 a n (2n 1)(2n 1)夕2n 1 2n 令n=1，2，…，(n-1 )，代入得(n-1 )个等式累加，即(a 2-a 1) + 1广 K z 1】、 =-[(1-" + J J 5 _■ 冷(一 Jr ★ 说明只要和f ( 1) +f (2) 入，可得n-1个等式累加而求a n 。 ⑶ 递推式为a n+1=ps n +q (p , q 为常数) 1 a n a 1 (1 2 +?…+f 例 4、｛a n ｝中，ai 1，对于 n > 1 (n € N) 有a n (a 3-a 2) + ? + (a n -a n-1) L )也 2n 1 4n 2 (n-1 )是可求的，就可以由 a n+1=a n +f (n )以n=1，2，…， 3a n 1 2 ，求 a n ? 数列求和解法一：由已知递推式得 a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3 (a n -a n-1) 因此数列｛a n+1-a n ｝是公比为3的等比数列，其首项为 a 2-a 1= (3X 1+2) -1=4 --a n+1 -a n =4 ? 3 - a n+1 =3a n +2 - - 3a n +2-a n =4 ? 3 即 a n =2 ? 3 -1 解法_ : 上法得｛a n+1-a n ｝是公比为 3 的等比数列，于是有： a 2-a 1=4， a 3-a 2=4 ? 3， a 4-a 3=4 ? 3 ? 3 ，数列的应用分期付款其他

求数列通项公式常用的七种方法

求数列通项公式常用的七种方法林彩凡山东省东阿县实验高中 252200 一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式()d n a a n 11-+=或1 1-=n n q a a 进行求解. 例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式. 分析：设数列{}n a 的公差为d ，则?? ?-=+=+5 4111d a d a 解得???-==23 1d a ∴ ()5211+-=-+=n d n a a n 二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a . 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a . 分析：当2≥n 时，1--=n n n s s a =()() 32321----n n =1 2-n 而111-==s a 不适合上式，() ()? ??≥=-=∴-22111n n a n n 三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a . 例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 3 1 1= +，其中11=a ，求n a . 分析：Θ 13+=n n a s ① ∴ n n a s 31=- ()2≥n ② ①-② 得 n n n a a a 331-=+ ∴ 134+=n n a a 即 3 4 1=+n n a a ()2≥n

又1123 1 31a s a == 不适合上式 ∴ 数列{}n a 从第2项起是以3 4 为公比的等比数列 ∴ 2 2 2343134--?? ? ??=? ? ? ??=n n n a a ()2≥n ∴()()??? ??≥? ? ? ??==-23431112n n a n n 注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1-n a 与1-n s 的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项. 四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时，就可以用这种方法. 例4： ()12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a 分析：Θ 121-=-+n a a n n ∴ 112=-a a 323=-a a 534=-a a ┅ 321-=--n a a n n ()2≥n 以上各式相加得 ()()2 11327531-=-+++++=-n n a a n Λ ()2≥n 又01=a ，所以()2 1-=n a n ()2≥n ，而01=a 也适合上式， ∴ ()2 1-=n a n ( )* ∈N n

数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结

数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念（1）若已知数列的第1项（或前项），且从第2项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么该公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法. （2）数列的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，可以用一个公式()n a f n =来表示，那么n a 就是数列的通项公式. 注：①并非所有的数列都有通项公式； ②有的数列可能有不同形式的通项公式； ③数列的通项就是一种特殊的函数关系式； ④注意区别数列的通项公式和递推公式. 题型归纳及思路提示题型1 数列通项公式的求解思路提示常见的求解数列通项公式的方法有观察法、利用递推公式和利用n S 与n a 的关系求解. 观察法根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项. 利用递推公式求通项公式 ①叠加法：形如1()n n a a f n +=+的解析式，可利用递推多式相加法求得n a ②叠乘法：形如1()n n a f n a -= (0)n a ≠*(2,)n n N ≥∈的解析式，可用递推多式相乘求得n a ③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法、对称变换法和同除以指数法. 利用n S 与n a 的关系求解形如 1(,)()n n n f S S g a -=的关系，求其通项公式，可依据 1* 1(1)(2,) n n n S n a S S n n N -=? =?-≥∈?，求出n a 观察法观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项.使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有(1)n -或者1 (1) n -- 部分.②考虑各项的变化规律与序号的关系.③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方{}2 n 、{}2n 与(1) n -有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列. 例6.20写出下列数列的一个通项公式：（1）325374 ,,,,,,;751381911 - --L

高中数学数列复习题型归纳解题方法整理

数列一、等差数列与等比数列 1.基本量的思想：常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。 2.等差数列与等比数列的联系 1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n a a 是等比数列，公比为d a ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。（a>0且a ≠1）； 2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且 0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。 3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。 3.等差与等比数列的比较

4、典型例题分析【题型1】等差数列与等比数列的联系例1 （2010陕西文16）已知{}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{}的通项;（Ⅱ）求数列{2}的前n项和. 解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得12 1 d + ＝ 18 12 d d + + ，解得d＝1，d＝0（舍去），故{}的通项＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得 2+22+23+…+22(12) 12 n - - 21-2. 小结与拓展：数列{}n a是等差数列，则数列} {n a a是等比数列，公比为d a，其中a是常数，d是{}n a的公差。（a>0且a≠1）. 【题型2】与“前n项和与通项”、常用求通项公式的结合例2 已知数列{}的前三项与数列{}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{＋1－}是等差数列．求数列{}与{}的通项公式。解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n(n∈N*) ① 当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2－1＝8(n－1)(n∈N*) ② ①－②得2n－1＝8，求得＝24－n，在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1， ∴＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2， ∴数列{＋1－}的公差为－2－(－4)＝2，∴＋1－＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，

史上最全的数列通项公式的求法13种

最全的数列通项公式的求法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。二、公式法 ①利用等差数列或等比数列的定义求通项 ②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ?? ?≥???????-=????????????????=-2 1 11n S S n S a n n n 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项) 例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式. ②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2 1n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式. ③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

(完整版)数列求和经典题型总结

三、数列求和数列求和的方法. （1）公式法：①等差数列的前n 项求和公式 n S =__________________=_______________________. ② 等比数列的前 n 项和求和公式 ? ? ?≠===)1(___________________)1(__________q q S n （2）....++=n n n b a C ，数列{}n C 的通项公式能够分解成几部分，一般用“分组求和法”. （3）n n n C a b =?，数列{}n C 的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用“错位相减法”. （4）1 n n n C a b = ?，数列{}n C 的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”. （5）并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。适用于形如()()n f a n n 1-=的类型。举例如下： ()()() 5050 12979899100129798991002 22222=++???++++=-+???+-+-= n S 常见的裂项公式：（1） 111)1(1+-=+n n n n ;(2) =+-) 12)(12(1 n n ____________________;(3)1 1++n n =__________________ 题型一数列求解通项公式 1. 若数列{a n }的前n 项的和1232 +-=n n S n ，则{a n }的通项公式是n a =_________________。 2. 数列}{n a 中，已知对任意的正整数n ，1321-=+???++n n a a a ，则22221n a a a +???++等于_____________。 3. 数列中，如果数列是等差数列，则________________。 4. 已知数列{a n }中，a 1＝1且 3 1 111+=+n n a a ，则=10a ____________。 5. 已知数列{a n }满足)2(1 1≥-= -n a n n a n n ，则n a =_____________.。 6. 已知数列{a n }满足)2(11≥++=-n n a a n n ，则n a =_____________.。 {}n a 352,1,a a ==1 { }1 n a +11a =

等差数列知识点总结和题型归纳

等差数列一．等差数列知识点：知识点1、等差数列的定义: ①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示知识点2、等差数列的判定方法: ②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列 ③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列知识点3、等差数列的通项公式: ④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为 d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数知识点4、等差数列的前n 项和: ⑤2 )(1n n a a n S += ⑥d n n na S n 2) 1(1-+ = 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项: ⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2 b a A += 或b a A +=2 在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6、等差数列的性质: ⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+= ⑧ 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+ 也就是：ΛΛ=+=+=+--23121n n n a a a a a a ⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列如下图所示：

求数列通项公式的十种方法

求数列通项公式的十种方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以1 2 n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 1 1==为首项，以2 3 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2 n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。二、利用 { 1(2)1(1) n n S S n S n n a --≥== 例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数 2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式；解： 22(1) 4 2 31a n a d S n n n n =-+∴=-=-=-- 23435T S n n n n n ∴=+=--… …2分当1,35811n T b ===--=-时当2,62 6 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n 解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，② 由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2) 当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3; 当a 1=2时， a 3=12， a 15=72，有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3 2．（2006年全国卷I ）设数列{}n a 的前n 项的和

等差数列常考题型归纳总结很全面

等差数列及其前n项和教学目标： 1、熟练掌握等差数列定义；通项公式；中项；前n项和；性质。 2、能熟练的使用公式求等差数列的基本量，证明数列是等差数列，解决与等差数列有关的简单问题。知识回顾： 1. 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等丁同一个常数，那么这个数列就叫等差数歹0,这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为a n a n1 d(n 2)或a n1 a n d (n 1)。(证明数歹0是等差数歹0的关键) 2. 通项公式：等差数列的通项为：a n a i (n i)d，当d 0时，a n是关丁n的一次式，它的图象是一条直线上自然数的点的集合。推广：a n a m (n m)d 3. 中项：如果a , A , b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项；其中A J。 2 4. 等差数列的前n项和公式 S n座U na i虹皂d可以整理成&= Sn2+(a i d)n。当d』时是n的一个常数 2 2 2 2 项为0的二次函数。 5. 等差数列项的性质 (1) 在等差数歹0 a n中，若m , n , p , q N且m n p q ,则a m a n a p a q ；特别的，若m , p , q N 且2m p q ,则2a m a p a q。 (2) 已知数列a n , b n为等差数列，S n,T n为其前n项和，则冬 b n T2n 1 (3) 若等差数列的前n项和为Sn,则Sn,S2n Sn,S3n S2n,也成等差数列，公差d' n2d ； S,(n 1) a n (4) S n & 1 , (n 2). (5)若数列｛%｝是公差为d的等差数列，则数列斜也是等差数列，且公差为考点分析考点一：等差数列基本量计算例1、等差数列｛a n｝中，a i 3a8血120，贝U 3a’ a,的值为

等差数列题型总结、知识点

等差数列题型总结、知识点-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

等差数列一．等差数列知识点： 1等差数列的定义: ①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示 2等差数列的判定方法: ②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列 ③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列 3等差数列的通项公式: ④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为 d n a a n )1(1-+=该公式整理后是关于n 的一次函数 4等差数列的前n 项和: ⑤2 )(1n n a a n S += ⑥d n n na S n 2)1(1-+= 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数 5等差中项: ⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2b a A +=或 b a A +=2 在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 5等差数列的性质: ⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+= ⑧ 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+ 也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a ⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ， k k S S -2，k k S S 23-成等差数列如下图所示： k k k k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++ 二、题型选析：考试对等差数列的考察，侧重在求值、等差数列性质和前n 项和，求值的过程中，对首项和公差的把握是重中之重，其实很多的试题都是在围绕对首项和公差的应用在考察。性质的题要求学生对性质的熟练应用，题目一般在简单难度。题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）

高考数学数列知识点及题型大总结

20XX 年高考数学数列知识点及题型大总结等差数列知识要点 1．递推关系与通项公式 m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m n n n m n n n n --= --= --=-+=-+==-+1; )1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系：为常数）即：特征：m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(), (1+==-+= ),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。 2．等差中项：若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2 c a b +=；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。 3．前n 项和公式 2 )(1n a a S n n += ； 2)1(1d n n na S n -+= ) ,()(,)2(22212为常数即特征：B A Bn An S Bn An n f S n d a n d S n n n +=+==-+= 是数列 {}n a 成等差数列的充要条件。 4．等差数列 {}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若反之，不成立。 ⑵d m n a a m n )(-=- ⑶m n m n n a a a +-+=2

⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。 5．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等差数列 ②中项法： )22 1*++∈+=N n a a a n n n （?{}n a 是等差数列 ③通项公式法： ),(为常数b k b kn a n +=?{}n a 是等差数列 ④前n 项和公式法： ),(2为常数B A Bn An S n +=?{}n a 是等差数列练习：1．等差数列 {}n a 中， ) (3 1 ,1201191210864C a a a a a a a 的值为则-=++++ A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 165 1203232)(32) 2(3 1 318999119=?==-=+-=-a d a d a a a a 2．等差数列 {}n a 中，12910S S a =>，，则前10或11项的和最大。解：0912129 =-=S S S S ， 003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ，又，， ∴ {}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。 3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110 解：∵ ，，，，，1001102030102010S S S S S S S --- 成等差数列，公差为D 其首项为 10010=S ，前10项的和为10100=S 解

数列题型与解题方法归纳总结

.下载可编辑. 知识框架 111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=?? ←???-=≥?? =+-??-?=+=+??+=++=+??两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1) 11(1)() n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+???? ? ???????????????? ??? ???????????? ???? ????????????? ?????? ? ?? ?? ?? ????????????? 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他??????? ? ? 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法 1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数）例1、已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1）即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2 n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a = ，12141 n n a a n +=+-，求n a . 解：由已知可知)12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+… +（a n -a n-1）

数列求通项的四种方法答案

一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以1 2 n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 11==为首项，以2 3 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。例3（例2的变型）已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由 123 1 n n n a a +=+? +得 1231 n n n a a +-=?+则

高考数学-数列通项公式求解方法总结

高考数学-数列通项公式求解方法总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

求数列通项公式的十种方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222 n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以 1222a 1 1== 为首项，以2 3 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 11 3 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。