高等数学二重积分1
授课单元13教案
先回顾求曲边梯形面积四步法 一、问题的提出
引例1设有一立体，它的底是xOy 平面上的有界闭区域D ，它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面，它的顶是曲面),(y x f z ，这里),(y x f ≥0且在D 上连续-7），这种立体称为曲顶柱体。试计算此曲顶柱体的体积V.
),(y x f z =，当自变量（x,y ）在区域D 上变动时，高度),(y x f 是个变量，因此它的体积不能直接用上式来计算。下面，我们仿照求曲边梯形面积的方法：
分割→作近似→求和→取极限 来解决求曲顶柱体的体积问题。 第一步：分割 将区域D 任意分成n 个小区域1σ?，2σ?，…，n σ?，且以i σ?表示第i 个小区域的面积，分别以这些小区域的边界曲线为准线，作母线平行于z 轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个小曲顶柱体.
第二步：作近似 对于第i 个小曲顶柱体，当小区域i σ?的直径足够小时，由于),(y x f 连续，在区域i σ?上，其高度),(y x f 变化很小，因此可将这个小曲顶柱体近似看作以i σ?为底，i i f ),(ηξ为高的平顶柱体（图11-8），其中),(i i ηξ为i σ?上任意一点，从而得到第i 个小曲顶柱体体积i V ?的近似值
n i f V i i i I ,2,1,),( =?≈?σηξ.
第三步：求和 把求得的n 个小曲顶柱体的体积的近似值相加，便得到所求曲顶柱体
体积的近似值：
i
i i
u
i n i I f V V σηξ?≈?=∑∑-=),(1
1
.
第四步：取极限 当区域D 分割得越细密，上式右端的和式越接近于体积V .令n 个小区域的最大直径0→λ，则上述和式的极限就是曲顶柱体的体积V ，即
∑=→?=n
i i
i i f V 1
),(lim σηξλ.
引例2 设有一质量非均匀分布的平面薄片，占有xOy 平面上的区域D ，它在点),(y x 处的面密度),(y x ρ在D 上连续，且),(y x ρ﹥0.试计算该薄片的质量M . 我们用求曲顶柱体体积的方法来解决这个问题。
第一步：分割 将区域D 任意分成n 个小区域1σ?，2σ?，
y
)
,i i ηξ
…，n σ?，并且以i σ?表示i 个小区域的面积（图11-9）
第二步：作近似 由于),(y x ρ连续，只要每个小区域i σ? 的直径很小，相应于第i 个小区域的小薄片的质量i M ?的近似值为
n i M i i i i ,,2,1,),( =?≈?σηξρ，
其中),(i i ηξ是i σ?上任意一点.
第三步：求和 将求得的n 个小薄片的质量的近似值相加，便得到整个薄片的质量的近似值
∑∑==?≈?=n i n
i i
i i I M M 1
1
),(σηξρ.
第四步：取极限 将D 无限细分，即n 个小区域中的最大直径0→λ时，和式的极限 就是薄片的质量
∑
→?=n
i
i i M 0
),(lim σηξρλ
上面两个问题的实际意义虽然不同，但都是把所求的量归结为求二元函数的同一类型和式的极限，这种数学模型在研究其它实际问题量也会经常遇到的，为此引进二重积分的概念。 二、 二重积分的定义
设z = f (x , y )为有界闭区域D 上的有界函数.
(1)把区域 D 任意分成 n 个小闭区域 σi ，其面积为?σi (i = 1, 2, · · ·, n )； (2)在每个小闭区域σi 中任意取一点Pi (ξi , ηi )， (3)作和
(4) 求极限 其中 ={n 个小区域中的直径最大者}
则此极限值为函数 f (x , y )在闭区域D 上的二重积分，记作：
其中),(y x f 称为被积函数，D 称为积分区域，σd y x f ),(称为被积式，σd 称为面积微元，x 与y 称为积分变量。
由二重积分定义,立即可以知道：
曲顶柱体的体积 )
,i ηi
i i f σηξ?),(作乘积∑
=n
i i
i i )Δ,ηf(ξ1σ∑
=→?n i i i i f 1
0),(lim σηξλ??
D
f(x,y)d σ??
=D
d y x f V σ
),(
平面薄片的质量 关于二重积分的几点说明：
（2）如果被积函数f(x,y)在闭区域D 上的二重积分存在，则称f(x,y)在D 上可积。 f(x,y)在闭区域D 上连续时，f(x,y)在D 上一定可积。 三、二重积分的几何意义 当 f (x , y )≥0时，
当 f (x , y )≤0时，
当 f (x , y ) 有正有负时，
特别的 四、二重积分的性质
二重积分具有与定积分类似的性质，现叙述如下。
性质1 被积函数中的常数因子可以提到积分号外面。即
????=D
D
d y x f k d y x kf σσ),(),(
性质2 函数代数和的积分等于各函数积分的代数和。即
[]????=±D
D
d y x f d y x g y x f ),(),(),(σ??±D
d y x g σσ),(
性质3 对区域具有可加性
性质4 在区域D 上 则有 特别地
性质5
（二重积分估值不等式）
性质6
（二重积分中值定理）
性质7 ??
=D d y x M σρ),(（1） 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的，Pi (ξi ,ηi )的选取任意.
曲顶柱体
V d y x f D =??
σ),(曲顶柱体
V d y x f D -=??
σ),(下曲顶柱体
上曲顶柱体V V d y x f D -=??
σ),(.1??
=D S d σ表示区域的面积
其中S )
(21D D D +=.
),(),(),(2
1??
????+=D D D d y x f d y x f d y x f σσσ),,(),(y x g y x f ≤.),(),(??
??≤D
D d y x g d y x f σσ.
),(),(??
??≤D D d y x f d y x f σσ设M 、m 分别是f(x,y)在闭区域D 上的最大值和最小值，σ为D 的面积，则 ??
≤≤D
M d y x f m σσσ),(设函数f(x,y)在闭区域D 上连续，σ 为D 的面积，则在D 上至少存在一点 ),(ηξ使得
σ
ηξσ?=??
),(),(f d y x f D 轴对称或没有公共点且关于、设)(,2121x y D D D D D =0),(=??
D
d y x f σ则
例：比较积分
????++D
2)][ln(()ln(σσd y x d y x D
与的大小，其中D 是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0),(1,1), (2,0).
例：
练习：
小结
二重积分的定义（和式的极限），二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）
二重积分的性质 作业：下册p39 1,2
,(),(1）的奇函数或是关于）若（y x y x f ,)),()2(的偶函数（或是关于若y x y x f ??
????==21),(2),(2),(D D D
d y x f d y x f d y x f σ
σσ则解：三角形斜边方程x+y=2,
在D 内有e y x <≤+≤21 , 故 0<1)ln(<+y x ,
于是[]2
)ln()ln(y x y x +>+,
因此
>+??D
d y x σ)ln(??+D
d y x σ2
)][ln(.
所围成的闭区域与为，利用性质求42
===??y x y D xydxdy I D
解：由于区域D 关于y 轴对称，
xy 是区域D 上关于x 的奇函数
=??D
xyd σ所以)
0()1(222>=+++=??
a a y x D d y x I D 为圆域：利用性质及几何意义求σ
课题2在直角坐标系下二重积分的计算
一、 引入
根据定义来计算二重积分是相当困难的．本小节将在直角坐标系中，根据二重积分的几何意义，推导出二重积分的计算方法，从而把计算二重积分的问题转化为接连计算两个定积分的问题．
二、利用直角坐标系计算二重积分
假设0),(≥y x f ，积分区域
［X －型］
在区间[a ，b]内任取一点x ，过此点作与xoy 面垂直的平面，它与曲顶柱体相交得到一个一个曲边梯形：底为)()(21x y x ??≤≤，高为z=f(x,y),其面积为?=
)
()
(21),()(x x dy y x f x S ?κ
所以根据平行截面面积为已知的立体的立体公式，得 即
这就是二重积分在直角坐标系下的计算公式，也把它称为先y 后x 的累次积分
2、积分区域为：
dxdy
d =σ????=D
D
dxdy
y x f d y x f ),(),(σ在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D ，则面积元素为 故二重积分可写为
??
?≤≤≤≤)
()(21x y x b x a ??)
(2x y ?=a b D
)
(1x y ?=??
=b
a x x dx
dy y x f V )
()(21
]),([???
?????==)
()()()(2121),(]),([),(x x b a b a x x D
dy y x f dx dx dy y x f dxdy y x f ???????≤≤≤≤)
()(21y x y d
y c ??
［Y －型］
3、
对于其他情形，都可化为这两种情况加以转化。 若区域如图，则必须分割.
在分割后的三个区域上分别使用积分公式
解法1. 将D 看作X –型区域, 则I=
8
9
=
)
(2y x ?=)
(1y x ?=D
c
d
y
与x 型区域的情形类似，
这种积分区域下的二重积分可化为累次积分，即
??
D
dxdy y x f ),( 称之为先x 后y 的累次积分。
需要指出的是，公式虽是在(,)0f x y ≥的条件下得到的，但在实际计算中，这个假设是不需要的，利用二重积分的几何意义及性质可以得到这一点．
??
=d
c
y y dx
y x f dy )
()
(21),(??.
3
21??
??????++=D D D D 3D 2D 1D
例1 计算??
=D
xydxdy I ，其中D 是由直线 y=1,x=2及 y=x 所围成的闭区域。
?21d x ?
x y y x 1
d ?
=2
1
d x []1221x y x []?
-=2
1
21
3
21
d x x x 解法2. 将D 看作Y –型区域, 则
I=
?
2
1
d y
?2d y
x y x =dy y x y 2
22
1]21[? [
]
?
-=21
3
2
1d 2y y y 8
9=
例：计算 ,其中D 是由抛物线 所围成的闭区域. 解:求交点为(1,2),(-1,2),D 是x 型区域
例：计算 其中D 是抛物线 及直线y=x-2围成的闭区域. 解法1
先求交点为
(1,-1),(4,2) 若D 看成X －型区域
（计算比较麻烦）
解法2 D 是Y 型区域,则
例：计算 ，其中D 是由直线 及y=x 所围成的闭区域.
D
()2D I x y dxdy =+??
222,1y x y x ==+
()2
2
1
1122x x I dx x y dy
+-=+??
]
)([22
1211
2x x y xy dx +-?+=()1
4
321
3232115
x
x x x dx -=--+++=
?
,D I xydxdy =??
x y =
2????
??+=12D D D
xydxdy
xydxdy xydxdy ??
??--+=41210][][x x x x dx xydy dx xydy ??
-+=2122y y xydx dy I dy y x y y +-?
=22212]21[dy y y y y )212122(21532
?
--++=8
45=()
2sin D
I y dxdy =??0x =1y =解:D 为x 型区域计算不出来
所以D 为y 型区域
dx y dy I y )sin(1
2??=
dy y y )sin(21
0?=1
2)cos(21y -=21
cos 1-=
()
11
20sin x
I dx y dy =??
在直角坐标系下计算二重积分的步骤
（1）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标； （2）根据积分域类型或被积函数, 确定积分次序； （3）确定积分限，化为二次定积分； （4）计算两次定积分，即可得出结果.
注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。 例：一平面薄板占据xy 平面上趋于D 是由2
2
2
4124y x y x ==+和围成，面密度
x y x 5),(=μ，求其质量
解：区域D 看成Y 型区域，
先求交点：?????==+2
22412
4y
x y x 得)23,3(),23,3(-，其质量为 ??
??--
==2
2
41243
2
3
55y y D
xdx dy d x M σ=323)416412(2
5
223
2
3=--?
-dy y y 小结
21()
()
(,)(,)b
x a
x D
f x y dxdy dx f x y dy
??=???
?
21()
()
(,)(,)d
y c
y D
f x y dxdy dy f x y dx
ψψ=??
??
作业：下册p39 3,4
x
y -=1例: 改变积分 ?
?-x
dy y x f dx 10
10
),(的次序.
解：积分区域D: ?
??-≤≤≤≤x y x 101
原式?
?-=y dx
y x f dy 10
1
0),(
课题3二重积分习题课
一、复习
1、二重积分的定义
2、二重积分的实际意义及几何意义
3、二重积分的计算公式
21()
()
(,)(,)b
x a x D
f x y dxdy dx f x y dy
??=??
??
21()
()
(,)(,)d
y c
y D
f x y dxdy dy f x y dx
ψψ=???
?
计算下列二重积分 1、dxdy e x D
y ??-2
2，其中D 是由直线y=x ，y=1，x=0围成的闭区域 2、dxdy y x D
??-)(22 其中D 是由π≤≤≤≤x x y 0,sin 0围成的闭区域 3、??
D
dxdy y x ，其中D 为2
x y =与x y =所围成的区域 4、
??+D
dxdy y x )23(其中D 为两坐标轴及直线2=+y x 所围成的区域
??
D
dxdy x
y
、5，其中D 为x y 2=，x y =，4=x 与2=x 所围成的区域 6、dxdy y D
??2，其中D 是由直线y=2x ，x=2 ,y=0围成的闭区域 7、??+D
dxdy y x )6(，其中D 为x y =, x y 3=,x=1所围成的区域
8、
??+D
dxdy y x )sin(，其中D 为0=x 与π=y ，y=x 所围成的区域
9、
??
D
dxdy y
x 22
，其中D 为1=xy ，x y =及 2=x 所围成的闭区域 10、
dxdy xy D
??2，其中D ：2
40y x -≤≤ 11、??D
dxdy y y sin ，其中D 为x y =2
，x y =所围成的闭区域 12、
??-+D
dxdy x y x )(2
2，其中D 为x y 2=，x y =及 2=y 所围成的闭区域 ??
D
f(x,y)d σ∑
==n
i i i i )Δ,ηf(ξ1
σ
14、??+D
dxdy y x x )cos(，其中D 是顶点分别是),(),0,(),0,0(πππ所围成的区域
15、
??
D
xydxdy ，其中D ：0,0,122≥≥≤+y x y x 16、dxdy x y
x D
??sin ，其中D 是由直线y=x ，y=0，x=1围成的闭区域 17、dxdy xy x D
??)sin(2，其中D 是由直线y=x ，y=0，x=1围成的闭区域 18、
??
D
ydxdy ，其中D ：0,12
2≥≤+y y x 19、dxdy y x D
??cos sin ，其中D 是由直线y=x ，y=0，2
π
=
x 围成的闭区域
20、??
D
xydxdy ，其中D 为x y =与3
x y =所围成的区域 21、dxdy e D x ??，其中D 是由直线y=2，x
e
y =，x=0围成的闭区域
22、dxdy xy y D
)cos(?? 其中D 是由π≤≤≤≤x y 0,10围成的闭区域
23、
dxdy y x D
??+)cos(，其中D 是由直线y=x ，y=0，π=x 围成的闭区域
24、dxdy x y
D
??ln ，其中D 是由直线y=x ，y=1，2=x 围成的闭区域
授课单元14教案
详见《高等数学实验手册》
二重积分学习总结
高等数学论文 《二重积分学习总结》 姓名：徐琛豪 班级：安全工程02班 学号：1201050221 完成时间：2013年6月2日
二重积分 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 1 二重积分的概念与性质 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ??? 的分法要任意，二是在每个小区域i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。
高等数学知识点总结 (1)
高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （三） 空间直线及其方程 1、 一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=-
高等数学微积分总结
积 分 整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对 积分总结,比较,以期同学们对积分有一个整体的认识. 一、不定积分 不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的基础，希望同学们熟记积分公式，及各种 方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等) 二、定积分 1.定义式: ()b a f x dx ? 2.定义域:一维区间,例如[,]a b 3.性质:见课本P 229-P 232 特殊:若 1f =,则()b a f x dx b a =-?,即区间长度. 4.积分技巧:奇偶对称性. 注意:定积分中积分变量可以任意替换即()()b b a a f x dx f y dy =? ?,而不定积分不具有这种性质. 5.积分方法:与不定积分的方法相同. 6.几何应用: 定积分的几何意义: ()b a f x dx ? 表示以()f x 为顶与x 轴所夹区域面积的代数和(注意如()0f x <,则面积为负); 其他应用:如 ()f x 表示截面积,则积分为体积;平面弧长 (b a f x ? 等. 三、二重积分 1.定义式: (,)xy D f x y d σ ?? 2.定义域:二维平面区域 3.性质:见下册课本P 77 特殊: 若 1f =,则(,)xy D f x y dxdy S =?? ,即S 为xy D 的面积. 4.坐标系: ①直角坐标系: X 型区域,Y 型区域 ②极坐标系:适用范围为圆域或扇形区域,注意坐标转换后不要漏掉r ,积分时一般先确定θ的范围,再确定r 的范围. 5.积分技巧:奇偶对称性(见后),质心; 6.几何应用: 二重积分的几何意义:若(,)0f x y ≥,则(,)xy D f x y dxdy ?? 表示以(,)f x y 为顶以xy D 为底的曲顶柱体体积; 其他应用:求曲面(,)z z x y =的面积xy D ?? 四、三重积分 1.定义式 (,,)f x y z dv Ω??? 2.定义域:三维空间区域; 3.性质:与二重积分类似; 特殊: 若 1f =,则(,,)f x y z dv V Ω =???,其中V 表示Ω的体积. 4.坐标系: ①直角坐标系:投影法,截面法(一般被积函数有一个自变量,而当该变量固定时所得截面 积易求时采用) ②柱坐标系:积分区域为柱形区域,锥形区域,抛物面所围区域时可采用; ③球坐标系:积分区域为球域或与球面相关的区域时,确定自变量范围时,先θ,后?,最后 r . 5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性(见后),质心等. 6.应用: (,,)f x y z 表示密度,则(,,)f x y z dv Ω ???为物体质量.(不考虑几何意义) 五、第一类曲线积分
大学微积分l知识点总结 二
【第五部分】不定积分 1.书本知识（包含一些补充知识） （1）原函数：F ’（x ）=f （x ），x ∈I ，则称F （x ）是f （x ）的一个“原函数”。 （2）若F （x ）是f （x ）在区间上的一个原函数，则f （x ）在区间上的全体函数为F （x ）+c （其中c 为常数） （3）基本积分表 c x dx x +?+?=?+???11 1（α≠1，α为常数） （4）零函数的所有原函数都是c （5）C 代表所有的常数函数 （6）运算法则 []??????±?=?±??=??dx x g dx x f dx x g x f dx x f a dx x f a )()()()()()(②① （7）[][]c x F dx x x f +=??)()(')(???复合函数的积分： c b x F dx b x f c b ax F a b ax d b ax f a dx b ax f ++=?+++?=+?+?=?+???)()()(1)()(1)(一般地， （9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。 （10）不定积分的计算方法 ①凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 ②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性 ③分部积分法： 【解释：一阶微分形式不变性】 数乘运算 加减运线性运 （8
释义：函数 对应：y=f(u) 说明： （11）c x dx a x a x ++??++?22ln 1 22 （12）分段函数的积分 例题说明：{} dx x ??2,1max （13）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一 （16）隐函数求不定积分 例题说明： （17）三角有理函数积分的万能变换公式 （18）某些无理函数的不定积分 ②欧拉变换 （19）其他形式的不定积分 2.补充知识（课外补充） ☆【例谈不定积分的计算方法】☆ 1、不定积分的定义及一般积分方法 2、特殊类型不定积分求解方法汇总 1、不定积分的定义及一般积分方法 （1）定义：若函数f(x)在区间I 上连续，则f(x)在区间I 上存在原函数。其中Φ(x)=F(x)+c 0,(c 0为某个常数），则Φ(x)=F(x)+c 0属于函数族F(x)+c （2）一般积分方法 值得注意的问题：
高等数学二重积分总结
第九章二重积分 【本章逻辑框架】 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。
在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ??? 的分法要任意，二是在每个小区域i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。 (2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d D f x y σ??的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 (即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数 (,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小 值，再应用估值不等式得到取值范围。
2018考研高数重点复习定积分与不定积分定理总结
2018考研高数重点复习定积分与不定积 分定理总结 在暑期完成第一轮基础考点的复习之后，9月份开始需要对考研数学所考的定理定义进行必要的汇总。本文为同学们整理了高数部分的定积分与不定积分定理定义汇总。 ?不定积分 1、原函数存在定理 ●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x ∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。 ●分部积分法 如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。 2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。 ?定积分 1、定积分解决的典型问题 (1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程 2、函数可积的充分条件 ●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。 ●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。 3、定积分的若干重要性质 ●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。 ●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。
●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。 ●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx ≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。 ●性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。 4、关于广义积分 设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a ?定积分的应用 1、求平面图形的面积(曲线围成的面积) ●直角坐标系下(含参数与不含参数) ●极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2) ●旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程) ●平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)dx,其中A(x)为截面面积) ●功、水压力、引力 ●函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)
高等数学习题详解-第8章二重积分
习题8-1 1. 设有一平面薄片，在xOy 平面上形成闭区域D ，它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y )，且μ(x ,y )在D 连续，试用二重积分表示该薄片的质量. 解：(,)D m x y d μσ=??. 2. 试比较下列二重积分的大小： (1) 2()D x y d σ+??与3()D x y d σ+??，其中D 由x 轴、y 轴及直线x +y =1 围成； (2) ln()D x y d σ+??与2 ln()D x y d σ+??????，其中D 是以A (1,0)，B (1,1)， C (2，0）为顶点的三角形闭区域. 解：(1)在D 内，()()2301x y x y x y ≤+≤+≥+，故，23()()D D x y d x y d σσ+≥+????. (2) 在D 内，212ln()1,ln()ln ()x y x y x y x y ≤+≤≤+≤+≥+，故0从而, 2 ln()[ln()]D D x y d x y d σσ+≥+???? 习题8-2 1. 画出积分区域，并计算下列二重积分： (1) ()D x y d σ+??，其中D 为矩形闭区域：1,1x y ≤≤； (2) (32)D x y d σ+??，其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭
区域； (3) 22()D x y x d σ+-??,其中D 是由直线y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区 域； (4) 2 D x y d σ??,其中D 是半圆形闭区域:x 2+y 2≤4,x ≥0； (5) ln D x y d σ??,其中D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ； (6) 22D x d σy ??其中D 是由曲线11,,2 xy x y x ===所围成的闭区域. 解：(1) 111 111()()20.D x y d dx x y dy xdx σ---+=+==????? (2) 222 200 (32)(32)[3(2)(2)]x D x y d dx x y dy x x x dx σ-+=+=-+-????? 2232022 20[224]4.33 0x x dx x x x =-++=-++=? (3) 32 2 2 2 2 2 2 002193()()()248y y D y x y x d dy x y x dx y dy σ+-=+-=-????? 43219113 .9686 0y y -= (4) 因为被积函数是关于y 的奇函数，且D 关于x 轴对称， 所以20.D x yd σ=?? (5) 44 201041ln ln (ln ln )2(1)2110 e D e e e x yd dx x ydy x y y y dx x e σ-==-==-?????.
不定积分总结
不定积分
一、原函数 定义1 如果对任一I x ∈，都有 )()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数。 例如：x x cos )(sin ='，即x sin 是x cos 的原函数。 2 211)1ln([x x x +='++，即)1ln(2x x ++是 2 11x +的原函数。 原函数存在定理：如果函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(x F ，使得对任一I x ∈，有)()(x f x F ='。 注1：如果)(x f 有一个原函数，则)(x f 就有无穷多个原函数。 设)(x F 是)(x f 的原函数，则)(])([x f C x F ='+，即C x F +)(也为)(x f 的原函数，其中C 为任意常数。 注2：如果)(x F 与)(x G 都为)(x f 在区间I 上的原函数，则)(x F 与)(x G 之差为常数，即C x G x F =-)()(（C 为常数） 注3：如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数，则C x F +)(（C 为任意常数）可表达)(x f 的任意一个原函数。 二、不定积分 定义2 在区间I 上，)(x f 的带有任意常数项的原函数，成为)(x f 在区间I 上的不定积分，记为?dx x f )(。 如果)(x F 为)(x f 的一个原函数，则 C x F dx x f +=?)()(，（C 为任意常数）
x y o )(x F y = C x F y +=)( 三、不定积分的几何意义 不定积分的几何意义如图5—1所示： 图 5—1 设)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)(x F y =在平面上表示一条曲线，称它为 )(x f 的一条积分曲线．于是)(x f 的不定积分表示一族积分曲线，它们是由) (x f 的某一条积分曲线沿着y 轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的．显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x 的点处有互相平行的切线，其斜率都等于)(x f ． 在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式C x F y +=)(，再从中确定一个满足条件 00)(y x y = (称为初始条件)的原函数)(x y y =．从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点),(00y x 的积分曲线． 四、不定积分的性质（线性性质） [()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±??? ()() kf x dx k f x dx =??k （ 为非零常数）
微积分知识点小结
第一章 函数 一、本章提要 基本概念 函数，定义域，单调性，奇偶性，有界性，周期性，分段函数，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数 第二章 极限与连续 一、本章提要 1.基本概念 函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点. 2.基本公式 (1) 1sin lim 0=→口 口口， (2) e )11(lim 0=+→口口口 (口代表同一变量). 3.基本方法 ⑴ 利用函数的连续性求极限； ⑵ 利用四则运算法则求极限； ⑶ 利用两个重要极限求极限； ⑷ 利用无穷小替换定理求极限； ⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求0 0形式的极限； ⑹ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求∞ ∞形式的极限； ⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限；
⑻利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. 4.定理 左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. 第三章导数与微分 一、本章提要 1.基本概念 瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分． 2.基本公式 基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式． 3.基本方法 ⑴利用导数定义求导数； ⑵利用导数公式与求导法则求导数； ⑶利用复合函数求导法则求导数； ⑷隐含数微分法； ⑸参数方程微分法； ⑹对数求导法； ⑺利用微分运算法则求微分或导数． 第四章微分学的应用 一、本章提要 1. 基本概念 未定型,极值点,驻点,尖点,可能极值点,极值,最值,曲率,上凹,下凹,拐点,渐近线,水平渐近线,铅直渐近线．
关于高等数学不定积分例题思路和答案超全
关于高等数学不定积分例题思路和答案超全 Last revision on 21 December 2020
第4章 不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解：53 2 2 23x dx x C - -==-+?
★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：315 3 2 2 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个 整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134 （-+-） 2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134（-+-）2
[全]高等数学之不定积分的计算方法总结[下载全]
高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法:
樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分
分析: 1-3 ? - IK ）-忑.旦r x 二）祝成）；网＞＜可久切 二2氐化如（長）寸 a 花不直押、朱 J 、 解： 2少弋協“尤十C__
-辿迪牆H JS m 弟 R Eff 洱 ->1和弟r 直 - —7朮呻' g 丄 U P A J 齐—系卩￡.§计 一 H a8~t ' J 乂 u D y " ?朮?
p o r t v 卩 J (r 4 5*〉J" 卩?对渎 t-k )+c p T + T d ? g T + c m -辿」
当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx
高等数学微积分公式精髓
总论 初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。 高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。 高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。 集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。 高等代数发展简史 代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。 人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。 在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。 在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。 三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。
高等数学第五章定积分总结
第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积 (1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. 第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i Λ=?=?=∑=→λξλ y =f (x ) x =a x =b y =f (x ) a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b
抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i ΛΛ=?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量 注: (1) ∑ =?n i i i x f 1 )(ξ与区间的分割法x i 和取点法 i 有关; 而 ? b a dx x f )(与x i 和 i 无 关. (2) ? b a dx x f )(与a 、b 、f 有关，与x 无关，即： [][]???? ===b a b a b a b a d f du u f dt t f dx x f )()()()( 2．定积分存在定理 定理 若)(x f 在[a , b ]上有界且只有有限个间断点，则)(x f 在[a , b ]上可积. 推论 若)(x f 在[a , b ]上连续，则)(x f 在[a , b ]上可积. 例1. 求 ?1 xdx
高等数学(下)知识点总结
主要公式总结 第八章空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程
考研高等数学知识点总结
高等数学知识点总结 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π
高等数学中有理分式定积分解法总结
由十个例题掌握有理分式定积解法 【摘要】 当被积函数为两多项式的商 () () P x Q x 的有理函数时，解法各种各样、不易掌握，在此由易到难将其解法进行整理、总结 【关键词】 有理分式 真分式 假分式 多项式除法 拆项法 凑微分法 定积分 两个多项式的商 () () P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式，我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间无公因式，当分子多项式()P x 的次数小与分母多项式()Q x ，称有理式为真分式，否则称为假分式. 1.对于假分式的积分：利用多项式除法，总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式. 例1.2 422 23 1 x x dx x +++? ()222 2 2131 x x x dx x ++-=+? 解 原式 2 2 2212311 x x dx dx dx x x =+-++??? ()42 2222 2 22 222223321.11 311 31 13111 31 arctan x x dx x x x x dx x x x dx dx x x dx dx x x dx dx dx x x x x C +++-=+=-+? ?=-- ?+?? =-++=--+?????????例 解 原式
3 24arctan 3 x x x C = +-+ 总结：解被积函数为假分式的有理函数时，用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式，然后进行积分.对于一些常见函数积分进行记忆，有助于提高解题速度，例如： 2221111x dx dx x x ? ?=- ?++?? ?? 对于真分式 () () P x Q x ，若分母可分解为两个多项式乘积()Q x =()()12Q x Q x ，且()1Q x ，()2Q x 无公因式，则可拆分成两个真分式之和： ()()P x Q x ()()()() 1 212P x P x Q x Q x =+，上述过程称为 把真分式化为两个部分分式之和.若()1Q x 或()2Q x 再分解为两个没有公因式的多项式乘积，则最后有理函数分解式中出现多项式、() () 1k P x x a -、 () () 22 l P x x px q ++等三类函数，则多项 式的积分容易求的 2.先举例，有类型一、类型二、类型三，以此为基础求解较复杂的真分式积分 2.1 类型一 ()m k ax b dx cx +? 例2.1.1 () 3 2 1x dx x -? 322 331 =x x x dx x -+-?解 原式 211 =33xdx dx dx dx x x -+-???? 211 =332x x In x C x -+++ 总结：当被积函数多项式与单项式相乘的形式，将其进行化简，使被积函数为简单幂函数， 然后利用常见积分公式进行运算 2.2 类型二 () k m cx dx ax b +?
高数二重积分习题解答
第9章 重积分及其应用 1．用二重积分表示下列立体的体积： (1) 上半球体：2222{(,,)|;0}x y z x y z R z ++≤≥； (2) 由抛物面222z x y =--，柱面x 2+y 2=1及xOy 平面所围成的空间立体 解答：(1) 222d ,{(,)|}D V x y D x y x y R ==+≤； (2) 2222(2)d d ,{(,)|1}D V x y x y D x y x y =--=+≤?? 所属章节：第九章第一节 难度：一级 2．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： (1) D σ，其中D 为222x y a +≤； (2) (D b σ??，其中D 为222,0x y a b a +≤>> 解答：(1) 32 π3D a σ=； (2) 232 (ππ3D b a b a σ=-?? 所属章节：第九章第一节 难度：一级 3．一带电薄板位于xOy 平面上，占有闭区域D ，薄板上电荷分布的面密度为(,)x y μμ=，且 (,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表示该板上的全部电荷Q ． 解答：(,)d D Q x y μσ=?? 所属章节：第九章第一节 难度：一级 4．将一平面薄板铅直浸没于水中，取x 轴铅直向下，y 轴位于水平面上，并设薄板占有xOy
平面上的闭区域D ，试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力 解答：d D p g x ρσ=?? 所属章节：第九章第一节 难度：一级 5．利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小 (1) 21()d D I x y σ=+??与32()d D I x y σ=+??，其中D 是由x 轴，y 轴及直线x +y =1所围成的区域； (2) 1ln(1)d D I x y σ=++??与222ln(1)d D I x y σ=++??，其中D 是矩形区域：0≤x ≤1，0≤y ≤1； (3) 21sin ()d D I x y σ=+??与22()d D I x y σ=+??，其中D 是任一平面有界闭区域； (4) 1e d xy D I σ=??与22e d xy D I σ=??，其中D 是矩形区域：–1≤x ≤0，0≤y ≤1； 解答：(1) 在区域D 内部，1x y +<，所以I 1>I 2； (2) 在区域D 内部，22,x x y y <<，故22ln(1)ln(1)x y x y ++<++，所以 I 1>I 2；？ (3) 由于22sin ()()x y x y +<+，所以I 1，所以I 1>I 2 所属章节：第九章第一节 难度：一级 6．利用二重积分性质，估计下列二重积分的值 (1) d ,{(,)|04,08}ln(4) D I D x y x y x y σ ==≤≤≤≤++?? ； (2) 2222π3πsin()d ,(,)44D I x y D x y x y σ? ?=+=≤+≤??????； (3) 22 1 d ,{(,)|||||1}100cos cos D I D x y x y x y σ==+≤++?? ； (4) 2 2 221e d ,(,)4x y D I D x y x y σ+? ?==+≤??? ???
高等数学(二重积分与微分练习)
一、 微分学计算题 1、设二元函数)ln(y x x z +=，则y x z ???2=_________. 2、函数y x z =在点(2, 1)处的全微分d z =____________________. 3、三元函数zx yz xy u ++=的全微分为 。 4、设),(t s f 可微，),(2322y x y x f u -=，求x u ??、y u ??。 5、设),(y x f z =由方程y z z x ln =所确定,求偏导数.,y z x z ???? 6、设)(22xy x y z ?+=，?为可微的函数，求证02322=+??-??y y z xy x z x 7、求函数x y x y x z 9332233-++-=的极值。 8、已知 2242(3),x y Z Z Z x y x y +??=+??设求 和 二、积分学计算题 1、交换二次积分??x x dy y x f dx 2),(10的顺序，??x x dy y x f dx 2 ),(10= 2、二次积分的顺序，??-=x dy y x f dx 1010),( 3、计算二重积分dxdy y x D ??22，其中D 是曲线x y =、1=xy 及2=x 围成。 4、计算2d d D xy x y ??，其中D 是由直线y =x , x =1及y =0围成的区域． 5、求由曲线轴轴和及 3,4,2y x x y x y ===围成的平面图形的面积. 6、求抛物线y x 22=与直线4-=y x 所围成的平面图形的面积。 7、已知生产某产品x 单位的边际收入为x x R 2100)(-='（元/单位），求生产40单位时的总收入及平均收入，并求再多生产10单位时所增加的总收入。 三、1、求方程2/5)1(12+=+-x x y dx dy 的通解及满足条件00==x y 的特解.