整系数多项式不可约的判定123

整系数多项式不可约的判定

摘要:判断一个整系数多项式在有理数域是否可约,有著名的艾森斯坦判别法,它给出了判别整系数多项式不可约的一个充分条件,但只能判别一些整系数多项式,应用范围受限制,本文在艾森斯坦判别法的基础上对其进行推广,并给出了一种新的判别方法.

关键词: 整系数多项式 不可约 艾森斯坦判别法 素数

如何来判定一个整系数多项式在有理数域是否可约?满足什么条件的整系数多项式在有理数域才具有可约性?本文结合素数给出了以下判别法.

一 艾森斯坦判别法及其推广

定理 : 设 )(x f =01...a x a x a n n n n +++-是一个整系数多项式

如果有一个素数p ，使得

1. p 不能整除n a ;

2. p |021,...,,a a a n n --;

3. p 2不能整除0a

那么)(x f 在有理数域上是不可约的.

证明 : 如果)(x f 在在有理数域上是可约的，那么有定理知，)(x f 可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积,

)(x f =)...)(...(011011c x c x c l x x b m m m m l l l l ++++++----

(n m l n m l =+<,,)

因为p ∣0a ,所以能整除0b 或0c ，但是p 2不能整除0a ，所以p 不能同时整除0b 及0c .因此不防假定p ∣0b ,但 p 不整除0c .另一方面，因为p 不整除n a ，所以p 不能整除l b .假设l b b b ,...,,10中第一个不能被p 整除的是k b ，比较)(x f 中k x 的系数，得等式k k k k c b c b c b a 0110...+++=-.式中01,...,,b b a k k -都能被素数p 整除，所

以0c b k 也能被p 整除，但p 是一个素数，所以k b 和0c 中至少有一个被p 整除，这是一个矛盾，定理得证.

例1设)(x f =22128234+++-x x x x 判断)(x f 在有理数域上是否可约？ 解：取素数p =2,则2|-8，2|12，2|2，22不能整除2，满足艾森斯坦判别法，所以)(x f 在有理数域上不可约.

但艾森斯坦判别法不是对所有的整系数多项式都能应用，因为满足判别法条件的素数p 不总存在，若对一多项式)(x f 找不到素数p ，那么)(x f 在有理数域上可能可约也可能不可约，例如1122++x x 与2x +2x -3都找不到满足条件的素数，但前者在有理数域上是不可约的，而后者是可约.为了扩大艾森斯坦判别法的应用范围，对其进行变形，在)(x f 中令 b ay x +=，(Z b a a ∈≠,,0)则整系数多项式)(x f 与)()(b ax f y g +=有理数域上可约性相同，但并不是所有的整系数多项式都能通过变形后可以应用艾森斯判别法.

例1设)(x f =136++x x 判断)(x f 在有理数域上是否可约？

解：)(x f 不能直接应用艾森斯判别法，令1+=y x 代入)(x f =136++x x 中得，)1()(+=y f y g =39182115623456++++++y y y y y y ,取素数p =3,则3∣6，3∣15，3∣21，3∣18，3∣9，3∣3，但3不能整除1，且32不能整除3，满足艾森斯判别法，)(y g 在有理数域上不可约，所以)(x f 在有理数域上不可约.

例2设)(x f =4123++x x 判断)(x f 在有理数域上是否可约？

解：)(x f 不满足艾森斯坦判别法，无论经过什么变换也不能满足艾森斯坦判别法，但)(x f 在有理数域上是不可约的.

有些整系数多项式不满足艾森斯坦判别法的判别条件，但也是不可约的，由此可见艾森斯坦判别法的应用受很大的限制，在此给出了艾森斯坦判别法的一个有益的推广，得出定理如下：

定理：设)(x f =011..a x a x a n n n n +++--（0≠n a ）是一个整系数多项式，并且

)(x f 没有有理根，如果能找到一个素数p 使

1. p 不能整除n a ；

2. p ∣110,...,,-n a a a ；

3. p 2不能整除1a ；

那么)(x f 在有理数域上不可约.

证明：设)(x f 在有理数域上可约，易知)(x f 能分解成两个次数都小于n 的整系数多项式的乘积，设)(x f =)(x g )(x h , )(x g =011...b x b x b k k k k +++--， )(x h =011...c x c x c l l l l +++--（n l k n l k =+<,,）,显然p 不能整除)(x g 的所有系数，也不能整除)(x h 的所有系数，令s b ，t c 各是)(x g 和)(x h 中第一个不能被p 整除的系数.

情形1如n t s <+,考察系数有t s t s t s t s b b c b c b a +-++++++=0110...，因为

n t s <+，

有条件2可知，p ∣t s a +,又等式右边除t s c b 外都能被p 整除，所以p ∣t s c b ,但p 是素数，所以p ∣s b 或p ∣t c ，与s b 和t c 不能被p 整除矛盾.

情形2如n t s =+，此时必有l t k s ==,,k s b b =,l t c c =,考察10011c b c b a +=. 因为)(x f 没有有理根，所以1,1>>l k ,因此p |0b ,p |1b ,p |0c ,p |1c ,由等式10011c b c b a +=知，p 2|1a 与条件3 p 2不能整除1a 矛盾.

综上可知)(x f 在有理数域上不可约.

推论: 设)(x f =011..a x a x a n n n n +++--（0≠n a ）是一个整系数多项式，)(x f 没有有理根，如果能找到一个素数p 使得

1. p |i a (i =1,2,…,n);

2. p 不能整除0a ；

3. p 2不能整除1-n a ；

那么)(x f 在有理数域上不可约.

证明：令x =y

1 代入)(x f 中得 n n

y

a y a a y f +++=...)1(10，而n n n n a y a y a y f y y +++==-...)1()(110?， 显然)(x f 在有理数域上不可约的充要条件是)(y ?在有理数域上不可约，由定理知)(y ?不可约，所以)(x f 在有理数域上不可约.

例1设96915)(234++++=x x x x x f 判断)(x f 在有理数域是否可约？ 解：易知)(x f 没有有理根，取p =3, 3|9，3|6，3|15，32|9，不能应用艾森斯坦判别法，由于32不能整除6，有定理可知)(x f 在有理数域上不可约.

例2设126184)(234++++=x x x x x f 判断)(x f 在有理数域是否可约？ 解：易知)(x f 没有有理根，取p =2,2|4,2|6,2|18,2|2,2不能整除1 22不能整除18，由推论可知)(x f 在有理数域上不可约.

二 通过比较整系数多项式的系数大小来判定多项式的不可约.

定理：设)(x f =0111...a x a x a x n n n ++++-- 是一个整系数多项式，如果 │1-n a │>1+|2-n a |+3-n a +…+01a a +,则)(x f 在有理数域上是不可约的.定理的使用很方便，但要求最高次数项系数是1，且定理证明要用到复变函数论，本文用初等方法得到了如下定理.

定理1 设)(x f =0111...a x a x a x a n n n n ++++-- （n a ≠0 ）是整系数多项式且|n a |是素数，如果021...a a a a n n n +++>-- 则)(x f 在有理数域上是不可约的.

证明：1. 首先证明：若)(z f =0, 则∣z ∣<1,设z 满足若)(z f =0则)...(02211a z a z a z a n n n n n n +++-=----,02111...a z a z a z a n n n n n n +++≤---- ,如果z >1,则1021)...(---+++≤n n n n n z a a a z a ,

于是011...a a a z a a n n n n +++≤≤--，与已知矛盾，所以z <1.

2.假设)(x f 在有理数域上是可约，则存在两个次数都小于n 的整系数多项式u(x)和v(x)使得)(x f = )(x u )(x v .

设)(x u =011...b x b x b t t t t +++--，)(x v =011...c x c x c s s s s +++-- ，因|n a |是素数，

n t s a c b =则1=t b 或1=s c ，不妨设1=t b ，又0000≠=a c b ，所以0b 是非零整数，设t z z z ,...,,21是u(x)=0全部根.由1得1

t

b b 0=1...21

定理2 设)(x f =0111...a x a x a x a n n n n ++++--是n 次整系数多项式，0a 是素数，若n a a a a +++>...210，则)(x f 在有理数域上是不可约的.

证明：设n n n n n a y a y a y a y f y y ++++==--1110...)1()(?，显然，)(x f 在有理数域上是不可约的充分条件是)(y ?在有理数域上不可约，有定理1知因)(y ?在有理数域上不可约，此)(x f 在有理数域上是不可约的.

例1 设)(x f =1232134567+++++x x x x x ，判断函数)(x f 是否可约？ 解：因为 13>2+3+1+1+2+1，13是素数，由定理1可知)(x f 有理数域上是不可约的.

例2 设)(x f =1724722345-+--+-x x x x x ，判断函数)(x f 是否可约？ 解：因1247217+-+-++->- 且17是素数，由定理2可知)(x f 有理数域上是不可约的.

本文通过对艾森斯坦判别法的推广扩大了艾森斯坦判别法的应用范围，并给出了一种新的判别方法对艾森斯坦判别法予以补充.

【参考文献】

［1］张禾瑞、郝炳新编.高等代数（第四版）.高等教育出版社.1999 版

［2］中国数学协会北京师范大学编.数学通报.1992年第8期［3］中国数学协会北京师范大学编.数学通报.1995年第3期［4］数学通讯 2001年5月第9期